滬教版(上海)九年級上冊數(shù)學(xué)第二十四章相似三角形教案

1、第二十四章 相似三角形 教案（全章）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】（1）了解比例的基本性質(zhì)，了解線段的比、成比例線段的概念；（2）通過具體實(shí)例認(rèn)識圖形的相似，探索相似圖形的性質(zhì)，知道相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成 比例，周長的比等于對應(yīng)邊的比，面積的比等于對應(yīng)邊比的平方；（3）了解兩個三角形相似的概念，探索兩個三角形相似的條件；（ 4）通過典型實(shí)例觀察和認(rèn)識現(xiàn)實(shí)生活中物體的相似，利用圖形的相似解決一些實(shí)際問題（ 如利用相似測量旗桿的高度 ） ；（ 5）理解實(shí)數(shù)與向量相乘的定義及向量數(shù)乘的運(yùn)算律.知識網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】 要點(diǎn)一、比例線段及比例的性質(zhì)1. 比例線段：（1）線段的比：如果選用同一長度單位量得兩條線段

2、a，b 的長度分別是 m，n，那么就說這兩條線段的比是 a:b=m:n ，或?qū)懗?, 其中 a 叫做比的前項 ;b 叫做比的后項 .（2）成比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線 段叫做成比例線段，簡稱比例線段（ 3）比例的項：已知四條線段，如果，那么，叫做組成比例的項，線段， d 叫做比例外項，線段，叫做比例內(nèi)項，線段還叫做，的第四比例項（ 4）比例中項：如果作為比例線段的內(nèi)項是兩條相同的線段，即a:b=b:c 或 ，那么線段叫做線段和的比例中項要點(diǎn)詮釋：通常四條線段 a,b,c,d 的單位應(yīng)該一致， 但有時為了計算方便， a,b 的單位一致， c,d

3、 的單位一 致也可以 .2. 比例的性質(zhì)(1) 比例的基本性質(zhì)：(2) 反比性質(zhì)：(3) 更比性質(zhì) :(4) 合比性質(zhì) :(5) 等比性質(zhì) :3. 平行線分線段成比例定理(1) 三角形一邊的平行線性質(zhì)定理 : 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊( 或兩邊的延長線 )所得的對應(yīng)線段成比例 .(2) 三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論 : 平行于三角形一邊并且和其他兩邊相交的直線 , 所截得的 三角形的三邊與原三角形三邊的對應(yīng)成比例 .(3) 三角形一邊的平行線判定定理：如果一條直線截三角形的兩邊所得的對應(yīng)線段成比例，那么 這條直線平行于三角形的第三邊 .(4) 三角形一邊的平行線判定定理推論：如果一條

4、直線截三角形兩邊的延長線(這兩邊的延長線 在第三邊的同側(cè))所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊 .( 5)平行線分線段成比例定理：兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對應(yīng)線段成比例.(6)平行線等分線段定理： 兩條直線被三條平行的直線所截， 如果在一條直線上截得的線段相等， 那么在另一條直線上截得的線段也相等 .這幾個定理主要提出由平行線可得到比例式；反之 , 有比例可得到平行線 . 首先要弄清三個基本圖 形：或或或或不要弄錯位置或之一成立，這三個基本圖形的用途是1. 由平行線產(chǎn)生比例式基本圖形 (1): 若 l 1/ l 2/ l 3，則基本圖形 (2): 若 DE/BC，

5、則 基本圖形 (3): 若 AC/BD，則 在這里必須注意正確找出對應(yīng)線段，2由比例式產(chǎn)生平行線段 基本圖形 (2): 若 ,則 DE/BC.基本圖形 (3): 若,之一成立，基本圖形 (3): 若,之一成立，則 AC/DB.要點(diǎn)詮釋：( 1)平行線等分線段定理是平行線分線段成比例定理的特例；(2) 平行線分線段成比例沒有逆定理；(3) 由于平行線分線段成比例定理中， 平行線本身沒有參與作比例， 因此， 有關(guān)平行線段的計算問題通常轉(zhuǎn)化到“ A”、“ X”型中 .XAEACABAC( 被判斷的平行線本身不能( 4)判斷平行線的條件中，只能是被截的兩條直線的對應(yīng)線段成比例 參與作比例 ).4. 三

6、角形的重心 三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心 .要點(diǎn)詮釋：( 1)重心的性質(zhì)：三角形的重心到一個頂點(diǎn)的距離，等于它到這個頂點(diǎn)對邊中點(diǎn)的距離的二倍； ( 2)重心的畫法：兩條中線的交點(diǎn).要點(diǎn)二、黃金分割1. 黃金分割是指把一條線段 (AB)分成兩條線段，使其中較大的線段 (AC) 是原線段 (AB)與較小線段 (BC) 的比例中 項(AC2AB·BC)， C 點(diǎn)為黃金分割點(diǎn) .2. 黃金分割的求法 代數(shù)求法：已知：線段 AB ，求作：線段 AB 的黃金分割點(diǎn) C. 分析：設(shè) C點(diǎn)為所求作的黃金分割點(diǎn)，則 AC2AB·CB，設(shè) AB ， AC x，那么 CB x， 由 AC

7、2AB·CB，得：x2 ·（ x）整理 后 ，得 ： x2 x 0 ， 根據(jù)求根公式，得：x( 不合題意，舍去 )即 AC 5-1 AB0.618AB， 則 C 點(diǎn)可作 .2 黃金分割的幾何求法(尺規(guī)法) ： 已知：線段 AB， 求作：線段 AB 的黃金分割點(diǎn) C.(2) 連結(jié) AD，在 AD上截取 DE DB.(3) 在 AB上截取 AC AE. 則點(diǎn) C 就是所求的黃金分割點(diǎn) .證明： ACAE AD AB而 ADC點(diǎn)是線段 AB 的黃金分割點(diǎn) .要點(diǎn)詮釋： 一條線段有兩個黃金分割點(diǎn) . 這種分割之所以被人們稱為黃金分割，是因為黃金分割存在美學(xué)規(guī)律和具有實(shí)用價值 . 德

8、國著名 天文學(xué)家開普勒 (Kepler ，15711630) 把這種分割稱為“神圣的比例”，說它是幾何中的瑰寶，大家 也可以看一下課外的閱讀材料，體會一下黃金分割中所蘊(yùn)含的美學(xué) .要點(diǎn)三、相似三角形1. 相似多邊形(1) 相似多邊形的特征：相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等 .(2) 相似多邊形的識別：如果兩個多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個多邊形相似 .(3) 相似比：我們把相似多邊形對應(yīng)邊的比稱為相似比 .(4) 相似多邊形的性質(zhì) 相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等 相似多邊形的周長比等于相似比 相似多邊形的面積比等于相似比的平方2. 相似三角形( 1)相似三角形的定

9、義：形狀相同的三角形是相似三角形.(2)相似三角形的表示方法：用“”表示，讀作相似于 . 如： ABC和 DEF相似，可以寫成 ABC DEF，也可以寫成 DEF ABC，讀作 ABC相似于 DEF.(3) 相似三角形的性質(zhì)： 相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等 . 相似三角形對應(yīng)邊上的高的比相等，對應(yīng)邊上的中線的比相等，對應(yīng)角的角平分線的比相等，都 等于相似比 . 相似三角形的周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方 . 要點(diǎn)詮釋： 相似三角形的性質(zhì)是通過比例線段的性質(zhì)推證出來的 .（4）相似三角形的判定：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊 （或兩邊的延長線） 相交， 所構(gòu)成的三角形與

10、原三角形相似； 如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似； 如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三角形相似； 如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似 . 如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個三角形的斜邊和一條直角邊的比對應(yīng)相等，那 么這兩個直角三角形相似 .（ 5）相似三角形應(yīng)用舉例 相似三角形的知識在實(shí)際生產(chǎn)和生活中有著廣泛的應(yīng)用，可以解決一些不能直接測量的物體的長度 問題，加深學(xué)生對相似三角形的理解和認(rèn)識 .要點(diǎn)詮釋：要判定兩個三角形是否相似， 只需找到這兩個三角形的兩個對應(yīng)角相等即可， 對于直角三角

11、形而言， 若有一個銳角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似 .要點(diǎn)四、實(shí)數(shù)與向量相乘1. 實(shí)數(shù)與向量相乘的意義一般的，設(shè) n為正整數(shù)， a為向量，我們用 na表示 n個a相加；用 na表示 n個 a相加.又當(dāng) m nn為正整數(shù)時， a 表示與 a 同向且長度為 a 的向量 . mm要點(diǎn)詮釋：設(shè) P為一個正數(shù)， Pa就是將 a 的長度進(jìn)行放縮， 而方向保持不變； P a也就是將 a 的長度進(jìn)行放縮， 但方向相反 .2. 向量數(shù)乘的定義一般地，實(shí)數(shù) k 與向量 ar 的相乘所得的積是一個向量，記作 kar ，它的長度與方向規(guī)定如下：r（1）如果 k 0,且a 0 時，則： ka 的長度： |ka | |

12、k |a|； ka 的方向：當(dāng) k 0 時， ka 與 a 同方向；當(dāng) k 0 時， ka 與 a 反方向；（ 2）如果 k 0,或 a=0 時，則： kar 0r ， kar 的方向任意 . 實(shí)數(shù) k 與向量 ar 相乘，叫做向量的數(shù)乘 . 要點(diǎn)詮釋：（ 1）向量數(shù)乘結(jié)果是一個與已知向量平行（或共線）的向量； （2）實(shí)數(shù)與向量不能進(jìn)行加減運(yùn)算；r（3） ka 表示向量的數(shù)乘運(yùn)算，書寫時應(yīng)把實(shí)數(shù)寫在向量前面且省略乘號，注意不要將表示向量的箭頭 寫在數(shù)字上面；（ 4）向量的數(shù)乘體現(xiàn)幾何圖形中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.3. 實(shí)數(shù)與向量相乘的運(yùn)算律 設(shè) m 、 n 為實(shí)數(shù)，則：1） m（na） （mn）

13、a （結(jié)合律）；2） （m n）ar mar nar （向量的數(shù)乘 對于實(shí)數(shù)加法的分配律 ）；3） m（ra+br） =mar mbr （向量的數(shù)乘對于向量加法的分配律）4. 平行向量定理（1）單位向量：長度為 1 的向量叫做單位向量 要點(diǎn)詮釋：任意非零向量 a 與它同方向的單位向量uura0 的關(guān)系：r uur uura a0 ， a01r r a. a（2）平行向量定理：如果向量 b與非零向量 a平行，那么存在唯一的實(shí)數(shù) m，使 b ma. 要點(diǎn)詮釋：rb r r（ 1）定理中， m r ， m的符號由 b與 a同向還是反向來確定 .a（2）定理中的“ ra 0r ”不能去掉，因為若 ar

14、 r0，必有 br 0r ，此時 m可以取任意實(shí)數(shù)，使得 rb mar成立 .（ 3）向量平行的判定定理： a 是一個非零向量，若存在一個實(shí)數(shù) m ，使 b ma ，則向量 b與非零向量 ar 平行 .（4）向量平行的性質(zhì)定理：若向量 rb與非零向量 ar 平行，則存在一個實(shí)數(shù) m，使 br mar.uuur uuur uuur uuur（ 5）A、 B、 C三點(diǎn)的共線AB / BC 若存在實(shí)數(shù)，使 AB BC.要點(diǎn)五、向量的線性運(yùn)算1. 向量的線性運(yùn)算定義 向量的加法、減法、實(shí)數(shù)與向量相乘以及它們的混合運(yùn)算叫做向量的線性運(yùn)算 .要點(diǎn)詮釋：（ 1）如果沒有括號，那么運(yùn)算的順序是先將實(shí)數(shù)與向量相

15、乘，再進(jìn)行向量的加減.（2）如果有括號，則先做括號內(nèi)的運(yùn)算，按小括號、中括號、大括號依次進(jìn)行2. 向量的分解ur uur平面向量基本定理： 如果 e1,e2 是同一平面內(nèi)兩個不共線（或不平行）的向量，那么對于這一平面內(nèi) r ruruur的任一向量 a ，有且只有一對實(shí)數(shù) 1, 2 ，使得 a 1e1 2e2 .要點(diǎn)詮釋：ur uur（ 1）同一平面內(nèi)兩個不共線 （或不平行） 向量 e1,e2 叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組基底 . 一組基底中， 必不含有零向量ur uur r ur uur ur uur（2） 一個平面向量用一組基底 e1,e2 表示為 a 1e1 2e2 形式，叫做向量的分解，

16、 當(dāng) e1,e2 相互垂直時， 就稱為向量的正分解 .（3） 以平面內(nèi)任意兩個不共線的向量為一組基底，該平面內(nèi)的任意一個向量都可表示成這組基底的線 性組合，基底不同，表示也不同3. 用向量方法解決平面幾何問題（ 1 ）利用已知向量表示未知向量 用已知向量來表示另外一些向量，除利用向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算外，還應(yīng)充分利用平面幾何的 一些定理，因此在求向量時要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，利用三角形中位線、相似三角形 對應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解（ 2）用向量方法研究平面幾何的問題的“三步曲” ： 建立平面幾何與向量的聯(lián)系，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向

17、量問題 . 通過向量運(yùn)算，研究幾何元素的關(guān)系 . 把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系 .【典型例題】類型一、比例線段例題 1. 已知線段 a、b、c 滿足 a： b： c=3 ： 2： 6，且 a+2b+c=26（ 1）求 a、 b、c 的值；（ 2）若線段 x 是線段 a、b 的比例中項，求 x 的值【答案與解析】解：（1）a： b：c=3：2：6，設(shè) a=3k ，b=2k，c=6k，又 a+2b+c=26 ， 3k+2×2k+6k=26 ，解得 k=2， a=6， b=4， c=12；（ 2）x 是 a、 b 的比例中項，2 x =ab，2 x 2=4×6， x=2 或 x=

18、 2 （舍去），即 x 的值為 舉一反三：變式】已知：，求 的值 .【答案】根據(jù)等比性質(zhì)：由得.E 為 AB中點(diǎn)， AE=BE，請同學(xué)們思考 , 這兩種方法構(gòu)造了哪些基本圖形 , 如何求出.例題 2如圖 ,在ABCD中,E 為 AB中點(diǎn),EF,AC 相交于 G,求 .在ABCD中 ,AD BC, AEF BEH(AAS)AF=BH ，設(shè) AF=k, 則 FD=3k ， AD=4k ，BH=AF=k ，BC=AD=4K ，CH=5K ，AD/BC ，即 AF/HC.GC總結(jié)】欲求,就需要有平行線 ,并使已知條件得以利用 ,雖然題目中有平行線 ,但無基本圖形 ,不能使AG已知條件發(fā)揮作用 ,需通過

19、添加輔助線來尋找解題途徑,構(gòu)造基本圖形 .此題還有其他輔助線的作法 , 例如分別延長 EF,CD相交于 M.或取 AC中點(diǎn) N,連結(jié) EN.答案與解析】分別延長 FE,CB相交于 H,（ 構(gòu)造出了基本圖形 ）AD/BC， AFE= H.在 AEF和 BEH中：舉一反三：變式】如圖，在A12C 13ABC中， AD, BE是兩條中線，則B 23D 14ED 為 ABC 的中位線，則 CED CAB， S EDC :S ABC (ED )2 (1)2 1:4，故選 D AB 2類型二、相似三角形例題 3如圖， Rt ABC 中， C=90°，AB=14 ，AC=7 ， D 是 BC 上一

20、點(diǎn)， BD=8 ，DE AB ，垂足為 E，【思路點(diǎn)撥】根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得答案【答案與解析】解： DEAB ， BED=90 °，又 C=90 °， BED= C又B= B，BED BCA ，DE= = =4舉一反三：變式】如圖，將矩形紙片 ABCD沿 EF折疊，使點(diǎn) B與 CD的中點(diǎn)重合， 若 AB=2，BC=3，則 FCB 與 B DG 的面積之比為(： 3 D.16： 9答案】 D.設(shè) CF=x，則 BF=3-x ，由折疊得 B F=BF=3-x, 在 Rt FCB 中，由由勾股定理得 CF2+CB 2=FB 2，x2+12=(3-x) 2,4 4 2

21、16 解得 x= ,由已知可證 RtFCBRtBDG，所以 SFCB與 S B DG的面積比為（：1）2=3 3 9類型三、實(shí)數(shù)與向量相乘例題 4已知下列命題： ； ； ； 其中正確命題序號是 .【答案】、 .【解析】掌握平面向量數(shù)量積的含義，平面數(shù)量積的運(yùn)算律不同于實(shí)數(shù)的運(yùn)算律 . 【總結(jié)升華】應(yīng)用向量的運(yùn)算性質(zhì) .類型四、向量的線性運(yùn)算例題 5如圖， D、E是ABC 邊AB 上的點(diǎn)， F、 G分別是邊 AC、BC上的點(diǎn)，且滿足 AD=DE=EB ， DFBC， EGAC （1）求證： FGAB ；（ 2）設(shè) = ， = ，請用向量 、 表示 答案與解析】1）證明： AD=DE=EB ，=DFBC，EGAC， = = ， = = ，F(xiàn)GAB；（2）解： DFBC，F(xiàn)GAB ，F(xiàn)G= AB ， 與 同向， = ， = ， = ，類型五、相似與其它知識綜合問題例題 6如圖 1，在 ABC中，D、E、F分別為三邊的中點(diǎn)， G點(diǎn)在邊 AB上， BDG與四邊形 ACDG的周 長相等，設(shè) BC=a、 AC=b、AB=c.1）求線段 BG的長；2）求證： DG平分 EDF；3）連接 CG，如圖 2，若 BDG與 DFG相似，求證： BG CG.答案與解析】1） D、C、F 分別是 ABC三邊中點(diǎn)，11 DE A