第3講球與截面面積

1、第3講球與截面面積一.選擇題（共8小題）1.（2020宜昌模擬）已知正方體ABCD-A.BD,的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)M為棱DQ的中點(diǎn)，則平ACM截該正3方體的內(nèi)切球所得截面而積為（）D.【解析】解：設(shè)圓心到截而距離為d,截面半徑為r,1,1 VO-ACM =+ SwcQ = |.2V2.1.V2 = £.2，Sg= 1.272.73 = 76,故d=又 d2 + r2 = 1 t所以截而的|卩為“2=03故選：A2. （2020秋葫蘆島期末）如圖所示，已知球O為棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD-AgU的內(nèi)切球，則平而ACQ 截球O的截面而積為（）A. yB 5C.誓D. 3岳【解析】解：根據(jù)題意知，

2、平而ACq是邊長(zhǎng)為/5廚=3>/1的疋角形， 且球與包含上三角形的三邊的平而的切點(diǎn)恰好在此三線段的中點(diǎn),故所求截而的而枳是該正三角形的內(nèi)切圓的而積，則山圖得，內(nèi)切圓的半徑是： 平面A6截球O的截面面積為:故選：A.3（2021-達(dá)州模擬）如圖（二），需在正方體的盒子內(nèi)鑲嵌一個(gè)小球，使得鑲嵌后三視圖均為圖（一）所示,且耐S截得小球的截而而積為年，則該小球的體積為（(-) (->B.323D.【解析】解：設(shè)正方體仗子的棱長(zhǎng)為2“，則內(nèi)接球的半徑為s 平而是邊長(zhǎng)為2屈的正三角形.且球與以點(diǎn)d為公共點(diǎn)的三個(gè)而的切點(diǎn)恰為A0G三邊的中點(diǎn),所求截而的而枳是該匸二角形的內(nèi)切圓的而枳， 則由圖得，

3、"BC、內(nèi)切圓的半徑是血以畫(huà)30。=普“， 則所求的截而圓的而枳站x織 普,斗宀尋心該小球的體枳為43 4穴 1 =33故選：B4（2020秋山西期中）一平面過(guò)半徑為人的球O的半徑Q4的中點(diǎn)，且垂直于該半徑Q4,則該平而截球的截而而積為（）2/?穴1 - 2A2/?龍週22 /?龍【解析】解：設(shè)球的半徑為R,截面半徑為R由圖可知,R2=-R2+k2. :.r2=-R2 443:.S = K2=-7rR2 4故選：D5（2021 南昌校級(jí)二模）已知棱長(zhǎng)等于2的的正方體ABCD-，它的外接球的球心為O ,點(diǎn)£是AB的中點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)E的平而截球O的截面面積的最小值為（）C. 3tc

4、D. 4/r【餡析】解:棱氏等J： 2館的匸方體ABCD- ABGU，它的外接球的半徑為3, IOEI=石肖過(guò)點(diǎn)E的丫而仃OE垂直時(shí)，截而而枳加小.r = >/9T6 = V3. S = g = g 故選：C.6（2021春沈陽(yáng)校級(jí)期末）棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD fBCD的8個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表而上，E, F分別為棱/W,出卩的中點(diǎn)，則經(jīng)過(guò)E, F球的截而而積的最小值為（）A.3 -7T72【解析】解：伙I為匸方體內(nèi)接于球，所以2/? = "+1+ =3 過(guò)球心O和點(diǎn)職F的大圓的截而圖如圖所示.則血線被球截得的線段為QR,過(guò)點(diǎn)O作OP丄QR，垂足為點(diǎn)P,所以，在AGPO中，QP

5、=所以所求經(jīng)過(guò)G F的平面截球O所得的截面的而積的最小值是:5 =一龍87. （202P寶淸縣一模）已知球O是棱長(zhǎng)為1的正方體/WCQ-AqCQ的內(nèi)切球，則平而ACQ截球O的截面而積為（A7t【解析】解：根據(jù)題意知，平而Acq是邊長(zhǎng)為血的匸二角形, 且球與以點(diǎn)D為公共點(diǎn)的三個(gè)而的切點(diǎn)恰為三角形AC"三邊的中點(diǎn), 故所求截而的而枳是該正三角形的內(nèi)切圓的而積， 則由圖得,AACq內(nèi)切圓的半徑是 孚翻。年, 則所求的截而圓的面積是兀X尊X農(nóng)=?6 6 6故選：D.8（2020秋晉中期末）如圖，表而積為12兀的球O內(nèi)切于正方體ABCD-ABD,則平而4CQ截球O的截而而積為（）A. sflT

6、TB y/3/rC 2才D 4龍【解析】解：設(shè)球的半徑為r,由球O得表面積為12龍.得4心2=12穴，則r = >/3 ,即正方體棱長(zhǎng)為2婦.根據(jù)題意知，Tlfli ACQ是邊長(zhǎng)為2“的匸三角形，且球紜以點(diǎn)D為公共點(diǎn)的三個(gè)而的切點(diǎn)恰為三角形ACq三邊的屮點(diǎn)，故所求截而的而積是該正三角形的內(nèi)切鬪的而枳，則ill圖得，A4CD,內(nèi)切圓的半徑是>/6 x tan30。=返,則所求的截面圓的面積是龍x（Q22龍 故選：C.二.填空題（共11小題）9. （2020秋欽州月考）已知P為球O球而上一點(diǎn)，點(diǎn)M滿(mǎn)足OA/ = 2M”，過(guò)點(diǎn)M與OP成30。的平而截 球O,截而的而積為16”，則球O的表

7、而積為_(kāi)72兀_.【解析】解：如圖，設(shè)截而為圓q，依題意，ZOMQ=30。，設(shè)OO=h，則OM =2h又OM = 2MP ,則OP = 3h ,即球O的半徑為3爪 則ON = 3h , 因?yàn)榻囟腎枳為16，故龍（qN）2=16/r.無(wú)gN=4, 在Rt'OON中，由勾股上理有（3/z）2=/r + 16，解得h =近,所以球O的半徑為3近.則其表而枳為4廠（3血）2 =72兀故答案為：72龍10. （2020秋海門(mén)市校級(jí)月考）已知球O為棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-ABCQ的內(nèi)切球，則平而截球O的截而而積為- 6 【解析】解：如圖，AB匸方體ABCD ACQ的內(nèi)切球切正方體的六個(gè)面于齊而

8、的中心，則平而B(niǎo)CD截球O的截而為正三角形ECU的內(nèi)切圓，.正方體ABCD-ABCQ的棱長(zhǎng)為1,正三角形的邊長(zhǎng)為Q，設(shè)其內(nèi)切圓的半徑為則丄迺二丄x3©xr 即2逅2 2 2 6平而B(niǎo)、CD截球O的截面而積為兀x（逅尸=二6 6故答案為：乞.611. （2020秋忻府區(qū)校級(jí)期末）已知球O是棱長(zhǎng)為6的正方體ABCD-BxCfi的內(nèi)切球，則平而ACQ截 球O的截而面積為_(kāi)6龍_.【解析】解：根據(jù)題意知，平Illi ACDX是邊長(zhǎng)為6返的正三角形，且球勺以點(diǎn)D為公共點(diǎn)的三個(gè)面的切點(diǎn)恰為三角形/icq三邊的中點(diǎn)故所求截而的而枳是該正三角形的內(nèi)切圓的而枳， 則由圖得，ucq內(nèi)切圓的半徑是6X至&

9、quot;血30。=石，JM所求的截面圓的面積是6”.故?案為：6 .12. （2020秋昆明校級(jí)月考）已知球O與棱長(zhǎng)均為4血的四面體ABCD的各條棱都相切，則平而ABC截球 的截而而積為色龍一3 【解析】解：將正四而體ABCQ.補(bǔ)成正方體.則匸四而體ABCQ的棱為正方體的而上對(duì)了山 正四而體ABCD的棱長(zhǎng)為4血 正方體的棱長(zhǎng)為4球O與正四而體的各棱都相切,求O的為正方體的棱長(zhǎng)4,utABC截球O的截而圓的圓心為M岡相切于點(diǎn)N，則OM丄平而ABC，如圖2所示,MN = JONOM，由正方體性質(zhì)知M為體對(duì)角線加沙而遊的交點(diǎn)，H皿護(hù)卡4屁攀 在 RtAOMN 中,平面遊截球的截面面積為討故答案為：

10、p.13（2020秋蕪湖校級(jí)模擬）已知底而是正方形的長(zhǎng)方體ABCDfB、CQ的底而邊長(zhǎng)AB = 6.側(cè)棱長(zhǎng)也=2打，它的外接球的球心為O,點(diǎn)£是的中點(diǎn)，點(diǎn)P是球O上任意一點(diǎn)，有以下判斷: PE長(zhǎng)的最大值是9： 三棱錐P_EBC體積最大值是15 + 377 : 存在過(guò)點(diǎn)E的平面，截球O的截而而積是8兀： 。是球O上另一點(diǎn)，PQ = X 則四而體ABPQ體積的最大值為56： 過(guò)點(diǎn)E的平而截球O所得截而而積最大時(shí)，垂直于該截而.其中判斷正確的序號(hào)是【解析】解：.底而是正方形的長(zhǎng)方體ABCDfBQQ的底而邊長(zhǎng)AB = 6,側(cè)棱KM=2>/7,外接球的直徑為（36+36 + 28=10,

11、半徑為5, 點(diǎn)E臭AB的中點(diǎn)，.OE = 4 .PE長(zhǎng)的最大值是4+5 = 9，故正確； P到平而EBC的最大值為5 + J7, -.A£BC的而枳為9, .三棱錐P-EBC體枳最犬值是15 + 30,故正確； 過(guò)點(diǎn)E的平而，截球O的截而面枳最小是9龍，故不正確：1； ' I PQ中點(diǎn)*jC1D1中點(diǎn)重合，且PQ垂直于平而ABCQ、時(shí)，則四而體ABPQ體枳為56,故匸確：過(guò)側(cè)而CgB是矩形，C0不垂直C.B, BG不可能垂直于/WC.D,故不正確.故答案為：.14. 已知球O是正方體ABCD-BDX的內(nèi)切球，且平而ACQ截球O的截面而積為冬，則正方形外接球6的表而積為_(kāi)3穴_

12、.【解析】解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為"，則根據(jù)題意知，平而ACD.是邊長(zhǎng)為的正1角形，且球與以點(diǎn)D為公共點(diǎn)的三個(gè)而的切點(diǎn)恰為三角形M2三邊的中點(diǎn)，故所求截而的面積是該正三角形的內(nèi)切圓的而枳，則由圖得，AACq內(nèi)切岡的半徑是豐“ x tan 30。= £ “，T：而ACD截球O的截而而積為-，6/. =,6 6/. a = 1 >二正方形外接球的直徑為厲正方形外接球的表而積為47T邑 =3兀2故答案為：3龍15. （2020桂林二模）如圖，已知球O是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD_ABCU的內(nèi)切球，則平而ACq截球O 的截而而積為-【解析】解：根據(jù)題意知,平面ACD】是邊長(zhǎng)為血的正

13、三角形，且球.與以點(diǎn)D為公共點(diǎn)的三個(gè)而的切點(diǎn)恰 為三角形ACD.:邊的中點(diǎn).故所求截而的面枳是該正三角形的內(nèi)切圓的而積，則由圖得，AACq內(nèi)切鬪的半徑是纟x tan 30。=近，2 6則所求的截而圓的而枳是龍x坐x坐=蘭.故答案為：£.6 6 616. （2020宜賓一模）已知正四棱柱ABCD-ABCU的底而邊長(zhǎng)AB = 6,側(cè)棱長(zhǎng)坐=2打，它的外接球 的球心為O,點(diǎn)E是初的中點(diǎn)，點(diǎn)P是球O的球而上任意一點(diǎn)，有以下判斷，（1）PE長(zhǎng)的最大值是9； （2）三棱錐P-EBC的最大值是蘭：（3）存在過(guò)點(diǎn)E的平而.截球O的截而面 積是3/r：（4）三棱錐P-AEQ體積的最大值是20.正確的是

14、 （1）（4）.【解析】解:山題總可知球心在體對(duì)角線的中點(diǎn),說(shuō)徑為:丁6打62+（2孫=10半徑是5, （1）朋長(zhǎng)的最大值是：5 + V52 - 32 = 9,正確：（2）P到平而EBC的距離最大值是5 +序石而= 5 + 0，錯(cuò)誤；（3）球的大圓面積是25龍，過(guò)E與球心連線垂直的平面是小圓,面積為9兀，因而（3）是錯(cuò)誤的.（4）三棱WiP-A£C,體枳的疑丿yfvJSwq /? = ixlx3x8x5 = 20（/I最大是半徑）正確.3 3故答案為：（1）（4）17. （2020-蕭縣校級(jí)三模）已知正四棱柱ABCD-BxCfi的底而邊長(zhǎng)AB = 6,側(cè)棱長(zhǎng)A4,=2>/7，它

15、的外 接球的球心為O,點(diǎn)£是初的中點(diǎn)，點(diǎn)P是球O的球面上任意一點(diǎn)，有以下判斷：（1）PE長(zhǎng)的最大值是9；（2）P到平而£BC的距離最大值是4 + V7：（3）存在過(guò)點(diǎn)E的平而截球O的截而而積是3兀：（4）三棱錐P-AEQ體積的最大值是20.其中正確判斷的序號(hào)是一 （1（4）.【解析】解：由題意可知球心在體對(duì)角線的中點(diǎn)，直徑為：+62+（2孫 =10半徑是5, （1）朋長(zhǎng)的最大值是：5 + V52 - 32 = 9,正確：（2）P到平而EBC的距離最大值是5 +疔-（3血尸=5 + 0,錯(cuò)誤；（3）球的大圓面積是25龍,過(guò)E與球心連線垂直的平面是小圓,面積為9龍，因而（3）是

16、錯(cuò)誤的.（4）三棱W；P-A£C,體枳的最大值是V = -S .EC A = lx丄><3乂8乂5 = 20（/川犬是半徑）正確.3心32故答案為：（1）（4）18. （2020秋長(zhǎng)沙縣校級(jí)月考）已知球O是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-BCD的外接球，P為棱DQ中點(diǎn)， 現(xiàn)在棱Q和棱CD上分別取點(diǎn)M, N,使得平而MNP與正方體各棱所成角相等，則平面MVP截球O的 截面面積是亠 ._12 【解析】解：I匸方體ABCD - ABGU中，P DD、中點(diǎn)，M，N分別為棱AD，CD:任意點(diǎn)， 正方體 ABCD ABCU 中，有 ABIICDIl“BlIC、DAD/BC/BlC/AxD,

17、 AAJIBBJICCJIDD、若平而MNP 口正方體各棱所成角相等，只需平而MNP 1J AD . DC，所成角相等即可，四而體D_MNP中，DN , DM , DP 而MNP所成角相等，設(shè) DM=u. DN=b、過(guò)D作DE丄而MNP,如卜圖所示：.DN 口而MNP所成角為ZONE, DM與而MVP所成角為ZDME, DP與而MVP所成角為ZDPE ,nrr)pr)p則 sinZD/VE = . sin ZDME = 一，sinZPPE = >DNDMDP由所成角相等，得DN = DM=DP丄2即M, N P分別為初，DC . D2的中點(diǎn)，:.MN/AC MP/AD9 故而 MNP/ 而連接 DB9ADt, DB, AC.在正方體ABCD_ABiCQ中，AD丄ADl9又4色丄平面AADD.A& ±ADP而人£>|4色=£, /. AD丄平而則AD】丄平而.MP/AD.MP丄平而ABQ,則MP丄BQ,同理MN丄4D ,MP|M/V = M,且MP, M/Vu平面MNP、BQ丄平而MNP,.球O是正方體ABCD -AC,。的外接球且正方體棱長(zhǎng)為1,.o為bq 的中點(diǎn)，設(shè)BQC而MNP = O ,則O9為截而圓圓心且0(7丄而MNP,：3 丄 ON,因此(OOf)2 = (ON)2 -(NOT =丄一丄=丄，2 6 3設(shè)截而