sx1209數(shù)學(xué)與當(dāng)代科學(xué)技術(shù)

1、專(zhuān)題9 數(shù)學(xué)與當(dāng)代科學(xué)技術(shù)在科學(xué)發(fā)展的進(jìn)程中，數(shù)學(xué)的作用日漸凸顯，一方面，高新技術(shù)的基礎(chǔ)是應(yīng)用科學(xué)，而應(yīng)用科學(xué)的基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)；另一方面，隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的迅猛發(fā)展，數(shù)學(xué)兼有了科學(xué)與技術(shù)的雙重身份，現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)越來(lái)越表現(xiàn)為一種數(shù)學(xué)技術(shù)。當(dāng)代科學(xué)技術(shù)的突出特點(diǎn)是定量化，而定量化的標(biāo)志就是數(shù)學(xué)思想和方法的運(yùn)用。精確定量思維是對(duì)當(dāng)代科技人員的共同要求。所謂定量思維是指人們從實(shí)際中提煉數(shù)學(xué)問(wèn)題，抽象為數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)計(jì)算求出此模型的解或近似解，然后回到現(xiàn)實(shí)中進(jìn)行檢驗(yàn)，必要時(shí)修改模型使之更切合實(shí)際，最后編制解題的計(jì)算機(jī)軟件，以便得到更廣泛和方便的應(yīng)用。高技術(shù)的高精度、高速度、高自動(dòng)、高質(zhì)量、高效率等特點(diǎn)，無(wú)不

2、是通過(guò)數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)方法并借助計(jì)算機(jī)的控制來(lái)實(shí)現(xiàn)的。傳統(tǒng)的觀點(diǎn)認(rèn)為，理論與實(shí)驗(yàn)是科學(xué)研究的兩個(gè)基本方法。由于20世紀(jì)前半期數(shù)學(xué)的巨大發(fā)展，使得它的研究領(lǐng)域空前擴(kuò)大，因而使得眾多的實(shí)際問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。二次世界大戰(zhàn)以來(lái)，社會(huì)各方面的實(shí)際需要向數(shù)學(xué)提出了空前大量的問(wèn)題。二次世界大戰(zhàn)后電子計(jì)算機(jī)及計(jì)算機(jī)技術(shù)（軟件、多媒體等）的發(fā)展，使得以往無(wú)法實(shí)現(xiàn)的繁雜計(jì)算和不敢設(shè)想的算法（如計(jì)算機(jī)模擬）都可以進(jìn)行。如今，科學(xué)計(jì)算已經(jīng)和理論、實(shí)驗(yàn)共同構(gòu)成當(dāng)代科學(xué)研究的三大支柱。第一部分 數(shù)學(xué)與當(dāng)代自然科學(xué)我們這里所說(shuō)的自然科學(xué)，主要是指物理學(xué)、化學(xué)、天文學(xué)、地學(xué)、生物學(xué)這樣一些基礎(chǔ)學(xué)科。數(shù)學(xué)與自然科學(xué)在20世

3、紀(jì)越來(lái)越緊密地相互結(jié)合，越來(lái)越深刻地相互影響和滲透，產(chǎn)生出許多交叉學(xué)科，形成了一個(gè)規(guī)模龐大的數(shù)理科學(xué)系統(tǒng)。傳統(tǒng)的觀點(diǎn)認(rèn)為，理論與實(shí)驗(yàn)是科學(xué)研究的兩個(gè)基本方法。由于20世紀(jì)前半期數(shù)學(xué)的巨大發(fā)展，使得它的研究領(lǐng)域空前擴(kuò)大，因而使得眾多的實(shí)際問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。二次世界大戰(zhàn)以來(lái)，社會(huì)各方面的實(shí)際需要向數(shù)學(xué)提出了空前大量的問(wèn)題。二次世界大戰(zhàn)后電子計(jì)算機(jī)及計(jì)算機(jī)技術(shù)（軟件、多媒體等）的發(fā)展，使得以往無(wú)法實(shí)現(xiàn)的繁雜計(jì)算和不敢設(shè)想的算法（如計(jì)算機(jī)模擬）都可以進(jìn)行。如今，科學(xué)計(jì)算已經(jīng)和理論、實(shí)驗(yàn)共同構(gòu)成當(dāng)代科學(xué)研究的三大支柱。一、數(shù)學(xué)與天文學(xué)天文學(xué)是最早運(yùn)用數(shù)學(xué)的科學(xué)領(lǐng)域，這可以上溯到2000多年前的古希

4、臘時(shí)代。17世紀(jì)，牛頓完成了哥白尼所開(kāi)創(chuàng)的天文學(xué)革命，為經(jīng)典天文學(xué)奠定了基礎(chǔ)，而他的天文學(xué)（天體力學(xué)）本質(zhì)上是數(shù)學(xué)的而不是物理學(xué)的。借助數(shù)學(xué)方法和和計(jì)算技術(shù)，天體力學(xué)在當(dāng)代獲得了引人注目的成就，例如，應(yīng)用牛頓定律和高速計(jì)算機(jī)，天文學(xué)家們已經(jīng)預(yù)測(cè)了太陽(yáng)系在未來(lái)億年內(nèi)的運(yùn)動(dòng)情形。當(dāng)代，數(shù)學(xué)在天文學(xué)中的應(yīng)用更加廣泛和深入。一個(gè)著名的例子是天體物理中的數(shù)值模擬。天文學(xué)研究的許多問(wèn)題，如宇宙、星系的演化，太陽(yáng)系中行星、衛(wèi)星的形成，其尺度常常是以光年計(jì)算的（例如，離太陽(yáng)系最近的恒星是半人馬座比鄰星，距離大約為 4.3光年；銀河系的范圍約為10萬(wàn)光年；最近的河外星系的距離約為 100萬(wàn)光年），其時(shí)間常常是以

5、億年計(jì)算的（例如，太陽(yáng)系是在距今50 46億年前形成的），天體及宇宙空間中的超高溫、超低溫、超高壓、超高密度以及其他許多物理?xiàng)l件，都不是世界上任何實(shí)驗(yàn)室所能達(dá)到的，研究有關(guān)的物理過(guò)程又涉及到極為復(fù)雜的多變量微分方程和積分方程。例如，太陽(yáng)的表面溫度為 5770K，白矮星的密度為每立方厘米105107克，20世紀(jì)20年代，人們發(fā)現(xiàn)天狼星的一顆伴星，其質(zhì)量約為太陽(yáng)的 1.053倍，但半徑卻只有 0.0074 太陽(yáng)半徑，平均密度高達(dá)每立方厘米 106克，溫度約107K。中子星的密度為每立方厘米1013 1016克等。因此，對(duì)這些問(wèn)題的研究既需要進(jìn)行大型的復(fù)雜計(jì)算，又需要進(jìn)行大量的模擬試驗(yàn)。隨著大型計(jì)算

6、機(jī)的出現(xiàn)與計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展，數(shù)值模擬方法應(yīng)運(yùn)而生，成為天文學(xué)家手中的強(qiáng)有力工具?，F(xiàn)代宇宙學(xué)中的宇宙模型。二、數(shù)學(xué)與物理學(xué)一位物理學(xué)家寫(xiě)道：“貫穿整個(gè)物理科學(xué)的曲折變化的歷史，有一個(gè)仍然不變的因素，就是數(shù)學(xué)想象力的絕對(duì)重要性。每個(gè)世紀(jì)都有它特有的科學(xué)預(yù)見(jiàn)和它特有的數(shù)學(xué)風(fēng)格。每個(gè)世紀(jì)物理科學(xué)的主要進(jìn)展是在經(jīng)驗(yàn)的觀察與純數(shù)學(xué)的直覺(jué)相結(jié)合的引導(dǎo)下取得的。對(duì)于一個(gè)物理學(xué)家來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)不僅是計(jì)算現(xiàn)象的工具，也是得以創(chuàng)造新理論的概念和原理的主要源泉?！毕鄬?duì)論和量子力學(xué)是現(xiàn)代物理學(xué)的核心領(lǐng)域，它們的建立與發(fā)展都與數(shù)學(xué)有密切關(guān)系。1愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論。19051915年，愛(ài)因斯坦發(fā)展了他的廣義相對(duì)論，其核心是引

7、力理論，關(guān)鍵是認(rèn)識(shí)到引力只是時(shí)空彎曲的一種表現(xiàn)。廣義相對(duì)論認(rèn)為，引力場(chǎng)的分布將影響到光的傳播路徑，例如，愛(ài)因斯坦預(yù)言，來(lái)自恒星的光從太陽(yáng)近旁掠過(guò)時(shí)將向太陽(yáng)一方偏斜，于是，從地球上觀測(cè)到的恒星位置將背離太陽(yáng)移動(dòng)。由于光線在空間中總是沿著最短路徑傳播，光線路徑的彎曲實(shí)際上表明引力場(chǎng)的空間是彎曲的?？臻g彎曲的程度是由宇宙中物質(zhì)的分布所決定，一個(gè)區(qū)域內(nèi)的物質(zhì)密度越大，空間的曲率也就越大。愛(ài)因斯坦并不需要重新發(fā)明關(guān)于彎曲空間的數(shù)學(xué)，他發(fā)現(xiàn)一切都已經(jīng)準(zhǔn)備好了：在此之前半個(gè)世紀(jì)，數(shù)學(xué)家黎曼就研究了彎曲的三維空間的問(wèn)題；廣義相對(duì)論所需要的另一個(gè)數(shù)學(xué)工具張量分析也已經(jīng)在19世紀(jì)末初步建立。2量子力學(xué)。量子力學(xué)的

8、兩種基本形式：矩陣力學(xué)與波動(dòng)力學(xué)。1900年，德國(guó)物理學(xué)家普朗克發(fā)現(xiàn)，像物質(zhì)一樣，能量也只能被分為有限的份數(shù)，而不是無(wú)窮多份。他的這個(gè)工作的中心是一個(gè)數(shù)學(xué)關(guān)系，它表明，量子的能量可以用輻射的頻率乘以一個(gè)新的基本自然常數(shù)來(lái)計(jì)算，現(xiàn)在這個(gè)常數(shù)就被稱(chēng)為普朗克常數(shù)。1925年月，德國(guó)物理學(xué)家海森堡發(fā)表論文“關(guān)于運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)關(guān)系的重新解釋”，從丹麥物理學(xué)家玻爾的對(duì)應(yīng)原理出發(fā)，由經(jīng)典運(yùn)動(dòng)方程加量子條件，得到了一個(gè)僅以可觀察量為基礎(chǔ)的量子力學(xué)運(yùn)動(dòng)方程，并用這個(gè)方程求解一個(gè)較簡(jiǎn)單的非諧振子量子力學(xué)系統(tǒng)，得到了與實(shí)驗(yàn)相符的頻率和躍遷幾率。兩個(gè)月后，德國(guó)物理學(xué)家玻恩及其學(xué)生P.約旦發(fā)表論文“論量子力學(xué)”，用矩陣

9、代數(shù)的形式系統(tǒng)地表示海森堡理論，矩陣元對(duì)應(yīng)于可觀察量，矩陣乘法規(guī)則與海森堡運(yùn)算規(guī)則一致，得出的矩陣方程相當(dāng)于海森堡量子條件。隨后，他們與海森堡合作發(fā)表了論文“論量子力學(xué)”，系統(tǒng)地發(fā)展起矩陣形式的量子力學(xué)體系，成功地處理了一系列問(wèn)題，從而建立了量子力學(xué)的基本形式之一 矩陣力學(xué)。矩陣論是在19世紀(jì)中期由英國(guó)數(shù)學(xué)家凱萊在研究線性變換不變量問(wèn)題時(shí)開(kāi)創(chuàng)的，矩陣代數(shù)的運(yùn)算與通常的代數(shù)運(yùn)算有一個(gè)明顯的差異：矩陣乘法不滿足交換律。后來(lái)人們認(rèn)識(shí)到，這個(gè)不對(duì)稱(chēng)的數(shù)學(xué)特點(diǎn)聯(lián)系著這樣一個(gè)事實(shí)：僅僅是測(cè)量的前后次序不同，微觀世界就可能給出不同的結(jié)果。這是量子世界所顯示的許多奇特性質(zhì)之一。從1926年 1月27日到 6月

10、23日，奧地利物理學(xué)家薛定諤接連發(fā)表篇關(guān)于量子力學(xué)的論文，致力于用一個(gè)全新的數(shù)學(xué)量 波函數(shù)描述微觀客體在時(shí)空中的定態(tài)和運(yùn)動(dòng)變化，并建立起相應(yīng)的波動(dòng)方程，以數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)了在空間以特定形式傳播或振動(dòng)的波的性質(zhì)，給出了波函數(shù)隨空間坐標(biāo)和時(shí)間變化的關(guān)系。求解這些偏微分方程得出的本征值就是量子化假設(shè)中的分立能級(jí)，對(duì)一系列實(shí)例得出了與實(shí)驗(yàn)相符的理論解。論文還分析了微觀系統(tǒng)和宏觀的關(guān)系，證明了這種波動(dòng)力學(xué)與矩陣力學(xué)在數(shù)學(xué)上的等價(jià)性。還有一件事情值得一提：1924年，希爾伯特出版了數(shù)學(xué)物理方法，它恰好為第二年出現(xiàn)的量子力學(xué)準(zhǔn)備了工具。3群論與物理學(xué)。運(yùn)用群論方法，研究系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，引出系統(tǒng)的各種定量和定性的

11、結(jié)論，有下面兩個(gè)重要特點(diǎn)：只要依據(jù)的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)是嚴(yán)格的，則由它引出的結(jié)論是精確的、可靠的；對(duì)稱(chēng)性質(zhì)與系統(tǒng)的具體細(xì)節(jié)無(wú)關(guān)，特別當(dāng)我們對(duì)所研究對(duì)象還知之甚少的情況下，分析系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，就可以得出一些帶普遍性的結(jié)論來(lái)，甚至可以以對(duì)稱(chēng)性質(zhì)作為依據(jù)，猜測(cè)和探索系統(tǒng)的基本運(yùn)動(dòng)規(guī)律。4規(guī)范場(chǎng)與纖維叢。楊振寧幾何和物理學(xué)：“回顧前面關(guān)于規(guī)范場(chǎng)的歷史淵源的畫(huà)面，我已經(jīng)在其中列舉了物理學(xué)家認(rèn)為在描述實(shí)驗(yàn)定律時(shí)是必要的那些概念的發(fā)展。尋求這些概念的動(dòng)機(jī)淵源于物理現(xiàn)象。因此十分令人驚訝的是人們發(fā)現(xiàn)規(guī)范場(chǎng)概念等同于叫做纖維叢的幾何概念，它是數(shù)學(xué)家完全獨(dú)立地發(fā)展起來(lái)的，與物理實(shí)在沒(méi)有任何關(guān)系?！?正電子的發(fā)現(xiàn)。1930年

12、，英國(guó)理論物理學(xué)家狄拉克 (Paul Ddrac) 發(fā)現(xiàn)了描述電子運(yùn)動(dòng)的正確方程，這一發(fā)現(xiàn)主要是基于對(duì)稱(chēng)性的考慮。但是出人意料的事情發(fā)生了：狄拉克方程預(yù)示著存在一個(gè)除了負(fù)荷外，每個(gè)方面都與電子一樣的粒子。以前從未有人觀察到這個(gè)假設(shè)中的“反粒子”，于是實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家們開(kāi)始去尋找它。1932年 8月2日，美國(guó)物理學(xué)家卡爾安德森 (Carl D.Anderson) 發(fā)現(xiàn)了正電子。人們稱(chēng)這個(gè)用數(shù)學(xué)方法預(yù)言而作出的發(fā)現(xiàn)是一個(gè)“比現(xiàn)實(shí)還現(xiàn)實(shí)”的優(yōu)美例子。三、數(shù)學(xué)與地球科學(xué)在地球科學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，產(chǎn)生了計(jì)量地理學(xué)、數(shù)學(xué)地質(zhì)學(xué)、數(shù)值天氣預(yù)報(bào)等一系列研究領(lǐng)域與方法，并在地震預(yù)報(bào)、地球物理學(xué)、海洋學(xué)等方面發(fā)揮了巨

13、大作用。此外，現(xiàn)代地球科學(xué)中還廣泛采用了高速計(jì)算、高速通訊、高速自動(dòng)資料整理、數(shù)值模擬等高科技方法，許多實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展依賴(lài)于有關(guān)的數(shù)學(xué)理論與方法的發(fā)展。數(shù)學(xué)在地球科學(xué)中不僅已經(jīng)顯示出巨大的作用，而且必將產(chǎn)生更為廣泛和深刻的影響。航空攝影測(cè)量學(xué)。為了勘探地形和地下礦藏，一種簡(jiǎn)便易行的方法是用飛機(jī)或人造地球衛(wèi)星在飛航途中每隔一定時(shí)間拍攝一張照片，再將許多照片上的圖象拼成一幅完整的大圖。由于地面時(shí)有起伏，機(jī)身也難免時(shí)有傾斜，種種因素影響，每張照片都可能存在誤差。攝影過(guò)程實(shí)際上是一個(gè)中心投影變換，將地面圖景投影到照相底片的平面上。這兩個(gè)平面如果不平行，底片上的圖象就會(huì)變形，因而必須再通過(guò)中心投影變換把誤

14、差糾正過(guò)來(lái)，偏差多大角度就要糾正多大角度，這時(shí)就要應(yīng)用射影幾何知識(shí)進(jìn)行精密的計(jì)算。1967年，美籍法國(guó)數(shù)學(xué)家曼德?tīng)柌剂_特（Benoit Mandelbrot ，1924 ）發(fā)表了“不列顛的海岸線有多長(zhǎng)，統(tǒng)計(jì)自相似性和分?jǐn)?shù)維”一文，其中首先注意到更早的理查德森（Richardson）已經(jīng)作出的研究：當(dāng)用無(wú)窮小的尺度去測(cè)量海岸線時(shí)，會(huì)得出海岸線是無(wú)限長(zhǎng)的令人困惑的結(jié)論。曼德?tīng)柌剂_特把這一結(jié)果與周期為無(wú)限的曲線結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來(lái)。此后，他于1977年出版了分形：形狀、機(jī)遇和維數(shù)，標(biāo)志著分形理論的正式誕生。這種探討最初主要是純粹數(shù)學(xué)意義上的，然而大量事實(shí)表明，分形在自然界中廣泛存在著。在地球科學(xué)方面，十分引

15、人注目的是分形地貌學(xué)的創(chuàng)立。分形地貌學(xué)是一門(mén)用現(xiàn)代非線性科學(xué)中的分形方法及原理研究地球表面起伏形態(tài)及其發(fā)生、發(fā)展和分布規(guī)律的新興科學(xué)。以直線為基礎(chǔ)的歐幾里得幾何無(wú)力描述大自然的真實(shí)面貌，而讓位于以描述客觀自然（如處處連續(xù)處處不可微的曲線）為己任的分形理論，分形地貌學(xué)也應(yīng)運(yùn)而生。19世紀(jì)末，挪威學(xué)者已將流體力學(xué)引入氣象學(xué)研究，1922年理查森提出數(shù)值解法，但只有馮諾伊曼等借助計(jì)算機(jī)與適當(dāng)?shù)臄?shù)值方法才于1952年首次實(shí)現(xiàn)數(shù)值天氣預(yù)報(bào)。與氣象學(xué)一樣，當(dāng)前一系列科學(xué)與工程領(lǐng)域的發(fā)展都依賴(lài)于計(jì)算機(jī)與計(jì)算方法，這導(dǎo)致了大規(guī)模科學(xué)計(jì)算的迅猛發(fā)展。1998年，當(dāng)時(shí)的美國(guó)副總統(tǒng)戈?duì)柼岢隽恕皵?shù)字地球”的構(gòu)想，成為

16、近年來(lái)地球科學(xué)領(lǐng)域最引人注目的話題之一。通俗地說(shuō)，所謂數(shù)字地球就是一個(gè)數(shù)字化的地球儀，它可以按照統(tǒng)一的地球空間坐標(biāo)，將地球的自然地理信息、社會(huì)經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)、人文信息等組織起來(lái)，構(gòu)成一個(gè)具有多分辨率、多類(lèi)型、多時(shí)項(xiàng)的三維地球數(shù)據(jù)集。這種數(shù)字地球可以提供普通地球儀無(wú)法提供的許多重要信息，使人們可以任意選擇、逐級(jí)放大或縮小所感興趣的觀察對(duì)象，可以快速、形象地了解地球上各種宏觀、微觀情況。實(shí)現(xiàn)數(shù)字地球的基本前提是計(jì)算技術(shù)的支撐。氣象、海洋、地震、遙感、資源探測(cè)、環(huán)境、生態(tài)等各種數(shù)據(jù)，其數(shù)量都是大得難以想象的，必須借助電子計(jì)算機(jī)并運(yùn)用強(qiáng)大的科學(xué)計(jì)算方法加以處理，以便從中得到有關(guān)地球的各種宏觀和微觀規(guī)律。四、

17、數(shù)學(xué)與化學(xué)1數(shù)量化的化學(xué)分支。20世紀(jì)以來(lái)，數(shù)學(xué)在化學(xué)中的作用日益廣泛和深入，不僅已經(jīng)成為化學(xué)領(lǐng)域不可缺少的工具，而且由于數(shù)學(xué)與化學(xué)的結(jié)合，產(chǎn)生了許多交叉學(xué)科，例如數(shù)理化學(xué)、化學(xué)動(dòng)力學(xué)、量子化學(xué)、分子拓?fù)鋵W(xué)、計(jì)算機(jī)化學(xué)等。當(dāng)今化學(xué)由定性研究迅速向定量化研究的方向發(fā)展，與之相適應(yīng)的數(shù)學(xué)及其算法不斷出現(xiàn)。2幾個(gè)著名的例群論與化學(xué)。群論是數(shù)學(xué)家們?yōu)樘角笠话阄宕我陨细叽畏匠痰墓浇舛?9世紀(jì)創(chuàng)立的，如今它已在化學(xué)中獲得了極為廣泛的應(yīng)用，例如對(duì)分子對(duì)稱(chēng)性的研究，對(duì)分子振動(dòng)的研究，對(duì)晶體結(jié)構(gòu)的研究等，都使用了群論方法。此外，由于化學(xué)研究的需要也促進(jìn)了群論中一系列相關(guān)的理論與方法的發(fā)展。正多面體與鈦化合物

18、。當(dāng)代化學(xué)研究的結(jié)果表明，鈦化合物具有正多面體的結(jié)構(gòu)，而對(duì)正多面體的研究是古希臘數(shù)學(xué)家在兩千多年前純粹為了數(shù)學(xué)自身的目的發(fā)展起來(lái)的，最初完全是“無(wú)用”的。20世紀(jì)80年代以前，人們認(rèn)為碳只能以兩種主要形式出現(xiàn)：金剛石和石墨。但是，數(shù)學(xué)家受到十二面體的旋轉(zhuǎn)群?jiǎn)l(fā)，推測(cè)自然界有可能存在60，因?yàn)樵跀?shù)學(xué)上它有十分穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)。1985年，化學(xué)家與物理學(xué)家合作，造出了由60個(gè)碳原子構(gòu)成的形如足球的60分子，激起了科學(xué)界的極大震動(dòng)。后來(lái)科學(xué)家又發(fā)現(xiàn)了50、70、84、120等各種各樣的多面體碳分子，化學(xué)家根據(jù)它們的對(duì)稱(chēng)性對(duì)各種分子進(jìn)行分類(lèi)，群論在闡明它們的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)方面特別有用。 分形理論。近年發(fā)展起來(lái)的

19、分形理論在化學(xué)中也有廣泛的應(yīng)用，例如：固體和流體間的化學(xué)反應(yīng)是化學(xué)、化工、冶金、材料制備加工、腐蝕等極重要的反應(yīng)過(guò)程。固體表面一般是粗糙的，于是就需要用分形理論和方法加以描述和研究。多孔性物質(zhì)在地球表面極為普遍，在海洋化學(xué)、地球化學(xué)、石油開(kāi)采等許多方面都遇到這樣的表面，例如油田中貯油的砂巖的多孔結(jié)構(gòu)等等。生物軀體和生物高分子集團(tuán)的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，如肌肉中的微血管分布，是“三維”的“粗糙”結(jié)構(gòu)，這一結(jié)構(gòu)與許多醫(yī)藥化學(xué)（如藥物在人體中的擴(kuò)散過(guò)程動(dòng)力學(xué)）問(wèn)題有密切關(guān)系。大量的化學(xué)圖譜（光譜、波譜、極譜）曲線實(shí)際上多是不平滑的，其粗糙度與信息量的關(guān)系值得探討。液態(tài)和非晶態(tài)固體中原子排列、空隙分布、不同種原子

20、及其集團(tuán)的分布，牽涉到許多不規(guī)則的圖形。許多不可逆過(guò)程的曲線，如化學(xué)振蕩和化學(xué)混沌現(xiàn)象的曲線，也是歐幾里得幾何學(xué)難于描述的曲線。描述上述各種復(fù)雜的幾何圖象，把握其規(guī)律，從而研究上述化學(xué)體系的課題，在理論上和實(shí)際上都具有重大意義，分形理論的出現(xiàn)不僅為研究這些問(wèn)題提供了理論基礎(chǔ)，而且提供了強(qiáng)有力的方法。拓?fù)鋵W(xué)研究的是圖形經(jīng)過(guò)連續(xù)變形之后仍能保持的性質(zhì)。分子拓?fù)鋵W(xué)的基本依據(jù)是：盡管分子的幾何參數(shù)如原子間的距離、化學(xué)鍵的鍵角能夠測(cè)定，但由于存在著各種分子內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，例如分子振動(dòng)、內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)等，原子在分子中的位置是不固定的。同時(shí)，分子的幾何性質(zhì)也受到周?chē)h(huán)境不可忽視的影響，例如在溶液情況下溶劑的影響，在晶體情

21、況下壓力等的影響等。由分子內(nèi)運(yùn)動(dòng)和由各種外部影響所引起的分子幾何性質(zhì)的改變，只要沒(méi)有化學(xué)鍵的破壞與形成，就可以看作連續(xù)的形變，此時(shí)，分子中原子間相互關(guān)聯(lián)的性質(zhì)保持不變。分子中原子相互連通的全部信息確定了分子的拓?fù)湫再|(zhì)。20世紀(jì)60年代，拓?fù)鋵W(xué)已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用到化學(xué)領(lǐng)域，討論配位絡(luò)合物，平面不飽和碳體系的金屬?gòu)?fù)合物，金屬原子簇化合物和硼氫化合物等。人們?cè)絹?lái)越清楚地認(rèn)識(shí)到拓?fù)湫再|(zhì)是分子的重要性質(zhì)。此后，關(guān)于分子結(jié)構(gòu)的拓?fù)淅碚撨M(jìn)一步發(fā)展起來(lái)，分子電荷分布的拓?fù)湫再|(zhì)、分子、結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性、分子結(jié)構(gòu)變化的數(shù)學(xué)模式、化學(xué)鍵的拓?fù)淅碚?、核?shì)能與能量之間的拓?fù)潢P(guān)系以及分子體系勢(shì)能面的拓?fù)湫再|(zhì)等都逐漸建立，進(jìn)而形

22、成了一門(mén)以研究分子的拓?fù)湫再|(zhì)及其應(yīng)用為主要內(nèi)容的分子拓?fù)鋵W(xué)，并已成為分子結(jié)構(gòu)和分子動(dòng)力學(xué)理論中的重要組成部分。五、數(shù)學(xué)與生命科學(xué)19世紀(jì)后期，恩格斯曾指出，數(shù)學(xué)在生物學(xué)中的應(yīng)用等于零。20世紀(jì)以來(lái)，數(shù)學(xué)出人意料地與生命科學(xué)緊密地聯(lián)系在一起，其結(jié)果是：在數(shù)學(xué)中出現(xiàn)了一個(gè)十分活躍的應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域 生物數(shù)學(xué)；在生物學(xué)中則出現(xiàn)了數(shù)學(xué)生物學(xué)的龐大體系。簡(jiǎn)單地說(shuō)，生物數(shù)學(xué)主要是指用于生物科學(xué)研究中的數(shù)學(xué)理論和方法，包括生物統(tǒng)計(jì)學(xué)，生物微分方程，生態(tài)系統(tǒng)分析，生物控制，運(yùn)籌對(duì)策等；數(shù)學(xué)生物學(xué)主要是指生物學(xué)不同領(lǐng)域中應(yīng)用數(shù)學(xué)工具后所產(chǎn)生的生物學(xué)分支，例如：數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)，數(shù)量生理學(xué)，數(shù)量遺傳學(xué)，數(shù)量分類(lèi)學(xué)，數(shù)量生物

23、經(jīng)濟(jì)學(xué)，傳染病動(dòng)力學(xué)，數(shù)理醫(yī)藥學(xué)，分子動(dòng)力學(xué)，細(xì)胞動(dòng)力學(xué)，人口動(dòng)力學(xué)，以及神經(jīng)科學(xué)的數(shù)學(xué)模擬等。今天，數(shù)學(xué)幾乎觸及到生物學(xué)的每個(gè)領(lǐng)域。數(shù)學(xué)生物學(xué)是今天應(yīng)用數(shù)學(xué)最振奮人心的前沿之一，它充分顯示了數(shù)學(xué)的威力和多方面的適用性。這些數(shù)學(xué)工具幫助人們把生物學(xué)研究推到了科學(xué)的前沿 了解生命和智力。DNA分子是生物傳宗接代的主要物質(zhì)基礎(chǔ)，它是遺傳信息存儲(chǔ)的基本單位，許多有關(guān)生命起源的重大問(wèn)題都依賴(lài)于對(duì)這種特殊分子的性質(zhì)的深入了解。因此，關(guān)于 DNA分子的結(jié)構(gòu)與功能問(wèn)題，幾十年來(lái)一直吸引著許多生化學(xué)家和遺傳學(xué)家們的注意。最近十幾年來(lái)，科學(xué)家們?cè)絹?lái)越清楚地認(rèn)識(shí)到，DNA分子的三維空間的拓?fù)錁?gòu)型對(duì)它在細(xì)胞里如何發(fā)

24、揮其功能有重要影響。借助數(shù)學(xué)模型方法，數(shù)學(xué)生物學(xué)家們解釋了為什么處于哺乳動(dòng)物體積分布譜兩端的大象和老鼠身上的顏色比較均勻一致，而不太大也不太小的動(dòng)物，例如斑馬、金錢(qián)豹等，它們身上的花紋就會(huì)很不尋常。數(shù)學(xué)模擬可以解釋為什么世界上有身上是斑點(diǎn)、尾巴是條紋的動(dòng)物，卻沒(méi)有身上是條紋、尾巴是斑點(diǎn)的動(dòng)物。例如：金錢(qián)豹的尾巴太細(xì)，使斑點(diǎn)都合并成了條紋。在當(dāng)代，數(shù)學(xué)模型被廣泛應(yīng)用于在生理學(xué)領(lǐng)域，例如心臟、腎、胰臟、耳朵和許多其他器官的計(jì)算模型。隨著近年在計(jì)算技術(shù)和數(shù)值算法方面迅猛的發(fā)展，人們已經(jīng)能夠充分詳細(xì)地模擬人體流體動(dòng)力學(xué)功能并運(yùn)用于認(rèn)識(shí)和治療疾病。數(shù)學(xué)模型還使高速計(jì)算機(jī)在藥物成分設(shè)計(jì)和染色體組織的分析方

25、面得以廣泛應(yīng)用。X 射線計(jì)算機(jī)斷層掃描儀（簡(jiǎn)稱(chēng)CT）的問(wèn)世是20世紀(jì)醫(yī)學(xué)中的奇跡，被認(rèn)為是放射醫(yī)學(xué)領(lǐng)域的一次革命性突破。其原理是基于不同的物質(zhì)有不同的X 射線衰減系數(shù)。如果能夠確定人體的衰減系數(shù)的分布，就能重建其斷層或三維圖象。但通過(guò)X 射線透射時(shí)，只能測(cè)量到人體的直線上的X 射線衰減系數(shù)的平均值（是一積分）。當(dāng)直線變化時(shí)，此平均值（依賴(lài)于某參數(shù)）也隨之變化。能否通過(guò)這個(gè)平均值以求出整個(gè)衰減系數(shù)的分布呢？人們利用數(shù)學(xué)中的拉東變換解決了這個(gè)問(wèn)題，如今拉東變換已經(jīng)成為CT理論的核心。首創(chuàng)CT理論的A.M.科馬克及第一臺(tái)CT制作者C.N.洪斯菲爾德因而獲得了1979年諾貝爾醫(yī)學(xué)和生理學(xué)獎(jiǎng)。另外，20

26、世紀(jì)80年代后期興起的磁共振顯像（MRI）的主要技術(shù)之一也是數(shù)學(xué)方面的，它以19世紀(jì)發(fā)展起來(lái)的傅立葉變換的快速精確的反演為主要特征。醫(yī)學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)方法的另一個(gè)典型例子是計(jì)算機(jī)數(shù)值診斷，即利用數(shù)學(xué)的信息理論、數(shù)據(jù)處理技術(shù)以及電子計(jì)算機(jī)這個(gè)強(qiáng)有力的工具，對(duì)病患者的癥狀表現(xiàn)和各種化驗(yàn)和檢驗(yàn)指標(biāo)進(jìn)行數(shù)學(xué)加工分析，做出疾病的定量診斷結(jié)果。臨床診斷是醫(yī)生根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)和理論知識(shí)的推理做出最有可能的判斷，診斷的準(zhǔn)確性與醫(yī)生本人的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)水平有著直接的關(guān)系。而數(shù)值診斷則不然，它依賴(lài)于大量的歷史診斷記錄和對(duì)這些資料的數(shù)學(xué)處理方式。已診斷的病例越多，癥狀資料越詳細(xì)，處理方式越得當(dāng)，就越能得到較確切的診斷結(jié)果。第

27、二部分 數(shù)學(xué)與高技術(shù)在當(dāng)代高科技的發(fā)展中，數(shù)學(xué)的作用日漸凸顯，一方面，高新技術(shù)的基礎(chǔ)是應(yīng)用科學(xué)，而應(yīng)用科學(xué)的基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)；另一方面，隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的迅猛發(fā)展，數(shù)學(xué)兼有了科學(xué)與技術(shù)的雙重身份，現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)越來(lái)越表現(xiàn)為一種數(shù)學(xué)技術(shù)。當(dāng)代科學(xué)技術(shù)的突出特點(diǎn)是定量化，而定量化的標(biāo)志就是數(shù)學(xué)思想和方法的運(yùn)用。精確定量思維是對(duì)當(dāng)代科技人員的共同要求。所謂定量思維是指人們從實(shí)際中提煉數(shù)學(xué)問(wèn)題，抽象為數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)計(jì)算求出此模型的解或近似解，然后回到現(xiàn)實(shí)中進(jìn)行檢驗(yàn)，必要時(shí)修改模型使之更切合實(shí)際，最后編制解題的計(jì)算機(jī)軟件，以便得到更廣泛和方便的應(yīng)用。高技術(shù)的高精度、高速度、高自動(dòng)、高質(zhì)量、高效率等特點(diǎn)，無(wú)不是通

28、過(guò)數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)方法并借助計(jì)算機(jī)的控制來(lái)實(shí)現(xiàn)的。數(shù)學(xué)在當(dāng)代高技術(shù)中的應(yīng)用極為廣泛，我們只能象征性地舉幾個(gè)實(shí)例。一、數(shù)學(xué)與電子計(jì)算機(jī)電子計(jì)算機(jī)的發(fā)明與使用是第二次大戰(zhàn)以來(lái)對(duì)人類(lèi)文明影響最為深遠(yuǎn)的科技成就之一。電子計(jì)算機(jī)是數(shù)學(xué)與工程技術(shù)結(jié)合的產(chǎn)物，而在其發(fā)展的每個(gè)歷史關(guān)頭，數(shù)學(xué)都起了關(guān)鍵的作用。通用計(jì)算機(jī)的概念最先是由數(shù)學(xué)家巴貝奇提出；圖靈從數(shù)學(xué)上證明了制造通用數(shù)字計(jì)算機(jī)的可能性；馮諾伊曼的程序存儲(chǔ)等思想至今仍是現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的設(shè)計(jì)指南。毫無(wú)疑問(wèn)，計(jì)算機(jī)的進(jìn)一步發(fā)展，包括新型計(jì)算機(jī)（如大規(guī)模并行計(jì)算機(jī)、光計(jì)算機(jī)、量子計(jì)算機(jī)、生物計(jì)算機(jī)等）的研制，仍將借助于適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)理論與思想。電子計(jì)算機(jī)之所以有強(qiáng)大的

29、功能，除了它本身獨(dú)特的設(shè)計(jì)思想外，最主要的是因?yàn)橛辛塑浖闹С帧Ｓ?jì)算機(jī)是由硬件和軟件兩部分組成的，如果說(shuō)硬件是它的軀體，軟件就是它的靈魂。軟件的核心是算法，所以它是一種數(shù)學(xué)。1997年，IBM公司制造的“深藍(lán)”計(jì)算機(jī)驚人地一舉擊敗了當(dāng)今世界上國(guó)際象棋第一高手俄羅斯的卡斯帕羅夫，世界為之轟動(dòng)?！吧钏{(lán)”之所以能有如此水平，主要是由于十分巧妙的算法以及高速計(jì)算機(jī)的支持。二、可靠性的數(shù)學(xué)理論所謂可靠性，是指單元或由單元組成的系統(tǒng)在一定條件下完成其預(yù)定功能的能力。在一個(gè)由若干元、部件組成的系統(tǒng)中，每個(gè)元、部件都有一定的壽命。某些元、部件的失效會(huì)導(dǎo)致整個(gè)系統(tǒng)的失效。為改善系統(tǒng)的可靠性性能，可以采取各種措施

30、（如增設(shè)備份、預(yù)防性維修、定期更換等）。研究在各種措施下每個(gè)系統(tǒng)的概率規(guī)律性、可靠性程度、在給定時(shí)間內(nèi)的失效數(shù)，以及在給定條件（如投資額、體積、重量等）下應(yīng)采取怎樣的措施使系統(tǒng)可靠性達(dá)到最大的數(shù)學(xué)理論，稱(chēng)為系統(tǒng)的可靠性理論。隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，雖然單個(gè)元部件的可靠性不斷得到改善，但是各類(lèi)系統(tǒng)日趨復(fù)雜，要求它完成的功能也更廣泛。單個(gè)元部件失效引起整個(gè)系統(tǒng)失效的代價(jià)越來(lái)越昂貴，會(huì)在經(jīng)濟(jì)上、信譽(yù)上造成巨大損失，有時(shí)還會(huì)造成人員傷亡及政治上、心理上的嚴(yán)重后果。因此，象大型客機(jī)、核電站、宇航系統(tǒng)、軍事指揮系統(tǒng)、大型計(jì)算機(jī)等都要求有極高的可靠性。如何正確估計(jì)大型系統(tǒng)的可靠性，是個(gè)重要的實(shí)際問(wèn)題。三、數(shù)學(xué)、

31、編碼與通訊現(xiàn)代社會(huì)是信息化的社會(huì)，信息的獲得、存儲(chǔ)與傳遞都是十分重要的問(wèn)題，而密碼則是一種獨(dú)特而重要的信息傳遞方式，其重要性在軍事對(duì)抗、政治斗爭(zhēng)、商業(yè)競(jìng)爭(zhēng)等涉及不同利益的集團(tuán)的對(duì)抗或競(jìng)爭(zhēng)中是不言而喻的。一方面是有效地在我方內(nèi)部迅速準(zhǔn)確地傳遞各種信息而不被對(duì)方破譯，另一方面是尋找破譯對(duì)方信息的有效方法。因此，密碼學(xué)的研究一直是世界各國(guó)政府和軍方特別關(guān)注的。此外，密碼學(xué)在控制論、語(yǔ)言學(xué)、分子生物學(xué)等領(lǐng)域也有著重要的發(fā)展前景。現(xiàn)代密碼學(xué)中幾乎充滿了數(shù)學(xué)：代數(shù)學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、概率統(tǒng)計(jì)以及一些較新的數(shù)學(xué)分支，如信息論、自動(dòng)機(jī)理論等，都對(duì)密碼學(xué)的發(fā)展作出了貢獻(xiàn)。近年來(lái)，計(jì)算機(jī)科學(xué)（尤其是算法論

32、與計(jì)算復(fù)雜性理論）更對(duì)密碼學(xué)產(chǎn)生了深刻的影響。1976年11月，美國(guó)斯坦福大學(xué)的兩位電工學(xué)工程師迪費(fèi)和海爾曼發(fā)表論文密碼學(xué)的新方向，用他們提出的陷門(mén)單向函數(shù)發(fā)明了公開(kāi)密鑰碼體制。傳統(tǒng)的保密密鑰碼，其加密過(guò)程與解密過(guò)程是對(duì)稱(chēng)的，加密密鑰與解密密鑰是相同的。陷門(mén)單向函數(shù)f(n)由一個(gè)重要性質(zhì)：僅由已知的計(jì)算 f(n) 的算法，要想找出計(jì)算其反函數(shù) f-1(l) 的容易算法非常困難從而實(shí)際上是不可能的。這樣就可以用f(n)作加密密鑰并將其公開(kāi)，用它的反函數(shù) f-1(l)作為解密密鑰并嚴(yán)格保密。利用陷門(mén)單向函數(shù)，就可以構(gòu)成如下的公開(kāi)密鑰碼體制。有一個(gè)部門(mén)，下設(shè) A，B，C，若干機(jī)構(gòu)，各機(jī)構(gòu)均有自己的陷

33、門(mén)單向函數(shù)，分別為 fA(n)，fB(n)，fC(n)，各函數(shù)的算法分別作為各部門(mén)的編碼 (加密)方法而公開(kāi)，諸 fA-1(l)，fB-1(l)，fC-1(l)，的容易算法，作為解密密鑰是保密的。這樣，部門(mén)中的任一機(jī)構(gòu)（包括部門(mén)外的機(jī)構(gòu)）都可給其中的一個(gè)機(jī)構(gòu)發(fā)保密信。例如，B向 A發(fā)保密信，方法是，設(shè) B向 A所發(fā)的明文為 n，代入 A所公開(kāi)的 fA(n)，得 fA(n) m，m 即為密文，由于只有 A知道 fA-1(m)的容易算法，可由 fA-1(m)fA-1(fA(n)n脫密。部門(mén)內(nèi)的各成員可以彼此發(fā)簽名信，例如 B給 A發(fā)簽名信，方法是，先用 fB-1(l) 對(duì)明文 n加密得 fB-1(

34、n) m，再用 fA(n)對(duì) m加密得 fA(m)t. A收到 t后，由 fA-1(t) m得 fB(m)fB(fB-1(n)n，即可讀到 B的原信。因?yàn)橹挥?B才能發(fā)這樣的雙重加密信，所以 B的簽名是無(wú)法偽造的。近年來(lái)在通信事業(yè)中發(fā)展起一門(mén)新的科學(xué) 安全技術(shù)，包括消息認(rèn)證和身份驗(yàn)證兩個(gè)方面。消息認(rèn)證是檢查收到的消息是否真實(shí)的一種手段，應(yīng)用十分廣泛，例如證券交易所和股票市場(chǎng)都離不開(kāi)消息認(rèn)證，在當(dāng)今通信事業(yè)中，以及軍事指揮中心、軍事監(jiān)聽(tīng)機(jī)構(gòu)中等都要有很好的消息認(rèn)證系統(tǒng)，以使受假消息影響的程度為最小。身份驗(yàn)證是檢驗(yàn)消息的來(lái)源（發(fā)信者）是否正確，或者傳遞的消息是否到達(dá)正確目的地（收信者）的方法。例如

35、，如果你擁有一個(gè)計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)的終端設(shè)備，就不但可以隨時(shí)查到你所需要的資料或信息，而且可以解決許多實(shí)際生活中的問(wèn)題，如預(yù)訂機(jī)票、市場(chǎng)購(gòu)物、銀行轉(zhuǎn)賬等，甚至可以通過(guò)計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)簽署文件。使用計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行這些活動(dòng)時(shí)，都需要將自己的身份告訴對(duì)方。為了使對(duì)方能確認(rèn)你的身份是真實(shí)的，就需要相應(yīng)的身份驗(yàn)證方法。日常生活中，在信件上簽名是很普通的事，但要通過(guò)電子通信手段在遙遠(yuǎn)的異地完成簽名就不容易了。這種通過(guò)電子通信完成簽名的手段稱(chēng)為數(shù)字簽名。前面介紹的 RSA體制就是實(shí)現(xiàn)數(shù)字簽名的一種有效方法。數(shù)字簽名首先是一種消息認(rèn)證方法，另一方面，在通信雙方發(fā)生爭(zhēng)執(zhí)時(shí)，又可由仲裁者進(jìn)行公正裁決，因此它又是一種身份驗(yàn)證方法

36、。四、數(shù)學(xué)與軍用技術(shù)雖然在今天電子計(jì)算機(jī)已經(jīng)滲透到現(xiàn)代社會(huì)的每個(gè)角落，但它最初卻是為了軍用目的發(fā)展起來(lái)的。計(jì)算機(jī)具有運(yùn)算速度快、記憶容量大、邏輯判斷能力強(qiáng)、計(jì)算精度高、自動(dòng)化程度好等優(yōu)點(diǎn)，因而從一誕生起就受到了軍事家的青睞，被廣泛用于偵察、預(yù)警、指揮、通信、兵器控制、導(dǎo)航、定位、電子對(duì)抗、作戰(zhàn)模擬和各種保障等方面。由于計(jì)算機(jī)技術(shù)的進(jìn)步和數(shù)學(xué)算法的巨大改進(jìn)，已可能用數(shù)學(xué)模型來(lái)代替許多試驗(yàn)，結(jié)果大大節(jié)省了成本，提高了設(shè)計(jì)的質(zhì)量。這對(duì)于武器的研制特別重要，因?yàn)槿暨M(jìn)行具體的試驗(yàn)，不但既費(fèi)錢(qián)又危險(xiǎn)，而且在初期階段實(shí)際上是無(wú)法辦到的。例如，假如有一天世界全面禁止核試驗(yàn)，掌握了強(qiáng)大計(jì)算技術(shù)的國(guó)家仍然可以借助

37、在以往核試驗(yàn)中獲得的數(shù)據(jù)在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行模擬核試驗(yàn)，即使在核試驗(yàn)尚未被禁止的情況下，模擬試驗(yàn)也可以用來(lái)選擇最佳試驗(yàn)方案從而減少試驗(yàn)次數(shù)，節(jié)省大量投資和時(shí)間并提高設(shè)計(jì)水平。顯然，實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)模擬核試驗(yàn)的關(guān)鍵問(wèn)題是相應(yīng)的數(shù)學(xué)的理論與方法是否已經(jīng)建立。模擬裝置在一些發(fā)達(dá)國(guó)家的軍隊(duì)中使用已久，特別是隨著最新技術(shù)的發(fā)展，使軍隊(duì)可以把軍事演習(xí)、實(shí)戰(zhàn)演習(xí)和微觀模擬融于一體，創(chuàng)造出一種高度逼真的模擬世界，使士兵如同置身于實(shí)戰(zhàn)戰(zhàn)場(chǎng)，從而獲得最佳的演習(xí)效果。模擬裝置有許多種，能適應(yīng)各種不同的訓(xùn)練需要。虛擬模擬器，它能模擬飛機(jī)和坦克的駕駛艙，可以在無(wú)需高成本和長(zhǎng)時(shí)間實(shí)際訓(xùn)練的情況下向?qū)W員傳授基本的操作技術(shù)。實(shí)戰(zhàn)模擬，它

38、能控制在所需的范圍內(nèi)，使成千上萬(wàn)的真實(shí)士兵在虛擬的戰(zhàn)場(chǎng)上用實(shí)戰(zhàn)武器相互射擊，武器中發(fā)射的是不會(huì)造成傷害的激光束或雷達(dá)波。結(jié)構(gòu)性模擬，它是一種專(zhuān)為高級(jí)指揮官設(shè)計(jì)的微觀軍事演習(xí)，它們基本上是電腦輔助的對(duì)弈，是一種可以取代大規(guī)模軍隊(duì)行動(dòng)的軟件計(jì)算。數(shù)字化戰(zhàn)爭(zhēng)。主要是以先進(jìn)的數(shù)字化技術(shù)，通過(guò)“數(shù)據(jù)兼容調(diào)制解調(diào)器”裝置，實(shí)現(xiàn)戰(zhàn)場(chǎng)上各軍兵種和武器系統(tǒng)之間的相互聯(lián)系，改變戰(zhàn)場(chǎng)上的信息傳遞方式，從而加快部隊(duì)的行動(dòng)節(jié)奏和反應(yīng)能力，提高部隊(duì)的整體戰(zhàn)斗力。與此同時(shí)，交戰(zhàn)雙方都將利用一切手段對(duì)對(duì)方指揮、控制系統(tǒng)進(jìn)行打擊、干擾、壓制、迷惑和誤導(dǎo)。1982年英國(guó)與阿根廷馬島（馬爾維納斯群島）海戰(zhàn)。1991年海灣戰(zhàn)爭(zhēng)。19

39、99年科索沃戰(zhàn)爭(zhēng)。隨著高科技的發(fā)展，一些國(guó)家的軍事科技人員發(fā)現(xiàn)，如果將計(jì)算機(jī)病毒的破壞和繁殖功能與“邏輯炸彈”的潛伏性結(jié)合起來(lái)，加上人工智能設(shè)計(jì)一種病毒程序，便可以造出更靈巧的病毒武器，它們既能夠破壞特定目標(biāo)，又可避開(kāi)防毒程序。特制的計(jì)算機(jī)病毒武器能夠有效地破壞計(jì)算機(jī)系統(tǒng)或者使之發(fā)生誤差，在軍事上可用以破壞敵方的指揮、通信與控制系統(tǒng)，用于識(shí)別導(dǎo)彈發(fā)射、控制彈道和提供情報(bào)的戰(zhàn)略計(jì)算機(jī)系統(tǒng)等。在1991年的海灣戰(zhàn)爭(zhēng)中美國(guó)就對(duì)伊拉克使用了計(jì)算機(jī)病毒武器。五、數(shù)學(xué)與航空航天技術(shù)20世紀(jì)70年代以前，飛行器設(shè)計(jì)所依靠的數(shù)據(jù)都是靠風(fēng)洞模型實(shí)驗(yàn)得到的。特別是高性能飛機(jī)，過(guò)去通常主要用風(fēng)洞試驗(yàn)以及類(lèi)似的試驗(yàn)來(lái)

40、設(shè)計(jì)，然后就建造一個(gè)模型，由試飛員去試飛，這不僅周期長(zhǎng)、費(fèi)用高，而且相當(dāng)危險(xiǎn)。70年代后期，這種情況有了改變。由于電子計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，特別是高速巨型計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，能計(jì)算出極其精確的結(jié)果，導(dǎo)致了計(jì)算流體力學(xué)的誕生。計(jì)算流體力學(xué)研究如何對(duì)各種類(lèi)型流體（氣體、液體和特殊情況下的固體）在各種速度范圍內(nèi)的復(fù)雜流動(dòng)，用大型計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值模擬計(jì)算。它涉及用計(jì)算機(jī)尋求流動(dòng)問(wèn)題的解和計(jì)算機(jī)在流體力學(xué)研究中的應(yīng)用這兩方面的問(wèn)題。在當(dāng)代飛行器的設(shè)計(jì)中，計(jì)算流體力學(xué)、風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)和自由飛行一起構(gòu)成了獲得氣動(dòng)數(shù)據(jù)的三種手段。雖然風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)仍是一個(gè)主要方法，但建造風(fēng)洞的費(fèi)用很高，而且有一定的局限性。隨著現(xiàn)代高速飛行器設(shè)計(jì)的需要，實(shí)驗(yàn)的花費(fèi)就更加巨大。如今，數(shù)值模擬方法已代替了許多實(shí)驗(yàn)，因?yàn)樵诖蠖鄶?shù)情況下采用這種方法不僅可以大大地縮短周期，降低費(fèi)用，提高安全可靠性，而且具有容易改變