小學奧數(shù)教程：分解質(zhì)因數(shù)(一)全國通用(含答案)

1、教學目標1. 能夠利用短除法分解2. 整數(shù)唯一分解定理： 讓學生自己初步領(lǐng)悟 “任何一個數(shù)字都可以表示為 . 的結(jié)構(gòu)， 而且 表達形式唯一 ”知識點撥一、質(zhì)因數(shù)與分解質(zhì)因數(shù)（ 1） .質(zhì)因數(shù)： 如果一個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那么就說這個質(zhì)數(shù)是這個數(shù)的質(zhì)因數(shù).（ 2） .互質(zhì)數(shù)： 公約數(shù)只有 1 的兩個自然數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù) .（ 3） .分解質(zhì)因數(shù)： 把一個合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù).例如： 30 2 3 5.其中 2、3、5叫做 30的質(zhì)因數(shù).又如12 2 2 3 22 3，2、3都叫做 12的質(zhì)因數(shù)， 其中后一個式子叫做分解質(zhì)因數(shù)的標準式，在求一個數(shù)約數(shù)的個數(shù)和約數(shù)的和的時候

2、都要用到這個標準式.分解質(zhì)因數(shù)往往是解數(shù)論題目的突破口，因為這樣可以幫助我們分析數(shù)字的特征 .（ 4） .分解質(zhì)因數(shù)的方法：短除法212例如： 2 6 ，（是短除法的符號） 所以 12 2 2 3；3二、唯一分解定理任何一個大于 1 的自然數(shù) n 都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即： n p1a1 p2a2 p3a3pkak 其中為質(zhì)數(shù)，a1 a2ak為自然數(shù)，并且這種表示是唯一的 .該式稱為 n 的質(zhì)因子分解式 .例如：三個連續(xù)自然數(shù)的乘積是210，求這三個數(shù) .分析： 210=2×3×5×7，可知這三個數(shù)是 5、6 和 7.三、部分特殊數(shù)的分解111 3 37；100

3、1 7 11 13 ；11111 41 271；10001 73 137 ；1995 3 5 7 19 ；1998 2 3 3 3 37； 2007 3 3 223； 2008 2 2 2 251； 10101 3 7 13 37.例題精講模塊一、分解質(zhì)因數(shù)【例 1】 分解質(zhì)因數(shù) 20034= 。【考點】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】 1 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，決賽， 5 年級，決賽，第 2題，10 分【解析】 原 式 2 33 7 53【答案】 2 33 7 53例 2】 三個連續(xù)自然數(shù)的乘積是 210 ，求這三個數(shù)是多少？ 考點】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】 1 星 【題型】填空 解析】 210

4、分解質(zhì)因數(shù)： 210 2 3 5 7 ，可知這三個數(shù)是 5、6和 7。 答案】 5、6和 7例 3】 兩個連續(xù)奇數(shù)的乘積是 111555，這兩個奇數(shù)之和是多少 ? 考點】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】 2 星 【題型】填空 解析】 111555分解質(zhì)因數(shù)： 111555 3 3 5 37 67 (3 3 37) ( 5 67) 333 335，所以和為 668.本講 不僅要求學生熟練掌握分解質(zhì)因數(shù)，而且要注意一些技巧，例如本題中的 111 3 37 。答案】 668鞏 固 】已知兩個自然數(shù)的積是 35，差是 2，則這兩個自然數(shù)的和是 .考點】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】 2 星 【題型】填空 關(guān)鍵詞】希望杯，四

5、年級，二試，第 8 題 解析】 35=1×35=5×7，5、7差 2，兩個自然數(shù)的和是 5+7=12 答案】 12 元例 4】 今年是 2010 年，從今年起年份數(shù)正好為三個連續(xù)正整數(shù)乘積的第一個年份是 。 考點】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】 3 星 【題型】填空 關(guān)鍵詞】而思杯， 6 年級， 1 試，第 3 題 解析】 11 12 13 1716， 12 13 14 2184 ，所以是 2184 答案】 2184例 5】 如果兩個合數(shù)互質(zhì)，它們的最小公倍數(shù)是126 ，那么，它們的和是考點】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】 2 星 【題型】填空 關(guān)鍵詞】迎春杯，五年級 ,初賽，第 3 題解析】

6、 126 2 32 7 ，因為兩個數(shù)互質(zhì)且都是合數(shù)，所以這兩個數(shù)只能為9和14 ，它們的和為 23答案】 23例 6】 4 個一位數(shù)的乘積是 360，并且其中只有一個是合數(shù)，那么在這4 個數(shù)字所組成的四位數(shù)中，最大的一個是多少？考點】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】 2 星 【題型】解答解析】 將 360 分解質(zhì)因數(shù)得 360 2 2 2 3 3 5，它是 6 個質(zhì)因數(shù)的乘積 .因為題述的四個數(shù)中只有一個 是合數(shù)，所有該合數(shù)必至少為 6 3 3 個質(zhì)因數(shù)的積，又只有 3 個 2 相乘才能是一位數(shù)，所以這 4 個乘數(shù)分別為 3，3，5， 8，所組成的最大四位數(shù)是 8533.答案】 8533例 7】 已知 5

7、 個人都屬牛，它們年齡的乘積是 589225 ，那么他們年齡的和為多少？ 考點】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】 2 星 【題型】解答解 析 】基本思路與上題一樣，重點還是在 “1這”個因數(shù)的使用上，所以分解因數(shù)得到 589225 1 13 25 37 49 ，五個人的年齡和為 125 歲。答案】 125 歲例 8】 如果 兩個自然數(shù)的和 與差的 積是 23，那 么這兩 個自然 數(shù)的和 除以這 兩個數(shù)的 差的商是 考點】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】 2 星 【題型】填空關(guān)鍵詞】希望杯， 4 年級，初賽， 4 題解析】 根據(jù)題意列式子如下： a b a b 23 ，因為 23分解質(zhì)因數(shù)是 1與 23，所以 a b

8、23,a b 1， 根據(jù)和差關(guān)系算出 a 12， b 11，所以這兩個自然數(shù)的和除以這兩個自然數(shù)的差的商為23，答案】 23例 9】 2004 7 20 的計算結(jié)果能夠整除三個連續(xù)自然數(shù)的乘積，這三個連續(xù)自然數(shù)之和最小是多少？ 考點】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】 2 星 【題型】解答解析】首先分解質(zhì)因數(shù)， 2004 7 20 2 2 2 2 3 5 7 167 ，其中最大的質(zhì)因數(shù)是 167，所以所要求 的三個連續(xù)自然數(shù)中必定有 167 本身或者其倍數(shù) . 165 3 5 1，166 2 83，168 2 2 2 3 7， 169 13 13，所以 165 166 167， 166 167 168，16

9、7 168 169都沒有 4 個 2，不滿足題意 .說明 167 不 可 行 . 嘗 試 3 3 4 1 ， 335 5 67 ， 336 2 2 2 2 3 7 ， 334 335 336 2 2 2 2 2 3 5 7 67 167 ，包括了 2004 7 20 中的所有質(zhì)因數(shù)，所以這組 符合題意，以此三數(shù)之和最小為 1005.答案】 1005例 10】 A是乘積為 2007的 5個自然數(shù)之和， B是乘積為 2007的 4個自然數(shù)之和。那么 A、B兩數(shù)之差的 最大值是 ?？键c】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】 3 星 【題型】填空 關(guān)鍵詞】華杯賽，五年級，決賽，第8題， 10分解析】 2007=1&#

10、215;1×3×3×223=1×1×1×9×223=1×1×1×3×669=1×1×1×1×2007，所以 A 的可能值是 231 或 235 或 675 或 2011，又 2007=1×3×3×223=1×1×9×223=1×1×3×669=1×1×1×2007，所以 B 的可能值是 230 或 234 或 674 或 201

11、0，A、 B 兩數(shù)之差的最大值為 2011230=1781。答案】 1781例 11】 (老師可以先引入：小明一家四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥叫三毛，那老四叫什么？) 大毛、二毛、三毛、 小明四個人， 他們的年齡一個比一個大 2歲，他們四個人年齡的乘積是 48384。 問他們四個人的年齡各是幾歲？考點】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】 2 星 【題型】填空解析】 題 中告訴我們， 48384是四個人年齡的乘積，只要我們把48384分解質(zhì)因數(shù)，再按照每組相差2 來分成四個數(shù)相乘，這四個數(shù)就是四個人的年齡了。48384 28 33 7 (22 3) (2 7) 24 (2 32) 12 14 16 1

12、8 ，由此得出這四個人的年齡分別是 12 歲、 14 歲、 16 歲、 18 歲。由題意可知，這四個數(shù)是相差2 的四個整數(shù)。它們的積是偶數(shù)，當然這四個數(shù)不是奇數(shù)，一定是偶數(shù)。又因為48384的個位數(shù)字不是 0，顯然這四個數(shù)中，沒有個位數(shù)字是 0 的，那么這四個數(shù)的個位數(shù)字一定是2、4、6、8。又因為 104 48384 ，而 48384 20 4，所以可以斷定，這四個數(shù)一定是 12、14、16、18。也就是說，這四個人的年齡分別是12 歲、14歲、 16歲、 18 歲。答：這四個人的年齡分別是12歲、 14歲、 16歲、 18 歲。答案】 12歲、 14歲、 16歲、 18 歲例 12】甲數(shù)比

13、乙數(shù)大 5 ，乙數(shù)比丙數(shù)大 5 ，三個數(shù)的乘積是 6384 ，求這三個數(shù)？ 考點】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】 2 星 【題型】解答解析】將 6384分解質(zhì)因數(shù)， 6384 2 2 2 2 3 7 19 ，則其中必有一個數(shù)是 19或19 的倍數(shù)；經(jīng)試算， 19 5 14 2 7，19 5 24 2 2 2 3，恰好 14 19 24 6384，所以這三個數(shù)即為 14，19，24 . 一般象這種類型的題， 都是從最大的那個質(zhì)因數(shù)去分析 .如果這道題里 19不符合要求， 下一個該考慮 38，再下一個該考慮 57 ，依此類推答案】 14， 19， 24例 13】 四 個連續(xù)自然數(shù)的乘積是 3024，這四個自

14、然數(shù)中最大的一個是多少？ 考點】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】 2 星 【題型】填空解 析 】分解質(zhì)因數(shù) 3024 24 33 7，考慮其中最大的質(zhì)因數(shù) 7，說明這四個自然數(shù)中必定有一個是7 的倍數(shù).若為 7，因 3024不含有質(zhì)因數(shù) 5，那么這四個自然數(shù)可能是 6、7、8、9或 7、8、9、10(10仍含 有 5，不行)，經(jīng)檢驗 6、7、8、9恰符合 .答案】 9例 14】植樹節(jié)到了，某市舉行大型植樹活動，共有1430 人參加植樹，要把人數(shù)分成相等的若干隊，且每隊人數(shù)在 100 至 200 之間，則有分法（ ）。A、3種B、7種C、11種D、13 種考點】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】 3 星 【題型】選擇關(guān)鍵

15、詞】華杯賽，五年級，初賽，第 4 題解析】 只要找到 100到 200之間可以整除 1430的數(shù)即可。 1430可分解成 2，5，11，13 的乘積，所以可以 按每組 110人， 130 人，143 人分組，共有 3個方案。所以答案為 A答案】 A例 15】 a、b、c、d、e 這五個無數(shù)各不相同，它們兩兩相乘后的積從小到大排列依次為：3， 6，15，18，20，50，60，100，120，300.那么，這五個數(shù)中從小大大排列第2 個數(shù)的平方是 。A 1 B. 3 C. 5 D. 10考點】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】 5 星 【題型】選擇關(guān)鍵詞】迎春杯，中年級，復試， 2 題5解析】D，解：設(shè) a

16、b c d e。由 ab 3,ac 6推知 c 2b ；由 ce 120, de 300推知 d 5c 5b。22 2 2bc b 2b 2b2 ， bd b 5b 5b2 ， cd 2b 5b 10b2 。在 15,18, 20,50,60,100中，滿足 2:5:10 的 三個數(shù)是 20,50,100, 所以 b2 100 10 10 。答案】 D例 16】 a、b、c、d、e這五個數(shù)各不相同，他們兩兩相乘后的積從小到大排列依次為：0.3、0.6、1.5、1.8、2、5、6、10、12、30。將這五個數(shù)從小到大排成一行，那么，左起第2個數(shù)是 。（A）0.3 （B） 0.5 （C）1 （D）

17、1.5考點】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】 5 星 【題型】選擇關(guān)鍵詞】迎春杯，高年級，復試， 2 題解析】 C，設(shè) a b c d e 。由題意知， ab 0.3， ac 0.6 ，推知 c 2b；由 ce 12， de 30，推知 d 30c 5c 5b，bc b 2b 2b2，bd b 5b 5b2，cd 2b 5b 10b2 ，在1.5,1.8,2,5,6,10 中，12 2滿足 2:5:10 的三個數(shù)是 2,5,10 ，所以 10b2 10 ，b2 1， b 1。答案】 1例 17】將 19 九個自然數(shù)分成三組， 每組三個數(shù) .第一組三個數(shù)的乘積是 48，第二組三個數(shù)的乘積是 45， 第三組三

18、個數(shù)字之和最大是多少？考點】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】 2 星 【題型】解答解析】 分解質(zhì)因數(shù) 45 3 3 5， 48 2 2 2 2 3，可知 45 只能是 1，5， 9的乘積，而 48 可能是 2，4， 6或 2，3，8或1，6，8（舍去），則第三組的三個數(shù)可能是 3，7，8或 4，6，7，其中和最大的是 3 7 8 18.答案】 18例 18】一個長方體的長、寬、高都是整數(shù)厘米，它的體積是1998 立方厘米，那么它的長、寬、高的和的最小可能值是多少厘米 ?考點】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】 3 星 【題型】解答解析】 我們知道任意個已確定個數(shù)的數(shù)的乘積一定時，它們相互越接近，和越小如 3 個數(shù)的積為

19、 18，則 三個數(shù)為 2、3、3 時和最小，為 8 1998=2×3×3×3×37， 37 是質(zhì)數(shù)，不能再分解，所以 2×3×3×3 對 應(yīng)的兩個數(shù)應(yīng)越接近越好有 2×3×3×3=6×9 時，即 1998=6×9×37 時，這三個自然數(shù)最接近它們的 和為 6+9+37=52（厘米 ）答案】 52例 19】一個長方體的長、 寬、高是連續(xù)的 3個自然數(shù)， 它的體積是 39270立方厘米， 那么這個長方體的表 面積是多少平方厘米 ?考點】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】 3 星 【題

20、型】解答解析】 39270=2×3×5×7×11×17，為三個連續(xù)自然數(shù)的乘積，而 34×34×34 最接近 39270， 39270 的約數(shù)中接 近或等于 34 的有 35、34、33，有 33×34×35=39270所以 33、34、35 為滿足題意的長、寬、高則 長方體的表面積為：2×(長×寬+寬×高+高×長)=2×(33 ×34+34 ×35+35 ×33)=6934(平方厘米 )方法二： 39270=2×3

21、×5×7×11×17，為三個連續(xù)自然數(shù)的乘積，考慮質(zhì)因數(shù)17，如果 17 作為長、寬或高顯然不滿足當 17與 2 結(jié)合即 34作為長方體一條邊的長度時有可能成立，再考慮質(zhì)因數(shù) 7，與 34 接近的數(shù) 3236 中，只有 35 含有 7，于是 7 與 5 的乘積作為長方體的一條邊的長度而39270的 質(zhì) 因 數(shù) 中 只 剩 下 了 3 和 1l ， 所 以 這 個 長 方 體 的 大 小 為 33×34×35 長 方 體 的 表 面 積 為 39270 39270 392702×(+ +)=2 ×(1190+1155

22、+1122)=2 3×467=6934( 平方厘米 )33 34 35答案】 6934 例 20】 如果兩數(shù)的和是 64，兩數(shù)的積可以整除 4875，那么這兩個數(shù)的差等于多少？ 考點】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】 3 星 【題型】解答解 析 】4875=3×5×5×5×13，有 a×b 為 4875 的約數(shù)，且這兩個數(shù)的和為 64發(fā)現(xiàn) 39=3×13、25=5×5 這兩個 數(shù)的和為 64，所以 39、25 為滿足題意的兩個數(shù)那么它們的差為39-25=14 。答案】 14例 21】 有兩個整數(shù)，它們的和恰好是兩個數(shù)字相同的兩

23、位數(shù)，它們的乘積恰好是三個數(shù)字相同的三位數(shù).求這兩個整數(shù)分別是多少？考點】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】 3 星 【題型】解答 解析】兩位數(shù)中，數(shù)字相同的兩位數(shù)有 11、22、33、44、55、66、77、88、99 共九個，它們中的每個數(shù)都 可以表示成兩個整數(shù)相加的形式，例如 33 1 32 2 31 3 30 16 17，共有 16 種形式， 如果把每個數(shù)都這樣分解，再相乘，看哪兩個數(shù)的乘積是三個數(shù)字相同的三位數(shù)，顯然太繁瑣了.可以從乘積入手，因為三個數(shù)字相同的三位數(shù)有111、222、333、444、555、666、 777、888、999，每個數(shù)都是 111 的倍數(shù)，而 111 37 3，因此把這

24、九個數(shù)表示成一個兩位數(shù)與一個一位數(shù)或兩個兩位 數(shù)相乘時，必有一個因數(shù)是 37 或 37 的倍數(shù)，但只能是 37 的 2 倍 (想想為什么？ )3 倍就不是兩位數(shù) 了.把 九 個 三 位 數(shù) 分 解 ： 111 37 3 、 222 37 6 74 3 、 333 37 9 、 444 37 12 74 6 、 555 37 15、 666 37 18 74 9、777 37 21、 888 37 24 74 12、 999 37 27. 把兩個因數(shù)相加， 只有(74 3) 77和(37 18) 55的兩位數(shù)字相同 .所以滿足題意的答案是 74和 3， 37 和 18.答案】 74 和 3，37

25、 和 18例 22】 如果一個數(shù)，將它的數(shù)字倒排后所得的數(shù)仍是這個數(shù)，我們稱這個數(shù)為回文數(shù)如年份數(shù)1991，具有如下兩個性質(zhì)： 1991 是一個回文數(shù) 1991 可以分解成一個兩位質(zhì)數(shù)回文數(shù)和一個三位質(zhì) 數(shù)回文數(shù)的積在 1000 年到 2000年之間的一千年中，除了 1991 外，具有性質(zhì)和的年份數(shù)， 有哪些？考點】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】 3 星 【題型】解答解析】這一千年間回文數(shù)年份共有 10個，除去1991外，還有 1001，1111，1221，1331，1441，1551，1661， 1771，1881符合條件 的兩位質(zhì)數(shù)只能是 11，所以符合條件 的只有三個，即11 101 1111，

26、11 131 1441， 11 15l 1661 答案】 11 101 1111， 11 131 1441， 11 15l 1661例 23】 有一種最簡真分數(shù)，它們的分子與分母的乘積都是140如果把所有這樣的分數(shù)從小到大排列，那么第三個分數(shù)是多少？考點】分解質(zhì)因數(shù)【難度】 3 星 【題型】解答解 析 】有 140=2×2×5×7，要保證分數(shù)最簡即要讓分子與分母是互質(zhì)的，那么兩個質(zhì)因數(shù)2 必須同時位于分子或者同時位于分母的位置上。這樣由小到大的最簡分數(shù)依次是1 1 ,2 22 2 5 7 140,5 74 , 535,2 2 75 , 7 728,2 2 5 20

27、倒數(shù)第三小的是528答案】 528例 24】純循環(huán)小數(shù) 0.abc寫成最簡分數(shù)時 ,分子和分母的和是 58 ,則三位數(shù) abc 考點】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】 3 星 【題型】填空解析】如果直接把 0.abc轉(zhuǎn)化為分數(shù) ,應(yīng)該是 abc ,因此,化成最簡分數(shù)后的分母應(yīng)該是 999 的約數(shù),我們999 將 999分解質(zhì) 因數(shù)得 : 999 33 37 ,這個最簡 分數(shù)的 分母應(yīng) 小于 58 ,而 且大于 29,否則該 分 數(shù)就變成了假分數(shù)了 ,符合這個要求的 999的約數(shù)就只有37 了,因此 ,分母應(yīng)當為 37,分子就是58 37 21,也就是說 0.abcabcabc21,因此 abc 21 27

28、 56799937 2737【答案】567模塊二、分解質(zhì)因式【例 25】三個質(zhì)數(shù)的乘積恰好等于它們和的11 倍，求這三個質(zhì)數(shù) .考點】分解質(zhì)因式【難度】 2 星 【題型】解答解析】設(shè)這三個質(zhì)數(shù)分別是 a、b、c ，滿足 abc 11(a b c) ，則可知 a、b、c 中必有一個為 11，不妨 記為 a，那么 bc 11 b c，整理得 (b 1)(c 1) 12，又12 112 2 6 34 ，對應(yīng)的 b 2、c 13 或b 3、c 7或b 4、c 5 (舍去)，所以這三個質(zhì)數(shù)可能是 2， 11， 13或 3， 7，11.答案】 2、11、13 或 3、7、 11例 26】三個質(zhì)數(shù)的乘積恰好等于它們的和的7 倍，求這三個質(zhì)數(shù)考點】分解質(zhì)因式【難度】 2 星 【題型】解答解析】設(shè)這三個質(zhì)數(shù)分別是 a、b、c，滿足 abc 7(a b c) ，則可知 a、b、 c中必有一個為 7，不妨記為 a，那么 bc 7 b c，整理得 (b 1)(c 1) 8，又8 18 2 4 ，對應(yīng)的 b 2、c 9(舍去)或b 3、 c 5，所以這三個質(zhì)數(shù)可能是 3， 5，7答案】 3、 5、7例 27】 如圖，長方形周長為