向量的幾何意義

1、向量的幾何意義 向量的概念始終貫穿當(dāng)代科學(xué)的主要內(nèi)容中，也始終貫穿線(xiàn)性代數(shù)的主要內(nèi)容中，所以我們不妨回顧回顧這個(gè)概念的幾何意義，以期更清晰地理解線(xiàn)性代數(shù)的幾何本質(zhì)。 2.1 向量概念的幾何意義 自由向量的概念向量（Vector）和標(biāo)量的概念是發(fā)明四元數(shù)的愛(ài)爾蘭數(shù)學(xué)家W。R。哈密爾頓給出的。向量是一個(gè)既有大小又有方向的量，這個(gè)量本身就是個(gè)幾何的概念。我們常常把它與標(biāo)量（只有大小的量）相區(qū)別。抓住向量的大小和方向這兩個(gè)特征，一般用一個(gè)有向線(xiàn)段來(lái)表示一個(gè)向量(顯然，向量本身就是一個(gè)幾何圖形)，記為ABuuur或者。如下圖： 在物理學(xué)中，也把向量叫矢量，矢就是箭，向量如一根箭一樣有頭部和尾部，箭在空間

2、自由的飛行中箭桿的長(zhǎng)度不會(huì)變，這一點(diǎn)與向量相同；但箭在重力的作用下會(huì)改變方向，但一個(gè)確定的向量不允許改變方向，一個(gè)向量改變了方向就變成了另外一個(gè)向量了。所以向量的“飛行”稱(chēng)為平移，這種在一條直線(xiàn)上平移的向量稱(chēng)為自由向量（物理學(xué)中常稱(chēng)為滑動(dòng)向量）。 0 沿著直線(xiàn)飛行的箭簇在每一時(shí)刻所表示的無(wú)數(shù)向量歸屬于同一個(gè)向量，這些無(wú)數(shù)的向量實(shí)際上是平行的向量。另外還有不在一條直線(xiàn)上的平行而相等的向量，如下的例子： 考察一個(gè)剛體的平行移動(dòng)。當(dāng)剛體從一個(gè)位置平行移動(dòng)到另一個(gè)位置時(shí)（比如說(shuō)這個(gè)剛體是麥吉小姐過(guò)河坐的小船，小船從河流的一邊駛向?qū)Π叮?，剛體上各質(zhì)點(diǎn)在同一時(shí)間段內(nèi)有相同的位移，各點(diǎn)所畫(huà)出的位移向量a有相

3、同的大小和方向，他們每一個(gè)都反映了剛體位移的情況，因此剛體的平移運(yùn)動(dòng)可以用這些向量中的任一個(gè)來(lái)表示?；谶@樣的原因，凡是兩個(gè)向量大小相等、方向相同的，我們就說(shuō)這兩個(gè)向量是相等的。因此，一個(gè)向量在保持長(zhǎng)度和方向不變的條件下可以自由平移。如有必要，也可以將幾個(gè)向量平移到同一個(gè)出發(fā)點(diǎn)或者坐標(biāo)原點(diǎn)。 a水流速度向量船速向量aaa 從上面的例子，我們感悟到自由向量為何可以是自由的。實(shí)際上，就是因?yàn)橄蛄繘](méi)有確定的位置，它們不依賴(lài)于任何坐標(biāo)系而存在。因此從邏輯上看，無(wú)數(shù)的向量可能有相同的表述，所有的這些向量都互相平行，相等，并具有相同的量值和方向。 向量的數(shù)學(xué)表示向量的數(shù)學(xué)表示一般是用小寫(xiě)的黑體字母a、b、

4、c等表示。當(dāng)手寫(xiě)時(shí)因?yàn)楹隗w的粗筆畫(huà)書(shū)寫(xiě)不方便，因此常在字母上面加上箭頭來(lái)與其它字母區(qū)別，如ar、cr。 以上的表示不便計(jì)算，如何對(duì)向量象數(shù)字一樣進(jìn)行運(yùn)算呢？ 因?yàn)樵跀?shù)學(xué)學(xué)科中，向量被處理為自由向量，為了與解析技術(shù)所用的坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)，我們把空間中所有的向量的尾部都拉到坐標(biāo)原點(diǎn)，這樣N維點(diǎn)空間可以與N維向量空間建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系：N維點(diǎn)空間中點(diǎn)(0，0，00)取作原點(diǎn)，那么每一個(gè)點(diǎn)都可以讓一個(gè)向量和它對(duì)應(yīng)，這個(gè)向量就是從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)到這個(gè)點(diǎn)為止的向量。 注： 向量被看作線(xiàn)性空間或向量空間中的一個(gè)元素。但向量與點(diǎn)不同，向量表示的是兩點(diǎn)之間的位移而不是空間中的物理位置；向量還可以確定方向，而一個(gè)點(diǎn)就不能

5、。 其實(shí)，一旦我們確定好一個(gè)坐標(biāo)系，一個(gè)向量就與一個(gè)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，而點(diǎn)用所謂坐標(biāo)的有序數(shù)組表示的，因此我們就也可以把向量用有序數(shù)組表示。有了有序數(shù)組就可以運(yùn)算了。使用有序數(shù)組或者解析式表述的向量是把以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量末端的坐標(biāo)值表示，并把坐標(biāo)值用圓括號(hào)括起來(lái)，如(,)xyz=v。在這里這個(gè)有序數(shù)組(,)xyz稱(chēng)之為向量。 在二維平面上，由原點(diǎn)引出的向量用兩個(gè)有序?qū)崝?shù)表示；在三維空間中，由三個(gè)有序數(shù)表示三維向量。那么n維向量就可以由以上二維和三維向量的定義推廣得到。雖然n維向量的幾何意義難以想象，但其現(xiàn)實(shí)意義我們還是可以把握的。比如，在三維空間中，我們只要知道一個(gè)球的球心位置和半徑的大小就可以確定這

6、個(gè)球面。把球心坐標(biāo)和半徑值寫(xiě)成有序數(shù)組，我們就得到了一個(gè)四維向量。 321-1-2 一個(gè)向量可以被分解為三個(gè)單位坐標(biāo)向量的線(xiàn)性表示（實(shí)際上這個(gè)概念很重要，在今后的向量的運(yùn)算和矩陣運(yùn)算理解中起著關(guān)鍵作用）。例如向量(分解如下： 1,1,1) (1,1,1)(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)=+=+ijk 如下圖，把單位坐標(biāo)向量,ijk分別首尾連接相加，就得到了的圖像。 (1,1,1) 那么，任意一個(gè)向量(,)xyz=v就可以表示為(,)xyzxyz=+vijk，即單位坐標(biāo)向量的線(xiàn)性表示。顯然，分別對(duì)單位坐標(biāo)向量進(jìn)行縮放,xyz倍然后相加，就得到了這個(gè)向量(,)xyz的圖像。和上圖相似，我

7、們就可以得到了如下的任意一個(gè)向量的分解圖像。 向量的運(yùn)算有加法、減法和乘法，乘法有三種，但沒(méi)有除法。下面我們分別介紹這些運(yùn)算的細(xì)節(jié)。 2.2 向量的加法的幾何及物理意義設(shè)兩個(gè)向量a和b，它們的二維分量解析式為(,)xyaaa=，(,)xybbb=；三維分量的解析表達(dá)式為(,)xyzaaaa=，(,)xyzbbbb=。則我們定義這兩個(gè)向量的加法為(, xxyyabab+ab=，或者(, xxyyzzababab+ab=。向量加法的定義看起來(lái)很簡(jiǎn)單，就是兩個(gè)向量的各分量分別對(duì)應(yīng)相加形成了和向量的分量。 那么的幾何意義是什么呢？請(qǐng)看下面二維向量的圖解。 =+cab 這個(gè)圖形可以這樣解讀，表示向量b的

8、分量的矩形被放到表示向量a的分量的矩形上面，a向量矩形的尾端A連接上b向量分量矩形的頭端A。疊加后矩形的頂端C就是和向量的尾端。 連接BC，AC后，就是平行四邊形的法則的幾何解釋。 當(dāng)然，如果把向量b平移（平行移動(dòng)）到AC的位置，與向量a的尾部相接，就是三角形的法則。 線(xiàn)性代數(shù)的幾何意義 abcb'yxCBAobybxaxay 向量的所謂三角形或平行四邊形法則不是人們憑空想當(dāng)然的數(shù)學(xué)規(guī)定，而是從物理世界中抽象出來(lái)的向量運(yùn)算法則。比如我們前面提到的船只過(guò)河的例子，船頭指向的方向是船的馬力驅(qū)動(dòng)得到的位移為MotorS（不考慮水流影響），水流的方向是水的沖擊力對(duì)船造成的位移（不考慮船的馬力影

9、響），那么，實(shí)際情況是船的真正位移是一條斜線(xiàn)，這條斜線(xiàn)就是WaterSBoatSMotorS和的合成。它們的合成關(guān)系就是平行四邊形的關(guān)系。 WaterS如果水的流速和船的馬力不變，其中三個(gè)時(shí)刻（任意）的位移的合成圖圖下： 8642510VMotorVWater0S3boatS2waterS2motorS1motorS3waterS3motorS1waterS2boatS1boat 如如果水的流速不變，但在第二時(shí)刻和第三時(shí)刻船的馬力逐步變大，那么三個(gè)時(shí)刻（任意）的位移的合成圖圖下： = 第 6 頁(yè)， 共 38 頁(yè) 6425100S1boatS2boatS3boatS2waterS2motorS1

10、motorS3waterS3motorS1water 兩個(gè)向量的加法叫做三角形法或者平行四邊形法，那么多個(gè)向量的加法同樣也滿(mǎn)足這些法則，并可以由三角形法則得到多個(gè)向量的多邊形法則。下邊我們畫(huà)出多個(gè)向量的加法和減法的圖例。 abcda+b+c+da+ba+b+co 上圖左是把a(bǔ)，b，c，d四個(gè)向量按照三角形法則相加的圖例，在圖中，我們把a(bǔ)，b，c，d四個(gè)向量依次首尾相接，直到畫(huà)完所有向量，最后只是把第一個(gè)向量的尾部o指向最后一個(gè)向量的首部P畫(huà)出的向量就是4個(gè)向量的和。這個(gè)畫(huà)法可以稱(chēng)作多向量的多邊形加法法則。 多邊形法則很容易從三角形法則推導(dǎo)出來(lái)，上圖右中虛線(xiàn)向量即是應(yīng)用三角形的向量法則畫(huà)出線(xiàn)性代

11、數(shù)的幾何意義 了中間向量逐次相加的結(jié)果，最后推出了左圖的多邊形法則。 多變形法則體現(xiàn)在船只過(guò)河的例子就是把船的每時(shí)刻的位移進(jìn)行合成，就得到如下圖所示： 8642510Sboat0S1boatS2boatS3boatS2waterS2motorS1motorS3waterS3motorS1water 多向量加法的數(shù)學(xué)本質(zhì)，實(shí)際上是這些向量在坐標(biāo)軸上（以0點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的坐標(biāo)系）的投影（或坐標(biāo)分量）的合成（相加或相減）后的結(jié)果。向量的更高一級(jí)的運(yùn)算如點(diǎn)積、叉積的定義也是這個(gè)數(shù)學(xué)本質(zhì)的體現(xiàn)。 關(guān)于減法，實(shí)際上是加法的特殊形式，是加法的逆運(yùn)算。向量減法，我們可以用定義加法的方式定義減法，例如定義，只要把

12、被減向量b反向后再與向量a相加即可。實(shí)際上在平行四邊形法則中，和向量和差向量構(gòu)成平行四邊形的兩個(gè)對(duì)角線(xiàn)。 (=+cabab abcc'CBAo aa+b+c+dbcda-b-c-do 三維向量的加法。 = 第 8 頁(yè)， 共 38 頁(yè) 線(xiàn)性代數(shù)的幾何意義 2.3 向量的內(nèi)積的幾何和物理意義向量的內(nèi)積的幾何解釋 向量的內(nèi)積也叫數(shù)量積、標(biāo)積、點(diǎn)積（點(diǎn)積的名稱(chēng)來(lái)自于內(nèi)積的計(jì)算符號(hào)）等，都是一個(gè)意思，就是內(nèi)積的結(jié)果是個(gè)數(shù)量或者標(biāo)量。內(nèi)積的定義有兩個(gè)，下面我們把它們列舉出來(lái)并探討一下它們的關(guān)系。 bacosab=ab。1 xxyyzababab=+ab 。2 公式1是說(shuō)，向量a和b的長(zhǎng)度之積再乘以

13、它們之間的夾角的余弦； 公式2的意思是向量a和b的坐標(biāo)分量分別對(duì)應(yīng)乘積的和。 定義內(nèi)積有很多好處，除了物理上的直接應(yīng)用外，至少我們可以應(yīng)用這個(gè)定義（公式2）去計(jì)算一個(gè)向量的長(zhǎng)度（在已知它的坐標(biāo)時(shí)）。比如我們求向量a的長(zhǎng)度： 22 xxyyzzxyaaaaaaaaaa=+=+aa 。 這兩個(gè)公式有關(guān)系嗎？當(dāng)然有： 假設(shè)我們選一個(gè)這樣的坐標(biāo)系，x軸沿向量a的方向，那么xa=，則公式a0yzaa=xxyyzz =， xab就是a的長(zhǎng)度乘以b在a方向上的分量，這個(gè)分量就是b在a上的投影，因此公式cosab=ab得證（如果它對(duì)一個(gè)坐標(biāo)系成立，則對(duì)所有的坐標(biāo)系都成立）。 abDCOAB 因此，向量?jī)?nèi)積的幾

14、何解釋就是一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影的積，也就是同方向的積。 特別的，如果一個(gè)向量如a是某個(gè)坐標(biāo)軸的單位坐標(biāo)向量，那么，兩個(gè)向量的內(nèi)積就是向量b在此坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)值。這個(gè)結(jié)論非常重要，這是傅立葉分析的理論基礎(chǔ)。 ba另外，對(duì)兩個(gè)向量?jī)?nèi)積的投影的幾何意義可以得到其他的幾何解釋?zhuān)@些解釋在應(yīng)用上就顯得比較直觀。比如，從內(nèi)積數(shù)值上我們可以看出兩個(gè)向量的在方向上的接近程度。當(dāng)內(nèi)積值為正值時(shí)，兩個(gè)向量大致指向相同的方向（方向夾角小于90度）；當(dāng)內(nèi)積值為負(fù)值時(shí)，兩個(gè)向量大致指向相反 = 第 9 頁(yè)， 共 38 頁(yè) 的方向（方向角大于90度）；當(dāng)內(nèi)積值為0時(shí)，兩個(gè)向量互相垂直（這個(gè)性質(zhì)經(jīng)常在向量幾何中作為

15、判斷直線(xiàn)與直線(xiàn)是否垂直）?；\統(tǒng)說(shuō)來(lái)，內(nèi)積值越大，兩個(gè)向量的在方向上的就越接近，內(nèi)積值越小，兩個(gè)向量的在方向上的就越相反。 上圖中，向量a與向量b1方向相近，內(nèi)積為正；a與b2方向垂直，內(nèi)積為0；a與b3方向大致相反，內(nèi)積為負(fù)。 向量的內(nèi)積的物理解釋向量?jī)?nèi)積的物理應(yīng)用或者說(shuō)物理意義很多，生活中我們也需要內(nèi)積計(jì)算。比如我上周購(gòu)買(mǎi)的食物的價(jià)格向量是P=（蔬菜2元/斤，大米1。5元/斤，豬肉5元/斤，啤酒3元/瓶），消耗的數(shù)量向量為d=（3。5斤，5斤，2斤，3瓶）；那么我上周的飲食消費(fèi)就是向量P和d的內(nèi)積： (2,1.5,5,3)(3.5,5,2,3)77.510933.5=+=pd元。 另外內(nèi)積的

16、一個(gè)經(jīng)典例子就是當(dāng)一個(gè)物體從某處被拉到另一處的所做的功，下面我們把這個(gè)做功的圖畫(huà)出來(lái)來(lái)印證以上內(nèi)積兩大公式的一致性。 我們假設(shè)是在一個(gè)斜坡上用力F斜上拉一個(gè)物體，位移為S（沒(méi)有重力的情況下）。那么這個(gè)力F所作的功為（分量的分解見(jiàn)圖左）： yyxxWSFSF+= 另外，我們也可以把力F沿著S的方向和垂直S的方向（按照?qǐng)D右所示）進(jìn)行分解，那么這個(gè)力F所作的功又可表示為 cosFSSF=sW FFxFySSxSyYXFSYXFsOO 由此，我們從物理原理上印證了內(nèi)積兩大公式的一致性。 向量的內(nèi)積兩個(gè)定義的關(guān)系的數(shù)學(xué)推導(dǎo)下面我們對(duì)內(nèi)積的定義進(jìn)行推導(dǎo)來(lái)幫助大家確信這種關(guān)系： 設(shè)O，P，Q為空間的三點(diǎn)，令

17、，夾角為，如圖。 xyz0PQ 內(nèi)積概念直觀圖 由余弦定理知，2222cos=+ （1） 再設(shè) ()()()111222121212=x,y,zx,y,zx-x,y-y,z-z= 代入上（1）式得： 線(xiàn)性代數(shù)的幾何意義 ()()()222222222121212111222xxyyzzxy+z+xy+z2cos+=+ 即121212xxyyzzcos+= （2） 這樣，對(duì)向量，就有唯一確定的實(shí)數(shù)cos 與之對(duì)應(yīng)。即得到以，為自變量的二元函數(shù)，記作（，），稱(chēng)作，的內(nèi)積。 向量的內(nèi)積與正交變換定理1設(shè)是V (歐式空間)的一個(gè)變換。若對(duì)任意向量Va,b，都有 ()()+=+aba 則是V的一個(gè)正交變

18、換。 這個(gè)定理我們不證明，其幾何意義如何理解呢？幾何意義是“保持以V中任意兩個(gè)向量為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)之長(zhǎng)不變”。圖示如下： 定理2設(shè)是V的一個(gè)變換。如果既是保長(zhǎng)度變換又是保夾角變換，那么必為正交變換。證明如下： 設(shè) , ，當(dāng)0 時(shí)，由 (),() =， (),(),()()=， 得 (),(),= 即保持了變換的內(nèi)積不變，因而是線(xiàn)性的，或正交變換。 如果V的一個(gè)變換既是保長(zhǎng)度變換又是保夾角變換(即保持V中任二非零向量間的夾角不變)，那么就應(yīng)該保對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)，從而是一個(gè)正交變換，以上證明事實(shí)正是這樣。 = 第 12 頁(yè)， 共 38 頁(yè) 正交（orthogonal）是直觀概念中垂直的推廣。作為

19、一個(gè)形容詞，只有在一個(gè)確定的內(nèi)積空間中才有意義。若內(nèi)積空間中兩向量的內(nèi)積為0，則稱(chēng)它們是正交的。如果能夠定義向量間的夾角，則正交可以直觀的理解為垂直。物理中：運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性，也可以用正交來(lái)解釋。 2.4 向量的外積的幾何和物理意義叉積的定義及其幾何解釋 向量的外積（Cross product）也譯作叉積（同點(diǎn)積類(lèi)似，此名稱(chēng)也來(lái)自于外積的計(jì)算符號(hào)a x b），因?yàn)椴娣e會(huì)產(chǎn)生。新的一維，兩個(gè)向量確定了一個(gè)二維的平面，叉積又會(huì)產(chǎn)生垂直于這個(gè)平面的向量，因此外積的概念只能應(yīng)用于3維和三維以上的向量空間。叉積的定義也有兩個(gè)，下面我們把它們列舉出來(lái)并探討一下它們的關(guān)系。 設(shè)三維空間中的兩個(gè)向量為(,)xyz

20、aaa=a，(,)xyzbbb=b，則 ×ab= 1 ×ab sinabN=（其中N是垂直于a 和 b展成的平面的單位向量）2 公式1是用向量的三維坐標(biāo)值表述的解析式。這個(gè)公式表面含義是叉積c的x軸的分量是yzzabab ，y軸的分量是，z軸的分量是zxxzababxyyabab 。顯然，叉積c的x方向的分量是向量a 和 b在yoz平面上的分量計(jì)算出來(lái)；類(lèi)似的，c的y方向的分量是向量a 和 b在xoz平面上的分量計(jì)算出來(lái)，c的z方向的分量是向量a 和 b在xoy平面上的分量計(jì)算出來(lái)的。實(shí)際上，叉積的這三個(gè)分向量分別又是三個(gè)叉積向量。為什么是這樣的呢？后面的物理意義解析會(huì)告訴

21、你原因。 公式2是叉積幾何意義的定義式。×ab為一個(gè)新生成的向量，這個(gè)向量垂直于a 和 b展成的平面（圖中的虛線(xiàn)平行四邊形，由線(xiàn)段和所確定的平面）；同樣向量也垂直這個(gè)平面，但方向與所指的方向相反，即0a0b×ba×ab×=×baab。 abaxb-axb(bxa)0 我們可以用右手法則來(lái)幫助記憶這個(gè)定義，右手的大拇指指向向量a x b的方向，則彎曲的四指則指向向量a 和 b叉乘的順序：從向量a沿著a 和 b間較小夾角轉(zhuǎn)向向量b。反過(guò)來(lái)，如果已知兩個(gè)向量進(jìn)行叉乘，那么用右手法則則可以知道這兩個(gè)向量叉乘出來(lái)的向量的方向。 線(xiàn)性代數(shù)的幾何意義 叉積的

22、物理意義叉乘的定義看起來(lái)有點(diǎn)怪，大家可能感覺(jué)到，叉積向量好像不是太真實(shí)似的，特別是方向定義的顯然是人為的。實(shí)際上叉積這種向量與前面介紹的向量確實(shí)不同，所以在物理學(xué)中又被稱(chēng)為贗向量或軸向量。 但這個(gè)定義也是從物理應(yīng)用方面得來(lái)的。舉一個(gè)例子：知道陀螺的原理嗎？高速旋轉(zhuǎn)的陀螺會(huì)定向。陀螺所定義的方向就是矢徑向量rr和線(xiàn)速度vr叉乘結(jié)果角速度ur方向。類(lèi)似的一個(gè)例子是螺釘，螺釘只要左右向旋轉(zhuǎn)即可在螺孔中前進(jìn)或者后退。用螺絲刀把這棵螺釘按照F+的方向右旋，那么旋轉(zhuǎn)時(shí)的扭力向量Fur和矢徑向量rr這兩個(gè)叉乘的結(jié)果即是力矩Muur的方向，這棵螺釘就會(huì)沿著力矩Muur在螺母孔內(nèi)前進(jìn)，反方向就會(huì)改變叉積的方向進(jìn)

23、而退出螺孔（右螺旋螺釘）。也就是力矩或叉乘向量的方向就是螺釘?shù)穆菪斑M(jìn)的方向，這個(gè)方向垂直于螺絲刀口和扭力的方向，也就是垂直于被叉積的兩個(gè)向量的方向。 力矩就是向量的叉積。還有點(diǎn)疑懼？好，弄個(gè)夸張一點(diǎn)的。我們把螺釘?shù)脑砩晕⒏淖円幌拢杭偃缬幸粋€(gè)100米長(zhǎng)的細(xì)鋼棒（好長(zhǎng)），鋼棒架在幾個(gè)支架上，鋼棒一端裝有搖臂，當(dāng)有人用搖臂扭轉(zhuǎn)鋼棒時(shí)，這個(gè)扭轉(zhuǎn)的力（就是力矩）會(huì)沿著這個(gè)長(zhǎng)長(zhǎng)的鋼棒一直延伸到鋼棒的尾端，并且整個(gè)鋼棒上都有扭轉(zhuǎn)的力存在，無(wú)論我們碰觸鋼棒的任何部位都會(huì)感知到這個(gè)力矩的存在。這個(gè)扭轉(zhuǎn)的力是多大呢？如果搖動(dòng)的人用力越大，搖臂越長(zhǎng)，這個(gè)力矩就會(huì)越大，我們就越難用手抓停它。 呵呵，力矩沿著100

24、米長(zhǎng)的、與搖臂和搖動(dòng)的力垂直的方向，無(wú)處不在！ FrM 力矩的方向 v+v-o F+F-o = 第 14 頁(yè)， 共 38 頁(yè) 另外一個(gè)例子就是我們經(jīng)常騎的自行車(chē)，車(chē)子靜止的時(shí)候我們?cè)谲?chē)上會(huì)摔下來(lái)，一旦騎行起來(lái)車(chē)子就會(huì)平穩(wěn)而不會(huì)左右傾倒，這也是叉積的功勞（與陀螺的原理相同）。 下面我們看一看叉積解析式的物理意義的分解。同樣，我們也舉扭矩的例子。這里我們?cè)俅伟巡娣e解析公式重新列在這里： c=ax b=(,yzzyzxxzxyyxabababababab 前邊講過(guò)， 一個(gè)向量可以分解為沿著x、y、z軸的分向量，或者講一個(gè)三維向量可以看作是三個(gè)分別與坐標(biāo)軸同向向量之和。即： (,)xyzxyz=+vi

25、jk 在這里我們同樣可以認(rèn)為（yzzabab ）i 是x方向的向量，（zxxzabab）j 是y方向的向量，（xyyabab ）k 是z方向的向量。 前面講叉積的這三個(gè)分向量分別又是三個(gè)叉積，從何講起？下面我們以叉積的z軸分量的（xyyabab ）k來(lái)比對(duì)物理上力矩的概念。假設(shè)，我們的書(shū)面為x0y平面，z軸垂直書(shū)面并指向我們，以這個(gè)三維坐標(biāo)系的原點(diǎn)0為轉(zhuǎn)軸，在力F的作用下逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)軸向量為r。×rF的方向指向我們。下面來(lái)看看這個(gè)圖解： =圖中在x0y坐標(biāo)系的四個(gè)象限都畫(huà)出了力矩的例子，并且把叉乘的兩個(gè)向量r和F都進(jìn)行了分解。F分解為和xFyF，r也分解和xryr。分解后我們同樣對(duì)

26、分解的分向量、xryr、和xFyF進(jìn)行求力矩的叉積xyy=×+×MrFrF（其它的分向量因?yàn)榉较蛳嗤蛘呦喾矗?，因此忽略不?xiě)了）。在初中我們就知道力矩等于力乘以力臂，力臂與扭力垂直。因此，我們分別得出第一象限的力矩是。這里，k是指向z坐標(biāo)方向的單位向量。 0xxyy×=×=rFrF()()xyyxyxyxxFyFxFyF=×+×=+=1MrFrFkkk類(lèi)似地，其它三個(gè)象限的力矩分別是： 234()()()()()()()()()()xyyxyxyxxyyxyxyxxyyxyxyxxFyFxFyFxFyFxFyFxFyFxFyF=

27、15;+×=+=×+×=+=×+×=+=MrFrFkkMrFrFkkkMrFrFkkk 我們看，四個(gè)象限的力矩表達(dá)式相同，都是 ！ 在這個(gè)向量()yxxFyFk中，(,)xy是矢徑向量r的坐標(biāo)，(,)xyFF是扭力向量F的坐標(biāo)；在xoy的平面上，向量和向量的叉積的大小等于rFyxxFyF，方向k指向z軸方向。 顯然，我們把向量r和向量改寫(xiě)成通用向量a和b，這個(gè)結(jié)果就變成了（Fxyyabab ）k。當(dāng)然，我們同樣可以推論出x軸、y軸方向的叉積表達(dá)式如前所述。 實(shí)際上，我們把坐標(biāo)系重新選擇或者把坐標(biāo)系右旋一個(gè)角度，可以得到叉積定義的另一個(gè)公式a x

28、 b sinabN=。 x' 軸y' 軸y 軸x 軸rFFxryrxFyFrFy'000 線(xiàn)性代數(shù)的幾何意義 如圖所示，兩個(gè)向量r和F在xoy坐標(biāo)系中F分解為和xFyF，r也分解和xryr，如果把xoy坐標(biāo)軸右旋一個(gè)角，變?yōu)閤0y坐標(biāo)系，剛好使x軸與向量r重合。 顯然，在新的坐標(biāo)系下，r不必分解分量了；F只需在為分解為'xF和'yF，則新坐標(biāo)系下的叉積（z方向的力矩M） ''''' 又因?yàn)閤 軸與r重合，且F與r的夾角為，因此上式繼續(xù)等于： 'cos()sin()zxrrFrF=×=×=

29、MrFrFk 如果我們把向量r和F改寫(xiě)成通用向量a和，且不是強(qiáng)調(diào)在xyz三維坐標(biāo)下，那么z向的單位向量K可以寫(xiě)成與叉乘的兩個(gè)向量垂直且滿(mǎn)足右手系的N。至此得到叉乘的第二個(gè)公式：a x b bsinabN=。 2.5 向量混合運(yùn)算的幾何意義我們所討論的向量的混合運(yùn)算包括向量加法和乘法的混合運(yùn)算，仔細(xì)的研究一些混合運(yùn)算的幾何意義有助于理解向量的幾何本質(zhì)。 向量加法的結(jié)合律的幾何解釋三個(gè)向量加法的結(jié)合律為 (a+b)+c=a+(b+c) 其圖解是顯然的，第一幅圖給出了(a的加法圖解，第二幅圖給出了的圖解，第三幅圖把兩者疊放在一起，顯示了兩個(gè)加法有相同的結(jié)果。圖形如下： +b)+ca+(b+c)abc

30、(a+b)+ca+babca+(b+c)b+cabc(a+b)+c=a+(b+c) = 第 17 頁(yè)， 共 38 頁(yè) 向量數(shù)乘的分配律的幾何解釋數(shù)乘兩個(gè)向量和的分配率為 kk(a+b)=b+c 其圖解是顯然的，圖中設(shè)數(shù)量k大于1，a+的加法三角形和k的加法三角形是兩個(gè)相似三角形，因而得到圖形如下： bka+b 向量點(diǎn)積的分配律的幾何解釋向量點(diǎn)積的分配律為 ()ab+c=ab+ac 如下圖，0'B為向量b在向量a上的投影，' BC為向量c在向量a上的投影，0'為向量在向量上的投影。 Cb+cabcb+caC'B'B0CA 由圖有： 00',0

31、9;'ABA=abac 于是得： 00'0''0(0''')00'ABABCABBCAC=+=+=ab+ac 而又有()00 AC=ab+c，因此有分配律成立。 向量叉積的分配律的幾何解釋1 向量的分配律表述如下的等式： ×××(a+b)c=ac+bc 對(duì)于理解這個(gè)分配律的幾何解釋?zhuān)覀兛梢杂袃蓚€(gè)圖解的解釋。 先說(shuō)一個(gè)較熟悉的幾何解釋。 在詳述幾何解釋之前，我們先介紹一個(gè)引理的幾何意義。就是對(duì)于單位向量，其與另一個(gè)向量的叉積的幾何圖形如何作圖求出。 0ca0×ac 如上圖所示，先過(guò)向量單位向

32、量的起始0點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)垂直于它的平面，然后把向量投影到這個(gè)平面上得到向量，接著把這個(gè)向量在平面上繞0點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)0ca'a'a/2角度。容易知道，旋轉(zhuǎn)后的向量同時(shí)垂直于a和。下面我們將說(shuō)明恰好等于''a0c''a0×ac。 因?yàn)閍和的叉積向量的長(zhǎng)度有 0c00sinsin'×=acacaa 也就是說(shuō)，任意一個(gè)向量和單位向量叉積的長(zhǎng)度a0c0×ac等于向量向平面（垂直于）a0c的投影向量長(zhǎng)度'a。而''a又是'a旋轉(zhuǎn)得到的。因此。 另外，前面我們說(shuō)了同時(shí)垂直于a和，綜合得知'

33、;'a0c0 ''=×aac。 引理說(shuō)完了。下面開(kāi)始說(shuō)正體了。 這里有三個(gè)向量、b和a+，那么這三個(gè)向量分別與單位向量叉積的向量圖形可以模仿上述的過(guò)程得到。如下圖所示我們得到了三個(gè)叉積向量ab0c0 ''=×aac、和。 0''=×bbc0''(=×(a+b)a+b)c另外，請(qǐng)注意，三個(gè)向量因?yàn)橛邢嗉拥年P(guān)系，構(gòu)成了一個(gè)平行四邊形。這個(gè)平行四邊形在投影下不會(huì)改變其邊的平行或連接的關(guān)系。因此投影后的三個(gè)向量、'b和在平面上仍然構(gòu)成一個(gè)新的平行四邊形。因此符合平行四邊形法則的加法規(guī)

34、律，故有'a'(a+b)''=a+ 。 接著來(lái)，呵呵。投影平行四邊形整體順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后仍然是個(gè)平行四邊形，因此三個(gè)向量、和仍然符合平行四邊形法則，因此有090''a''b''(a+b)''''''=a+b(a+b)。 把， 0 ''=×aac0''=×bbc0''(=×(a+b)a+b)c代到上述等式，得： 00( ×+×=×acbca+b)c 好，到此問(wèn)題基本解

35、決。追后臨門(mén)一腳是，把單位向量伸縮為一般的向量0c0=ccc。即對(duì)等式兩邊同乘以一個(gè)常數(shù)c，得 00(×+×=×accbcca+b)cc 即 ×××ac+bc=(a+b)c 倒換等式兩邊的項(xiàng)即結(jié)論： ×××(a+b)c=ac+bc pc0cbaa+ba'+b'b'a'bxc0axc0bxc(a+b)xcaxc(a+b)xc0 總結(jié)一下： 上述過(guò)程表述為向量的“一投一轉(zhuǎn)，再加一伸”。 向量叉積的分配律的幾何解釋2 “一投一轉(zhuǎn)，再加一伸”，叉積分配率整得忒麻煩？再來(lái)一個(gè)簡(jiǎn)單點(diǎn)的

36、幾何解釋。 這個(gè)簡(jiǎn)潔的叉積分配圖解需要有方向的面積的概念。我們首先介紹一下有向面積。 有方向線(xiàn)段被用來(lái)作為向量的圖形。那么面積也是有方向的。在微積分對(duì)x-y平面上的曲線(xiàn)與x座標(biāo)軸圍成的面積積分中，X座標(biāo)軸上方的面積積分值為正，軸下方的面積積分值為負(fù)。這實(shí)際上也是面積有方向的表現(xiàn)。 42-25yx+-0 線(xiàn)性代數(shù)的幾何意義 一個(gè)有邊界的平面（如圖左），它的大小有它的面積決定，它的方向由它在空間的法線(xiàn)的方向來(lái)確定，因此有向面積也可以用向量的辦法來(lái)完全刻畫(huà)：向量的方向就是法線(xiàn)的方向，向量的長(zhǎng)度正比于它的面積。按照右手規(guī)則，如果面積周線(xiàn)的回轉(zhuǎn)方向是ABCDE，那么法線(xiàn)的正向，也就是代表這面積的方向就是

37、向上的。根據(jù)這種說(shuō)法，我們可以這樣說(shuō)，向量不但可以表示一個(gè)有方向的線(xiàn)段，而且也可以表示一個(gè)有方向的面積。反過(guò)來(lái)講，一個(gè)有向線(xiàn)段（一定長(zhǎng)度的箭頭）被用來(lái)作為向量的幾何圖形（這是幾乎所有數(shù)學(xué)書(shū)的做法），而一個(gè)有方向的面積也可以表示一個(gè)向量。為了方便，我們可以稱(chēng)前者為線(xiàn)向量，稱(chēng)后者為面向量。 nabaxbEABCD 向量a和b的叉積就是一個(gè)有向面積的例子（如圖右），以向量和為邊的平行四邊形的有向面積是用來(lái)表示的，因?yàn)樗邢蛄慷急惶幚沓删€(xiàn)向量，因此ab×ab×ab也被刻畫(huà)成有向線(xiàn)段的圖形，這個(gè)有向線(xiàn)段垂直于被代表的面，線(xiàn)段長(zhǎng)度等于和構(gòu)成的平行四邊形的面積。在這里，線(xiàn)向量和面向量混疊

38、在一起。下面的敘述中，我們割掉了線(xiàn)向量這條小尾巴，只留下了面向量-一個(gè)具有旋轉(zhuǎn)方向的平行四邊形面。 ab前面講過(guò)，兩個(gè)線(xiàn)向量a和相加得到一個(gè)線(xiàn)向量a+，這個(gè)過(guò)程滿(mǎn)足平行四邊形法則和三角形法則。那么，線(xiàn)向量a和b分別和第三個(gè)線(xiàn)向量叉積依次得到了兩個(gè)面向量和bbc×ac×bc。實(shí)際上，面向量的加法運(yùn)算同樣滿(mǎn)足平行四邊形法則和三角形法則。向量叉積的分配律的圖示如下圖所示。 ××× abca+bbcaa+b00 面向量的加法法則的證明可以從封閉面的和向量為零著手。我們這里不再證明了。實(shí)際上，我們有更形象的圖證來(lái)理解這個(gè)法則。比如對(duì)于三角形法則（右圖），

39、我們可以想象有向量c的長(zhǎng)度那么多的線(xiàn)向量a+的三角形疊加在一起形成面向量，疊加的方向沿著向量c的方向進(jìn)行，如下圖。 b = 第 22 頁(yè)， 共 38 頁(yè) bcaa+b0 向量的混合積的幾何解釋三個(gè)向量，如果先作兩向量的點(diǎn)積,abc,abab，因?yàn)樗菙?shù)量，所以再與第三個(gè)向量相乘的結(jié)果表述一個(gè)新向量，它是向量c的伸縮，與向量c平行。 c(ab)c如果先作兩向量的叉積，這個(gè)所得的向量與第三個(gè)向量c再作點(diǎn)積或者叉積，前者表示數(shù)量叫做三向量的混合積或三重?cái)?shù)積；后者表示向量，叫做三重矢積。下面我們僅對(duì)向量的混合積的幾何意義進(jìn)行討論。 ,ab×ab×(ab)c××(

40、ab)c三向量的混合積有關(guān)系(a，且其中cos×=×(ab)cabc，cos×=×(bc)abca，cos×=×(ca)bcab?；旌戏e是這樣的一個(gè)數(shù)，他的絕對(duì)值表示以向量為棱的平行六面體的體積。如果向量以順序組成右手系，那么積的符號(hào)是正的；如果組成左手系，積就是負(fù)的。 ,abc,abc我們知道，向量積是一個(gè)向量，它的模在數(shù)值上等于以向量為邊的平行四邊形×ab,ab0ADB的平面，它的方向垂直于這個(gè)平行四邊形的平面，且當(dāng)向量以順序組成右手系時(shí)，即向量與向量是朝著此平面的同一側(cè)（如圖）；且當(dāng)向量以順序組成左手系時(shí)，即向量,ab

41、c×abc,abc×ab與向量是朝著此平面的另一側(cè)。所以若向量c×ab與向量之間的夾角為c，則當(dāng)向量以順序組成右手系時(shí)，夾角,abc為銳角；當(dāng)向量以順序組成左手系時(shí)，夾角,abc為鈍角。 線(xiàn)性代數(shù)的幾何意義 SbaaxbchD0BA 又因?yàn)閏os×=×(ab)cabc，則有當(dāng)向量組成右手系時(shí)，為正值；當(dāng)向量組成左手系時(shí)，為正值。 ,abc×(ab)c,abc×(ab)c因此，以向量為棱的平行六面體的底（平行四邊形,abc0ADB）的面積在數(shù)值上等于S×ab，它的高h(yuǎn)等于向量在向量c×ab上的投影，即cos

42、h=c，所以平行六面體的體積等于 cosVSh=×abc。 2.6 向量的積和張量之間的關(guān)系從前面的看來(lái)，向量的內(nèi)積定義和外積定義確有意義，但對(duì)于我們玩慣實(shí)數(shù)乘法且還沒(méi)有得到高等數(shù)學(xué)訓(xùn)練的人來(lái)說(shuō)，還是有點(diǎn)拿捏不住。為什么不能像兩個(gè)多項(xiàng)式的乘法一樣定義兩個(gè)向量的乘法呢？ 完全可以這樣相乘。 二維向量的內(nèi)積、外積和張量 先看二維空間中的兩個(gè)向量(,)xyaa=a，(,)xybb=b把它們改寫(xiě)成帶有,xy坐標(biāo)軸的單位向量的形式，就是,xyxaabb=+=+aijbi ，我們對(duì)向量a和b就象普通的多項(xiàng)式乘法分配律一樣展開(kāi)運(yùn)算，得到如下： ()()(xyxyxxyyxyyxaabbababab

43、ab=+=+abijijiijjijji 這里有個(gè)關(guān)鍵的問(wèn)題，就是如何定義坐標(biāo)軸的單位向量,ij之間的運(yùn)算？我們發(fā)現(xiàn)，不同的規(guī) = 第 24 頁(yè)， 共 38 頁(yè) 線(xiàn)性代數(shù)的幾何意義 定，就會(huì)得到不同的結(jié)論： 􀁺 當(dāng)定義,ij之間的運(yùn)算為內(nèi)積運(yùn)算時(shí)，即1,0=iijjijji時(shí)上式化簡(jiǎn)為： xxyyabab=+=abab 這正是向量和作內(nèi)積運(yùn)算的定義式。 ab􀁺 當(dāng)定義,ij之間的運(yùn)算為外積運(yùn)算時(shí)，即0,=iijjijjik時(shí)上式化簡(jiǎn)為： ()xyyxxyyxabababab=+=abijjikab 這正是向量和作外積運(yùn)算的定義式，在 二維向量空間外又生成了一

44、個(gè)第三維向量。 ab􀁺 當(dāng)定義,ij之間的運(yùn)算只是作為一個(gè)順序的記號(hào)時(shí)，即1,0,1=ijiijjji時(shí)上式化簡(jiǎn)為： xyxyyxxyyxxyaaababababbb=+=aabijjib 這正是向量和作行向量構(gòu)成的方陣的行列式的運(yùn)算的定義式。 ab􀁺 當(dāng)定義1,1=ij，與復(fù)數(shù)進(jìn)行對(duì)應(yīng)時(shí)，上式化簡(jiǎn)為： ()xxyyxyyxabababab=+abj 這正是復(fù)數(shù)和作乘法運(yùn)算的定義式。 ab 總結(jié)一下： 本等式()()(xyxyxxyyxyyxaabbabababab=+=+abijijiijjijji 的第一部分包含了向量和b內(nèi)積的結(jié)果，第二部分包含了向量a

45、和b外積的結(jié)果或者是行列式的結(jié)果，即： a()(=+×ababab 從這個(gè)結(jié)論看來(lái)，向量的內(nèi)積運(yùn)算、外積運(yùn)算覆蓋了二維向量及其復(fù)數(shù)的所有乘積模式的結(jié)果。 實(shí)際上， 象上述的多項(xiàng)式一樣的向量乘法叫做向量的直積，向量的直積是向量之間最簡(jiǎn)單的一種乘法運(yùn)算，其結(jié)果是張量（向量是一階張量的一種），所以也叫做向量（矢量）的張量積，俗稱(chēng)并矢。因此，采用較高等一點(diǎn)的說(shuō)法就是，向量的張量積包含了向量的內(nèi)積和外積的結(jié)果。 = 第 25 頁(yè)， 共 38 頁(yè) 三維向量的內(nèi)積、外積和張量 再看看三維空間中的兩個(gè)向量為,xyzxyzaaabbb=+=+aijkbijk， 同樣，我們對(duì)向量和b同樣展開(kāi)直積運(yùn)算，得

46、到如下的張量： a()()()()(xyzxyzxxyyzzxyyxxzzxyzzyaaabbbababababababababab=+=+abijkijkii jjkkijjiikkijkkj 有點(diǎn)復(fù)雜，有沒(méi)有看出點(diǎn)規(guī)律？ 與二維向量處理的方式類(lèi)似，我們定義坐標(biāo)軸的單位向量,ijk之間的不同運(yùn)算，得到了以下不同的結(jié)論： 􀁺 當(dāng)定義,ijk之間的運(yùn)算為內(nèi)積運(yùn)算時(shí)，即1,0=iijjkkijjiikkijkkj時(shí)上式化簡(jiǎn)為： xxyyzzababab=+=abab 這正是向量和作內(nèi)積運(yùn)算的定義式。 ab􀁺 當(dāng)定義,ijk之間的運(yùn)算為外積運(yùn)算時(shí)，即ii，=ijj

47、ik，=jkkji，=kiikj時(shí)上式化簡(jiǎn)為： ()()()()()xyyxxzzxyzzyxyyxzxxzyzzyabababababababababababab=+=+=×abijjiikkijkkjkjiab 這正是向量和作外積運(yùn)算的定義式，在三維向量空間內(nèi)又生成了第三個(gè)同維向量。 ab總結(jié)一下： 本等式， ()()()()(xyzxyzxxyyzzxyyxxzzxyzzyaaabbbababababababababab=+=+abijkijkii jjkkijjiikkijkkj 其第一部分包含了向量a和b內(nèi)積的結(jié)果，第二部分包含了向量a和b外積的結(jié)果或者是行列式的結(jié)果，即：

48、 ()( =+×ababab 從這個(gè)結(jié)論看來(lái)，向量的內(nèi)積運(yùn)算、外積運(yùn)算覆蓋了兩個(gè)三維向量的所有乘積模式的結(jié)果，或者說(shuō)，向量的張量積包含了向量的內(nèi)積和外積的結(jié)果。 2.7 向量有沒(méi)有除法？ 向量的乘法有兩種：點(diǎn)積和叉積。一般講除法是乘法的逆運(yùn)算。那么向量的除法是點(diǎn)積的除法呢還是叉積的除法？看來(lái)比較麻煩，所以大家較少談?wù)撓蛄康某?。這里我們看看如何麻煩的？先約定一下符號(hào)：兩個(gè)向量和，分別有abc=ab和×=abc；已知和乘積，如何求。 ab能不能得到向量，請(qǐng)看下圖。 b 左圖中，我們根據(jù)點(diǎn)積的公式cosab=ab，立刻得到： '''''&

49、#39;.c=abababab 無(wú)數(shù)個(gè)向量、皆能得到同樣的點(diǎn)積值。這個(gè)意思是說(shuō)，點(diǎn)積沒(méi)有除法。 b'b''b'''b再看右圖，我們根據(jù)叉積的公式a x b sinabN=，立刻得到： ''''''.×=×=×=×=ababababc 無(wú)數(shù)個(gè)向量、同樣皆能得到同樣的叉積值。這個(gè)意思是說(shuō)，叉積也沒(méi)有除法。 b'b''b'''b結(jié)果真讓人失望！ 莫急，如果我們把點(diǎn)積和叉積聯(lián)立解方程組，倒可以解出除法的表達(dá)式出來(lái)。解方程

50、： c=×=ababc 線(xiàn)性代數(shù)的幾何意義 對(duì)于，兩邊左叉乘a，并用二重向量叉積公式×=abc()()(××=abcbaccab得 ()()××=aabaabb(aa 把方程組的兩個(gè)等式帶入，即得c×=acab(aa)，整理得到 c×=aacbaa 這就是向量的除法。 2.8 向量的投影和的幾何解釋多個(gè)向量在任意軸上的投影和 向量的加法的推廣之一就是： 多個(gè)或有限個(gè)向量的和在任意軸上投影等于各個(gè)向量在同一軸上投影的和。 下面我們給出其幾何圖形的圖解。 a+b+cabcADBCA'C'B'D&

51、#39; 圖中，向量及其和向量的圖形分別是： abc+abc = ， ，c ， ，各向量的端點(diǎn)A、B、C、D在軸上的投影分別是'A、'、''BCD。 圖示是顯然的，'''''''ABBCCDAD+=，命題得解。 多個(gè)向量在任意平面上的投影和 向量的加法的推廣之二就是： 多個(gè)或有限個(gè)向量的和在任意平面上投影等于各個(gè)向量在同一平面上投影的和。 下面我們給出其幾何圖形的圖解。 與向量在軸上的投影類(lèi)似。結(jié)論在圖解中一目了然。這個(gè)結(jié)論是由投影變換的性質(zhì)所決定。 2.9 變向量的幾何意義 對(duì)于用數(shù)組表示的向量a，如果數(shù)

52、組中的元素部分或者全部是變量，那么這個(gè)變向量在n維坐標(biāo)系下表示的幾何圖形是什么呢？ 12(,.)naaa二維變向量的幾何圖形 在二維平面上，二維向量的兩個(gè)分量全部為可變的未知量，記為12(,)xx，那么變向量12(,)xx可以表示平面上任意一個(gè)向量（無(wú)數(shù)個(gè)）。如果12,xx取遍整個(gè)實(shí)數(shù)范圍，則可以涵蓋了整個(gè)向量平面，因此12(,)xx的幾何圖形表示為一個(gè)平面。 如果我們固定12(,)xx一個(gè)分量，如，其中表示某一確定的實(shí)數(shù)，12(,)ax1a2x表示為確定的變?cè)?。那么變向量表示的是無(wú)數(shù)個(gè)向量，這些向量的末端全部在直線(xiàn)12(,)ax1xa=上（如圖2。X）。 類(lèi)似的，變向量12(,)xa表示的是

53、直線(xiàn)2xa=，無(wú)數(shù)個(gè)向量的末端全部在直線(xiàn)2xa=上。 x1x2x1=a1x2x2=a2x10000 進(jìn)一步，如果向量的分量之間有線(xiàn)性關(guān)系的話(huà)，比如，向量可以表示為11(,)xaxb+的形式。那么變向量11(,)xaxb+就可以表示一個(gè)直線(xiàn)，所有向量的末端在直線(xiàn)21xaxb=+上。 當(dāng)然，如果，即0b=11(,)xax就表示為一條過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)，這時(shí)候所有的向量的始端和末端都處于直線(xiàn)上。 x1x2x2=ax1+bx2x2=ax1x1000 方程21xaxb=+和21xaxb=+是平行線(xiàn)，b是2x軸上的截距。我們用變向量來(lái)表示這對(duì)平行線(xiàn)的關(guān)系就是1111(,)(,)(0,)xaxbxaxb+=+。用

54、向量的觀點(diǎn)解釋就是，變向量11(,)xaxb+是變向量11(,)xax及常向量的和。從圖形上解釋就是直線(xiàn)(0,)b11(,)xaxb+是由過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)11(,)xax沿向量(0平移b得到的。其幾何圖性給出如下： ,)bx1x2x2=ax1+bx2=ax100 三維變向量的幾何圖形 與二維變向量相類(lèi)似，(, 有三個(gè)不定變?cè)?，表示三維向量空間中的任意一個(gè)向量，代表了整個(gè)三維空間。 變向量、123(,)axx123(,)xax和123(,)xxa各有兩個(gè)不定變?cè)?，分別表示了平面11xa=，22xa=和3xa=。每個(gè)變向量中任意一個(gè)向量的末端都在這個(gè)變向量所表示的平面上。這些平面分別垂直于一個(gè)坐標(biāo)軸。

55、 變向量、和123(,)aax123(,)axa123(,)xaa各有一個(gè)不定變?cè)?，分別表示了三根直線(xiàn)1122xaxa=，1133xaxa=和233 xaxa=，每個(gè)變向量中任意一個(gè)向量的末端都在這個(gè)變向量所表示的直線(xiàn)上。這些直線(xiàn)分別平行于一個(gè)坐標(biāo)軸。 變向量1212(,)xxaxbx+有兩個(gè)獨(dú)立變?cè)?2,xx，第三個(gè)變?cè)?x與12,xx有線(xiàn)性關(guān)系：31 xaxbx=+。為了方面看到這個(gè)變向量的幾何圖形，我們對(duì)它進(jìn)行向量分解： 1212112212(,)(,0,)(0,)(1,0,)(0,1,)xxaxbxxaxxbxxaxb+=+=+ x2x1x1(1,0,a)x2(0,1,b)x30(0,

56、1,b）(1,0,a) 在12,xx獨(dú)立地取遍所有不同的實(shí)數(shù)時(shí)，12(1,0,)(0,1,)xaxb+所形成的無(wú)數(shù)個(gè)向量覆蓋了一個(gè)平面。實(shí)際上，在后面的章節(jié)中，這個(gè)平面是一個(gè)向量空間，一個(gè)被常向量和所張成的向量平面空間，記為。因此，我們可以有這樣的一個(gè)等價(jià)式： (1,0,)a(0,1,)b(1,0,),(0,1,)Spanab1212(,)(1,0,),(0,1,)xxaxbxSpanab+ 類(lèi)似的，變向量1212(,)xxaxbxc+也有兩個(gè)獨(dú)立變?cè)?2,xx，第三個(gè)變?cè)?x與12,xx有線(xiàn)性關(guān)系：312xaxbxc=+。同樣，我們也對(duì)它進(jìn)行向量分解： 1212112212(,)(,0,)(0,)(0,0,)(1,0,)(0,1,)(0,0,)xxaxbxcxaxxbxcxaxbc+=+=+ 同變向量1212(,)xxaxbx+比較起來(lái)，變向量1212(,)xxaxbxc+與它的關(guān)系可以表示為：12121212(,)(,)(0,0,)xxaxbxcxxax