2018年秋高中數(shù)學(xué)第2章推理與證明階段復(fù)習(xí)課學(xué)案新人教A版選修1-2

1、第二課推理與證明核心速填1 合情推理歸納推理：由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理.(2) 類比推理：由特殊到特殊的推理.(3) 合情推理：歸納和類比是常用的合情推理，都是根據(jù)已有的事實(shí)， 經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納類比，然后提出猜想的推理.2演繹推理(1) 演繹推理是由一般到特殊的推理.(2) 三段論是演繹推理的一般模式，包括:1-一已知的一般原理；2-一所研究的特殊情況；3-一根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷.3直接證明與間接證明(1) 直接證明的兩類基本方法是綜合法和分析 _綜合法是從條件推導(dǎo)出結(jié)論的證明方法；分析法是由結(jié)論追溯到條件的證明方法；(2) 間接證明一種方法是反證法

2、，它是從結(jié)論反面成立出發(fā)，推出矛盾的證明方法.題型探究合情推理卜例H(1)觀察下列等式：2=2, 111111 一+一一= 一+ 2 十 3 43 十 4， 11111111斗_斗 _ 23 45 645 6據(jù)此規(guī)律，第n個(gè)等式可為_ AB BM(2)類比三角形內(nèi)角平分線定理： 設(shè)ABC的內(nèi)角A的平分線交BC于點(diǎn)M則A=Me若在四面體P-ABC中，二面角BPAC的平分面PA咬BC于點(diǎn)D,你可得到的結(jié)論是 _,并加以證明.【導(dǎo)學(xué)號：48662093】圖 2-1規(guī)律方法1. 歸納推理的特點(diǎn)及一般步驟歸納是依據(jù)牯殊現(xiàn)索推斷出一堰現(xiàn)索，因而由歸 帥所得的結(jié)論翅述了前提浙包含的范國.歸軸的前堤是特殊的情

3、況*所冬歸納是立足于 觀察、嵯洽感試盼腳基礎(chǔ)之上的.通過觀煤個(gè)射悄況岌現(xiàn)某些相同需衽從已荊的相同特征中推出一個(gè)明確表班陽一般_ J2. 類比推理的特點(diǎn)及一般步驟跟蹤訓(xùn)練1. (1)觀察下圖 2-1 中各正方形圖案，每條邊上有總數(shù)是Sn.G &c 0OO00 0a0d&00OO00口00JI=2 5=4并=3S=RFl =4S=I2111 112+34+2n 11 1 1 12n=n+1+n+ 2+n+nSABPASABDP.,、，(2)云一=寸-等式的SCPASACDP左邊的通項(xiàng)為12n1亦；右邊的每個(gè)式子的第共有n項(xiàng)，故為畫出相應(yīng)圖形，如圖所示.由類比推理得所探索結(jié)論為SAB

4、DPSA BPASACDPSCPA證明如下：由于平面PAD是二面角BPAC的平分面,到平面BPA與平面CPA勺距離相等，所以VD-BPASA BPAVCPA=LA一” VD-BPAVk-BDPSA BDP 又因?yàn)閂DA=VA-CDP=8.SABPASA BDP由知= 成立.SACPASACDP步n(n2)個(gè)點(diǎn)，第n個(gè)圖案中圓點(diǎn)的所以點(diǎn)D a+bc 0 ,.(a+bc)m 0,按此規(guī)律，推出s與n的關(guān)系式為 _.(2)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為則S, SS, S2S, S6-$2成等差數(shù)列.類比 以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列 5的前n項(xiàng)積為Tn,則T4, _,_,成等比數(shù)列.|12*T8Tl24n 4

5、(n2,n N) (2)屯 不 (1)依圖的構(gòu)造規(guī)律可以看出：S=2X44,S3=3X44,s= 4X4 4(正方形四個(gè)頂點(diǎn)重復(fù)計(jì)算一次，應(yīng)減去).猜想：S= 4n4(n2,n N).(2)等差數(shù)列類比于等比數(shù)列時(shí)，和類比于積，減法類比于除法，可得類比結(jié)論為：設(shè)I8I12I16等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)積為Tn,則T4,二 廠 成等比數(shù)列.|4|8|12綜合法與分析法若a、b、c是BC勺三邊長，噲0，求證：出+mb+譏+m【導(dǎo)學(xué)號：48662094】思路探究：根據(jù)在ABC中任意兩邊之和大于第三邊，再利用分析法與綜合法結(jié)合證明 不等式成立.a b c證明要證明 +-,a+m b+m c+ma b c只

6、需證明+ 0 即可.a+m b+m c+ma b c + 一 = a+m b+m c+ma b+mc+m+b a+mc+mc a+mb+ma+m b+mc+m/a 0,b 0,c0,m 0,( a+m)(b+m)(c+m) 0,2/a(b+n)(c+m) +b(a+m)(c+m) c(a+m)(b+m) =abc+abn+acn+am+abc+abm2 2 2 2 2 2+bcm+bmabcbcmacm- cm= 2abm+am+abc+bmcm= 2abm+abc+ (a+bc)m,卜 a+bc 0 ,.(a+bc)m 0,ABC中任意兩邊之和大于第三邊，2小于 1.2.2abm abc+

7、(a+bc)m 0,a b c.- +-a+m b+m c+m母題探究：（改變條件）本例刪掉條件“m0”，證明：1 +1 仁a+b c證明要證 i+a+bi +c.只需證a+b+(a+b)c(1+a+b)c.即證a+bc.而a+bc顯然成立.a+b c- -1+a+b1+c2.（改變條件）本例增加條件“三個(gè)內(nèi)角A,B, C成等差數(shù)列”，求證：1 1a+b+b+c3a+b+c即證c(b+c) +a(a+b) = (a+b)(b+c), 即證c1 2+a2=ac+b2.ABC三個(gè)內(nèi)角A, B, C成等差數(shù)列.B= 60.由余弦定理，有b2=c2+a2 2cacos 60 即b2=c2+a2ac.c

8、2+a2=ac+b2成立，命題得證.規(guī)律方法分析法，綜合法的應(yīng)用綜合法由因?qū)Ч治龇▓?zhí)果索因，因此在實(shí)際解題時(shí)，常常把分析法和綜合法結(jié)合起 來使用，即先利用分析法尋找解題思路，再利用綜合法有條理地表述解答過程反證法；2sina所以證明要證1a+b1b+c3a+b+c即證a+b+ca+ba+b+cb+c=3，即證c aa+b+b+c小于 1.卜例證明假設(shè)a,b,c均小于 1,即卩av1,bv1,cv1,則有a+b+cv3,十21(1 f而a+b+c= 2x-2x+ 2+ 3= 2x-2 + 33,兩者矛盾，所以假設(shè)不成立，故a,b,c至少有一個(gè)不小于 1.規(guī)律方法反證法的關(guān)注點(diǎn)1 反證法的思維

9、過程：否定結(jié)論？推理過程中引出矛盾？否定假設(shè)肯定結(jié)論，即否定一一推理一一否定經(jīng)過正確的推理導(dǎo)致邏輯矛盾，從而達(dá)到新的“否定”，即肯定原命題 I?反證法常用于直接證明困難或以否定形式出現(xiàn)的命題；涉及“都是” “都不是” “至少” “至多”等形式的命題時(shí)，也常用反證法跟蹤訓(xùn)練2.若x,y,z (0,2)，求證：x(2 y) ,y(2 z) ,z(2 x)不可能都大于 1.證明假設(shè)x(2 y)1，且y(2 z)1，且z(2 x)1 均成立，則三式相乘有xyz(2x)(2 y)(2 z)1 ,由于 0 x2，所以 0 x(2 x) 1 ,同理 0y(2 y) 1,0z(2 z) 1,三式相乘得 0 xyz(2 x)(2 y)(2 z) 0,那么f(a) +f(b) f( a) +f( b)；(2) 判斷(1)中的命題的逆命題是否成立？并證明你的結(jié)論.解(1)證明：當(dāng)a+b0時(shí)，ab且ba. f(x)在 R 上是增函數(shù)，- f(a) f( b),f(b) f( a),f(a) +f(b)f( a) +f( b).(2)(1)中命題的逆命題為如果f(a) +f(b) f( a) +f( b),那么a+b0”，此命題成立.用反證法證明如下：假設(shè)a+bv0,則avb,.f(a)vf( b)