第4講直線、平面垂直的判定與性質

1、r最新W堀考向預測1一以疋休幾闊的定丈、獸塢和遠網為tli發(fā)點. 認識和理解空冋中錢麗羽“的冊爻性質與A fit延用公瑚.疋圧和L1止鬥的估準ilLlM - 些空劇圖形眄豊比關糸的肯單珥1弗題tits血觸，平而爾C帕邦定從鶴樸圧浪商1?中的和點電青內窖，池更 載垂直、ttVB直.面垂直的判定及述庇川零內吝.題酯毛豊 aw題購晤式岀rl ««««鶴m聽力t rufflw 址與優(yōu)m的屈JS.轎心 素養(yǎng)世倒雄慮.肯嗯一世舉/第4講直線、平面垂直的判定與性質理贛時”軒實必苗劉識*走進教材、知識梳理1.直線與平面垂直的判定定理與性質定理文字語言圖形語言付號語言判定

2、定理一條直線與一個平面 內的兩條相交直線都 垂直，則該直線與此 平面垂直ZS7a, b aa 0 b = °?1 丄l丄al丄ba性質定理垂直于冋一個平面的兩條直線平行d 匚b7a丄a? all bb丄ah2平面與平面垂直的判定定理與性質定理文字語言圖形語言付號語言一個平面過另一個平判定定理面的垂線，則這兩個rS 71卩? a丄卩/ / /1丄a平面互相垂直1 1兩個平面互相垂直，a丄3則一個平面內垂直于r a 13? 1性質定理a 0 3 = a交線的直線垂直于另/ 7 /1丄a一個平面丄a3空間角(1) 直線與平面所成的角 定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條

3、直線和這個平面所成 的角，如圖，/ PAO就是斜線AP與平面a所成的角.n 線面角B的范圍：茨0,2 .(2) 二面角 定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱.兩個半平面叫做二面角的面.如圖的二面角，可記作：二面角a-l- B或二面角P-AB-Q. 二面角的平面角如圖，過二面角 al-3的棱I上一點 0在兩個半平面內分別作 BO丄I, AO丄I，則AOB 就叫做二面角a-l - 3的平面角. 二面角的范圍設二面角的平面角為 9,貝yo, n. 當9=尹，二面角叫做直二面角.常用結論1. 線線、線面、面面垂直間的轉化2. 兩個重要定理(1) 三垂線定理在平

4、面內的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線 垂直.(2) 三垂線定理的逆定理在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂 直.3. 重要結論(2)若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內的任何一條直線(證明線線垂直的一個重要方法).(3) 垂直于同一條直線的兩個平面平行.(4) 一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這一條直線與另一個平面也垂直.二、教材衍化1. 下列命題中錯誤的是 (填序號). 如果平面a丄平面3,那么平面a內一定存在直線平行于平面3 如果平面a不垂直于平面 3那么平面a內一定不存在直線垂直于平面3 如果平面

5、a丄平面 y平面3丄平面Y , a A 3 = l，那么I丄平面 丫 如果平面a丄平面3,那么平面a內所有直線都垂直于平面3解析：對于，若平面a丄平面3,則平面a內的直線可能不垂直于平面3,即與平面3的關系還可以是斜交、平行或在平面3內，其他選項均是正確的.答案：2 .在三棱錐 P-ABC中，點P在平面ABC中的射影為點 0.(1) 若PA= PB= PC,則點 0是厶ABC的心；(2) 若PA丄PB, PB丄PC, PC丄PA,則點 O是厶ABC的心.解析：如圖1,連接OA, OB, OC, OP,在 RtOA, RtAPOB 和 RtOC 中，FA = PC= PB ,所以OA = OB=

6、 OC,即OABC的外心.禺IB 圖2(2)如圖2,延長AO, BO, CO分別交BC, AC , AB于點H, D, G.因為 PC 丄 PA , PB 丄 PC , PA APB = P ,所以PC丄平面PAB ,又AB 平面PAB ,所以PC丄AB ,因為 AB 丄 PO , PO APC= P ,所以AB丄平面PGC,又CG 平面PGC ,所以AB丄CG ,即CG ABC邊AB上的高.同理可證BD , AH分別為 ABC邊AC, BC上的高，即0為厶ABC的垂心.答案：外垂走出誤區(qū)一、思考辨析判斷正誤(正確的打，錯誤的打“X” )直線I與平面a內的無數條直線都垂直，則I丄a()(2)

7、垂直于同一個平面的兩平面平行.()(3) 直線 a丄 a, b丄 a，貝U a / b.()若a丄a丄卩，貝U a / a.()若直線a丄平面a,直線b / a,則直線a與b垂直.()(6)若平面a內的一條直線垂直于平面B內的無數條直線，則a丄B()答案：(1)X (2) X (3) V X(5) V X二、易錯糾偏常見誤區(qū)|K (1)忽略線面垂直的條件致誤；(2)忽視平面到空間的變化致誤.1.“直線a與平面a內的無數條直線都垂直”是“直線 a與平面a垂直”的條件.解析：根據直線與平面垂直的定義知“直線a與平面a內的無數條直線都垂直”不能推 出“直線a與平面a垂直”，反之則可以，所以應是必要不

8、充分條件.答案：必要不充分2. 已知直線a, b, c,若a丄b, b丄c,貝U a與c的位置關系為 .解析：若a, b, c在同一個平面內，由題設條件可得a / c;若在空間中，則直線a與c 的位置關系不確定，平行，相交，異面都有可能.答案：平行，相交或異面線面垂直的判定與性質(多維探究)角度一 線面垂直的證明II如圖所示，在四棱錐P-ABCD 中，AB丄平面 PAD , AB/ CD , PD = AD, E 是 PB 的中點,1是DC上的點，且 DF = 2AB, PH PAD中AD邊上的高.求證：(1)PH丄平面 ABCD ;(2)EF丄平面PAB.【證明】 因為AB丄平面PAD, P

9、H 平面PAD,所以PH丄AB.因為PHPAD中AD邊上的高，所以PH丄AD.因為 AB n AD= A, AB平面 ABCD , AD 平面ABCD ,所以PH丄平面 ABCD.1(2)如圖，取FA的中點M,連接MD , ME.因為E是PB的中點，所以ME綊？AB.1又因為DF綊2AB.所以ME綊DF ,所以四邊形MEFD是平行四邊形，所以 EF / MD.因為PD = AD,所以MD丄PA.因為AB丄平面PAD,所以MD丄AB.因為PAn AB = A,所以MD丄平面PAB,所以EF丄平面PAB.角度二線面垂直性質的應用1 :如圖，在三棱錐A-BCD中，AB丄AD , BC丄BD，平面 A

10、BD丄平面 BCD，點E,F(E與A, D不重合)分別在棱 AD , BD上，且EF丄AD.求證：(1)EF /平面ABC;(2)AD 丄 AC.【證明】在平面ABD內，因為AB丄AD , EF丄AD,所以EF / AB.又因為EF?平面ABC , AB 平面ABC, 所以EF /平面ABC.因為平面 ABD丄平面BCD ,平面ABD n平面BCD = BD,BC 平面 BCD , BC 丄 BD ,所以BC丄平面ABD.因為AD 平面ABD,所以BC丄AD.又 AB丄 AD, BC nAB= B, AB 平面 ABC , BC 平面 ABC,所以AD丄平面ABC.又因為AC 平面ABC,所以

11、AD丄AC.(1) 判定線面垂直的四種方法* * T T T W T « T 'H MT T T T "> "W P W W » T ' T1 T T ' T方法一測用塩曲爭直的就定室聲 ! ! '! a ! !' 育法二 +1二麥魚曳逸總半丙鑿程：!側甬;二冢直區(qū)整直手商”亓車石*鬲二不J 方法三f團與另一牛也奎亶“IBi Si A JBa a Bi JB I* !< a ；.!' ± 4 .方床四 一：利用丙面卉Jf的杜康定理 !*t'' ' »!

12、【(2) 判定線線垂直的四種方法博熾畢的垂亶蕪果'*«!'«*!« * St « * B * » * « «'* « »««««« «豪 »«-* *«*Bi K * A . M IB ¥ 聲尋”.申 A a ° i方法二彳判用善鷹三角基眉捷中嵬曲堆睛片法三十劇用皙蔗霍理的逆宦廈進行計算證射" * ! > ， ，f ' *! * ' j方沬四

13、一【利用規(guī)勾平面丟克的柿質如圖所示，在四棱錐P-ABCD 中,PA 丄底面 ABCD , AB 丄 AD , AC 丄 CD，/ ABC = 60,PA= AB= BC , E是PC的中點.證明：（1）CD丄AE ;(2)PD丄平面ABE.證明：在四棱錐 P-ABCD中,因為PA丄底面ABCD , CD 平面 ABCD , 所以PA丄CD.因為AC丄CD , PA HAC = A, 所以CD丄平面PAC.而AE 平面PAC,所以CD丄AE.由 PA= AB= BC, /ABC = 60° 可得 AC = FA. 因為E是PC的中點，所以AE丄PC.由（1）知 AE丄 CD ,且 PC

14、 n CD = C,所以AE丄平面PCD.而PD 平面PCD ,所以AE丄PD.因為PA丄底面ABCD ,所以PA丄AB.又因為AB丄AD且PAn AD = A,所以AB丄平面PAD ,而PD?平面PAD ,所以AB丄PD.又因為 AB A AE= A,所以PD丄平面ABE.考點面面垂直的判定與性質（典例遷移）（一題多解）如圖，四棱錐P-ABCD 中，AB丄 AC, AB 丄 PA, AB / CD, AB = 2CD ,E, F , G, M, N 分別為 PB, AB, BC, PD, PC 的中點.求證：CE /平面FAD ;求證：平面EFG丄平面EMN.【證明】 法一：取PA的中點H

15、,連接EH , DH.D C又E為PB的中點，1所以EH綊2AB.1又CD綊2AB,所以EH綊CD.所以四邊形DCEH是平行四邊形，所以 CE / DH.又DH 平面PAD , CE0平面PAD.所以CE /平面PAD.法二：連接CF.因為F為AB的中點，所以AF = ；AB.1又 CD = 2AB ,u c所以AF = CD.又AF / CD,所以四邊形 AFCD為平行四邊形.因此 CF / AD.又CF?平面PAD, AD 平面FAD,所以CF /平面FAD.因為E, F分別為FB, AB的中點，所以EF / FA.又EF0平面FAD, FA 平面FAD ,所以EF /平面FAD.又因為C

16、F A EF = F.故平面 CEF /平面FAD.又因為CE 平面CEF,所以CE /平面FAD.因為E, F分別為FB, AB的中點，所以EF / FA,又AB丄FA,所以AB丄EF.同理可得AB丄FG.又 EF A FG = F , EF?平面 EFG ,FG 平面EFG ,因此AB丄平面EFG .又M , N分別為FD, FC的中點，所以MN / CD.又AB / CD,所以MN / AB ,所以MN丄平面EFG .又MN 平面EMN ,所以平面EFG丄平面EMN.【遷移探究1】（變問法）在本例條件下，證明：平面 EMN丄平面FAC.證明：因為 AB丄FA , AB丄AC ,且FAA

17、AC = A ,所以AB丄平面PAC.又 MN / CD, CD /AB,所以 MN / AB.所以MN丄平面PAC.又MN 平面EMN ,所以平面 EMN丄平面FAC.【遷移探究2】(變問法)在本例條件下，證明：平面EFG /平面FAC.證明：因為E, F, G分別為PB, AB, BC的中點，所以 EF / FA, FG /AC,又EF0平面PAC, FA 平面FAC,所以EF /平面PAC.同理，FG /平面PAC.又EF A FG = F ,所以平面 EFG /平面FAC.證明面面垂直的兩種常用方法(1)用面面垂直的判定定理，即先證明其中一個平面經過另一個平面的一條垂線.(2)用面面垂

18、直的定義，即證明兩個平面所成的二面角是直二面角，把證明面面垂直的 問題轉化為證明平面角為直角的問題.總 孌貳訓嫌卜如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面FAD丄平面ABCD ,FA丄PD, PA= PD, E, F分別為 AD , PB的中點.(1) 求證：PE丄BC;(2) 求證：平面 PAB丄平面PCD ;(3) 求證：EF /平面FCD.證明：(1)因為PA= PD , E為AD的中點，所以PE丄AD.因為底面ABCD為矩形，所以BC/ AD.所以PE丄BC.(2)因為底面ABCD為矩形，所以AB丄AD.又因為平面PAD丄平面ABCD ,所以AB丄平面FAD.所以AB丄P

19、D.又因為FA丄PD ,所以PD丄平面PAB.所以平面FAB丄平面PCD.1所以 FG / BC, FG = 2BC.因為四邊形 ABCD為矩形，且E為AD的中點，1所以 DE / BC, DE = 2BC.所以 DE / FG , DE = FG.所以四邊形DEFG為平行四邊形.所以 EF / DG.又因為EF?平面PCD , DG 平面PCD ,所以EF /平面PCD .考點El垂直關系中的探索性問題(師生共研)EEI如圖，在三棱柱 ABC-AiBiCi中，側棱 AAi丄底面 ABC，M為棱 AC的中點.AB=BC , AC= 2, AAi =2.,I(1)求證：BiC/ 平面 AiBM

20、;求證：ACi丄平面AiBM ;(3)在棱BBi上是否存在點N,使得平面 ACiN丄平面AAiCiC?如果存在，求此時BNBBi值；如果不存在，請說明理由.【解】 證明：連接ABi與AiB,兩線交于點0,連接0M.在厶BiAC中，因為M , 0分別為AC, ABi的中點，所以 0M / BiC,(2)證明：因為側棱AAi丄底面ABC , BM 平面ABC ,又因為 0M 平面AiBM , BiC?平面 AiBM, 所以BiC /平面AiBM.所以AAi丄BM ,又因為M為棱AC的中點，AB = BC,所以BM丄AC.因為 AAiAAC= A, AAi, AC 平面 ACCiAi,所以BM丄平面

21、ACCiAi,所以BM丄ACi.因為AC = 2,所以AM = i.又因為 AAi= ；2,所以在 RtACCi和RtAiAM中，tan ZACiC= tan ZAi MA =“J2,所以 Z ACiC= Z AiMA,即 Z ACiC + /CiAC= Z AiMA + Z CiAC = 90°所以AiM丄ACi.因為 BM n AiM = M , BM , AiM平面AiBM ,所以ACi丄平面AiBM.BN 1當點N為BBi的中點，即BBi=時,平面ACiN丄平面AAiCiC.證明如下：設ACi的中點為D,連接DM , DN.因為D, M分別為ACi , AC的中點，1所以 D

22、M / CCi,且 DM = 2CCi.又因為N為BBi的中點，所以DM / BN,且DM = BN,所以四邊形BNDM為平行四邊形，所以 BM / DN ,因為BM丄平面ACCiAi,所以DN丄平面AAiCiC.又因為DN 平面ACiN,所以平面ACiN丄平面AAiCiC.(i)對于線面關系中的存在性問題 ，首先假設存在，然后在該假設條件下，利用線面關 系的相關定理、性質進行推理論證，尋找假設滿足的條件，若滿足則肯定假設，若得出矛盾 的結論則否定假設.對于探索性問題用向量法比較容易入手一般先假設存在，設出空間點的坐標，轉化為代數方程是否有解的問題，若有解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或

23、無解則不 存在.匡変戒UlIgKP如圖所示，平面 ABCD丄平面BCE，四邊形ABCD為矩形，BC= CE, 點F為CE的中點.(1) 證明：AE /平面BDF ;(2) 點M為CD上任意一點，在線段 AE上是否存在點 P,使得PM丄BE?若存在，確定點P的位置，并加以證明；若不存在，請說明理由.解：證明：連接AC交BD于點0,連接0F.因為四邊形ABCD是矩形，所以0為AC的中點.又F為EC的中點，所以OF / AE.又OF 平面BDF ,AE?平面 BDF ,所以AE /平面BDF .(2)當點P為AE的中點時，有PM丄BE,證明如下：取BE的中點H ,連接DP , PH, CH.因為P為

24、AE的中點，H為BE的中點，所以PH / AB. 又 AB/ CD,所以 PH / CD,所以P, H, C, D四點共面.因為平面 ABCD丄平面BCE,且平面 ABCD門平面BCE= BC, CD丄BC,CD 平面ABCD ,所以CD丄平面BCE.又BE 平面BCE,所以CD丄BE ,因為BC = CE ,且H為BE的中點，所以CH丄BE.又 CH n CD = C,且 CH , CD 平面 DPHC , 所以BE丄平面DPHC.又PM 平面 DPHC ,所以PM丄BE.倉駆I ED昌邏輯推理平面圖形折疊問題的解題技巧、將平面圖形折疊成立體圖形如圖是一個正方體表面的一種展開圖，圖中的四條線

25、段AB, CD，EF 和 GH 在原正方體中相互異面的有對.畫出圖形即可判斷【解析】平面圖形的折疊應注意折前折后各元素相對位置的變化.相互異面的線段有 AB與CD , EF與GH , AB與GH ,共3對.【答案】3畫折疊圖形一般以某個面為基礎，依次將其余各面翻折還原，當然，畫圖之前要對翻折 后形成的立體圖形有所認識，這是解答此類問題的關鍵.、折疊中的“變”與“不變如圖，在等腰直角三角形ABC 中，/ A= 90°, BC= 6, D , E 分別是 AC,AB上的點，CD = BE = ；2, O為BC的中點.將 ADE沿DE折起，得到如圖所示的四 棱錐 A- BCDE，其中 A&

26、#39;O =3.證明：A O丄平面BCDE ;求二面角A CD B的平面角的余弦值.昭圏【解】證明：在題圖中，易得0C = 3, AC= 3 '2, AD = 2 ,：2.連接OD , OE ,在厶OCD中，由余弦定理可得OD = .OC2+ CD2 2OC CDcos 45 °=：5.由翻折不變性可知 AD = 2 .''2,所以 AO2+ OD2= A'D2,所以 A'O丄OD ,同理可證A'O丄OE ,又OD n OE = O,所以AO丄平面BCDE.過O作OH丄CD交CD的延長線于 H ,連接A H ,因為A O丄平面BCDE

27、 ,所以A H丄CD ,所以/ A HO為二面角 A CD B的平面角.結合題圖可知，H為AC的中點，故OH = 竽,從而A 'H =、OH2+ OA 2=乎，所以 cos/A HO = 515,所以二面角ACD B的平面角的余弦值為折疊問題的關鍵有二： 畫好兩個圖折疊前的平面圖和折疊后的立體圖；分析好兩個關系一一折疊前后哪些位置關系和數量關系發(fā)生了變化,哪些沒有改變一般地，在同一半平面內的幾何元素之間的關系是不變的.涉及兩個半平面內的幾何元素之間的關系是 要變化的.分別位于兩個半平面內但垂直于折疊棱的直線翻折后仍然垂直于折疊棱.、立體圖形的表面展開圖的應用在一個底面直徑是5 cm,高

28、為2 ncm的圓柱形玻璃杯子的上沿B處有一只蒼蠅,而恰好在相對的底沿 A處有一只蜘蛛，蜘蛛要想用最快的速度捕捉到這只蒼蠅，蜘蛛所走 的最短的路程是.1【解析】 利用側面展開圖，如圖，蜘蛛所走的最短的路程是線段AB的長，AC = 2nncm，即蜘蛛所走的最短的路程X |= I ncm，BC= 2 ncm，則 AB=J (2 n) 2+ ； n是#【答案】亠fl n cm求從一點出發(fā)沿幾何體表面到另一點的最短距離問題：通常把幾何體的側面展開，轉化為平面圖形中的距離問題.基礎題組練1. （2020 寧大連模擬）已知直線I和平面a卩，且I a,廠I丄B”是“ a丄f的（ ）A .充分不必要條件B 必要

29、不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：選A.由面面垂直的判定定理可得 ，若I a, I丄卩，則a丄f充分性成立；若Ia, a丄卩,則I與f平行或相交或垂直，必要性不成立.所以若I a,則“I丄f是“ a丄f 的充分不必要條件，故選A.2. （2020河北唐山模擬）如圖，在以下四個正方體中，直線AB與平面CDE垂直的是（）A .a nB .C.D .解析：選B.對于，易證AB與CE所成角為45 °則直線AB與平面CDE不垂直；對 于，易證AB丄CE, AB丄ED，且CE n ED = E,貝U AB丄平面CDE ;對于，易證 AB與 CE所成角為60°則直線AB

30、與平面CDE不垂直；對于，易證ED丄平面ABC，則ED丄AB, 同理EC丄AB,可得AB丄平面 CDE.故選B.3. （2020黑龍江鶴崗模擬）如圖，在三棱錐 V ABC中，VO丄平面 ABC, O CD , VA=VB, AD = BD，則下列結論中不一定成立的是 （）A. AC= BCB. AB 丄 VCC. VC丄VDD . S vcd AB = Sabc VO解析：選C.因為VO丄平面ABC , AB 平面ABC,所以VO丄AB因為VA= VB, AD =BD ,所以VD丄AB又因為VO A VD = V,所以AB丄平面VCD.又因為CD 平面VCD ,所以AB丄CD.又因為 AD =

31、 BD ,所以AC = BC,故A正確.又因為VC 平面VCD ,所以AB丄VC,故B正確；1 1因為 Szvcd = 2VO CD , Sbc = 2AB CD ,所以 Szvcd AB = SmbcVO,故 D 正確.由題中 條件無法判斷 VC丄VD.故選C.4. 如圖，在斜三棱柱 ABC-AiBiCi中，/ BAC = 90°, BCi丄AC,貝U Ci在底面 ABC上的射影H必在（）A .直線AB上B .直線BC上C.直線AC上D . ABC內部解析：選A.由AC丄AB, AC丄BCi,得AC丄平面ABCi.因為AC 平面ABC,所以平面 ABCi丄平面 ABC.所以Ci在平

32、面ABC上的射影H必在兩平面的交線 AB 上.5. 如圖，在正四面體 P-ABC中，D, E, F分別是AB, BC, CA的中點，下面四個結論不成立的是（）A . BC/ 平面 PDFB. DF丄平面PAEC. 平面 PDF丄平面 PAED .平面PDE丄平面ABC解析：選D.因為BC / DF , DF 平面PDF ,BC?平面 PDF ,所以BC /平面PDF ,故選項A正確；在正四面體中，AE丄BC, PE丄BC, AE APE = E,且AE, PE 平面PAE,所以BC丄平面PAE,因為DF / BC,所以DF丄平面PAE,又DF 平面PDF ,從而平面 PDF丄平面PAE.因此選

33、項B , C均正確.6如圖，在 ABC 中，/ ACB = 90°, AB = 8，/ ABC = 60°, PC丄平面 ABC, PC= 4,M是邊AB上的一個動點，則 PM的最小值為 .解析：作CH丄AB于H ,連接PH.因為PC丄平面ABC,所以PH丄AB, PH為PM的最 小值，等于2 7.答案：2 77. 如圖所示，在四棱錐 P-ABCD中，PA丄底面ABCD，且底面各邊都相等， M是邊PC 上的一動點，當點 M滿足時，平面MBD丄平面PCD.（只要填寫一個你認為是正確的條件即可）c解析:連接AC, BD,貝y AC丄BD,因為PA丄底面ABCD ,所以PA丄BD

34、又PA n AC = A,所以BD丄平面PAC,所以BD丄PC.所以當DM丄PC（或BM丄PC）時，即有PC丄平面 MBD.而PC 平面PCD ,所以平面 MBD丄平面PCD.答案：DM丄PC（或BM丄PC）8. 如圖，PA丄O O所在平面，AB是O O的直徑，C是O O上一點，AE丄PC, AF丄PB, 給出下列結論： AE丄BC;EF丄PB :AF丄BC :AE丄平面PBC，其中正確結論的序P.曰號是解析：AE 平面PAC, BC丄AC , BC丄PA? AE丄BC,故正確；AE丄PC, AE丄BC, PB 平面PBC? AE丄PB , AF丄PB , EF 平面 AEF? EF丄PB,故

35、正確；若 AF丄BC? AF丄平面PBC,則AF / AE與已知矛盾，故錯誤；由可知正確.答案：9. 如圖，在多面體 ABCDPE中，四邊形 ABCD和CDPE都是直角梯形，AB / DC , PE/ DC , AD 丄 DC , PD 丄平面 ABCD , AB = PD = DA = 2PE, CD = 3PE , F 是 CE 的中點.（1）求證：BF /平面ADP ;已知O是BD的中點，求證： BD丄平面 AOF.證明：如圖，取PD的中點為G,連接FG, AG,因為F是CE的中點，所以FG是梯形CDPE的中位線，因為 CD = 3PE,所以 FG = 2PE,FG /CD,因為 CD

36、/ AB, AB = 2PE,所以 AB / FG, AB = FG ,即四邊形ABFG是平行四邊形，所以 BF / AG，又BF0平面ADP，AG 平面 ADP ,所以BF /平面ADP .(2)延長AO交CD于點M ,連接BM , FM ,因為BA丄AD, CD丄DA , AB= AD , O為BD的中點，所以ABMD是正方形，貝U BD丄AM, MD = 2PE.所以FM / PD ,因為PD丄平面ABCD ,所以FM丄平面 ABCD ,所以FM丄BD ,因為AM A FM = M ,所以BD丄平面 AMF ,所以BD丄平面AOF.10. (題多解)如圖 1 ,在等腰梯形 PDCB 中，

37、PB / DC , PB = 3 , DC = 1, / DPB = 45° , DA丄PB于點A,將厶PAD沿AD折起，構成如圖 2所示的四棱錐 P-ABCD ,點M在棱PB 上，且 PM = MB.(1) 求證：PD /平面MAC;(2) 若平面 PAD丄平面ABCD ,求點 A到平面 PBC的距離.解：證明：在四棱錐P-ABCD中，連接BD交AC于點N,連接MN ,依題意知AB / CD ,所以 ABNCDN ,所以BN _ND =CD = 2，1因為 PM = 2MB ,所以BNNDBMMP = 2,所以在 BPD中，MN /PD,又PD?平面MAC , MN 平面 MAC.

38、所以PD /平面MAC.法一：因為平面 FAD丄平面 ABCD ,且兩平面相交于 AD , FAX AD , PA 平面PAD,所以PA丄平面ABCD ,1 11 1所以 VpaBC= 3SAABC PA= 3 X 2 X 2X 1 X 1 = .因為 AB = 2, AC ='AD2+ CD2= .2,所以 PB = PA2 + AB2= 5, PC = PA2+ AC2= .3, BC= AD2+( AB- CD) 2= . 2,所以 PB2= PC2+ BC2, 故zpcb = 90°記點A到平面PBC的距離為h,所以 Va-pbc= Sbc h= 1X f x .3X

39、 .2 h因為 Vpabc= Va-pbc,所以l=Qh，解得h = £故點A到平面PBC的距離為電6法二：P因為平面 PAD丄平面ABCD ,且兩平面相交于 AD, PA丄AD, PA 平面PAD ,所以PA丄平面ABCD ,因為BC 平面ABCD ,所以PA丄BC,因為 AB = 2, AC = ；AD2+ CD2= .'2,BC= - ,AD2+( AB CD) 2= 2,所以/ACB = 90 ° 即 BC 丄 AC ,又 FAQ AC = A, FA, AC 平面 PAC,所以BC丄平面PAC,過點A作AE丄PC于點E,貝U BC丄AE ,因為 PC Q

40、BC = C, PC, BC 平面 PBC,所以AE丄平面PBC,所以點A到平面PBC的距離為AE =PA ACPC1 X ;2 送,3 = 3 .綜合題組練1如圖，邊長為 a的等邊三角形 ABC的中線AF與中位線 DE交于點G,已知 A'DE 是厶ADE繞DE旋轉過程中的一個圖形，則下列命題中正確的是（）A' 動點A在平面ABC上的射影在線段 AF上; BC/平面ADE; 三棱錐A 'FED的體積有最大值.A .B .C.D .解析：選C.中由已知可得平面 AFG丄平面ABC,所以點A在平面ABC上的射影在線段 AF 上.BC/DE ,根據線面平行的判定定理可得BC/

41、平面A DE.當平面A DE丄平面ABC時，三棱錐A ' F-D的體積達到最大，故選C.2如圖，梯形 ABCD 中，AD / BC, / ABC= 90°, AD : BC : AB= 2 : 3 : 4, E, F 分別是AB,CD的中點，將四邊形ADFE沿直線EF進行翻折，給出下列四個結論：DF丄BC;BD丄FC;平面 BDF丄平面BCF;平面 DCF丄平面BCF，則上述結論可能正確的是A .D .C.解析：選B.對于，因為BC / AD , AD與DF相交但不垂直，所以BC與DF不垂直，則不成立；對于 ，設點D在平面BCF上的射影為點 P,當BP丄CF時就有BD丄FC,

42、而AD : BC : AB= 2 :3 : 4可使條件滿足，所以正確；對于 ，當點D在平面BCF上的射影P落在BF上時，DP 平面BDF ,從而平面 BDF丄平面BCF,所以正確；對于，因為點D在平面BCF上的射影不可能在 FC 上,所以不成立.3.在矩形 ABCD中，ABV BC,現將 ABD沿矩形的對角線 在翻折的過程中，給出下列結論：BD所在的直線進行翻折,存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直;存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直;存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直.其中正確結論的序號是.（寫出所有正確結論的序號AE 丄 BD解析：假設AC與BD垂直，過點A作AE丄BD于點

43、E,連接CE.則？ BDBD 丄 AC丄平面AEC? BD丄CE,而在平面BCD中，EC與BD不垂直，故假設不成立，錯. 假設 AB丄CD ,因為AB丄AD,所以AB丄平面 ACD ,所以AB丄AC ,由AB V BC可 知，存在這樣的等腰直角三角形，使AB丄CD ,故假設成立，正確. 假設AD丄BC,因為DC丄BC,所以BC丄平面ADC ,所以BC丄AC,即厶ABC為直角三角形，且AB為斜邊，而ABV BC ,故矛盾，假設不 成立，錯.綜上，填答案：4. 如圖，直三棱柱 ABC-AiBiCi中，側棱長為 2, AC = BC = 1,Z ACB =90°, D是AiBi的中點，F是BBi上的動點，A