與中點(diǎn)有關(guān)的輔助線作法例析

1、與中點(diǎn)有關(guān)的輔助線作法例析安徽省利辛縣教育局督導(dǎo)室夏飛線段的中點(diǎn)是幾何圖形中的一個(gè)特殊點(diǎn).在解決與中點(diǎn)有關(guān)的問題時(shí),如果能適當(dāng)?shù)靥砑虞o助線、巧妙地利用中點(diǎn),那么是處理中點(diǎn)問題的關(guān)鍵.但由于含有中點(diǎn)條件問題的輔助線的作法靈活,不少同學(xué)難以掌握.下面就針對(duì)中點(diǎn)問題舉例談?wù)剮追N添加輔助線的方法.一、遇到中點(diǎn)找中點(diǎn)這種方法常用于解決三角形和梯形的有關(guān)問題,主要是連接兩個(gè)中點(diǎn)作中位線,并利用其性質(zhì).因此,在三角形中,三角形兩邊中點(diǎn),連結(jié)兩個(gè)中點(diǎn),即可構(gòu)造三角形的中位 線；在梯形中,梯形兩腰中點(diǎn),連結(jié)兩個(gè)中點(diǎn),即可構(gòu)造梯形的中位線.例1:如圖1, 屈二CD. e、 F分別為BC、AD的中點(diǎn),射線 BA、E

2、F交于點(diǎn)G,射線CD、EF交于點(diǎn)H .求證： UGE 二CH£.分析：連接AC,并取其中點(diǎn)P,構(gòu)造 PEF,證實(shí)FE=PF ,再利用中位線的性質(zhì)即 可得證.證實(shí)：連接AC,取AC的中點(diǎn)P,連接PE、PF.PE=-ABE 為 BC 的中點(diǎn),PE/ AB ,2PF-CD同理 PF/ CD,2由 pe / ab ,得 UGE 二 APBF ,由 PF/ CD,得£CHE=/PFEdGECHE .說明：三角形一邊的中點(diǎn)或梯形一腰的中點(diǎn),常過中點(diǎn)作中位線.二、遇到中點(diǎn)作中線這種方法常用于解決直角三角形或等腰三角形的有關(guān)問題,主要是運(yùn)用直角三角形斜邊上的中線或等腰三角形底邊上的中線性質(zhì)

3、.因此,遇到直角三角形斜邊上的中點(diǎn)或等腰三角DE-AB2形底邊上的中點(diǎn),應(yīng)聯(lián)想到作中線.例2:如圖2, AABC中, 4 二 2, AD為高,E為BC的中點(diǎn),求證:分析：在4ABC中,出現(xiàn)了 RtAADC 的中點(diǎn),即題目中有中點(diǎn)與直角三角形的條件. ADC斜邊AC的中點(diǎn)F 或AB的中點(diǎn)和RtAADB這兩個(gè)直角三角形； 又由于E為BCRt根據(jù)“遇到中點(diǎn)找中點(diǎn)的方法,可取,連接 EF,即得 ABC的中位線；再依據(jù)“遇到中點(diǎn)作中線的方法,連接DF,即得到 RtAADC斜邊 AC上的中線,然后只要證實(shí)DE = EF 二AB2 即可.證實(shí)：取AC的中點(diǎn)F,連接EF、DF.SF = AB.E、F 分別為

4、BC、AC 的中點(diǎn),EF/AB,2 AD是高,ADC是直角三角形.DF = -AC=FC 八 f又F為斜邊AC的中點(diǎn),2,Nl = N2由 ef / ab ,得 /3=Z5 = 2ZC/ 二 2/1 -又 Z3 = Z1+Z2, Z1 = Z2 .DE - EF - AB二 .說明：假設(shè)一點(diǎn)是直角三角形斜邊的中點(diǎn)或等腰三角形底邊的中點(diǎn),那么應(yīng)常想到作中線.三、遇到中點(diǎn)倍長線段這種方法是指：假設(shè)圖中出現(xiàn)由中點(diǎn)引出的線段,那么應(yīng)常想到成倍延長這一線段,可為解題提供更為廣闊的思路.例3:如圖3,在 ABC中, D為BC邊中點(diǎn),FDXED于點(diǎn)D,交AB、AC于點(diǎn) f、e.求證：BF+CE > 即

5、'.分析：待證的線段BF、CE、EF之間沒有明顯關(guān)系.但點(diǎn) D是BC邊的中點(diǎn),故應(yīng)考 慮倍長ED 倍長FD也可到點(diǎn)G,連結(jié)BG、FG,那么： BGDA CED,所以 BG 二 EC ,又由于 FDXED ,那么叫二費(fèi), 這樣就把BF、CE、EF轉(zhuǎn)移到了 BFG中,再利用三角形三邊關(guān)系即可證得結(jié)論.證實(shí)：延長ED到G,使初二GD .點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn),BD=CD ,又 4DG 二®LBGDA CED,儂沈,在 FGE中,助二0口, FDLED ,FG 二肛,在fge 中,FB+BG>FG,.BFCE>EF.說明：“倍長線段法在解題過程中有著很重要的作用,通過倍長相應(yīng)

6、的線段,再結(jié)合 相應(yīng)的條件可得到全等三角形,從而可轉(zhuǎn)移邊、角.但須注意它的使用前提是條件中存在著線 段的中點(diǎn).四、遇到中點(diǎn),且結(jié)論為比例式時(shí),常過中點(diǎn)作平行線在解決有些幾何問題中, 盡管遇到了中點(diǎn),但要證實(shí)的結(jié)論是比例式, 此時(shí)可考慮過中 點(diǎn)作平行線.例4:如圖4,過4ABC的頂點(diǎn)C任作一直線,與邊 AB及中線AD分別交于點(diǎn)F、E.求證：AE ： ED - 2AF ： £8.圖4分析：AD是中線,那么D為BC的中點(diǎn),要證實(shí)的結(jié)論為比例式,且 AE、ED又不在一個(gè)三角形內(nèi),為此,可過D點(diǎn)作DM /AB ,可知DM是4BFC的中位線.那么有2 .同時(shí)又可證得 AEFsDME,那么有 題：

7、亞二冊(cè)M ,接下去利用等量代換即可證得 結(jié)論成立.證實(shí)：過點(diǎn)D作DM / AB交CE于M ,那么：用：RD-AFi DM.- BD- CD , DM / AB ,MF = CM , DM 是 BCF 的中位線,2.在 AEF與 DME中,AAEF=ZDBM,£FAE = £MDE,AEFADME ,必月D=AF? DM,AE； ED = AFi-FB 2即鹿!劭二2Ap: FB .注：此例也可根據(jù)“遇到中點(diǎn)找中點(diǎn)的方法,取 FC的中點(diǎn)M,然后連接DM .說明：中點(diǎn)是圖形中的特殊點(diǎn),中線、中位線是三角形中的特殊線段,在解題中,如果 能靈活運(yùn)用與它們相關(guān)的性質(zhì),巧作輔助線,可使

8、許多問題迅速得到解決.五、遇到線段垂直平分線上的點(diǎn),那么常將這一點(diǎn)與線段的端點(diǎn)連接起來由于“線段垂直平分線上的點(diǎn), 到線段兩端點(diǎn)的距離相等,所以可根據(jù)這一性質(zhì)定理, 假設(shè)遇到線段垂直平分線上的點(diǎn), 那么常將這一點(diǎn)與線段的端點(diǎn)連接起來, 往往可使問題變得簡 便,從而順利證得結(jié)論成立.例5、如圖5,設(shè)P是等邊 ABC的BC邊上任一點(diǎn),連接AP,作AP的中垂線交 AB、 AC于M、N.求證： BPPC 二BMCN.分析：連接PM、PN .由于MN是AP的中垂線,所以MP = MA , NP二獨(dú),那么MPN叁' MAN ,于是有ZW=ZW=60c.又由于=/陋C+4PM = 12.*,可得：£BMP= ANPC,于是 有 BPM s* CNP ,于是可證得 BPFC 二 BMCN.證實(shí)：連接PM、PN.在 MPN與 MAN中, MN是AP的中垂線, 工工 二匚1,MN是公共邊,MPNA MAN (SSS),."MPMMMANH.,又:二生匚三,一,二可二匕：,一蛆 . BPMACNP ,. .即您二