熱學(xué)習(xí)題思考題解題指導(dǎo)

1、 1.3.7  在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下給一氣球充氫氣。此氣球的體積可由外界壓強(qiáng)的變化而改變。充氣完畢時(shí)該氣球的體積為，而球皮體積可予忽略。（1）若貯氫的氣罐的體積為，罐中氫氣壓強(qiáng)為1.25Mpa，且氣罐與大氣處于熱平衡，在充氣過程中的溫度變化可以不計(jì)，試問要給上述氣球充氣需這樣的貯氣罐多少個(gè)？（2）若球皮重量為12.8kg，而某一高處的大氣溫度仍為，試問氣球上升到該高度還能懸掛多重物品而不至墜下。 【分析】（1）按照給氣體充氣前后所充氫氣的物質(zhì)的量不變這一點(diǎn)列出方程。（2）由于此氣球的體積可由外界壓強(qiáng)的變化而改變，因而氣球上升過程中可以自由膨脹，始終維持氣球內(nèi)外壓強(qiáng)相等。它所受到的浮力等于排開

2、同體積空氣的質(zhì)量。列出氣球的力平衡方程。 【解】（1）設(shè) 儲(chǔ)氣罐總共需要n個(gè)，則根據(jù)等溫條件下的理想氣體定律，可以得到： （2）氣體始終維持氣球內(nèi)外壓強(qiáng)相等。它受到的浮力等于推開的同體積空氣所受到的重力。 其中MmA為空氣的摩爾質(zhì)量，設(shè)氫氣的質(zhì)量為mH,則有 設(shè)氣球的球皮質(zhì)量為m皮，為不使氣球墜下，可掛的重物質(zhì)量為 1.3.10一端開口，橫截面積處處相等的長(zhǎng)管中充有壓強(qiáng)p的空氣。先對(duì)管子加熱，使它形成從開口端溫度1000K均勻變?yōu)殚]端200K的溫度分布，然后把管子開口端密封，再使整體溫度降為100K，試問管中最后的壓強(qiáng)是多大？分析：開始時(shí)長(zhǎng)管中氣體有溫度分布，所以它不處于平衡態(tài)。但是整體溫度降

3、為100K以后,長(zhǎng)管中氣體處于平衡態(tài)了。關(guān)鍵是求出開始時(shí)長(zhǎng)管中氣體的總的分子數(shù)，而它是和整體溫度降為100K以后的分子數(shù)相等的。在計(jì)算分子數(shù)時(shí)要先求出長(zhǎng)管中的溫度分布，然后利用p=nkT公式。解：因?yàn)楣茏邮且欢碎_口的，所以。顯然，管子中氣體的溫度分布應(yīng)該是（1）由于各處溫度不同，因而各處氣體分子數(shù)密度不同?？紤]xx+dx一段氣體,它的分子數(shù)密度為n(x),設(shè)管子的橫截面積為S,考慮到p=nkT,則這一小段中的氣體分子數(shù)為管子中氣體總分子數(shù)為利用（1）式可得管中氣體最后的壓強(qiáng)是p1（）,溫度是T，.則由上面兩式相等,最后可以計(jì)算出即：管中氣體最后的壓強(qiáng)為。 1.6.10 一粒隕石微粒與宇宙飛船相

4、撞，在宇宙飛船上刺出了一個(gè)直徑為的小孔，若在宇宙飛船內(nèi)的空氣仍維持在一個(gè)大氣壓及室溫的條件，試問空氣分子漏出的速率是多少？【分析】宇宙飛船內(nèi)氣體分子穿過小孔逸出的分子數(shù)就等于該小孔封閉時(shí)碰到該小孔上的分子數(shù)。由于宇宙空間中的壓強(qiáng)非常非常小，所以從宇宙空間穿過小孔進(jìn)入宇宙飛船的分子數(shù)不必考慮?！窘狻坷脝挝粫r(shí)間碰到單位面積器壁上的平均氣體分子數(shù)公式，有當(dāng)然，也可以用計(jì)算，則結(jié)果為 2. 5. 1 一容積為1 升的容器，盛有溫度為300 K，壓強(qiáng)為的氬氣，氬的摩爾質(zhì)量為0.040 kg。若器壁上有一面積為1.0×10-3 2的小孔，氬氣將通過小孔從容器內(nèi)逸出，經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間容器里的原子數(shù)減

5、少為原有原子數(shù)的 ？分析： 這是一個(gè)瀉流問題, 可以應(yīng)用氣體分子碰壁數(shù) 來解。應(yīng)該注意, 容器內(nèi)的分子數(shù) (或者說容器內(nèi)的分子數(shù)密度) 是隨時(shí)間而減少的, 所以 是個(gè)變量?；蛘哒f相等時(shí)間內(nèi)流出去的分子數(shù)是不相等的，應(yīng)該建立微分方程?？紤]在 到 時(shí)間內(nèi), 容器內(nèi)的分子數(shù)由于瀉流從 變化為 , 其中 就是在 時(shí)間內(nèi)瀉流流出去的分子數(shù), 列出 和 之間的關(guān)系, 這就是解本題所需要的微分方程。經(jīng)過分離變量, 積分, 就可以得到所需要的結(jié)果。解： 在 時(shí)間內(nèi)在面積為 的小孔中流出的分子數(shù)為 其中 為氣體分子數(shù)密度?？紤]到氣體的流出使得分子數(shù)減少, 所以在上式中加一負(fù)號(hào)。 現(xiàn)在在上式兩邊都除以容器體積 ,

6、 并且在 0到 之間進(jìn)行積分 現(xiàn)在要求容器中的原子數(shù)最后減少到 1 / e , 即 即：經(jīng)過100 s容器內(nèi)原子數(shù)減為原來的 。.261 試證若認(rèn)為地球的大氣是等溫的, 則把所有大氣分子壓縮為一層環(huán)繞地球表面的、壓強(qiáng)為一個(gè)大氣壓的均勻氣體球殼，這層球殼厚度就是大氣標(biāo)高。分析： 在離地高為 的范圍內(nèi)的球殼體積為 （1） 說明：這是因?yàn)榈厍虼髿鈽?biāo)高只有 8 km, 它比地球半徑 RE 要小得多, 所以那一層球殼相對(duì)于地球來講相當(dāng)于一層“紙”。而“紙”的體積就等于球面面積再乘以“紙”的高度。 當(dāng)然, 我們也可以如下更清楚地求出：忽略dz 的二次方和三次方項(xiàng), 同樣有 解： 若設(shè)在海平面處的氣體分子數(shù)

7、密度 為n (0) , 在球殼體積dV( z ) 范圍內(nèi)的分子數(shù) 令 稱為大氣標(biāo)高, 設(shè)在海平面處的氣體分子數(shù)密度為，所有大氣的總分子數(shù)為，則： （2）現(xiàn)在來估計(jì) 的數(shù)量級(jí)。設(shè)地球大氣為平均溫度 T = 273 K 的等溫大氣，而且 （3）利用（3）式可以看到,（2）式的方括號(hào)中的第二項(xiàng)比第一項(xiàng)小3個(gè)數(shù)量級(jí), 第三項(xiàng)又比第二項(xiàng)小3個(gè)數(shù)量級(jí)。我們完全可以忽略其中的第二項(xiàng)和第三項(xiàng)。 顯然，用近似方法進(jìn)行計(jì)算要簡(jiǎn)便得多。這時(shí) 其中 為大氣標(biāo)高。由此看來，把地球的所有大氣分子壓縮為一層環(huán)繞地球表面的、壓強(qiáng)為一個(gè)大氣壓的均勻氣體球殼，這層球殼厚度就是大氣標(biāo)高。 2.B.4 設(shè)想在遠(yuǎn)離地球的太空中有一宇宙

8、飛船，飛船內(nèi)有一真空實(shí)驗(yàn)艙。內(nèi)中有一質(zhì)量為M的試管，它被質(zhì)量為m的隔板分隔為體積相等的兩部分。被隔板封閉的那部分空間中有溫度為T，摩爾質(zhì)量為Mm,物質(zhì)的量為的單原子理想氣體。隔板被放開后，隔板無摩擦的向上移動(dòng)。在隔板離開試管頂端后氣體才開始從試管中逸出。設(shè)試管開始運(yùn)動(dòng)時(shí)試管靜止。試求試管的最終速度。設(shè)氣體、試管、隔板三者之間的熱量交換可以忽略，在隔板離開試管前，氣體經(jīng)歷的是準(zhǔn)靜態(tài)過程。【分析】由于試管外部為真空，開始時(shí)整個(gè)系統(tǒng)都是靜止的，隔板被放開后氣體將膨脹，但整個(gè)過程都是絕熱的準(zhǔn)靜態(tài)過程，我們可以利用絕熱過程方程來解這個(gè)問題。在絕熱膨脹過程中，氣體內(nèi)能減少，溫度降低。但是由于不存在重力，氣

9、體不對(duì)整個(gè)系統(tǒng)以外的部分做功，所減少的內(nèi)能全部轉(zhuǎn)化為隔板和試管的動(dòng)能以及氣體的整體定向運(yùn)動(dòng)動(dòng)能，由于整個(gè)系統(tǒng)的總動(dòng)量守恒，所以隔板向上運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量等于試管以及所裝氣體的向下運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量，這樣就可以確定隔板離開試管時(shí)試管以及所裝氣體的向下運(yùn)動(dòng)的速度u1，以上稱為過程“1”。當(dāng)隔板離開試管以后（這稱為過程“2”）氣體將陸續(xù)逸出（最終將全部逸出）試管。雖然系統(tǒng)仍然絕熱，但是它不是準(zhǔn)靜態(tài)過程，絕熱過程方程不能適用。詳細(xì)分析:(1)在氣體還沒有逸出試管時(shí)，特別是隔板被固定時(shí)，由于氣體分子的無規(guī)則運(yùn)動(dòng)，平均來說，分別有一半分子以平均速率撞擊隔板和試管底，因而給隔板和試管底分別施以相等的動(dòng)量。在隔板沒有固定時(shí)，

10、給以隔板動(dòng)量使得氣體做絕熱膨脹；給以試管底的動(dòng)量使得試管以u(píng)1速度向下運(yùn)動(dòng)。正如上面分析的，計(jì)算u1的關(guān)鍵是整個(gè)系統(tǒng)的總動(dòng)量守恒。（2）當(dāng)隔板離開試管時(shí)，氣體已經(jīng)以速度u1和試管一起向下運(yùn)動(dòng)。但是在隔板離開試管以后，氣體給以試管底的動(dòng)量仍然存在，這個(gè)動(dòng)量使得試管向下的運(yùn)動(dòng)速度又增加了u2，我們可以在以u(píng)1速度向下運(yùn)動(dòng)的參考系中來求u2，而在地面參考系中試管的速度應(yīng)該是u1+u2.【解】（1）過程“1”：正如上面分析的，這是一個(gè)準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過程，設(shè)開始時(shí)以及隔板即將離開試管時(shí)氣體的溫度和體積分別是（T,V）和（Tf，Vf）則應(yīng)該有如下關(guān)系： 其中國Vf=2V，=5/3(單原子理想氣體)，則有 氣體

11、內(nèi)容減少了 隔板、試管和氣體的總的定向運(yùn)動(dòng)動(dòng)能為 其中v為隔板離開試管時(shí)，隔板向上運(yùn)動(dòng)的速度，u1是試管向下運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度。氣體內(nèi)能的減少轉(zhuǎn)變?yōu)槎ㄏ蜻\(yùn)動(dòng)動(dòng)能，所以 另外，根據(jù)整個(gè)系統(tǒng)的總動(dòng)量守恒，有 由上述各式可以解得 （2） 過程“2”：隔板離開試管以后，我們把正在向下運(yùn)動(dòng)的試管作為參考系。正如上面分析的，平均來說，可以認(rèn)為有一半的分子向試管底撞擊，這些分子的數(shù)量為 分子撞擊速率應(yīng)該是平均速率，現(xiàn)在已方均根速率代替它，有 其中m分子為分子的質(zhì)量，Tf為隔板離開試管以后氣體的溫度。 一個(gè)分子對(duì)試管底撞擊產(chǎn)生的沖量，一半分子的撞擊給以試管底的總沖量為 這個(gè)沖量使得試管產(chǎn)生動(dòng)量的改變，從而得到附加速

12、度 其中M為試管的質(zhì)量?？紤]到，并且利用（1）式，將（7）（8）式代入（9）得 由此得到試管的最終運(yùn)動(dòng)速度為： 3.8.2 標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下氦氣的粘度為，氬氣的粘度為，他們的摩爾質(zhì)量分別為M1和M2.。試問：（1）氦原子和氦原子碰撞的碰撞截面和氬原子與氬原子的碰撞截面之比等于多少？（2）氦的導(dǎo)熱系數(shù)與氬的導(dǎo)熱系數(shù)之比等于多少？（3）氦的擴(kuò)散系數(shù)與氬的擴(kuò)散系數(shù)之比等于多少？（4）此時(shí)測(cè)得氦氣的粘度和氬氣的粘度。用這些數(shù)據(jù)近似的估算碰撞截面。【解】（1）因?yàn)閯t有 在溫度相同情況下，原子和氦原子碰撞的碰撞截面和氬原子與氬原子的碰撞截面之比為 （2） 因?yàn)?所以 則有 （3） 應(yīng)為所以 而所以（4） 由（1

13、）可以得到 3.9.2 在熱水瓶里灌進(jìn)質(zhì)量為m=1.00 kg的水，熱水瓶膽的內(nèi)表面S=700 cm2,瓶膽內(nèi)外容器的間隙d=5.00 mm,間隙內(nèi)氣體壓強(qiáng)p=1.00 Pa,假設(shè)熱水瓶?jī)?nèi)的熱量只是通過間隙內(nèi)的氣體的熱傳導(dǎo)而散失。試確定需要多少時(shí)間容器內(nèi)的水溫從90降為80，取環(huán)境溫度為20?！窘狻靠梢约俣崴磕憡A層內(nèi)氣體充滿及其稀薄的氣體熱傳導(dǎo)條件，單位時(shí)間內(nèi)在單位面積上傳遞的熱量為 （1）其中，根式內(nèi)的T'為降溫過程中夾層內(nèi)氣體的平均溫度 （2）而且有 （3）由于在dt時(shí)間內(nèi)漏出的熱量是由水的溫度降低dT所釋放的熱量提供的，故 （4）其中為水的比熱容，將（1）（2）（3）代入（4

14、）后積分有 3.B.4 1000的加熱室中蒸發(fā)的鈹（相對(duì)原子質(zhì)量為9）原子束的簡(jiǎn)單示意圖。加熱室A中蒸發(fā)出來的鈹原子經(jīng)小孔逸出，再經(jīng)狹縫準(zhǔn)直器B而形成原子束，最后進(jìn)入另一真空室D中，（1）原子束將與真空室背景分子進(jìn)行碰撞，若進(jìn)行1m后其原子束強(qiáng)度（單位時(shí)間內(nèi)通過的原子數(shù)）減少為1/e。真空室溫度為300K，試問真空室壓強(qiáng)多少？設(shè)鈹原子與真空中分子的碰撞截面為，忽略鈹原子間的碰撞。（2）鈹原子束的平均速率是多少？（3）鈹原子進(jìn)行1m所需平均時(shí)間是多少？（4）估計(jì)鈹原子束撞擊容器壁所產(chǎn)生的壓強(qiáng)（設(shè)鈹原子束穿出狹縫時(shí)粒子數(shù)密度為），因真空室室溫較低，所有撞擊在容器壁上的鈹原子均沉積在器壁上），將這一

15、壓強(qiáng)與真空室中氣體壓強(qiáng)進(jìn)行比較。 【分析】這是泄流問題（它和氣體分子碰壁數(shù)屬于同一類問題），也是一個(gè)和分子束分布、自由程、氣體壓強(qiáng)等基本概念有關(guān)的綜合性問題。 【解】（1）按照自由程分布，自由程分布在的概率為 （1）由題中可知原子束的自由程出現(xiàn)在間的概率為1/e,即 （2）由（1）（2）可以求出鈹原子束與真空室空氣碰撞的平均自由程為為了求出真空室壓強(qiáng)，利用平均自由程公式 （3）由此得到 （2）鈹原子束的平均速率可以由分子束的平均速率公式求得 （3） 鈹原子進(jìn)行1m所需平均時(shí)間 （4）鈹原子束剛進(jìn)入真空容器時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)透過單位截面積的平均分子數(shù)為，其中n0為該截面處鈹原子束的粒子數(shù)密度，則碰到

16、單位面積器壁上的鈹原子數(shù)為 ，因?yàn)閺?000 高溫容器中出來的鈹原子束是與300K真空容器壁相碰撞，兩者溫度相差非常大，可假設(shè)原子束與器壁完全非彈性碰撞，撞擊粒子全部粘附在器壁上，每個(gè)分子產(chǎn)生的動(dòng)量改變，所有這些分子撞擊容器壁所產(chǎn)生的 壓強(qiáng)為 4. B.1 聲波可在氣體管中形成駐波。現(xiàn)用1000Hz的聲波在碘蒸氣管中做實(shí)驗(yàn)，在溫度為400K時(shí)，測(cè)得管內(nèi)形成的駐波的相鄰波節(jié)間距為6.77cm。試問：（1）聲波的波速是多少？（2）管內(nèi)碘蒸氣分子是單原子分子還是雙原子分子？為什么？已知碘的相對(duì)原子質(zhì)量為127，聲波在氣體中的傳播速度滿足關(guān)系，其中為氣體密度，為氣體的絕熱壓縮系數(shù) 下標(biāo)“s”表示絕熱過

17、程。 【分析】雖然本題沒有指出碘蒸氣是什么氣體，但是可以假定它是理想氣體，否則無法解題。這是一個(gè)有關(guān)絕熱過程、能量均分定理波動(dòng)中的駐波的復(fù)合題。應(yīng)該明確，聲波在氣體中的傳播是滿足絕熱條件的，所以要利用絕熱壓縮系數(shù)來著手解題。 【解】絕熱過程方程為 兩邊微分得到 兩邊同時(shí)除以，并且考慮到這是一個(gè)絕熱過程，一下彪“s”表示 由本題對(duì)絕熱壓縮系數(shù)的定義知 （1） 由理想氣體物態(tài)方程以及對(duì)密度的定義知道 （2） 代入聲速公式得到 （3） 所以 （4） 我們知道駐波兩相鄰波節(jié)之間的距離為 ，所以聲波的波長(zhǎng)為 （5） 現(xiàn)在聲波的頻率為，則聲速為 （6） 先假定碘蒸氣為單原子分子氣體，即 ，又有T=400K

18、，將（6）一起代入（4）得 這和單原子分子的相差較大。 再假定碘蒸氣為雙原子分子氣體，得 它和能量均分定理得到的結(jié)果符合得很好。說明碘蒸氣是雙原子分子氣體。 5.3.7 絕熱壁包圍的汽缸被以絕熱活塞分割成A、B兩室。活塞在汽缸內(nèi)可無摩擦的自由滑動(dòng)。A,B內(nèi)各有1mol的雙原子理想氣體。初始時(shí)氣體處于平衡態(tài)，它們的壓強(qiáng)、體積、溫度分別為p0,V0,T0.A室中有一電加熱器使之徐徐加熱，知道A室中壓強(qiáng)變?yōu)?p0,試問：（1）最后A,B兩室內(nèi)氣體溫度分別為多少？（2）在加熱過程中，A室氣體對(duì)B室做了多少功？（3） 加熱器傳給A室氣體多少熱量？（4）A,B兩室的總熵變是多少？【分析】這是熱力學(xué)第一定律和熱力學(xué)第二定律相結(jié)合的題目，在通常的熱力學(xué)第一定律習(xí)題中在附加求熵變，注意汽缸和活塞都是絕熱的。A對(duì)B的影響是通過活塞的做功來實(shí)現(xiàn)的，而A,B的壓強(qiáng)始終相等。A,B的總體積不變?！?/p>