2020學(xué)年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（新課標(biāo)Ⅱ）數(shù)學(xué)文

1、2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(新課標(biāo))數(shù)學(xué)文一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出四個(gè)選項(xiàng)，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.1. 已知集合A=1，2，3，B=x|x29，則AB=()A.-2，-1，0，1，2，3B.-2，-1，0，1，2C.1，2，3D.1，2解析：集合A=1，2，3，B=x|x29=x|-3x3，AB=1，2.答案：D.2. 設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z+i=3-i，則=()A.-1+2iB.1-2iC.3+2iD.3-2i解析：根據(jù)已知求出復(fù)數(shù)z，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義，可得答案.復(fù)數(shù)z滿足z+i=3-i，z=3-2i，=3+2i，答案：C3. 函數(shù)y=Asin(x+)

2、的部分圖象如圖所示，則()A.y=2sin(2x-)B.y=2sin(2x-)C.y=2sin(x+)D.y=2sin(x+)解析：由圖可得：函數(shù)的最大值為2，最小值為-2，故A=2，故T=，=2，故y=2sin(2x+)，將(，2)代入可得：2sin(+)=2，則= 滿足要求，故y=2sin(2x -).答案：A.4. 體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球面的表面積為()A.12B.C.8D.4解析：正方體體積為8，可知其邊長(zhǎng)為2，正方體的體對(duì)角線為，即為球的直徑，所以半徑為，所以球的表面積為.答案：A.5. 設(shè)F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，曲線(k0)與C交于點(diǎn)P，PFx軸，則k

3、=()A.B.1C.D.2解析：根據(jù)已知，結(jié)合拋物線的性質(zhì)，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，再由反比例函數(shù)的性質(zhì)，可得k值.拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)F為(1，0)，曲線(k0)與C交于點(diǎn)P在第一象限，由PFx軸得：P點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，代入C得：P點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，故k=2.答案：D6. 圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1，則a=()A.B.C.D.2解析：圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心坐標(biāo)為：(1，4)，故圓心到直線ax+y-1=0的距離，解得：.答案：A.7. 如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A.20B.24C.28D.32解析：由

4、三視圖知，空間幾何體是一個(gè)組合體，上面是一個(gè)圓錐，圓錐的底面直徑是4，圓錐的高是2，在軸截面中圓錐的母線長(zhǎng)是，圓錐的側(cè)面積是×2×4=8，下面是一個(gè)圓柱，圓柱的底面直徑是4，圓柱的高是4，圓柱表現(xiàn)出來(lái)的表面積是×22+2×2×4=20空間組合體的表面積是28.答案：C.8. 某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒.若一名行人來(lái)到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為()A.B.C.D.解析：紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒，至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈，一名行人前25秒來(lái)到該路口遇到紅燈，至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠

5、燈的概率為.答案：B.9. 中國(guó)古代有計(jì)算多項(xiàng)式值的秦九韶算法，如圖是實(shí)現(xiàn)該算法的程序框圖.執(zhí)行該程序框圖，若輸入的x=2，n=2，依次輸入的a為2，2，5，則輸出的s=()A.7B.12C.17D.34解析：根據(jù)已知的程序框圖可得，該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量S的值，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，可得答案.輸入的x=2，n=2，當(dāng)輸入的a為2時(shí)，S=2，k=1，不滿足退出循環(huán)的條件；當(dāng)再次輸入的a為2時(shí)，S=6，k=2，不滿足退出循環(huán)的條件；當(dāng)輸入的a為5時(shí)，S=17，k=3，滿足退出循環(huán)的條件；故輸出的S值為17.答案：C10. 下列函數(shù)中，其定義域和值域分別與函數(shù)y=10lgx的定義域

6、和值域相同的是()A.y=xB.y=lgxC.y=2xD.解析：函數(shù)y=10lgx的定義域和值域均為(0，+)，函數(shù)y=x的定義域和值域均為R，不滿足要求；函數(shù)y=lgx的定義域?yàn)?0，+)，值域?yàn)镽，不滿足要求；函數(shù)y=2x的定義域?yàn)镽，值域?yàn)镽(0，+)，不滿足要求；函數(shù)的定義域和值域均為(0，+)，滿足要求.答案：D11. 函數(shù)f(x)=cos2x+6cos(-x)的最大值為()A.4B.5C.6D.7解析：運(yùn)用二倍角的余弦公式和誘導(dǎo)公式，可得y=1-2sin2x+6sinx，令t=sinx(-1t1)，可得函數(shù)y=-2t2+6t+1，配方，結(jié)合二次函數(shù)的最值的求法，以及正弦函數(shù)的值域即

7、可得到所求最大值.函數(shù)f(x)=cos2x+6cos(-x)=1-2sin2x+6sinx，令t=sinx(-1t1)，可得函數(shù)，由-1，1，可得函數(shù)在-1，1遞增，即有t=1即x=2k+，kZ時(shí)，函數(shù)取得最大值5.答案：B.12. 已知函數(shù)f(x)(xR)滿足f(x)=f(2-x)，若函數(shù)y=|x2-2x-3|與 y=f(x) 圖象的交點(diǎn)為(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，則 ()A.0B.mC.2mD.4m解析：函數(shù)f(x)(xR)滿足f(x)=f(2-x)，故函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，函數(shù)y=|x2-2x-3|的圖象也關(guān)于直線x=1對(duì)稱，故函數(shù)y=|x2-2x-

8、3|與 y=f(x) 圖象的交點(diǎn)也關(guān)于直線x=1對(duì)稱，故.答案：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分.13. 已知向量=(m，4)，=(3，-2)，且，則m= .解析：直接利用向量共線的充要條件列出方程求解即可.向量=(m，4)，=(3，-2)，且，可得12=-2m，解得m=-6.答案：-6.14. 若x，y滿足約束條件，則z=x-2y的最小值為 .解析：由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得B(3，4).化目標(biāo)函數(shù)z=x-2y為，由圖可知，當(dāng)直線過(guò)B(3，4)時(shí)，直線在y軸上的截距最大，z有最小值為：3-2×4=-5.答案：-5.15. ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c

9、，若cosA=，cosC=，a=1，則b= .解析：運(yùn)用同角的平方關(guān)系可得sinA，sinC，再由誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式，可得sinB，運(yùn)用正弦定理可得，代入計(jì)算即可得到所求值.由cosA=，cosC=，可得，由正弦定理可得.答案：.16. 有三張卡片，分別寫(xiě)有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說(shuō)：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說(shuō)：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說(shuō)：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是 .解析：根據(jù)丙的說(shuō)法知，丙的卡片上寫(xiě)著1和2，或1和3；(1)若丙的卡片上寫(xiě)著1和2，根據(jù)乙的說(shuō)法知，乙的卡

10、片上寫(xiě)著2和3；根據(jù)甲的說(shuō)法知，甲的卡片上寫(xiě)著1和3；(2)若丙的卡片上寫(xiě)著1和3，根據(jù)乙的說(shuō)法知，乙的卡片上寫(xiě)著2和3；又甲說(shuō)，“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”；甲的卡片上寫(xiě)的數(shù)字不是1和2，這與已知矛盾；甲的卡片上的數(shù)字是1和3.答案：1和3.三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17. 等差數(shù)列an中，a3+a4=4，a5+a7=6.()求an的通項(xiàng)公式.解析：()設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，根據(jù)已知構(gòu)造關(guān)于首項(xiàng)和公差方程組，解得答案.答案：()設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，a3+a4=4，a5+a7=6.，解得：，.()設(shè)bn=an，求數(shù)列bn的前10項(xiàng)和，其中x表示不超過(guò)x

11、的最大整數(shù)，如0.9=0，2.6=2.解析：()根據(jù)bn=an，列出數(shù)列bn的前10項(xiàng)，相加可得答案.答案：()bn=an，b1=b2=b3=1，b4=b5=2，b6=b7=b8=3，b9=b10=4.故數(shù)列bn的前10項(xiàng)和S10=3×1+2×2+3×3+2×4=24.18. 某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位：元)，繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況，得到如下統(tǒng)計(jì)表：()記A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”.求P(A)的估計(jì)值.解析：()求出A為事件

12、：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”的人數(shù).總事件人數(shù)，即可求P(A)的估計(jì)值.答案：()記A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”.事件A的人數(shù)為：60+50=110，該險(xiǎn)種的200名續(xù)保，P(A)的估計(jì)值為：.()記B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%”.求P(B)的估計(jì)值.解析：()求出B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%”的人數(shù).然后求P(B)的估計(jì)值.答案：()記B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%”.事件B的人數(shù)為：30+30=60，P(B)的估計(jì)值為：.()求續(xù)保人本

13、年度的平均保費(fèi)估計(jì)值.解析：()利用人數(shù)與保費(fèi)乘積的和除以總續(xù)保人數(shù)，可得本年度的平均保費(fèi)估計(jì)值.答案：()續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)估計(jì)值為.19. 如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于點(diǎn)H，將DEF沿EF折到DEF的位置.()證明：ACHD.解析：()根據(jù)直線平行的性質(zhì)以及線面垂直的判定定理先證明EF平面DDH即可.答案：()菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別在AD，CD上，AE=CF，EFAC，且EFBD，又DHEF，DHDH=H，EF平面DDH，HD平面DHD，EFHD，EFAC，ACHD.()若AB=5，AC

14、=6，AE=，OD=2，求五棱錐D-ABCFE體積.解析：()根據(jù)條件求出底面五邊形的面積，結(jié)合平行線段的性質(zhì)證明OD是五棱錐D-ABCFE的高，即可得到結(jié)論.答案：()若AB=5，AC=6，則AO=3，B0=OD=4，AE=，AD=AB=5，EFAC，EH=，EF=2EH=，DH=3，OH=4-3=1，HD=DH=3，OD=2，滿足HD2=OD2+OH2，則OHD為直角三角形，且ODOH，即OD底面ABCD，即OD是五棱錐D-ABCFE的高.底面五邊形的面積，則五棱錐D-ABCFE體積.20. 已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).()當(dāng)a=4時(shí)，求曲線y=f(x)在(1，f(1

15、)處的切線方程.解析：()當(dāng)a=4時(shí)，求出曲線y=f(x)在(1，f(1)處的切線的斜率，即可求出切線方程.答案：()當(dāng)a=4時(shí)，f(x)=(x+1)lnx-4(x-1).f(1)=0，即點(diǎn)為(1，0)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則f(1)=ln1+2-4=2-4=-2，即函數(shù)的切線斜率k=f(1)=-2，則曲線y=f(x)在(1，0)處的切線方程為y=-2(x-1)=-2x+2.()若當(dāng)x(1，+)時(shí)，f(x)0，求a的取值范圍.解析：()先求出f(x)f(1)=2-a，再結(jié)合條件，分類討論，即可求a的取值范圍.答案：()f(x)=(x+1)lnx-a(x-1)，x1，f(x)0，f(x)在(1，+)上單

16、調(diào)遞增，f(x)f(1)=2-a.a2，f(x)f(1)0，f(x)在(1，+)上單調(diào)遞增，f(x)f(1)=0，滿足題意；a2，存在x0(1，+)，f(x0)=0，函數(shù)f(x)在(1，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，+)上單調(diào)遞增，由f(1)=0，可得存在x0(1，+)，f(x0)0，不合題意.綜上所述，a2.21. 已知A是橢圓E：的左頂點(diǎn)，斜率為k(k0)的直線交E與A，M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MANA.()當(dāng)|AM|=|AN|時(shí)，求AMN的面積.解析：()依題意知橢圓E的左頂點(diǎn)A(-2，0)，由|AM|=|AN|，且MANA，可知AMN為等腰直角三角形，設(shè)M(a-2，a)，利用點(diǎn)M在E上，可得

17、3(a-2)2+4a2=12，解得：a=，從而可求AMN的面積.答案：()由橢圓E的方程：知，其左頂點(diǎn)A(-2，0)，|AM|=|AN|，且MANA，AMN為等腰直角三角形，MNx軸，設(shè)M的縱坐標(biāo)為a，則M(a-2，a)，點(diǎn)M在E上，3(a-2)2+4a2=12，整理得：7a2-12a=0，a=或a=0(舍)， .()當(dāng)2|AM|=|AN|時(shí)，證明：k2.解析：()設(shè)直線lAM的方程為：y=k(x+2)，直線lAN的方程為：，聯(lián)立消去y，得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0，利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式可分別求得，結(jié)合2|AM|=|AN|，可得，整理后，構(gòu)造函數(shù)f(k)=4k3-6k

18、2+3k-8，利用導(dǎo)數(shù)法可判斷其單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可證得結(jié)論成立.答案： ()設(shè)直線lAM的方程為：y=k(x+2)，直線lAN的方程為：，由消去y得：(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0，.k0，又2|AM|=|AN|，整理得：4k3-6k2+3k-8=0，設(shè)f(k)=4k3-6k2+3k-8，則f(k)=12k2-12k+3=3(2k-1)20，f(k)=4k3-6k2+3k-8為(0，+)的增函數(shù)，又，f(2)=4×8-6×4+3×2-8=60，k2.請(qǐng)考生在第2224題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.選修4-1：幾何

19、證明選講22. 如圖，在正方形ABCD中，E，G分別在邊DA，DC上(不與端點(diǎn)重合)，且DE=DG，過(guò)D點(diǎn)作DFCE，垂足為F.()證明：B，C，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓.解析：()證明B，C，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓可證明四邊形BCGF對(duì)角互補(bǔ)，由已知條件可知BCD=90°，因此問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為證明GFB=90°.答案：()DFCE，RtDFCRtEDC，DE=DG，CD=BC，又GDF=DEF=BCF，GDFBCF，CFB=DFG，GFB=GFC+CFB=GFC+DFG=DFC=90°，GFB+GCB=180°，B，C，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓.()若AB=1，E為DA的中點(diǎn)，求四邊形BCGF的面積.解析：()在RtDFC中，GF=CD=GC，因此可得GFBGCB，則S四邊形BCGF=2SBCG，據(jù)此解答.答案：()E為AD中點(diǎn)，AB=1，DG=CG=DE=，在RtDFC中，GF=CD=GC，連接GB，RtBCGRtBFG，.選項(xiàng)4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程23. 在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為(x+6)2+y2=25.()以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程.解析：()把