第二章平面力系的簡化與合成

1、第二章 平面力系的簡化與合成引言在工程實際中， 作用于物體 上的力系往往是較為復雜的。研究 物體的平衡問題，就必須在保證作 用效應完全相同的前提下 , 將復雜 力系簡化為簡單力系 , 這就是力系 的簡化。而力系的合成則是將一個 力系簡化成一個力，用一個力代替 一個力系。因此, 力系的簡化與合成 是研究平衡問題的前提和基礎。本章將研究平面力系的簡 化與合成 , 為研究平衡問題打下基 礎。基本要求1 、掌握投影及力矩的 求法；2 、理解力偶的概念及 性質；3 、掌握各種平面力系 的簡化方法；4 、理解力的平移定理， 掌握固定端約束的約束反力畫 法.第一節(jié) 平面匯交力系的合成 各力的作用線在同一平面

2、內，且匯交于一點的力系稱為平面匯交力 系。一、投影的概念及求法 力的作用效應取決于其大小、方向和作用點（對剛體而言是作用 線），其大小、方向對作用效應的影響，可用力在坐標軸上的投影來描 述。力在坐標軸上的投影不僅表征了力對物體的移動效應， 而且還是平 面匯交力系合成的基礎。在力的作用面內任選一坐標軸 , 由力的作用線的始端和末端分 別向該軸做垂線， 所得的兩垂足間的線段冠以適當?shù)恼撎枺?就稱為該 力在該坐標軸上的投影。具體說明如下：設力F作用于物體上的A點，其作用線為AB,在力F的作用線 所在的平面內建立直角坐標系 Oxy 。瀏覽器不支持嵌入式框架 , 或被配置為不顯示嵌入式框架。從力F的兩

3、個端點A、B分別作 x軸的垂線，得垂足a、b,在線 段ab前冠以適當?shù)恼撎?，就稱為力F在 x軸上的投影，記作Fx ；同 樣從A、B分別作y軸的垂線，得垂足a、b，在線段a b前冠以適當 的正負號，就稱為F在y軸上的投影，記作Fy.力在坐標軸上的投影是代數(shù)量 , 其正負規(guī)定如下： 若從始端對應的 垂足（a或a0）到末端對應的垂足（b或b0）的趨勢（指向）與坐標軸 的正向一致， 則力在坐標軸上的投影為正， 反之為負。 如圖 21中, Fx 取正值，F(xiàn)y取負值.若力F的大小為F ,它與x和y軸所夾的銳角分別為a、B,則F在x、y軸上的投影分別為:Fx F cosF sinFy F sinF cos

4、上式表明 , 力在坐標軸上投影的大小， 等于力的大小與力與該軸 所夾銳角的余弦的乘積。不難看出，當力與坐標軸平行（或重合）時，力在坐標軸上投影 的絕對值等于力的大小，力的方向與坐標軸的正向一致時，投影為正 反之為負；當力與坐標軸垂直時，力在坐標軸上的投影等于零。由投影的定義式可知，力在坐標軸上的投影僅與力的大小、方 向有關，而與力的作用點或作用線的位置無關 ，它僅表征了力的大小、 方向對力的作用效應的影響。前面講述了已知力求投影的方法，反過來,若已知力F在坐標軸 上的投影Fx和Fy,也可以求出力F的大小和方向.Fx2F：tan式中，F(xiàn)表示力F的大小，a表示F與x軸所夾的銳角，F(xiàn)的 具體指向可由

5、F x和F y的正負確定。顯然，F(xiàn)x>0,Fy>0時，卩指向右上 方；Fx>0,Fy <0時，F(xiàn)指向右下方；Fx<0,Fy >0時，F(xiàn)指向左上方； FxVQFyV °時，卩指向左下方。必須指出，投影和分力是兩個不同的概念，分力是矢量，投影是代數(shù)量，分力與作用點的位置有關，而投影與作用點的位置無關，它們與原力的關系分別遵循不同的規(guī)則，只有在直角坐標系中，分力的大小才和同一軸上的投影的絕對值相等。二、合力投影定理投影表征了力對物體一種效應的，同時，合力與分力又是等效的,那么，二者的投影間有何關系呢？可以證明，當剛體受F 1、F 2F n組成的平面匯交力

6、系的作用時，右 RF i +F 2+ F n貝U R x F ix+ F 2x +F nx YF xR yF 1y+ F 2y + F ny YF y上式說明，合力在任意軸上的投影等于諸分力在同一軸上投影的代數(shù)和，此即合力投影定理既然合力投影與分力投影之間的關系對任意軸都成立，那么 ， 在應用合力投影定理時，我們就應注意坐標軸的選擇， 盡可能使運算方 便。三、平面匯交力系合成的解析法平面匯交力系的合成方法主要有幾何法和解析法兩種。 幾何法是根 據(jù)力的平行四邊形法則逐一合成， 工程上應用較多的是解析法。 其具體 方法如下：欲求平面匯交力系F 1、F 2F n的合力，首先建立直角坐 標系°

7、;xy，并求出各力在x、y軸上的投影，然后根據(jù)合力投影定理計算 合力R的投影Rx和Ry，最后根據(jù)公式(2-2 )求出合力的大小和方向:R .R； R； .( Fx)2 ( Fy)2tanRyFyRxFx式中，R為合力的大小，B為R與x 軸所夾的銳角，R的具體指向仍由Rx 和Ry的正負確定，合力的作用點在力 系的匯交點例題：如圖所示在0點作用有四個平面匯交力，已知F1 = 100N, F2=100N, F3= 150N, F4= 200N，試求該力系的合力30° K=-F2coS60° F2y =F2sin6(la -F.co&45° FAx = FAcF2

8、= =毘 sin 45°COS比二藝用=1293VF!=200N氏 + 鷹二 171 3N= 40.975° 1293為1123a = arctg = arctg需注意的是，所選坐標系不同，力系合成的結果一樣，但繁簡程度也不同，解題時，將坐標軸選取在與盡可能多的力垂直或平行的方向，可簡化運算過程第二節(jié)力對點之矩力對物體的作用效應，除移動效應外，還有轉動效應。其移動效應取決于力的大小和方向, 可用力在坐標軸上的投影來描述。那么力對物體的轉動效應與哪些因素有關？又如何描述一、力對點之矩的概念點擊圖片觀看動畫如圖所示，當我們用扳 手擰螺母時，力F使螺母繞O 點轉動的效應不僅與力F

9、的大 小有關，而且還與轉動中心O 到F的作用線的距離d有關。 大量實踐表明，轉動效應隨F 或d的增加而增強，可用F與d 的乘積來度量.另外,轉動方向 不同，效應也不同，為了表示不 同的轉動方向，還應在乘積前 加上適當?shù)恼撎?。在力學中，為度量力使物體繞某點（矩心O）的轉動的效應， 將力的大小（F）與矩心到力的作用線的距離（力臂 d）的乘積F d冠 以適當?shù)恼撎査玫奈锢砹糠Q為力F對O點之矩，簡稱力矩，記作 m°（F），即，mo(F) 力對點之矩是一個代數(shù)量，其正負號的規(guī)定為：力使物體繞矩心逆時針轉動時，取正號；反之，取負號其單位為牛頓米(N m)或千 牛頓米(kN m)，顯然，1k

10、N m 1000N m。由力矩的定義式可知 , 力矩具有以下性質 :(1 )、力矩的大小和轉向與矩心位置有關，同一力對不同矩心 的力矩不同。(2 )、力沿其作用線滑移時，力對點之矩不變，因為此時力的 大小、方向未變，力臂也未變。(3 )、當力的作用線通過矩心時 , 力臂為零，力矩也為零 .二、合力矩定理合力與分力是等效的，而力矩是度量力對物體的轉動效應的物 理量?？梢宰C明：合力對平面內任意一點之矩，等于所有分力對同一點 之矩的代數(shù)和 . 即，若' R=F i +F 2+ + F n貝y mo (R) = mo (F i) + m。(F 2)+ + mo (F n)此關系稱為 合力矩定理

11、 。該定理不僅適用于平面匯交力系 , 對任 何有合力的力系均成立。三、力對點之矩的求法求力對點之矩的方法，一般有以下兩種 : 1、直接根據(jù)定義式求這種方法的關鍵是求力臂 d。需要特別注意的是，力臂是矩心 到力的作用線的距離，而點到線段的距離是垂線段的長度，即力臂一定要垂直于力的作用線。例題：例1、求圖中各力對0點之矩M0(F1)=- F1XOAMo (F»= 0M°(F3)= F3 >ABM 0 (F4)= F4 XOCcos a例2已知力Fn= 1400N,壓力角a= 20 °，半徑r = 60cm,計算力Fn對圓心O之矩.根據(jù)力矩定義求:h = rcos

12、 a= 0。6 cos20° =0。 5638mMo ( Fn)=Fn。h = 1400X0。5638=789.32N m根據(jù)合力矩定義求：將力Fn分解為圓周力Ft和徑向力Fr，貝SMo ( &)二M°(Fr)+M°(Ft)二Fn.cos20° .r=789。32N m例3如圖所示，構件OBC的O端為鉸鏈支座約束，力F作用于C點，其方向角為a,又知 OB=I，BC=h，求力F對O點的力（心（爲）第三節(jié)力偶及平面力偶系的合成、力偶及力偶矩力學中，把作用在同一物體上，大小相等、方向相反、但不共線 的一對平行力稱為力偶，記作(F,F ')，力偶

13、中兩個力的作用線間 的距離d稱為力偶臂，兩個力所在的平面稱為力偶的作用面。在工程實際和日常生活中，物體受力偶作用而轉動的現(xiàn)象十分常見,例如,司機兩手轉動方向盤，雙手用絲錐攻絲，用兩個手指擰動水 龍頭、開門鎖等所施加的都是力偶。由實踐經(jīng)驗可知，力偶中的兩個力不滿足二力平衡條件，不能 平衡，也不能對物體產(chǎn)生移動效應，只能對物體產(chǎn)生轉動效應而且,力偶對物體的轉動效應隨力的大小 F或力偶臂d的增大而增強，因此, 我們用二者的乘積Fd冠以適當?shù)恼撎査玫奈锢砹縼砹慷攘ε紝?物體的轉動效應，稱之為力偶矩，記作 m(F , F ')或m即，m(F,F ) F d在平面內，力偶矩與力矩一樣，也是代數(shù)

14、量，正負號表示力偶 的轉向，其規(guī)定與力矩相同， 即, 逆正順負。 力偶的單位也與力矩相同， 常用Nm和k Nm力偶對物體的轉動效應取決于力偶矩的大小、轉向和力偶的作 用面的方位，我們稱這三者為 力偶的三要素 。三要素中，有任何一個改變 , 力偶的作用效應就會改變 .二、力偶的性質根據(jù)力偶的概念 , 可以證明，力偶具有以下性質：1 、力偶在任意軸上的投影恒等于零， 故力偶無合力， 不能與一 個力等效，也不能用一個力來平衡，因此，力偶只能用力偶來平衡?？?見，力偶和力是組成力系的兩個基本物理量。2 、力偶對其作用面內任意一點之矩 , 恒等于其力偶矩，而與矩 心的位置無關。3 、力偶的等效性： 凡是

15、三要素相同的力偶 , 彼此等效 , 可以相互 代替. 此即力偶的等效性 .根據(jù)力偶的等效性，可得出以下兩個推論： 推論一：力偶對物體的轉動效應與它在作用面內的位置無關 , 力偶 可以在其作用面內任意移動或轉動，而不改變它對剛體的效應。推論二：在保持力偶矩的大小和轉向不變的情況下，可同時改 變力偶中力的大小和力偶臂的長短，而不改變它對剛體的效應。C F在平面力系中，由于力 偶對物體的轉動效應完全取決 于力偶矩的大小和轉向，因此, 在表示力偶時，沒有必要表明 力偶的具體位置以及組成力偶 的力的大小、方向和力偶臂的 值,僅以一個帶箭頭的弧線來 表示，并標出力偶矩的值即可， 如圖所示，其中箭頭表示力偶

16、 的轉向。應當注意：力偶的等效性及其推論，只適用于剛體，不適用于 變形體。三、平面力偶系的合成作用于同一物體上的若干個力偶組成一個力偶系，若力偶系中 各力偶均作用在同一平面，則稱為平面力偶系 既然力偶對物體只有轉動效應，而且，轉動效應由力偶矩來度 量，那么，平面內有若干個力偶同時作用時（平面力偶系），也只能產(chǎn) 生轉動效應，顯然其轉動效應的大小也等于各力偶轉動效應的總和?？梢宰C明，平面力偶系合成的結果為一合力偶， 其合力偶矩等于各分力偶 矩的代數(shù)和。即M = mi + m2+mn第四節(jié)平面任意力系的簡化力系中，各力的作用線都處于同一平面內，既不全都匯交于一點，又不 全都平行，這樣的力系稱為平面任

17、意力系。它是工程實際中最常見的一 種力系。平面任意力系的簡化以力的平移定理為依據(jù)。一、力的平移定理由力的基本性質可知，在剛體內，力沿其作用線滑移，其作用效應不變。如果將力的作用線平行移動到另一位置，其作用效應是否改變 呢？由經(jīng)驗可知，力的作用線平移后，將改變原力對物體的作用效果。 例如，如圖2-12所示，當力F作用于A點并通過其軸心O時，輪不轉 動，而力F的作用線平移至E點后，輪則轉動。顯然，力的作用線從A 點平移到E點后，其效應發(fā)生了改變?？梢?，力的作用線平移后，要保證其效應不變，應附加一定的條件?？梢宰C明，將作用于剛體上的力，平移到剛體上任意一點，必須附 加一個力偶才能與原力等效，附加力偶

18、的力偶矩等于原力對平移點之 矩，此即為力的平移定理。力的平移定理可用 下圖予以解釋點擊圖片觀看動畫應用力的平移定理時必須注意：1、力線平移時所附加的力偶矩的大小、轉向與平移點的位置有 關。2、力的平移定理只適用于剛體， 對變形體不適用，并且力的作 用線只能在同一剛體內平移，不能平移到另一剛體。3、力的平移定理的逆定理也成立。力的平移定理不僅是力系簡化的依據(jù)，而且也是分析力對物體作用效應的一個重要方法，能解釋許多工程和生活中的現(xiàn)象例如,用絲 錐攻絲時，為什么單手操作時容易斷錐或攻偏（觀看動畫）；打乒乓球時，為什么搓球能使乒乓球旋轉等請讀者自己分析二、平面任意力系簡化方法設剛體上作用著平面任意力系

19、F 1、F 2F n。在力系所在平 面內任選一點O作為簡化中心，并根據(jù)力的平移定理將力系中各力均平 移到O點，同時附加相應的力偶。于是原力系等效地簡化為兩個力系:作用于O點的平面匯交力系F 10、F20Fng和力偶矩分別為m、mm的附加平面力偶系，如圖所示，(其中，F(xiàn)i 0 = E、F20 = 12F n0 = F； m= nr( F i)、m= nr( F 2) m= m)(F n)。分別將這 兩個力系合成。對平面匯交力系F 1 ' >F 2'F n',可進一步合成為一個 力：R'=F i'+F 2' +F n'=YF '

20、 =EFR '稱為原力系的主矢量，簡稱主矢.它等于原力系中各分力的矢量 和，但并不是原力系的合力，因為它不能代替原力系的全部作用效應， 只體現(xiàn)了原力系對物體的移動效應。其作用點在簡化中心O,大小、方向可用解析法計算：Rx = F 1x+ F 2x+F nx = YF xRy = F 1y+ F 2y+Fn y=Y F y式中，q表示R0與x軸所夾的銳角，R '的指向可由Y F x、YFy的正 負確定。顯然主矢的大小和方向與簡化中心的位置無關對于附加力偶系，可進一步合成為一個合力偶，其力偶矩：Mo = m + m+ + m=m°(F)( 29)Mo稱為原力系的主矩。它等

21、于原力系中各力對簡化中心之矩的代數(shù)和。同樣，它也不是原力系的合力偶矩， 因為它也不能代替原力系對物體的全部效應，只體現(xiàn)了原力系使物體繞簡化中心轉動的效應 .顯然主矩的大小和轉向與簡化中心的位置有關。點擊圖片觀看動畫綜上所述，平面任意力系向平面內任一點簡化，可得一力和一 力偶，該力稱為原力系的主矢量，它等于原力系中各力的矢量和，作用 點在簡化中心上，其大小、方向與簡化中心無關；該力偶的矩稱為原力 系的主矩，它等于原力系中各力對簡化中心之矩的代數(shù)和，其值一般與 簡化中心的位置有關。例28如圖所示，物體受F i、F 2、F 3、F 4、F 5五個力的作用,已知各力的大小均為10N,試將該力系分別向A

22、點和D點簡化。解：（1）向A點簡化Fx F-i F2 F5 cos4510 10 105.2NFyF3 F4 F5si n45°10 10 10、22Ra rAX RAy10MAmA(F) 04F2 04F4 0向A點簡化的結果如圖b所示.1010105、22N21-101010522N10N(2)向D點簡化：oRdxFx Fi F2 F5 cos45 oR°yFy F3 F4 F5Sin45Rd. RAxRAy .( 5.2)2( 52)2M dm° (F)04 F204 F304 F5 sin 452 < 2N m向D點簡化的結果如圖c所示。三、固定端約

23、束物體的一部分固嵌于另一物體所構成的約束，稱為固定端約束。 例如，建筑物中的陽臺、車床上車刀的固定( 觀看動畫)、電線桿插入 地面以及焊鉚接和用螺栓連接的結構等， 這些工程實例都可抽象為固定 端約束，其力學模型如圖所示。固定端約束所產(chǎn)生的約束反力比較復雜，物體插入部分各點所受的 約束反力的大小、方向均不同，但在平面力系問題中，這些反力組成一 個平面任意力系(觀看動畫)，在不清楚插入部分受力情況的條件下， 把這個力系向固定端上的A點簡化，可得到作用于A點的一個力N和一 個力偶m 般情況下，N的方向未知，常用兩個正交反力N x、Ny來表示，因此,固定端約束有兩個約束反力和一個約束反力偶，其中兩個約

24、束反力N x、N y限制物體的移動，約束反力偶m限制物體的轉動本章小結一、平面匯交力系的簡化與合成1、各力的作用線在同一平面內， 且匯交于一點的力系稱為平面 匯交力系。2、投影的概念及求法:由力的作用線的始端和末端分別向坐標 軸做垂線，所得的兩垂足間的線段冠以適當?shù)恼撎?，就稱為該力在該 坐標軸上的投影。其求法為:FxF cosF sinFyF sinF cos3、合力投影定理：合力在任意軸上的投影等于諸分力在同一軸 上投影的代數(shù)和，此即合力投影定理。4、平面匯交力系合成的合成：R 椒2 RyFx)2 ( Fy)2tanFyFxRyRx二、力對點之矩（力1、力對點之矩的概念：力的大小與矩心到力的作用線的距離臂）的乘積冠以適當?shù)恼撎査玫奈锢砹糠Q為力對點之矩力使物體繞矩心逆時針轉動時，取正號；反之，取負號.其單位為牛頓米。2、力對點之矩的求法：直接根據(jù)定義式求： mO (F) F d根據(jù)合力矩定理求：mb (R)= mb (F 1) + mb( F