第五章微分的逆運算問題

1、第五章 微分的逆運算問題不定積分志立則學思從之，故才日益而聰明日盛，成乎富有。王夫之沒有任何一門學問的學習，能象學習算術(shù)那樣強有力地涉及到國內(nèi)的經(jīng)濟、政治和藝術(shù)。 數(shù)學的學習，能夠激勵那些沉睡和不求上進的年輕人，促使他們發(fā)展智慧和增強記憶力，甚至取得超越自身天賦的進步。柏拉圖本章簡介由求運動速度、曲線的切線和極值等問題產(chǎn)生了導數(shù)和微分，構(gòu)成微積分學的微分學部分；同時由已知速度求路程、 已知切線求曲線，和已知幾何圖形求面積與體積等問題，產(chǎn)生了不定積分和定積分，構(gòu)成微積分學的積分學部分。前面已學習過已知函數(shù)求導數(shù)問題，本章考慮其反問題：已知導數(shù)求其原函數(shù)，即求一個位未知函數(shù)，使其導數(shù)恰好是某一已知

2、函數(shù)。這種由 導數(shù)或微分求原來函數(shù)的逆運算稱為不定積分。§ 1逆向思維又一例一一原函數(shù)與不定積分提出問題已知曲線y二f(x),求過任意點的切線的斜率 (設斜率存在)。顯然，只要對y二f(x)求 導即可。反之，若已知曲線求過任意點的切線的斜率，如何求曲線的方程？即已知函數(shù)的導數(shù)，如何求已知函數(shù)。學習過程1.1原函數(shù)與不定積分的概念定義 設函數(shù)F(x)與f (x)在區(qū)間I上有定義。若在I上F x 二 f x則稱函數(shù)在區(qū)間I上的原函數(shù)。研究原函數(shù)必須解決的兩個重要問題： 什么條件下，一個函數(shù)存在原函數(shù)？ 如果一個函數(shù)存在原函數(shù)，那么原函數(shù)有多少？定理1若函數(shù)f (x)在區(qū)間I上連續(xù)，則f

3、(x)在I上存在原函數(shù)F(x).定理2設F(x)是f (x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù)，貝UF(x) C也是f (x)的一個原函數(shù)，其中 C為任意常數(shù)；f (x)的任意兩個原函數(shù)之間，相差一個常數(shù).定義2 f (x)在區(qū)間I上的全體原函數(shù)稱為 f (x)在I上的不定積分，記作f(x)dx其中稱為積分號，f (x)為被積函數(shù)，f (x)dx為被積表達式，x為積分變量不定積分的幾何意義若F (x)是f (x)的一個原函數(shù)，則稱y = f (x)的圖象為的一條積分曲線。于是，函數(shù)f(x)的不定積分.f (x)dx在幾何上表示f(x)的積分曲線族，它可由的某一條積分曲線y二F(x)沿y軸方向上下平移而得到

4、.顯然，曲線族中每一條積分曲線橫坐標相同 點處的切線相互平行(如圖5.1 )例1設曲線通過點(0,0)，且曲線上任一點處的切線斜率等于該點橫坐標的余弦值，求此 曲線.解設所求曲線為y = f (x) , (x, y)為曲線上任一點，由導數(shù)的幾何意義和題設條件有dydxI I二 cosxx£ = 0由于sinx是cosx的一個原函數(shù)，所以 cosx的不定積分是 y二sin x C .于是所求的曲線族為 y = sin x C代入初始條件x =0, y =0求得C =0.故經(jīng)過點(0,0)的積分曲線為y = sin x1.2 基本積分公式提出問題求一個函數(shù)的原函數(shù)遠比求一個已知函數(shù)的導數(shù)

5、困難得多，其原因在于原函數(shù)的定義不像導數(shù)那樣具有構(gòu)造性，它只告訴其導數(shù)正好等于已知函數(shù)f(x)，而沒有指出由f(x)求原函數(shù)的具體操作辦法。因此，只有選擇按照微分法的已知結(jié)果去逆推。學習過程1. 基本積分公式推導f (x)dx =?由導數(shù)公式(X：)'，令a -1=t，可得xt的一個原函數(shù)為所以 x d = C。 “二心1其余可由導數(shù)公式推出。2. 基本積分公式表2. 1dx = dx 二 x C ；盤x"3. x dxC ,(二 一 ：-1,x 0)；一 二亠114. 一dx =ln x +C , (x0);x5. exdx 二 ex C ;xxa6. a dxC , (a

6、 0,a = 1)；ln a7. cosxdx 二 sin x C ,8. sin xdx - -cosx C ,9. sec xdx =tanx C ;210 csc xdx = -cotx C ;11. secx tan xdx 二 secx C ；12. cscx cot xdx 二-cscx C ；,dx13. .arcs in x C = -arccosx C1;'<1 - x2dx14.2 二 arcta nx C - - arc cot x C11 x提出問題由導數(shù)公式求不定積分只適用于被積函數(shù)是基本初等函數(shù)的導數(shù)的情形，對較復雜的不定積分,就需要研究不定積分的線性

7、運算法則。學習過程不定積分的線性運算法則定理1 若函數(shù)f(x)和g(x)在區(qū)間I上的原函數(shù)都存在， 則f(x)二g(x)在區(qū)間I上的原函 數(shù)也存在，且f x g x dx = j f x dx g x dx證由不定積分的定義只要證右邊的導數(shù)等于左邊的被積函數(shù)即可。定理2 若函數(shù)f (x)在區(qū)間I上的原函數(shù)存在，k為實數(shù)(kz 0),貝U函數(shù)kf (x)在區(qū)間 I上的原函數(shù)也存在，且kf x dx = k f x dx2 求(2cosx -ex x -3)dx(2cosx -ex x -3)dx =2 cosxdx- exdx-3 xdx二 2sin x _ ex 1 x2 - 3x C2=x

8、arctanx C.小結(jié)本節(jié)主要學習原函數(shù)概念、不定積分的概念、性質(zhì)及運算。作業(yè)習題五必作題1(1)(2)(3)(4)選作題1(5) ( 8)思考題f (x)的所有原若F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，那么f (x) C (C是任意常數(shù))是否包含了函數(shù)？§ 2矛盾轉(zhuǎn)化法一一換元積分法和分部積分法由于原函數(shù)的定義是非構(gòu)造性的，直接求不定積分較困難，因此需要介紹換元積分法和分部積分法。2.1換元積分法提出問題換元積分法的實質(zhì)是一種矛盾轉(zhuǎn)化法，分為和第二換元積分法。如果.f(x)dx用直接積分法不易求得，但被積函數(shù)可分解為f X = g ： X ： x作變量代換u(x)二(x)，又有(x)=

9、d(x)，則可將關(guān)于變量X的積分轉(zhuǎn)化為變量U的積分，于是有g(shù) ；x I x dx 二 g u du如果.g(u)du可以求出，問題就可解決。學習過程第一換元積分法定理1 (第一換元積分法)設 g(u)及'(x)連續(xù)，且F'(u)=g(u)，則作變量代換U h護(X)后，有g(shù)l (x)L(x)dx 二 gi (x)d (x)=g(u)du 二 F (u) C二 F ；(x)l C.證只要證明上式右端的導數(shù)等于左端不定積分的被積函數(shù)即可。3例 1 求 sin xcosxdx解 u =sin x,g(u)= u，則 du = cosxdx，由公式可得sin'xcosxdx 二

10、 u'du = h4 C =sin4 x C441例2 求dxa xdu22alx注在使用練后可省略變量u ,寫成如下簡便形式：xU =a a(1+u2)11x 小arcta nu C arctan C aaag ； (x)卜(x)dx 二 g :(x) d (x) = f ； (x) L：；C做一做求 xsin x2dx。2使用第一換元積分法的關(guān)鍵:xsinxdx把被積表達式f(x)dx湊成f(x)dx的形式，因此，第一兀積分法又稱為"湊微分法” 常用的湊微分式：dx = _d (x!)xsin xdx = -d cosxdx = d 1 n xxcosxdx = d si

11、n x1dx =d(a + axdx = - dx22c)I 1 dx = d arcsin xJ-x2dx = d arcta nx1 x2第二換元積分法定理2 (第二換元積分法)設 f(x), ：'(t)及'(t)均連續(xù)，且(t) = 0，又f：(t)'(t)存在原函數(shù)F (t)，則f x dx 二 f ；: t A t dt = F t C = F、* x 丨 C運用第二換元積分法的關(guān)鍵：變量代換x二(t)存在反函數(shù)。1例3求.dx1解 令 x = t ( t >),則有 dx = 2tdt。2tdt=2 1 t"dt'1+t1dx 二1

12、x 1 t( 1 、=2 fdt dt l=2(t In 1+tJ1+t丿'4 求. a2 - x2dx(a0)為去掉被積函數(shù)中的根式，令xmintg遷,則有一 a2 x圖5.2還原變量x,作如圖5.2dx = Jacost acostdt2a=1 cos2t dt2a2= t sin tcostC2x = asint 有 si nt 二- a-a2 cos2tdt2 a "Ttsin 2t C2所示的直角三角形。從而有2 2丄 x a - xc ots= -a3Tx二asint,且0_t八內(nèi)存在反函數(shù)2.xt = arcs inai 2a2-x2dx 專 t sintcos

13、t Ca2'2 2x x a -x arcsin a aa2 arcsin仝 x . a2 -x2 C a丿dx做一做卜丄dxa>C) ( a>0),令x為什么可以去掉根號？2 2x -a2. 2分部積分法定理 (分部積分法)若u(x)和v(x)可導，且不定積分.u (x)v(x)dx存在，則 u(x)v (x)dx也存在，且有uxvxdx 二uxvx - uxvxdx以上公式稱為分部積分公式，簡寫為udv = uv _ vduxcosxdx.例5求解 令 u =x,dv =cosxdx,則有 du = dx,v = sinx.由公式得xcosdx = xsi n x -

14、s in x d x= xs in x cosx C做一做若取u = cosX'dv = xdx，結(jié)果怎樣？（比原題更難求）使用分部積分公式的關(guān)鍵：適當選擇u和dv，使公式右邊的不定積分容易求出。想一想如何選擇u和dv ？u和口 dv選取的一般原則：求導簡單者選為u 。 易求不定積分者選為 dv。例 6 求 x2exdxx2exdx. = x2dex2 xx2xdx 二 x e -2 xe dx2 xxx2 xx x=x e -2xe 2 e dx = x e -2xe e C小結(jié)本節(jié)主要學習換元積分公式、計算，分部積分公式、計算。 作業(yè)習題五必作題2.（ 1）（ 8）、3.選作題2.

15、（ 9）（ 12）思考題第一換元積分法與第二換元積分法的區(qū)別數(shù)學家啟示錄（5）符號大師萊布尼茨萊布尼茨是德國著名數(shù)學家、 物理學家和哲學家。 他的研究興 趣極為廣泛，涉及數(shù)學、力學、光學、機械學等 40多個領(lǐng)域，且 在每一領(lǐng)域都有杰出成就。主要表現(xiàn)如下：創(chuàng)始微積分他與同時代的牛頓在不同國家，各自獨立地創(chuàng)建了微積分學，闡明了求導數(shù)和積分是互逆的運算，發(fā)明了比牛頓的符號優(yōu)越的微積分符號，奠定了微積分學基礎(chǔ)，為變量數(shù)學的興起和發(fā)展作出了 奠基性、開創(chuàng)性貢獻。高等數(shù)學上的眾多成就他的研究及成果滲透到高等數(shù)學的許多領(lǐng)域。如曾討論過負數(shù)和復數(shù)的性質(zhì)，還對線性方程組進行研究，對消元法從理論上進行了探討，并首

16、先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理論。此外，他還創(chuàng)立了符號邏輯學的基本概念，發(fā)明了能夠進行加、減、乘、除及開方運算的計算機和二進制，為計算機的現(xiàn)代發(fā)展奠定了堅實的基礎(chǔ)豐碩的物理學成果他的物理學成就也是非凡的。發(fā)表了物理學新假說，提出了具體運動原理和抽象運動原理，還對笛卡兒提出的動量守恒原理進行了認真的探討，又充分地證明了 “永動機是不可能”的觀點。他也反對牛頓的絕對時空觀并提出了自己的見解。在光學方面，他利用微積分中的求極值方法，推導出了折射定律， 并嘗試用求極值的方法解釋光學基本定律?？梢哉f他的物理學研究一直是朝著為物理學建立一個類似歐氏幾何的公理系統(tǒng)的目標前進的。中西文化交流之倡導者他對中國的科學、文化和哲學思想十分關(guān)注，是最早