控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解

1、3.4 3.4 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解cox 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的分解也稱為卡爾曼標(biāo)準(zhǔn)分解。它系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的分解也稱為卡爾曼標(biāo)準(zhǔn)分解。它是討論不完全能控和不完全能觀的系統(tǒng)狀態(tài)是討論不完全能控和不完全能觀的系統(tǒng)狀態(tài)的分解。系統(tǒng)通過代數(shù)等價變換，可以將狀的分解。系統(tǒng)通過代數(shù)等價變換，可以將狀態(tài)變量分解成四個部分：能控能觀部分態(tài)變量分解成四個部分：能控能觀部分 。能控不能觀部分能控不能觀部分 ，不能控能觀部分，不能控能觀部分 和和不能控不能觀部分不能控不能觀部分 。這樣系統(tǒng)可以分解為。這樣系統(tǒng)可以分解為相應(yīng)的四個子系統(tǒng)，稱為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解。相應(yīng)的四個子系統(tǒng)，稱為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解。coxcoxcox 研

2、究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解可以更深刻地了解系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解可以更深刻地了解系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特性，也有助于更加深入地揭示系統(tǒng)的狀態(tài)空間描特性，也有助于更加深入地揭示系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述和輸入輸出描述之間的本質(zhì)區(qū)別。述和輸入輸出描述之間的本質(zhì)區(qū)別。( ,)A B C能控性、能觀性在線性非奇異變換下的性質(zhì)能控性、能觀性在線性非奇異變換下的性質(zhì) 對于線性定常系統(tǒng)對于線性定常系統(tǒng) ，經(jīng)過線性非奇異，經(jīng)過線性非奇異變換為變換為 ，即兩者之間具有如下的關(guān)系，即兩者之間具有如下的關(guān)系 其中，其中，P P為非奇異矩陣，從而必有為非奇異矩陣，從而必有 ( , , )A B C11,APAPBPBCCP,ccoorank

3、QrankQrankQrankQ 表明了線性非奇異變換不改變系統(tǒng)的能控性表明了線性非奇異變換不改變系統(tǒng)的能控性和能觀性。和能觀性。線性定常系統(tǒng)能控性結(jié)構(gòu)分解線性定常系統(tǒng)能控性結(jié)構(gòu)分解xAxBuyCx考慮不完全能控線性定常系統(tǒng)考慮不完全能控線性定常系統(tǒng) 進(jìn)行系統(tǒng)的能控性分解，首先要選取非奇異進(jìn)行系統(tǒng)的能控性分解，首先要選取非奇異矩陣。下面給出具體的算法。矩陣。下面給出具體的算法。1ncrank QB ABABcrank Qk 算法（能控性結(jié)構(gòu)分解的求?。┧惴ǎ芸匦越Y(jié)構(gòu)分解的求?。?列寫系統(tǒng)的能控性矩陣列寫系統(tǒng)的能控性矩陣 并求出并求出 。2. 在能控矩陣中任意取在能控矩陣中任意取k個線性無關(guān)的

4、列向量：個線性無關(guān)的列向量： ，再在，再在 中任意選取中任意選取(n-k)個列向量：個列向量： ，使得矩陣，使得矩陣 是可是可逆的。逆的。1,2,kq qqnR1,2,kknqqq11,kknqq qq3. 按下列方式組成變換矩陣，按下列方式組成變換矩陣，11,kknPqq qq4. 計算計算11,AP AP BP B CCP1xP x( ,)A B C 定理定理1：對不完全能控的系統(tǒng)，利用上述算法求：對不完全能控的系統(tǒng)，利用上述算法求取系統(tǒng)在線性非奇異變換取系統(tǒng)在線性非奇異變換 下的代數(shù)等價下的代數(shù)等價系統(tǒng)系統(tǒng) ，具有如下的能控性分解的規(guī)范表，具有如下的能控性分解的規(guī)范表達(dá)形式，即達(dá)形式，即

5、1200cccccccccccxxAABuxxAxyCCx,()cccxkA Bxn kcc維能控狀態(tài)分量，即能控；維不能控狀態(tài)分量，k=rank Q式中，式中，對系統(tǒng)的能控性的結(jié)構(gòu)分解做幾點(diǎn)說明對系統(tǒng)的能控性的結(jié)構(gòu)分解做幾點(diǎn)說明（1）在系統(tǒng)的能控性分解中，系統(tǒng)被分解為完全能）在系統(tǒng)的能控性分解中，系統(tǒng)被分解為完全能控和完全不能控的兩個子系統(tǒng)?？睾屯耆荒芸氐膬蓚€子系統(tǒng)。（2）能控子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)等于整個系統(tǒng)的傳遞函）能控子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)等于整個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，即數(shù)，即（3）從系統(tǒng)能控性分解的框圖中可以看出：系統(tǒng)的）從系統(tǒng)能控性分解的框圖中可以看出：系統(tǒng)的不能控部分既不受輸入不能控部分既不受輸

6、入u的直接影響，也沒有通過的直接影響，也沒有通過能控狀態(tài)而受到能控狀態(tài)而受到u的間接影響。因此，系統(tǒng)的不能的間接影響。因此，系統(tǒng)的不能控部分不能由輸入控部分不能由輸入u和輸出和輸出y之間的傳遞關(guān)系來反映。之間的傳遞關(guān)系來反映。換言之，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（矩陣）沒有完全反映系換言之，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（矩陣）沒有完全反映系統(tǒng)的內(nèi)部不能控狀態(tài)分量的動態(tài)品質(zhì)。統(tǒng)的內(nèi)部不能控狀態(tài)分量的動態(tài)品質(zhì)。11()()cccCsIABC sIAB例例1 1 給定線性定常系統(tǒng)，進(jìn)行能控性分解。給定線性定常系統(tǒng)，進(jìn)行能控性分解。011110010101111xxucQ解：解： 在在 中取線性無關(guān)的列向量中取線性無關(guān)的列向量

7、，再任取再任取 ，從而構(gòu)成矩陣，從而構(gòu)成矩陣23crank Qrank B AB12010 ,101TTqq3100Tq 1P 通過求逆，可得矩陣通過求逆，可得矩陣P P。 于是可計算于是可計算11,APAPBPB CCP100011210100000021ccccccxxuxxxyx線性定常系統(tǒng)能觀性結(jié)構(gòu)分解線性定常系統(tǒng)能觀性結(jié)構(gòu)分解 系統(tǒng)按能觀性的結(jié)構(gòu)分解的所有結(jié)論，都對偶于系統(tǒng)按能觀性的結(jié)構(gòu)分解的所有結(jié)論，都對偶于系統(tǒng)按能控性的結(jié)構(gòu)分解的結(jié)果。系統(tǒng)按能控性的結(jié)構(gòu)分解的結(jié)果。 對給定不完全能觀的線性定常系統(tǒng)對給定不完全能觀的線性定常系統(tǒng) 按如下算法求取系統(tǒng)的能觀性結(jié)構(gòu)分解。按如下算法求取系

8、統(tǒng)的能觀性結(jié)構(gòu)分解。xAxBuyCx算法（能觀性結(jié)構(gòu)分解的求?。┧惴ǎ苡^性結(jié)構(gòu)分解的求?。┝袑懴到y(tǒng)的能觀性判別矩陣列寫系統(tǒng)的能觀性判別矩陣 并計算并計算 。1onCCAQCAorank Ql3. 按下列方式構(gòu)成非奇異變換矩陣按下列方式構(gòu)成非奇異變換矩陣11,TllnFhh hh2. 在在 中任意選取中任意選取 個線性無關(guān)的行向量個線性無關(guān)的行向量 ， 再任取再任取 個行向量個行向量 ，使得，使得 線性無關(guān)。線性無關(guān)。oQl12,lh hh()n l1,lnhh11,llnhh hh4. 計算計算1,A FAF1,BFBCCF 定理定理2：對不完全能觀的系統(tǒng)，利用上述算法求：對不完全能觀的系統(tǒng)

9、，利用上述算法求取系統(tǒng)在線性非奇異變換取系統(tǒng)在線性非奇異變換 下的代數(shù)等價下的代數(shù)等價系統(tǒng)系統(tǒng) ，具有如下的能觀性分解的規(guī)范表，具有如下的能觀性分解的規(guī)范表達(dá)形式，即達(dá)形式，即( , A,)B CxFx0oooxyCxooxxooooxBuxB 0oA21oAA對系統(tǒng)的能觀性的結(jié)構(gòu)分解做幾點(diǎn)說明對系統(tǒng)的能觀性的結(jié)構(gòu)分解做幾點(diǎn)說明（1 1）在系統(tǒng)的能觀性分解中，系統(tǒng)被分解為完全能）在系統(tǒng)的能觀性分解中，系統(tǒng)被分解為完全能觀和完全不能觀的兩個子系統(tǒng)。觀和完全不能觀的兩個子系統(tǒng)。（2 2）能觀子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)等于整個系統(tǒng)的傳遞函）能觀子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)等于整個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，即數(shù)，即（3 3）從系統(tǒng)能

10、觀性分解的框圖中可以看出：系統(tǒng)的）從系統(tǒng)能觀性分解的框圖中可以看出：系統(tǒng)的輸出只與能觀子系統(tǒng)的狀態(tài)有關(guān)，而不能觀子系輸出只與能觀子系統(tǒng)的狀態(tài)有關(guān)，而不能觀子系統(tǒng)的狀態(tài)無法影響能觀子系統(tǒng)的狀態(tài)，因此，輸統(tǒng)的狀態(tài)無法影響能觀子系統(tǒng)的狀態(tài)，因此，輸出信號不能反映不能觀子系統(tǒng)的狀態(tài)信息。出信號不能反映不能觀子系統(tǒng)的狀態(tài)信息。oC11()()oosIABC sIAB 按能控性和能觀性分解按能控性和能觀性分解 對對n n維線性定常系統(tǒng)維線性定常系統(tǒng) 一般情況下，系統(tǒng)可能既不完全能控，也不完全能觀。設(shè)一般情況下，系統(tǒng)可能既不完全能控，也不完全能觀。設(shè)系統(tǒng)能控性判別矩陣的秩和能觀判別矩陣的秩分別為系統(tǒng)能控性判

11、別矩陣的秩和能觀判別矩陣的秩分別為xAxBuyCx12corank Qnnrank Qnn 通過線性非奇異變換可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的規(guī)范分解，其規(guī)范通過線性非奇異變換可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的規(guī)范分解，其規(guī)范分解的表達(dá)式為分解的表達(dá)式為132123244300000000000cocococococococococococococococococococoxxAABxxAAAABuxxAxxAAxxyCCxx 對系統(tǒng)的能控和能觀性結(jié)構(gòu)分解做幾點(diǎn)說明對系統(tǒng)的能控和能觀性結(jié)構(gòu)分解做幾點(diǎn)說明（1 1）在系統(tǒng)的規(guī)范型分解中，系統(tǒng)被分解為完全能控能觀、）在系統(tǒng)的規(guī)范型分解中，系統(tǒng)被分解為完全能控能觀、能控但不能觀、不能

12、控但能觀和不能控不能觀四個子系統(tǒng)。能控但不能觀、不能控但能觀和不能控不能觀四個子系統(tǒng)。（2 2）反映系統(tǒng)輸入輸出特性的傳遞函數(shù)矩陣只能反映系統(tǒng)中）反映系統(tǒng)輸入輸出特性的傳遞函數(shù)矩陣只能反映系統(tǒng)中能控且能觀的那個子系統(tǒng)的動態(tài)特性，即能控且能觀的那個子系統(tǒng)的動態(tài)特性，即（3 3）從系統(tǒng)能觀性分解的框圖中可以看出：對上述不完全能）從系統(tǒng)能觀性分解的框圖中可以看出：對上述不完全能控、不完全能觀系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)矩陣的描述只是對系統(tǒng)控、不完全能觀系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)矩陣的描述只是對系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的不完全描述。若在系統(tǒng)中添加或刪除不能控或不能結(jié)構(gòu)的不完全描述。若在系統(tǒng)中添加或刪除不能控或不能觀子系統(tǒng)，并不影響系統(tǒng)的傳

13、遞函數(shù)矩陣。所以說系統(tǒng)的觀子系統(tǒng)，并不影響系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。所以說系統(tǒng)的輸入輸出描述，只有對完全能控且完全能觀的系統(tǒng)，才是輸入輸出描述，只有對完全能控且完全能觀的系統(tǒng)，才是完全的描述。完全的描述。11( )()()cococoG sC sIABCsIAB 線性定常系統(tǒng)由線性定常系統(tǒng)由JordanJordan標(biāo)準(zhǔn)型的結(jié)構(gòu)分解標(biāo)準(zhǔn)型的結(jié)構(gòu)分解 若已將系統(tǒng)化為若已將系統(tǒng)化為JordanJordan標(biāo)準(zhǔn)型，然后按能控判別標(biāo)準(zhǔn)型，然后按能控判別法和能觀判別法各狀態(tài)變量的能控性和能觀性，法和能觀判別法各狀態(tài)變量的能控性和能觀性，最后按能控能觀、能控不能觀、不能控能觀和不最后按能控能觀、能控不能觀、不能控

14、能觀和不能控不能觀四種類型分別排列，也可進(jìn)行系統(tǒng)的能控不能觀四種類型分別排列，也可進(jìn)行系統(tǒng)的規(guī)范分解。規(guī)范分解。例：給定系統(tǒng)的例：給定系統(tǒng)的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型為標(biāo)準(zhǔn)型為11223344556677881233110357341400046111000159120500 xxxxxxxxuxxxxxxxxyy3050036100071421x根據(jù)根據(jù)Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的能控能觀性的判別準(zhǔn)則，可標(biāo)準(zhǔn)型的能控能觀性的判別準(zhǔn)則，可以判定：以判定：能控狀態(tài)變量為：能控狀態(tài)變量為：不能控狀態(tài)變量為：不能控狀態(tài)變量為：能觀測狀態(tài)變量為：能觀測狀態(tài)變量為：1.1. 不能觀狀態(tài)變量為：不能觀狀態(tài)變量為：12357,x x x x x468,x x x12478,x x x x x356,x x x寫成分狀態(tài)的形式為寫成分狀態(tài)的形式為13426587,cocococoxxxxxxxxxxxx 按此順序重新排列系數(shù)矩陣按此順序重新排列系數(shù)矩陣A A，B