第一章測(cè)量誤差數(shù)據(jù)處理不確定度的評(píng)定

1、第一章實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的基本方法我們每做一個(gè)物理實(shí)驗(yàn)，都是先對(duì)這個(gè)實(shí)驗(yàn)中的物理現(xiàn)象進(jìn)行觀察，然后通過相應(yīng)的測(cè)量 獲得一些實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，最后經(jīng)過對(duì)這些數(shù)據(jù)的處理得到最終的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。除了通過正確的原理和 方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)外，用正確的方法對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，是獲得合理的實(shí)驗(yàn)結(jié)果的關(guān)鍵。本章主 要介紹實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的基本方法。其內(nèi)容由以下兩部分組成：第一部的主要內(nèi)容是有效數(shù)字及其運(yùn)算、實(shí)驗(yàn)誤差的特點(diǎn)及克服方法、不確定度概念及其 初步評(píng)定方法等。第二部的主要內(nèi)容是列表法、作圖法、逐差法等常用的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法。§有效數(shù)字及其運(yùn)算、直接測(cè)量和間接測(cè)量我們知道，量度物質(zhì)的屬性或描述物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)所用的各種量值叫

2、做物理量，如長(zhǎng)度、速度、熱量、功、電流強(qiáng)度等。測(cè)量是用實(shí)驗(yàn)方法獲得物理量量值（測(cè)量值）的過程。按照測(cè)量值獲得方法的不同，測(cè)量分為直接測(cè)量和間接測(cè)量?jī)煞N。1. 直接測(cè)量：是指不需要對(duì)被測(cè)量與其它實(shí)測(cè)量進(jìn)行函數(shù)關(guān)系的輔助計(jì)算，直接從儀器或量具上得到被 測(cè)量值的測(cè)量。例如：用直尺測(cè)量長(zhǎng)度；以秒表計(jì)時(shí)間；用天平稱質(zhì)量；用電流表測(cè)電流等。 這些用直接測(cè)量得到量值的物理量叫做直接測(cè)得量。2. 間接測(cè)量是指從一個(gè)或幾個(gè)直接測(cè)量結(jié)果按一定的函數(shù)關(guān)系計(jì)算出來的的過程。而用間接測(cè)量得到 量值的物理量叫做 間接測(cè)得量。例如：在伏安法測(cè)電阻的實(shí)驗(yàn)中，用電流表直接測(cè)量流過待測(cè) 電阻的電流I，用電壓表直接測(cè)量待測(cè)電阻兩端

3、的電壓U，然后歐姆定律 R=U/I計(jì)算電阻的阻值R的過程，就是間接測(cè)量。在這里，電流I和電壓U是直接測(cè)得量，而電阻 R是間接間接測(cè)得量。、有效數(shù)字的定義由于種種原因，用任何實(shí)驗(yàn)儀器直接測(cè)量的數(shù)值都不可避免地含有一定的誤差，因此，測(cè) 得的數(shù)據(jù)都只能是 近似數(shù)。由這些近似數(shù)通過計(jì)算而得到的間接測(cè)量值也一定是近似數(shù)。顯然， 幾個(gè)近似數(shù)的運(yùn)算不可能使運(yùn)算結(jié)果更加準(zhǔn)確，而只會(huì)使其誤差增大。因此近似數(shù)的表示和計(jì) 算都必須遵循一些規(guī)則，以便確切地表示和記錄運(yùn)算結(jié)果的近似性。這些規(guī)則就是有效數(shù)字及 其運(yùn)算規(guī)則。從儀器上讀出的數(shù)字，通常都要盡可能估計(jì)到儀器最小刻度的下一位。以如圖1-1所示的圖1-1用米尺測(cè)量鋼

4、棒的長(zhǎng)度為例，我們可以讀出4.26cm, 4.27cm或4.28cm，前二位“4.2可以從米尺上直接讀出來，是 準(zhǔn)確數(shù)字，而第三位數(shù)“6；' “7或 “8是測(cè)量者估讀出來的，估讀的結(jié)果因 人而異，因此這一位是有疑問的，叫做存疑數(shù)字（又叫做不可靠數(shù)字）。由于第三位已經(jīng)存疑，因此已沒有必要估計(jì)它以后的各位數(shù)了。我們把儀器上直接讀出的數(shù)字和最后一位估讀的存疑數(shù)字，全部記錄下來，叫做有效數(shù)字。也就是說，有效數(shù)字包括從儀器上直接讀出的準(zhǔn)確數(shù)字和最后一位存疑數(shù)字，即有效數(shù)字=準(zhǔn)確數(shù)字+存疑數(shù)字而且也只有最后一位數(shù)字是存疑數(shù)字。測(cè)量結(jié)果用并且只用它的有效數(shù)字表示。上面所說的鋼棒長(zhǎng)度的測(cè)量值4.26

5、cm, 4.27cm或4.28 cm包含三位有效數(shù)字。也就是說，有效數(shù)字的位數(shù)等于準(zhǔn)確數(shù)字的位數(shù)加上存疑數(shù)字的位數(shù)（存疑數(shù)字的位數(shù)只能為1 ）。在以下的表述中，存疑數(shù)字下面有下滑線。例：2.365 （四位）；0.21008 （五位）；0.0024 （二位）；0.260 （三位）；0.01230 （四位）。、有效數(shù)字的特點(diǎn)1. 有效數(shù)字前面的 “0不是有效數(shù)字，而中間和后面的 “0”都是有效數(shù)字。例：0.0003576 , 3.005 , 3.000都是四位有效數(shù)字。在上例中的0.01230和本例中的 3.000最右邊的0”是有效位數(shù)，不可以省略不寫。注意：實(shí)驗(yàn)中的數(shù)字與數(shù)學(xué)上的數(shù)字是不一樣的。

6、數(shù)學(xué)的 8.35= 8.350 = 8.3500 ,實(shí)驗(yàn)的8.35工8.350 *8.3500 （小數(shù)點(diǎn)后面的0是有意義的）。2. 單位換算時(shí)，有效數(shù)字的位數(shù)不變。即有效數(shù)字的位數(shù)與小數(shù)點(diǎn)的位置無關(guān)。例：23.56 cm = 0.2356 m = 0.0002356 km為了避免混淆，并使記錄和計(jì)算方便，在寫有效數(shù)字時(shí)，通常在小數(shù)點(diǎn)前一律取一位有效數(shù)字，其它的數(shù)字全寫在小數(shù)點(diǎn)之后，然后乘上10的幕來表示，即A=a 10n，且 1 w a < 10這樣寫有效數(shù)字的方法，叫做科學(xué)記數(shù)法。例：在上例中，我們可以這樣寫：1-1-4823.56 cm =2.356 X10 cm=2.35QX10

7、m = 2.356 X10 km=2.356 X10 nm例：光速c= 30萬公里每秒。不正確的寫法：c = 300000 km/s; c = 300 km/s 正確的寫法：c= 3.0 氷05 km/s = 3.0 108 m/s3. 有效數(shù)字的位數(shù)與被測(cè)物的大小和測(cè)量?jī)x器的精密度有關(guān)。例如在圖1-1中測(cè)得物體的長(zhǎng)度為4.27 cm，是三位有效數(shù)字，如果改用千分尺來測(cè)，其有效數(shù)字的位數(shù)有五位。四、直接測(cè)得量有效數(shù)字的讀取直接測(cè)得量的有效數(shù)字來源于測(cè)量時(shí)所用的儀器。1. 刻度式儀表（米尺、千分尺、讀數(shù)顯微鏡、常用的電流表、電壓表等），一般讀數(shù)應(yīng)讀到最小分度，然后再估讀一位，如圖1-2所示。2.

8、有時(shí)讀數(shù)的估計(jì)位，就取在最小分度位。 例如，儀器的最小分度值為0.60.9都是估計(jì)的，不必估到下一位，如圖1-3所示。0.5 ,貝U 0.1 0.4 ,讀數(shù)：18.907 mm圖1-20 1123cmI11U讀數(shù)：4.7 cm圖1-300.02mm345讀數(shù)：15.84 mm01234567890圖1-43. 游標(biāo)類量具（游標(biāo)卡尺、分光計(jì)度盤、大氣壓計(jì)等），讀到游標(biāo)分度值的整數(shù)倍。多數(shù)情況下不估讀，特殊情況估讀到游標(biāo)分度值的一半。如圖1-4所示4. 數(shù)字式儀表及步進(jìn)讀數(shù)儀器（電阻箱、電橋、電位差計(jì)、數(shù)字電壓表等），不需估讀。直接讀取儀表的示值，如圖1-5所示。圖1-5讀數(shù)：4.20 cm圖1-

9、 65. 若測(cè)量值恰為整數(shù)，必須補(bǔ)零，直接補(bǔ)到存疑位，如圖1-6所示。6. 特殊情況，直讀數(shù)據(jù)的有效數(shù)字由儀器的靈敏閾決定。例如在電表的改裝”中，表頭串聯(lián)一個(gè)大電阻，改裝成電壓表時(shí)，由于線路靈敏度低，在確定串聯(lián)電阻時(shí)，調(diào)節(jié)電阻箱上“X 1Q擋時(shí)，表頭上的反映已經(jīng)不太靈敏，盡管最小步進(jìn)值為“X 0.1 電阻值只記錄到 “X 1Q”五、間接測(cè)得量有效數(shù)字尾數(shù)的舍入規(guī)則如上所述，在對(duì)直接測(cè)得量進(jìn)行測(cè)量時(shí)，必須用有效數(shù)字表示其量值。而要通過對(duì)有效數(shù) 字進(jìn)行運(yùn)算得到間接得測(cè)量時(shí)，不可避免地會(huì)遇到間接得測(cè)量有效數(shù)字尾數(shù)的舍入問題。根據(jù) 國(guó)家的相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)，將運(yùn)算結(jié)果中多余的存疑數(shù)字舍去時(shí)，本課程采用“4舍6入

10、5湊偶”的方法則。根據(jù)這個(gè)法則，當(dāng)要保留n位有效數(shù)字時(shí)，如果1. 第n+1位數(shù)字w 4 ,就把它直接舍掉；2. 第n+1位數(shù)字6時(shí)，則要向第n位數(shù)字進(jìn)1 ;3. 第n+1位數(shù)字=5，并且后面的數(shù)字都為0，則第n位數(shù)字若為偶數(shù)時(shí)就把這個(gè)5舍掉；第n位數(shù)字為奇數(shù)時(shí)就向前進(jìn)1 ;若第n+1位數(shù)字=5且后面還有不為0的任何數(shù)字時(shí)，無論第 n位數(shù)字是奇數(shù)或偶數(shù)都進(jìn)1。例：保留3位有效位數(shù)，則9.82462 = 9.82 （見上述第 1條）7.62671 = 7.63 （見上述第 2條）9.82500 = 9.82 （5后面的數(shù)字都為0,并且它前面的 2是偶數(shù)。）3.13500 = 3.14 （5后面的數(shù)

11、字都為0,并且它前面的 3是奇數(shù)。）6.32502 = 6.33 （5后面有不為 0的數(shù)字）六、有效數(shù)字的運(yùn)算1. 總的原則：（1）準(zhǔn)確數(shù)字與準(zhǔn)確數(shù)字進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，其結(jié)果仍為準(zhǔn)確數(shù)字。2）存疑數(shù)字與任何數(shù)字（準(zhǔn)確數(shù)字或存疑數(shù)字）進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，其結(jié)果均為存疑數(shù)字。（3）在最后的結(jié)果中只保留一位存疑數(shù)字，其后多余的存疑數(shù)字?jǐn)?shù)字是無意義的，應(yīng)按有效數(shù)字舍入規(guī)則截去。2. 具體規(guī)則:（1）兩數(shù)相加、減時(shí)，其結(jié)果的有效位數(shù)的最后（即最右）一位的位置與兩數(shù)中最后一位位數(shù)高者的相同例:478.2 3462 =481.662 ： 481.749.27 _ 3.4 =45.87 ： 45.9（2）兩數(shù)相乘、

12、除時(shí)，其結(jié)果的有效位數(shù)與兩數(shù)中有效位數(shù)少者相同。例如例:4834.5 23.19944.55 1.99 102569.-19.131.764132(3) 乘方、開方運(yùn)算最后結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)一般取與底數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)相同。例:(7.325)2 ： 53.66,32.8 5.73(4) 指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角等函數(shù)運(yùn)算結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)由其改變量對(duì)應(yīng)的數(shù)位決定。例：在In 2.32 =0.841567中2.32的存疑數(shù)字為 0.02，那么我們將它的末位數(shù)改變1(即In 2.33 =0.845868)后比較，看出發(fā)生改變的位置在小數(shù)點(diǎn)后的第三位(千分位)上，就能得知In 2.32 0.842。(5) n

13、 e、1/3、等常數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)可以認(rèn)為是無限的，應(yīng)取足夠的有效位數(shù)參與 運(yùn)算，直接根據(jù)計(jì)算器上的計(jì)算結(jié)果取用。(6) 有效數(shù)字位數(shù)不能由數(shù)學(xué)或物理常數(shù)來確定。例：在公式：二2as中，u的計(jì)算結(jié)果不能由于 “2的存在而只取一位存疑數(shù)字，而要根據(jù)a和s來決定。以上這些結(jié)論，在一般情況下是成立的，有時(shí)會(huì)有一位的出入。為了防止數(shù)字截尾后運(yùn)算 引入新誤差，在中間過程中，參與運(yùn)算的數(shù)據(jù)可多取1至2有效數(shù)字。在當(dāng)今計(jì)算機(jī)時(shí)代，對(duì)參與運(yùn)算的數(shù)和中間運(yùn)算結(jié)果都可不作修約，也可比傳統(tǒng)方法估計(jì) 的位數(shù)適當(dāng)多取幾位，只在最后結(jié)果表示前再作修約，這樣可能更有利于實(shí)驗(yàn)效率的提高。§2測(cè)量誤差和測(cè)量不確定度、

14、測(cè)量誤差的基本概念物理實(shí)驗(yàn)是以測(cè)量為基礎(chǔ)的，但如前所述，是任何測(cè)量結(jié)果都不可避免地存在誤差?？梢哉f 任何測(cè)量都不可能無限準(zhǔn)確。1. 測(cè)量誤差的定義測(cè)量結(jié)果與被測(cè)量真值的差叫做測(cè)量誤差，簡(jiǎn)稱誤差。如果用 x表示待測(cè)物理量的測(cè)量結(jié)果，X0是它的真值，則測(cè)量誤差為.X = X -Xo（ 1-1）測(cè)量誤差可以為正值，也可以為負(fù)值。顯然，這樣定義的測(cè)量誤差反映的是測(cè)量結(jié)果偏離真值 的大小和方向（正負(fù)），因此又常稱為絕對(duì)誤差。為了評(píng)價(jià)一個(gè)測(cè)量結(jié)果的優(yōu)劣，除了看測(cè)量誤差的大小和方向外，還需要看測(cè)得量本身的 大小。為此，弓I入 相對(duì)誤差的概念。相對(duì)誤差的定義為/XEr100%（1-2）Xo相對(duì)誤差的意義在于它

15、能夠反映測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確程度。例如測(cè)得兩個(gè)銅棒的長(zhǎng)度分別為23.50 cm和2.35 cm，而兩次的測(cè)量誤差均為0.03 cm，則它們的相對(duì)誤差分別為Er1 003 100% =0.13% ： 0.2%23.50Er1 二003 100% =1.3% ： 2%2.35從測(cè)量誤差看，兩者相等；但從相對(duì)誤差來看，后者是前者的10倍。我們自然認(rèn)為第一個(gè)測(cè)量更準(zhǔn)確些。一個(gè)物理量的真值，是在它被觀測(cè)時(shí)本身所具有的真實(shí)大小，只有完善的測(cè)量（理想測(cè)量） 才能得到真值。而實(shí)際上任何測(cè)量都有缺陷，因此真值是一個(gè)理想化的概念。由于真值無法確 切地知道，所以誤差也無法準(zhǔn)確地知道。在實(shí)際測(cè)量中經(jīng)常用準(zhǔn)確度高的測(cè)量結(jié)果（

16、如推薦值、 最佳估計(jì)值、已修正過的算術(shù)平均值、計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)器具所復(fù)現(xiàn)的值等）來代替真值（叫做約定真值），才能計(jì)算誤差。2. 測(cè)量誤差的分類根據(jù)誤差的性質(zhì)和產(chǎn)生的原因，可以把誤差分為系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差兩類。（1）系統(tǒng)誤差在相同條件下，對(duì)同一被測(cè)量的多次測(cè)量中，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)（正、負(fù)）保持恒定， 或在條件改變時(shí)誤差的絕對(duì)值和符號(hào)（正、負(fù)）按可預(yù)知的方式變化，這類誤差稱為系統(tǒng)誤差。 在重復(fù)性條件下，系統(tǒng)誤差等于對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無限多次測(cè)量所得結(jié)果的平均值與被測(cè)量的 真值之差。一般來講，系統(tǒng)誤差的主要來源包括： 儀器本身的缺陷或沒按規(guī)定條件使用儀器而引起的誤差（又叫做儀器誤差）。例如：電表的刻度不均勻

17、（示值誤差）；等臂天平的兩臂實(shí)際不等（機(jī)構(gòu)誤差）；指針式電表使用前沒調(diào) 零（零位誤差）；大氣壓強(qiáng)計(jì)未在標(biāo)定條件下使用引起的系統(tǒng)誤差等。 測(cè)量所依據(jù)的理論公式本身的近似性、實(shí)驗(yàn)條件不能達(dá)到理論公式的要求、測(cè)量方法所帶來的系統(tǒng)誤差（又叫做作理論誤差或方法誤差）。例如：?jiǎn)螖[運(yùn)動(dòng)方程小角度近似解引起的誤差、伏安法測(cè)電阻時(shí)電表內(nèi)阻引起的測(cè)量誤差等。 實(shí)驗(yàn)者引入的誤差。例如個(gè)人習(xí)慣和偏向（讀數(shù)總是偏高或偏低）、感官分辨能力（觸覺、嗅覺、聽覺、視覺）等。根據(jù)誤差的符號(hào)、絕對(duì)值是否確定，系統(tǒng)誤差分為如下兩類： 已定系統(tǒng)誤差：是絕對(duì)值和符號(hào)已經(jīng)確定的系統(tǒng)誤差分量。如零位誤差、大氣壓強(qiáng)計(jì)室溫下使用引起的誤 差、伏

18、安法測(cè)電阻時(shí)電流表內(nèi)接或外接引起的誤差等。實(shí)驗(yàn)中應(yīng)盡量消除已定系統(tǒng)誤差，或?qū)?測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正，修正公式為：測(cè)得值（或其平均值）-已定系統(tǒng)誤差 未定系統(tǒng)誤差：是符號(hào)或絕對(duì)值未被確定的系統(tǒng)誤差分量。對(duì)這類誤差一般要估計(jì)出其限值或分布范圍。 實(shí)驗(yàn)中可以通過方案選擇、參數(shù)設(shè)計(jì)、計(jì)量器具校準(zhǔn)、環(huán)境條件控制等環(huán)節(jié)來減小未定系統(tǒng)誤 差的限值。系統(tǒng)誤差是由于確定的原因，以確定的方式引起，具有確定性。它具有始終偏大、始終偏 小或周期性的特點(diǎn)。經(jīng)驗(yàn)表明，通過增加測(cè)量次數(shù)不能減少系統(tǒng)誤差。要想減少系統(tǒng)誤差，只 能從方法、理論、儀器等方面的改進(jìn)與修正來實(shí)現(xiàn)。（2）隨機(jī)誤差在相同條件下多次重復(fù)測(cè)量同一個(gè)量時(shí)，每次測(cè)量

19、出現(xiàn)的誤差的絕對(duì)值和符號(hào)以不可預(yù)知 的方式變化，這類誤差稱為隨機(jī)誤差。在重復(fù)性條件下，隨機(jī)誤差等于測(cè)量結(jié)果與對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無限多次測(cè)量所得結(jié)果的平均值之差。產(chǎn)生隨機(jī)誤差的原因是多方面的，如實(shí)驗(yàn)條件和環(huán)境因素的起伏、估讀數(shù)的偏差、測(cè)量對(duì) 象的不穩(wěn)定、數(shù)字儀表末位取整數(shù)時(shí)的隨機(jī)舍入過程等。隨機(jī)誤差由大量、微小、不可預(yù)知的因素引起，具有隨機(jī)性。它的特點(diǎn)是單個(gè)測(cè)量誤差表 現(xiàn)為不可預(yù)知的隨機(jī)性，而從總體來看這類誤差服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律。具體來講，大多數(shù)情況下，當(dāng) 測(cè)量次數(shù)足夠多時(shí)，小誤差出現(xiàn)的概率大，大誤差出現(xiàn)的概率小；正、負(fù)誤差對(duì)稱分布，具有 抵償性，能大致相消。所以可以取多次測(cè)量的平均值來作為被測(cè)量的最佳

20、估計(jì)值以消除隨機(jī)誤 差的影響。如上所述，無論是系統(tǒng)誤差，還是隨機(jī)誤差，它們都是基于無限多次測(cè)量所得總平均值的 理想概念。由于實(shí)際上只能進(jìn)行有限次測(cè)量，因此只能用有限次測(cè)量的平均值作為總平均值的 估計(jì)值。類似于矢量與其各分量的關(guān)系，在以后的論述中，我們可以把系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差看作總 誤差的兩個(gè)分量，分別叫做 系統(tǒng)誤差分量 和隨機(jī)誤差分量。另一類因?yàn)樽x數(shù)錯(cuò)誤、操作失當(dāng)?shù)仍蛟斐傻拿黠@超出規(guī)定條件下預(yù)期值的誤差，稱為粗大誤差。測(cè)量應(yīng)避免出現(xiàn)粗大誤差，已被謹(jǐn)慎地確定為含有粗大誤差的個(gè)別數(shù)據(jù)要剔除。系統(tǒng)誤差有時(shí)也可轉(zhuǎn)換成隨機(jī)誤差。例如某直尺的某一個(gè)或幾個(gè)刻線不準(zhǔn)。如果固定用某 一刻度起始測(cè)量，測(cè)量值有系

21、統(tǒng)誤差；而如果從不同刻線起始做多次測(cè)量，則測(cè)量值又具有隨 機(jī)分布的性質(zhì)。常用的一些術(shù)語：精密度：反映隨機(jī)誤差的大小程度；正確度：反映系統(tǒng)誤差的大小程度；準(zhǔn)確度：隨機(jī)誤差與系統(tǒng)誤差綜合大小；精 度：物理意義不明確，有時(shí)指精密度，也有時(shí)指準(zhǔn)確度。誤差雖然不可確知，但我們可以分析誤差的主要來源，盡可能消除或減小某些誤差分量對(duì) 測(cè)量的影響，把它控制在允許范圍之內(nèi)。對(duì)于最終不能消除的誤差分量，我們還可以估計(jì)出它 的限值或分布范圍，對(duì)測(cè)量結(jié)果的精確程度作出合理的評(píng)價(jià)。一般來講，誤差是普遍存在的。誤差的普遍性要求必須重視對(duì)測(cè)量結(jié)果的誤差分析和測(cè)量 結(jié)果的可信賴程度的評(píng)定，并且完整地表示測(cè)量結(jié)果。為了表示測(cè)量

22、結(jié)果的可信賴程度，我們 引入不確定度的概念。二、測(cè)量不確定度的基本概念簡(jiǎn)單地講，測(cè)量不確定度 是指由于測(cè)量誤差的存在而對(duì)被測(cè)量值不能確定的程度，它是被 測(cè)量的真值在某一量值范圍內(nèi)的一個(gè)評(píng)定。不確定度反映了可能存在的誤差分布范圍，即誤差的隨機(jī)誤差分量和未定系統(tǒng)誤差分量的 聯(lián)合分布范圍。這個(gè)范圍叫做 置信區(qū)間，這個(gè)區(qū)間以一定的概率（叫做置信概率）包含著被測(cè)量的真值。不確定度越大，置信區(qū)間內(nèi)包含真值的置信概率就越高，即測(cè)量結(jié)果落在該區(qū)間內(nèi) 的把握就越大。置信區(qū)間的半寬度就是測(cè)量不確定度的大小。例如：測(cè)量人體溫度為 37.2 C,或加或減0.1 C，置信概率為95 %。則該結(jié)果可以表示 為（37.2

23、C ± 0.1 ）C，不確定度為0.1 C，置信概率為P = 95 %。這個(gè)表述是說，我們測(cè)量 的人體溫度處在 37.1 C到37.3 C之間，有95 %的把握。測(cè)量誤差是一個(gè)差值，而測(cè)量不確定度是一個(gè)區(qū)間，這是測(cè)量不確定度和測(cè)量誤差的最根 本的區(qū)別。此外，由于真值的不可知，誤差一般是不能計(jì)算的，它可正、可負(fù)也可能十分接近 零；而不確定度總是不為零的正值，是可以具體評(píng)定的。不確定度是評(píng)價(jià)測(cè)量質(zhì)量的一個(gè)新概念，是表達(dá)測(cè)量結(jié)果具有分散性的一個(gè)參數(shù)，是誤差 的數(shù)字指標(biāo)。在測(cè)量方法正確的情況下，不確定度越小，測(cè)量結(jié)果可信賴程度越高；不確定度 越大，測(cè)量結(jié)果可信賴程度越低。用不確定度評(píng)定實(shí)驗(yàn)結(jié)

24、果的誤差，其中包含了各種來源不同的誤差對(duì)結(jié)果的影響，而它們 的計(jì)算又反映了這些誤差所服從的分布規(guī)律，這就更準(zhǔn)確地表述了測(cè)量結(jié)果的可靠程度，因而 有必要采用不確定度的概念。傳統(tǒng)的誤差理論把誤差分為“系統(tǒng)誤差”和“隨機(jī)誤差”兩類。但實(shí)際上，系統(tǒng)誤差往往 是未知的（一旦確知，則可以校正）。不確定度理論擯棄了這種分類方法，而是在修正了已定系 統(tǒng)誤差之后，將余下的不確定度分量分量按照測(cè)量數(shù)據(jù)的性質(zhì)分為兩類：（1） A類不確定度：多次重復(fù)測(cè)量時(shí)與隨機(jī)誤差有關(guān)的分量，用UA表示。它與數(shù)據(jù)的離散 性相對(duì)應(yīng)，用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法處理。（2） B類不確定度：多數(shù)與未定系統(tǒng)誤差有關(guān)的分量，用UB表示。它與儀器的欠準(zhǔn)確相對(duì)

25、 應(yīng)，用非數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法處理。注意，A、B兩類不確定度與傳統(tǒng)劃分的隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差并不存在簡(jiǎn)單的對(duì)應(yīng)關(guān)系。不 確定度理論仍保留了系統(tǒng)誤差的概念。研究不確定度的意義，在于它能夠科學(xué)地反映測(cè)量結(jié)果的數(shù)值和可靠程度；可以根據(jù)對(duì)測(cè) 量不確定度的要求，確定實(shí)驗(yàn)方案，選擇儀器和環(huán)境；同時(shí)能夠找出和減小系統(tǒng)誤差，提高實(shí) 驗(yàn)精度。不確定度必須正確評(píng)價(jià)。如果評(píng)價(jià)得過大，則在實(shí)驗(yàn)中會(huì)因懷疑結(jié)果的正確性而不能果斷 地做出判斷，在生產(chǎn)中會(huì)因測(cè)量結(jié)果不能滿足要求而造成浪費(fèi)；如果評(píng)價(jià)得過小，在實(shí)驗(yàn)中可 能會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)論，在生產(chǎn)中則產(chǎn)品質(zhì)量不能保證，造成危害。測(cè)量結(jié)果是否有用，在很大程度上取決于其不確定度的大小，所以測(cè)量

26、結(jié)果必須有不確定 度說明時(shí)，才是完整和有意義的。一個(gè)完整的測(cè)量結(jié)果應(yīng)包括測(cè)量對(duì)象、測(cè)量對(duì)象的量值、測(cè)量不確定度、測(cè)量值的單位（又稱測(cè)量的四個(gè)要素）。例如電橋法測(cè)某一電阻的結(jié)果可表示為：R= （910.3 ±0.4） Q。這里，R代表測(cè)量對(duì)象（電阻），910.3是被測(cè)量值，0.4為測(cè)量不確定度，Q是電阻的單位。§3不確定度的初步評(píng)定在測(cè)量不確定度的使用過程中，根據(jù)表示的方式不同，有三種不同的術(shù)語：標(biāo)準(zhǔn)不確定度：測(cè)量結(jié)果的不確定度用標(biāo)準(zhǔn)偏差表示。合成不確定度：測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)不確定度是各不確定度分量的合成得到的。擴(kuò)展不確定度：為了提高置信水平，用包含因子k乘合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度得到的

27、一個(gè)區(qū)間來表示的測(cè)量不確定度。在1996年由中國(guó)計(jì)量科學(xué)研究院發(fā)布的測(cè)量不確定度表達(dá)指南中，對(duì)實(shí)驗(yàn)的測(cè)量不確 定度有嚴(yán)格而詳盡的論述。但作為大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)，限于教學(xué)要求，在對(duì)不確定度進(jìn)行初步 評(píng)定時(shí)，本教程只介紹標(biāo)準(zhǔn)不確定度和合成不確定度。一、隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)規(guī)律由于隨機(jī)誤差的存在，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)會(huì)圍繞真值有所起伏，對(duì)某一次測(cè)量，這種起伏是不可預(yù) 測(cè)的。若進(jìn)行多次測(cè)量，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)常滿足一定的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律，可用一定的分布函 數(shù)來描述。物理實(shí)驗(yàn)中遇到的典型分布有正態(tài)分布、均勻分布、三角分布、t分布（可參閱相關(guān)書籍）等。在實(shí)驗(yàn)中如果影響測(cè)量結(jié)果的因素很多，很細(xì)微，并且相互獨(dú)立，則當(dāng)測(cè)量次數(shù)無 限時(shí)

28、，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布。二、測(cè)量?jī)x器的誤差測(cè)量?jī)x器的性能可以用示值誤差和最大允許誤差來表示。測(cè)量?jī)x器的 示值誤差，被定義為“測(cè)量?jī)x器的示值與對(duì)應(yīng)輸入量的真值之差”。同型號(hào)的不同儀器，它們的示值誤差一般是不同的。一臺(tái)儀器的示值誤差必須通過檢定或校準(zhǔn)才能獲得， 正因?yàn)槿绱耍判枰獙?duì)每一臺(tái)儀器進(jìn)行檢定或校準(zhǔn)。已知某儀器的示值誤差后，就可對(duì)其測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正，示值誤差反號(hào)就是該儀器的修正值。修正后結(jié)果的不確定度就與修正值本身的不確定度有關(guān)，也就是說，與檢定或校準(zhǔn)所得到 的示值誤差的不確定度有關(guān)。測(cè)量?jī)x器的 最大允許誤差（也叫允許誤差限，簡(jiǎn)稱允差），被定義為“對(duì)給定測(cè)量?jī)x器，規(guī) 范、規(guī)程等所允許的誤差極

29、限值?！彼怯筛鞣N技術(shù)性文件，諸如國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)、國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)、檢定規(guī) 程、技術(shù)規(guī)范或儀器說明書等規(guī)定的，可以從儀器說明書中得到。最大允許誤差不是通過檢定 或校準(zhǔn)得到的，而是制造廠對(duì)該型號(hào)儀器所規(guī)定的示值誤差的允許范圍。顯然，它并不是某臺(tái) 儀器實(shí)際存在的誤差，因而不能作為修正值使用。物理實(shí)驗(yàn)中，通常將規(guī)定條件下正確使用儀器時(shí)，儀器的最大允許誤差限作為儀器的誤差,用Am表示。允許誤差限本身不是測(cè)量不確定度，它給出儀器示值誤差的合格區(qū)間，因而可以作為評(píng)定 測(cè)量不確定度的依據(jù)。當(dāng)直接使用儀器的示值作為測(cè)量結(jié)果時(shí)，由儀器引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分 量，可以根據(jù)該型號(hào)儀器的允許誤差限按 B類評(píng)定方法得到。一些器具在實(shí)際

30、使用時(shí)，很難保證在相同條件下操作、或在規(guī)定的正常條件下測(cè)量，儀器 誤差除了允許誤差限外，還應(yīng)包含一些附加誤差分量。三、直接測(cè)得量不確定度的評(píng)定一般來講，在對(duì)隨機(jī)誤差的進(jìn)行處理時(shí)，先將多次測(cè)量的平均值作為測(cè)量結(jié)果的最佳估計(jì) 值，然后研究其分布，找出其特征值，歸入A類不確定度，參與對(duì)測(cè)量結(jié)果的評(píng)價(jià)；在對(duì)系統(tǒng)誤差的進(jìn)行處理對(duì)，在對(duì)已定系統(tǒng)誤差設(shè)法消除或修正后，估計(jì)未定系統(tǒng)誤差（如儀器誤差） 的限值，歸入B類不確定度，參與對(duì)測(cè)量結(jié)果的評(píng)價(jià)。1. 不確定度的A類評(píng)定不確定度的A類評(píng)定，就是用統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算出多次重復(fù)測(cè)量時(shí)與隨機(jī)誤差有關(guān)的分量。其 基本方法和步驟如下：（1）在相同條件下對(duì)物理量 x進(jìn)行次測(cè)量

31、，得到測(cè)量數(shù)據(jù)列X2、X3、xi、Xn。(2) 計(jì)算測(cè)量數(shù)據(jù)列的算術(shù)平均值:特殊情況：如果存在已定系統(tǒng)誤差(1-3)Axo，則要計(jì)算測(cè)量值的修正值：x = x . : x0。(3)用利貝塞耳(Bessel)公式計(jì)算算術(shù)平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差 得到平均值x0的A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度：s(x)(請(qǐng)參閱相關(guān)書籍)，就Ua(x)=s(x)=n' (Xi -X)2i 1(1-4)2.不確定度的B類評(píng)定不確定度的B類評(píng)定，不是用統(tǒng)計(jì)的方法，而是用經(jīng)驗(yàn)或資料以及假設(shè)的概率分布估計(jì)出 的不確定度與未定系統(tǒng)誤差有關(guān)的分量，用估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)偏差表示。獲得B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度的信息來源一般有：以前的觀測(cè)數(shù)據(jù)；對(duì)有關(guān)技術(shù)資料和

32、測(cè)量?jī)x器 的了解和經(jīng)驗(yàn)；生產(chǎn)部門提供的技術(shù)說明文件；校準(zhǔn)證書、檢定證書或其他文件提供的數(shù)據(jù)、 準(zhǔn)確度的級(jí)別，包括目前暫在使用的極限誤差；手冊(cè)或某些資料給出的參考數(shù)據(jù)及其不確定度； 規(guī)定實(shí)驗(yàn)方法的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)或類似技術(shù)文件中給出的重復(fù)性限或復(fù)現(xiàn)性等。信息的來源不同，平 定的方法也不同。在本教程中，對(duì) B類不確定度，我們主要討論儀器不準(zhǔn)確對(duì)應(yīng)的不確定度。由于儀器誤差 是儀器的最大允許誤差限 Am ,表示誤差落在去間-Am, Am 內(nèi)概率為100 %,這樣以來，B類 標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：Ub(X)_ -，;m(x)_ k(1-5)式中的厶m(X)就是置信區(qū)間的半寬度，而因子 k由可能的誤差概率分布決定：按正

33、態(tài)分布、均 勻分布和三角分布，分別取 3、 .3和.6。在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中，被測(cè)量既受隨機(jī)影響又受系統(tǒng) 影響，而對(duì)影響量缺乏任何其他信息的情況下，一般假設(shè)為均勻分布，即取k = .3。在相同置信概率下，把不確定度的A、B兩類分量用“方和根”方法合成，便得到 合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度(也叫做總標(biāo)準(zhǔn)不確定度)，即Uc(x) vuA(x) uB(x)(1-6)直接測(cè)量量的最終測(cè)量結(jié)果可以表示為X=x 二 Uc(x)(1-7)這個(gè)結(jié)果表明置信區(qū)間為x _uc(x) , X - uc(x) , Uc(x)為置信區(qū)間的半寬度，如果是正態(tài)分 布，則置信概率為 P=68.3 %。四、間接測(cè)得量不確定度的合成(或傳遞)設(shè)

34、N為間接測(cè)量量，它是相互獨(dú)立的3個(gè)直接測(cè)得量x、y、Z的函數(shù)，即(1-8)N = f ( x,y,z)顯然，間接測(cè)量的近似真實(shí)值和合成不確定度必須由直接測(cè)量結(jié)果通過函數(shù)式計(jì)算出來。既然直接測(cè)量有誤差，那么間接測(cè)量也必有誤差，這就是誤差的傳遞(或合成)。由直接測(cè)量值及其不確定度來計(jì)算間接測(cè)量值不確定度的關(guān)系式稱為誤差的傳遞公式。設(shè)各直接觀測(cè)量的測(cè)量結(jié)果分別為X 二x_Uc(x) , y 二 y_Uc(y), z 二Z _%(z)1. 如果將各個(gè)直接測(cè)量量的近似真實(shí)值x、y、z代入函數(shù)表達(dá)式(1-8)中，即可得到間接測(cè)量的近似真實(shí)值。(1-9)相似于高等數(shù)學(xué)中的微小增量,N = f ( x, y,

35、 z)2. 求間接測(cè)量的合成不確定度。由于不確定度均為微小量, 對(duì)函數(shù)式N= f (x , y , z )求全微分，即得dN ' dx ' dy dzexdycz式中dN、dx、dy、dz均為微小量，代表各變量的微小變化，dN的變化由各自變量的變化決定，ff、蘭為函數(shù)對(duì)自變量的偏導(dǎo)數(shù)。將上面全微分式中的微分符號(hào)d改寫為不確定度excycz符號(hào)u ,并將微分式中的各項(xiàng)求 “方和根”，即為間接測(cè)量的合成不確定度2 1U.:f.:z_+2 11 J.17O1-13.當(dāng)間接測(cè)量的函數(shù)表達(dá)式為積和商(或含和差的積商形式)的形式時(shí)，為了使運(yùn)算簡(jiǎn)便 起見，可以先將函數(shù)式兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，然

36、后再求全微分，即dNNdn fdxIn f:ydyfin f.:zdz同樣改寫微分符號(hào)為不確定度符號(hào)，再求其“方和根”，便得到間接測(cè)量的相對(duì)不確定度，即1711-12 11_/.VCln&pr+2 i1nn- rTL-X-N/.Vrc如果Ucr(N)、N已知，則由(1-11)式可以求出合成不確定度Uc(N)二N Ucr(N)( 1-12)在計(jì)算間接測(cè)量的不確定度時(shí)，對(duì)函數(shù)表達(dá)式僅為和差形式，可以直接利用(1-10)式，先求出間接測(cè)量的合成不確定度 Uc(N)，再利用(1-11)求出相對(duì)不確定度 ucr(N);如果函數(shù) 表達(dá)式為積和商(或積商和差混合)等較為復(fù)雜的形式，可直接采用(1-1

37、1 )式，先求出相對(duì)不確定度ucr(N)，再求出合成不確定度 uc(N)。下表列出一些常用函數(shù)的不確定度傳遞公式。函數(shù)表達(dá)式不確定度傳遞(合成)公式N = ax + byUc(N)-Ja Uc(x)+b Uc(y)N = ax byN =xyUcr(N)jWUc(y)2 I xyN =xjyN =x y zu (N) 匚 ®(X)丫 (y) 丫 ； Uc(Z) Ucr(N)飛m x jr y P z J4.最后，將對(duì)間接測(cè)得量 N的測(cè)量結(jié)果寫成如下標(biāo)準(zhǔn)形式：N 二N _ uc(N)需要指出的是，在進(jìn)行測(cè)量不確定度評(píng)定時(shí)，往往不可能將所有不確定度來源所導(dǎo)致的不 確定度分量都考慮在內(nèi)，這

38、樣會(huì)使評(píng)定復(fù)雜化。所以不確定度來源的分析尤為重要，每一個(gè)有 影響的因素應(yīng)不重復(fù)同時(shí)也不能遺漏。重復(fù)將導(dǎo)致不確定度過大，遺漏將導(dǎo)致不確定度過小， 應(yīng)抓住對(duì)結(jié)果影響的不確定度來源。有些不確定度分量的數(shù)值很小時(shí)，相對(duì)而言可以略去不計(jì)。在計(jì)算合成不確定度(1-10)式中求“方和根”時(shí)，如果某一平方值小于其它平方值的1/9,則這一項(xiàng)就可以略去不計(jì)。這一結(jié)論叫做微小誤差準(zhǔn)則。在進(jìn)行數(shù)據(jù)處理時(shí)，利用微小誤差準(zhǔn)則可減少不必要的計(jì)算。五、測(cè)量結(jié)果的表述規(guī)范1.總不確定度數(shù)值截尾時(shí)，采取“只入不舍”的方法，以保證其置信概率不降低。例：計(jì)算得到的總不確定度為uc(x) = 0.4212 m，截取后面的三位，便得到u

39、cr(x) = 0.5m。2. 如果測(cè)量結(jié)果是最終結(jié)果，其不確定度可用一位或二位數(shù)字表示。本課程約定，當(dāng)不確定度的第一位數(shù)字為 1或2時(shí)取二位，第一位數(shù)字> 3時(shí)取一位。例：某測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算的不確定度為Uc(xi) = 0.01383 m，則取(xi) = 0.014 m ;另一個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算的不確定度為Uc(x2) = 0.03332 m，則取Uc(x2)= 0.04 m。如果是作為間接測(cè)量的中間結(jié)果，其不確定度位數(shù)可比正常截?cái)喽嗳∫晃灰悦庠斐山匚舱` 差的累積。本教程約定，測(cè)量結(jié)果的相對(duì)不確定度一律用二位數(shù)的百分?jǐn)?shù)表示。例：某測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算的相對(duì)不確定度為Ucr(x)= 1.27549 %

40、m ,則取u“(x) = 1.3%m。3. 測(cè)量結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)由不確定度來確定。測(cè)量結(jié)果的最后一位應(yīng)與不確定度的最后一位對(duì)齊，即不確定度決定測(cè)量結(jié)果的有效位數(shù)。數(shù)據(jù)截?cái)鄷r(shí)其尾數(shù)按本教程采用的“4舍6入5湊偶”的方法處理。測(cè)量結(jié)果與不確定度的數(shù)量級(jí)、單位要相同。例：某測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算的平均值為x =1.83549 m，其不確定度計(jì)算得 Uc(x) = 0.04347 m，則測(cè)量結(jié)果可表示為 x= (1.84 ± 0.05) m。4. 在測(cè)量結(jié)果后一般要求用括號(hào)注明置信概率的近似值。本教程中，為方便起見，在表示 測(cè)量結(jié)果時(shí)，置信概率不要求注明。六、數(shù)據(jù)處理舉例例1：用千分尺測(cè)量小鋼球的直

41、徑，八次的測(cè)量值分別為 d ( mm) = 2.125 , 2.131 , 2.121 ,2.127 , 2.124 , 2.126 , 2.123 , 2.129，千分尺的零點(diǎn)讀數(shù) d°為+ 0.008 mm，最小分度數(shù)值為 0.01mm，試寫出測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)式。解：(1)求直徑d的算術(shù)平均值：1 8 1ddi 2.1252.1312.1212.1272.1242.1262.1232.129n打i 8=2.126 mm(2)修正千分尺的零點(diǎn)誤差:d =d -do =(2.126 -0.008) =2.118 mm(3) 計(jì)算A類不確定度:"I)2.125 -2.126)2 +(2.131 -