第二講速算與巧算

1、第2講速算與巧算計算是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，小學(xué)生要學(xué)好數(shù)學(xué)，必須具有過硬的計算本領(lǐng)。準確、 快速的計算能力既是一種技巧，也是一種思維訓(xùn)練，既能提高計算效率、節(jié)省計算 時間，更可以鍛煉記憶力，提高分析、判斷能力，促進思維和智力的發(fā)展。我們在三年級已經(jīng)講過一些四則運算的速算與巧算的方法，本講和下一講主 要介紹加法的基準數(shù)法和乘法的補同與同補速算法。例1：四年級一班第一小組有10名同學(xué)，某次數(shù)學(xué)測驗的成績（分數(shù)）如 下：86, 78, 77, 83, 91, 74, 92, 69, 84, 75。求這10名同學(xué)的總分。例1所用的方法叫做加法的基準數(shù)法。這種方法適用于加數(shù)較多，而且所有 的加數(shù)相差不大的情況。

2、作為“基準”的數(shù)（如例1的80）叫做基準數(shù)，各數(shù)與 基準數(shù)的差的和叫做累計差。由例1得到：總和數(shù)二基準數(shù)X加數(shù)的個數(shù)+累汁差，平均數(shù)二基準數(shù)+累汁差寧加數(shù)的個數(shù)。在使用基準數(shù)法時，應(yīng)選取與各數(shù)的差較小的數(shù)作為基準數(shù)，這樣才容易訃 算累訃差。同時考慮到基準數(shù)與加數(shù)個數(shù)的乘法能夠方便地訃算岀來，所以基準數(shù) 應(yīng)盡量選取整十、整百的數(shù)。練習(xí)：1. 求下面10個數(shù)的總和:165, 152, 168, 171, 148, 156, 169, 161, 157, 149。2. 某車間有9個工人加工零件，他們加工零件的個數(shù)分別為：68, 91, 84, 75, 78, 81, 83, 72, 79。他們共加工

3、了多少個零件？例2某農(nóng)場有10塊麥田，每塊的產(chǎn)量如下（單位：千克）：462, 480, 443, 420, 473, 429, 468, 439, 475, 461。求平均每塊麥田的 產(chǎn)量。練習(xí)：1. 農(nóng)業(yè)科研小組測定麥苗的生長惜況，量出12株麥苗的高度分別為（單位： 厘米）：26, 25, 25, 23, 27, 28, 26, 24, 29, 27, 27, 25。求這批麥苗的平均 高度。2. 計算：13 +16+10+11 +17+12 +15 +12 +16+13 +12 二求一位數(shù)的平方，在乘法口訣的九九表中已經(jīng)被同學(xué)們熟知，如7X7 = 49 （七七四十九）。對于兩位數(shù)的平方，大多

4、數(shù)同學(xué)只是背熟了 1020的平方，而 2199的平方就不大熟悉了。有沒有什么竅門，能夠迅速算出兩位數(shù)的平方呢？ 這里向同學(xué)們介紹一種方法一一湊整補零法。所謂湊整補零法，就是用所求數(shù)與最 接近的整十數(shù)的差，通過移多補少，將所求數(shù)轉(zhuǎn)化成一個整十數(shù)乘以另一數(shù)，再加 上零頭的平方數(shù)。下面通過例題來說明這一方法。例3求29X29和82X82的值。由上例看出，因為29比30少1,所以給29 “補” 1,這叫“補少”；因為82比80多2,所以從82中“移走” 2,這叫“移多”。因為是兩個相同數(shù)相乘， 所以對其中一個數(shù)“移多補少”后，還需要在另一個數(shù)上“找齊”。本例中，給一 個29補1,就要給另一個29減1；

5、給一個82減了 2,就要給另一個82加上2。最 后，還要加上“移多補少”的數(shù)的平方。由湊整補零法計算352,得35X35=40X30 + 52二1225。這與三年級學(xué)的個位數(shù)是5的數(shù)的平方的速算方 法結(jié)果相同。這種方法不僅適用于求兩位數(shù)的平方值，也適用于求三位數(shù)或更多位數(shù)的平 方值。例 4 求 993X993 和 2004X2004 的值。練習(xí)：計算下列各題：(1) 37X37；(2) 53X53；(3) 91X91；(4) 68X68：(5) 108X108；(6) 397X397。下面，我們介紹一類特殊悄況的乘法的速算方法。請看下面的算式：66X46, 73X88, 19X44。這兒道算式

6、具有一個共同特點，兩個因數(shù)都是兩位數(shù)，一個因數(shù)的十位數(shù)與 個位數(shù)相同，另一因數(shù)的十位數(shù)與個位數(shù)之和為10。這類算式有非常簡便的速算 方法。例 5 88X64=?例 6 77X91 = ?練習(xí)：計算下列各題：(1) 77X28；(2) 66X55；(3) 33X19；(4) 82X44；(5) 37X33；(6) 46X99o兩個數(shù)之和等于10,則稱這兩個數(shù)互補。在整數(shù)乘法運算中，常會遇到像 72X78, 26X86等被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字相同或互補，或被乘數(shù)與乘數(shù)的個位 數(shù)字相同或互補的情況。72X78的被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字相同、個位數(shù)字互 補，這類式子我們稱為“頭相同、尾互補”型；26X8

7、6的被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù) 字互補、個位數(shù)字相同，這類式子我們稱為“頭互補、尾相同”型。計算這兩類題 目，有非常簡捷的速算方法，分別稱為“同補”速算法和“補同”速算法。例 7 (1) 76X74 = ?(2) 31X39 = ?由例1看出，在“頭相同、尾互補”的兩個兩位數(shù)乘法中，積的末兩位數(shù)是 兩個因數(shù)的個位數(shù)之積(不夠兩位時前面補0,如1 X9 = 09),積中從白位起前面的數(shù)是被乘數(shù)（或乘數(shù)）的十位數(shù)與十位數(shù)加1的乘積?！巴a”速算法簡單地說 就是：積的末兩位是“尾X尾”，前面是“頭X （頭+1） ” o我們在三年級時學(xué)到的15X15, 25X25,，95X95的速算，實際上就是 “同補”速

8、算法。練習(xí)：（1） 68X62；（2） 93X97；例 8（1） 78X38=?（2） 43X63=?由例2看出，在“頭互補、尾相同”的兩個兩位數(shù)乘法中，積的末兩位數(shù)是 兩個因數(shù)的個位數(shù)之積（不夠兩位時前面補0,如3X3 = 09）,積中從白位起前面 的數(shù)是兩個因數(shù)的十位數(shù)之積加上被乘數(shù)（或乘數(shù)）的個位數(shù)。“補同”速算法簡 單地說就是：積的末兩位數(shù)是“尾X尾”，前面是“頭X頭+尾”。練習(xí)： （1） 27X87；（2） 79X39；（3） 42X62；例1和例2介紹了兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的“同補”或“補同”形式的速算法。 當被乘數(shù)和乘數(shù)多于兩位時，情況會發(fā)生什么變化呢？我們先將互補的概念推廣一下。當

9、兩個數(shù)的和是10, 100, 1000,時，這 兩個數(shù)互為補數(shù)，簡稱互補。如43與57互補，99與1互補，555與445互補。在一個乘法算式中，當被乘數(shù)與乘數(shù)前面的兒位數(shù)相同，后面的兒位數(shù)互補 時，這個算式就是“同補”型，即“頭相同，尾互補”型。例如70 70 23,因為被乘數(shù)與乘數(shù)的前兩位數(shù)麗7都廷To,后兩位數(shù)互補，77 + 23 = 100, 所以是"同補”型。又如1 48X 1 52, 23 8X 23 2,等都是"同補”型。當被乘數(shù)與乘數(shù)前面的兒位數(shù)互補，后面的兒位數(shù)相同時，這個乘法算式就 是"補同”型，即“頭互補，尾相同”型。例如，73 1 X 274

10、，586 14X 586 86等都是“補同”型。在計算多位數(shù)的“同補”型乘法時，例1的方法仍然適用。例 9 (1) 702X708=?(2) 1708X1792 = ?計算多位數(shù)的“同補”型乘法時，將“頭X (頭+1) ”作為乘積的前兒位， 將兩個互補數(shù)之積作為乘積的后兒位。注意：互補數(shù)如果是n位數(shù)，則應(yīng)占乘積的后2n位，不足的位補“0”。在計算多位數(shù)的"補同”型乘法時，如果“補”與“同”，即''頭”與"尾”的位數(shù)相同，那么例2的方法仍然適用(見例4)；如果“補”與“同”的 位數(shù)不相同，那么例2的方法不再適用，因為沒有簡捷實用的方法，所以就不再討 論了。例 10. 2865X7265=?解：練習(xí)：計算下列各題：作業(yè):1、83+81+79+86+83+75+86+77二2、一個搬運小組有10人，一天搬運的貨物件數(shù)如下：81、78、82、8