數(shù)據(jù)包絡(luò)分析(DEA)方法

1、二、 數(shù)據(jù)包絡(luò)分析(DEA)方法數(shù)據(jù)包絡(luò)分析(data envelopment analysis, DEA)是由著名運(yùn)籌學(xué)家Charnes, Cooper和Rhodes于1978年提出的，它以相對(duì)效率概念為基礎(chǔ)，以凸分析和線性規(guī)劃為工具，計(jì)算比較具有相同類(lèi)型的決策單元(Decision making unit，DMU)之間的相對(duì)效率，依此對(duì)評(píng)價(jià)對(duì)象做出評(píng)價(jià)1 Charnes A, Cooper W W, Rhodes E. Measuring the efficiency of decision making units J. European Journal of Operational R

2、esearch, 1978, 2: 429-444.1。DEA方法一出現(xiàn)，就以其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)而受到眾多學(xué)者的青睞，現(xiàn)已被應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域的績(jī)效評(píng)價(jià)中2 Cook W D, Seiford L M. Data envelopment analysis (DEA)-Thirty years on J. European Journal of Operation Research, 2009, 192(1): 1-17.,3 Liu J S, Lu L Y Y, Lu W M, Lin B J Y. Data envelopment analysis 19782010: A citation-based

3、 literature survey J. Omega, 2012, doi:10.1016/j.omega.2010.12.006. (In press)。在介紹DEA方法的原理之前，先介紹幾個(gè)基本概念:1. 決策單元一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)或一個(gè)生產(chǎn)過(guò)程都可以看成是一個(gè)單位(或一個(gè)部門(mén))在一定可能范圍內(nèi)，通過(guò)投入一定數(shù)量的生產(chǎn)要素并產(chǎn)出一定數(shù)量的“產(chǎn)品”的活動(dòng)。雖然這種活動(dòng)的具體內(nèi)容各不相同，但其目的都是盡可能地使這一活動(dòng)取得最大的“效益”。由于從“投入”到“產(chǎn)出”需要經(jīng)過(guò)一系列決策才能實(shí)現(xiàn)，或者說(shuō)，由于“產(chǎn)出”是決策的結(jié)果，所以這樣的單位(或部門(mén))被稱為決策單元(DMU)。因此，可以認(rèn)為，每個(gè)DMU

4、(第i個(gè)DMU常記作DMUi)都表現(xiàn)出一定的經(jīng)濟(jì)意義，它的基本特點(diǎn)是具有一定的投入和產(chǎn)出，并且將投入轉(zhuǎn)化成產(chǎn)出的過(guò)程中，努力實(shí)現(xiàn)自身的決策目標(biāo)。在許多情況下，我們對(duì)多個(gè)同類(lèi)型的DMU更感興趣。所謂同類(lèi)型的DMU，是指具有以下三個(gè)特征的DMU集合：具有相同的目標(biāo)和任務(wù)；具有相同的外部環(huán)境；具有相同的投入和產(chǎn)出指標(biāo)。 2. 生產(chǎn)可能集設(shè)某個(gè)DMU在一項(xiàng)經(jīng)濟(jì)(生產(chǎn))活動(dòng)中有m項(xiàng)投入，寫(xiě)成向量形式為；產(chǎn)出有s項(xiàng)，寫(xiě)成向量形式為。于是我們可以用來(lái)表示這個(gè)DMU的整個(gè)生產(chǎn)活動(dòng)。定義1. 稱集合為所有可能的生產(chǎn)活動(dòng)構(gòu)成的生產(chǎn)可能集。在使用DEA方法時(shí)，一般假設(shè)生產(chǎn)可能集T滿足下面四條公理:公理1(平凡公理)

5、: 。 公理2(凸性公理): 集合T為凸集。 如果 , 且存在 滿足 則 。公理3(無(wú)效性公理)：若,則。 ， 公理4 (錐性公理): 集合T為錐。如果那么 對(duì)任意的。若生產(chǎn)可能集是所有滿足公理1 , 2 , 3和4的最小者，則T有如下的唯一表示形式。3. 技術(shù)有效與規(guī)模收益(1) 技術(shù)有效：對(duì)于任意的，若不存在，且，則稱為技術(shù)有效的生產(chǎn)活動(dòng)。(2) 規(guī)模收益：將產(chǎn)出和投入的同期相對(duì)變化比值稱為規(guī)模效益。若，說(shuō)明規(guī)模收益遞增，這時(shí)可以考慮增大投入；若，說(shuō)明規(guī)模收益遞減，這時(shí)可以考慮減小投入；若，說(shuō)明規(guī)模收益不變，且稱為規(guī)模有效。（一） DEA方法原理與CCR模型DEA方法的基本原理是：設(shè)有n個(gè)

6、決策單元，它們的投入，產(chǎn)出向量分別為：，。由于在生產(chǎn)過(guò)程中各種投入和產(chǎn)出的地位與作用各不相同，因此，要對(duì)DMU進(jìn)行評(píng)價(jià)，必須對(duì)它的投入和產(chǎn)出進(jìn)行“綜合”，即把它們看作只有一個(gè)投入總體和一個(gè)產(chǎn)出總體的生產(chǎn)過(guò)程，這樣就需要賦予每個(gè)投入和產(chǎn)出恰當(dāng)?shù)臋?quán)重。假設(shè)投入、產(chǎn)出的權(quán)向量分別為和，從而就可以獲得如下的定義。定義2. 稱為第個(gè)決策單元的效率評(píng)價(jià)指數(shù)。根據(jù)定義可知，我們總可以選取適當(dāng)?shù)臋?quán)向量使得。如果想了解某個(gè)決策單元，假設(shè)為在這n個(gè)決策單元中相對(duì)是不是“最優(yōu)”的，可以考察當(dāng)和盡可能地變化時(shí)，的最大值究竟為多少? 為了測(cè)得的值，Charnes等人于1978年提出了如下的CCR(三位作者名字首字母縮寫(xiě)

7、)模型： (1)利用Charnes和Cooper (1962)4 Charnes A, Cooper W W. Programming with linear fractional functional J. Naval Research Logistics Quarterly, 1962, 9: 181-185.提出的分式規(guī)劃的Charnes-Cooper變換: , ,變換后我們可以得到如下的線性規(guī)劃模型： (2)根據(jù)線性規(guī)劃的相關(guān)基本理論，可知模型(2)的對(duì)偶問(wèn)題表達(dá)形式： (3)上述的模型是基于所有決策單元中“最優(yōu)”的決策單元作為參照對(duì)象，從而求得的相對(duì)效率都是小于等于1的。模型(2)或

8、者(3)將被求解n次，每次即得一個(gè)決策單元的相對(duì)效率。模型(3)的經(jīng)濟(jì)含義是：為了評(píng)價(jià)的績(jī)效，可以用一組假想的組合決策單元與其進(jìn)行比較。模型(3)的第一和第二個(gè)約束條件的右端項(xiàng)分別是這個(gè)組合決策單元的投入和產(chǎn)出。從而，模型(3)意味著，如果所求出的效率最優(yōu)值小于1，則表明可以找到這樣一個(gè)假想的決策單元，它可以用少于被評(píng)價(jià)決策單元的投入來(lái)獲取不少于該單元的產(chǎn)出，即表明被評(píng)價(jià)的決策單元為非DEA有效。而當(dāng)效率值為1時(shí)，決策單元為DEA有效。有關(guān)DEA有效根據(jù)松弛變量是否都為零還可以進(jìn)一步分為弱DEA有效與DEA有效兩類(lèi)。即通過(guò)考察如下模型中的與的值來(lái)判別。 (4)其中為非阿基米德無(wú)窮小量。根據(jù)上述

9、模型給出被評(píng)價(jià)決策單元有效性的定義：定義3. 若模型(4)的最優(yōu)解滿足，則稱為弱DEA有效。定義4. 若模型(4)的最優(yōu)解滿足，且有，成立，則稱為DEA有效。定義5. 若模型(4)的最優(yōu)解滿足，則稱為非DEA有效。對(duì)于非DEA有效的決策單元，有三種方式可以將決策單元改進(jìn)為有效決策單元：保持產(chǎn)出不變，減少投入；保持投入不變?cè)龃螽a(chǎn)出；減小投入的同時(shí)也增大產(chǎn)出。CCR模型容許DMU在減小投入的同時(shí)也增加產(chǎn)出。對(duì)于CCR模型，可以通過(guò)如下投影的方式將其投向效率前沿面，從而投影所得的點(diǎn)投入產(chǎn)出組合即為DEA有效。上述投影所得值與原始投入產(chǎn)出值之間的差異即為被評(píng)價(jià)決策單元欲達(dá)到有效應(yīng)改善的數(shù)值，設(shè)投入的變

10、化量為，產(chǎn)出的變化量為：（二） BCC模型CCR 模型是假設(shè)生產(chǎn)過(guò)程屬于屬于固定規(guī)模收益，即當(dāng)投入量以等比例增加時(shí)，產(chǎn)出量應(yīng)以等比增加。然而實(shí)際的生產(chǎn)過(guò)程亦可能屬于規(guī)模報(bào)酬遞增或者規(guī)模報(bào)酬遞減的狀態(tài)。為了分析決策單元的規(guī)模報(bào)酬變化情況，Banker, Charnes與Cooper以生產(chǎn)可能集的四個(gè)公理以及Shepard距離函數(shù)為基礎(chǔ)在1984年提出了一個(gè)可變規(guī)模收益的模型，后來(lái)被稱為BCC的模型5 Banker R D, Charnes A, Cooper WW. Some models for estimating technical and scale efficiencies in da

11、ta envelopment analysis J. Management Science, 1984, 30: 1078-1092.。線性形式的BCC模型可表示為： (5)含松弛變量形式的BCC對(duì)偶模型 (6)其中為非阿基米德無(wú)窮小量。根據(jù)BCC模型中的的取值大小，Banker和Thrall(1992) 6 Banker R D, Thrall R M. Estimation of returns to scale using data envelopment analysis J. European Journal of Operational Research, 1992, 62: 74

12、-84.提出如下判別方法來(lái)判斷模型(5)的規(guī)模收益。定理16. 假設(shè)含有投入產(chǎn)出組合的是有效的，那么下面的條件可以判別模型(1)之下的規(guī)模收益：(i) 對(duì)于投入產(chǎn)出組合規(guī)模收益不變當(dāng)且僅當(dāng)在某個(gè)最優(yōu)解情況下有；(ii) 對(duì)于投入產(chǎn)出組合規(guī)模收益遞增當(dāng)且僅當(dāng)在所有最優(yōu)解情況下都有；(iii) 對(duì)于投入產(chǎn)出組合規(guī)模收益遞減當(dāng)且僅當(dāng)在所有最優(yōu)解情況下都有。其中代表模型(5)中的最優(yōu)解。該定理的證明參見(jiàn)文獻(xiàn)6。CCR模型或者BCC模型計(jì)算出來(lái)的效率可能存在多個(gè)效率值為1的情形，為了進(jìn)一步區(qū)分這些有效決策單元，常用的方法有超效率模型，交叉效率模型以及雙前沿?cái)?shù)據(jù)包絡(luò)分析模型。下面依次做個(gè)簡(jiǎn)單介紹。（三）

13、超效率模型CCR 模型在計(jì)算效率值時(shí)，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)多個(gè)有效的決策單元(效率值為1)的情形，從而使得有效決策單元之間無(wú)法進(jìn)行比較分析。Andersen 和 Petersen (1993) 7 Andersen P, Petersen N C. A procedure for ranking efficient units in data envelopment analysis J. Management Science, 1993, 39: 1261-1264.為了實(shí)現(xiàn)決策單元的完全排序，將被評(píng)價(jià)的決策單元從效率邊界中剔除，以剩余的決策單元為基礎(chǔ)，形成新的效率邊界，計(jì)算剔除的決策單元到新的效率邊

14、界的距離。由于剔除的決策單元不被效率邊界所包圍，對(duì)于有效的決策單元而言，其計(jì)算出來(lái)的新效率值就會(huì)大于1，而對(duì)于無(wú)效的決策單元而言，其所得的效率值不變，仍小于1，從而使得全體決策單元可以實(shí)現(xiàn)完全排序。由于有效的決策單元效率大于1，從而就有了超效率(Super-efficiency) 的概念?；贑CR模型的超效率DEA模型為： (7)Banker和Chang(2006)8 Banker R D, Chang H. The super-efficiency procedure for outlier identification, not for ranking efficient units J

15、. European Journal of Operational Research, 2006, 175: 1311-1320.證實(shí)了超效率極易受離群值的影響，因此該方法可以用來(lái)檢測(cè)數(shù)據(jù)集中是否存在離群值。（四）交叉效率模型為了解決DEA有效決策單元的排序和比較問(wèn)題，Sexton等人(1986)9 Sexton T R, Silkman R H, Hogan A J. Data envelopment analysis: Critique and extensions J. In: R.H. Silkman, Editor, Measuring Efficiency: An Assessme

16、nt of Data Envelopment Analysis, Jossey-Bass, San Francisco, C A, 1986, 73105.提出了交叉效率評(píng)價(jià)的概念。所謂交叉效率評(píng)價(jià)就是每個(gè)DMU分別確定一組輸入輸出權(quán)重，供所有的DMUs評(píng)價(jià)使用，其中：用DMU自身確定的權(quán)重評(píng)價(jià)自己的效率，稱為自我評(píng)價(jià)效率；用其它DMU確定的權(quán)重評(píng)價(jià)自己的效率，稱為交叉效率或同行評(píng)價(jià)效率。以表51為例，交叉效率評(píng)價(jià)的實(shí)質(zhì)是對(duì)每個(gè)DMU同時(shí)進(jìn)行自評(píng)和同行評(píng)價(jià)，這樣不僅考慮DMU自評(píng)的最好相對(duì)效率，而且還考慮了DMU同行評(píng)價(jià)給出的交叉效率，利用自我評(píng)價(jià)和交叉效率的平均值作為衡量DMU績(jī)效的綜合指標(biāo)

17、，該指標(biāo)不僅較好地解決了DMUs間排序和比較問(wèn)題，而且解決了CCR模型由于輸入輸出權(quán)重不一致性導(dǎo)致的不可比較問(wèn)題。Sexton等人(1986)通過(guò)引入二級(jí)目標(biāo)來(lái)確定輸入輸出權(quán)重、消除權(quán)重的不唯一性。隨后Doyle和Green(1994,1995) 10 Doyle J R, Green R H. Efficiency and cross-efficiency in DEA: derivations, meanings and uses J. Journal of Operational Research Society, 1994, 45: 567-578.,11 Doyle J R, Gre

18、en R H. Cross-evaluation in DEA: Improving discrimination among DMUs J. INFOR, 1995, 33: 205-222.從同行評(píng)價(jià)的角度解釋了交叉效率的含義，并給出了后來(lái)的到廣泛引用的二級(jí)目標(biāo)函數(shù)-攻擊型計(jì)算方式和仁慈型計(jì)算方式，下面兩個(gè)模型依次為攻擊型交叉效率模型和仁慈型交叉效率模型：表51 交叉效率示意表決策單元交叉效率算術(shù)平均值12n12n攻擊型交叉效率模型： (8)仁慈型交叉效率模型: (9)然而，至今仍無(wú)一個(gè)準(zhǔn)則來(lái)判別什么情況下使用攻擊型或者是仁慈型。為了避免目標(biāo)函數(shù)選擇上的兩難， Wang和 Chin (20

19、10a)12 Wang Y M, Chin K S. A neutral DEA model for cross-efficiency evaluation and its extension J. Expert Systems with Applications, 2010a, 37 (5): 3666-3675. 提出了一種中性交叉效率模型。其模型形式如下所示： (10)利用Charnes-Cooper的變換公式，可得中性交叉效率模型的線性模型 (11)交叉效率模型還有其他一些改進(jìn)方式，例如：Liang等人(2008a)13 Liang L, Wu J, Cook W D, Zhu J.

20、The DEA game cross-efficiency model and its Nash equilibrium J. Operations Research, 2008a, 56, 1278-1288.13年提出了3個(gè)可供選擇的二級(jí)目標(biāo)計(jì)算方式；Liang等人(2008b)14 Liang L, Wu J, Cook W D, Zhu J. Alternative secondary goals in DEA cross-efficiency evaluation J. International Journal of Production Economics, 2008b, 113

21、: 1025-1030.將非合作博弈理論與交叉效率評(píng)價(jià)方法結(jié)合起來(lái)，提出了博弈交叉效率的概念，并設(shè)計(jì)了算法求解博弈交叉效率值，同時(shí)證明了該博弈交叉效率值即為納什均衡點(diǎn)；Wang和Chin (2010b)15 Wang Y M, Chin K S. Some alternative models for DEA cross-efficiency evaluation J. International Journal of Production Economics, 2010b, 128 (1): 332-338.5提出了一些可選擇性交叉效率評(píng)價(jià)模型；Wang和Chin(2011)16 Wang

22、Y M, Chin K S. The use of OWA operator weights for cross-efficiency aggregation J. Omega, 2011, 39 (5): 493-503.6在交叉效率的研究中率先引入有序加權(quán)平均算子(Ordered weighted averaging operator , OWA)，很好的體現(xiàn)了決策者的各種偏好，尤其是對(duì)不合理的交叉效率評(píng)價(jià)值賦予較小的權(quán)重，從而使得最終的評(píng)價(jià)結(jié)果更為科學(xué)合理。有興趣的讀者可以進(jìn)一步參閱其他有關(guān)交叉效率的相關(guān)論文。（五）幾何平均效率模型為了區(qū)分有效決策單元的排序難問(wèn)題，Wang等人(2007

23、)17 Wang Y M, Chin K S, Yang J B. Measuring the performances of decision making units using geometric average efficiency J. Journal of the Operational Research Society, 2007, 58: 929-937.7于2007提出了悲觀效率模型，并將其與樂(lè)觀效率模型相結(jié)合，提出了基于幾何平均值的雙前面數(shù)據(jù)包絡(luò)分析方法?；诒^前沿面的數(shù)據(jù)包絡(luò)分析模型為： (12)其中和是非負(fù)權(quán)重。模型(12)與模型(2)的區(qū)別在于：模型(12)計(jì)算所得

24、效率均大于等于1，而模型(2)所得的效率值均小于等于1。基于幾何平均值的雙前沿?cái)?shù)據(jù)包絡(luò)分析方法就是將模型(12)所得的效率與模型(2)所得的效率通過(guò)幾何平均的方式加以綜合，即：其中為綜合后的的效率值，而和分別對(duì)應(yīng)該決策單元在模型(2)與模型(12)下的最優(yōu)效率值。下圖為有效前沿面和無(wú)效前沿面的一個(gè)演示圖。圖5-1 決策單元的有效和無(wú)效前沿面（六）最優(yōu)決策單元的選擇 在實(shí)際應(yīng)用中，決策者有時(shí)候關(guān)心的是哪個(gè)方案或者哪個(gè)決策單元是最優(yōu)的，而對(duì)于其他單元的排序并不在意。因此，如何利用DEA模型直接尋求最優(yōu)決策單元成為學(xué)者們所感興趣的問(wèn)題。Amin和Toloo (2007)18 Amin G R, To

25、loo M. Finding the most efficient DMUs in DEA: An improved integrated model J. Computers & Industrial Engineering, 2007, 52(2): 71-77.8提出了一個(gè)混合整數(shù)線性規(guī)劃模型，采用兩步法以期實(shí)現(xiàn)尋求最優(yōu)決策單元。然而隨后Amin (2009)19 Amin G R. Comments on finding the most efficient DMUs in DEA: An improved integrated model J. Computers &

26、 Industrial Engineering, 2009, 56 (4): 1701-1702.9發(fā)現(xiàn)這種兩步法有時(shí)會(huì)產(chǎn)生兩個(gè)或者兩個(gè)以上的最優(yōu)決策單元，因此他提出一個(gè)非線性混合整數(shù)模型。Foroughi (2011)20 Foroughi A A. A new mixed integer linear model for selecting the best decision making units in data envelopment analysis J. Computers & Industrial Engineering, 2011, 60(4): 550-554.0發(fā)

27、現(xiàn)Amin的非線性規(guī)劃模型在有些情況下是不可行的。不過(guò)Foroughi (2011)的模型存在著一些冗余的約束且對(duì)輸入輸出權(quán)重給定了保證域，并且該模型易受離群值(outliers)的影響，從而導(dǎo)致所選擇的最優(yōu)決策單元不正確。因此，Wang 和 Jiang (2012)21 Wang Y M, Jiang P. Alternative mixed integer linear programming models for identifying the most efficient decision making unit in data envelopment analysis J. Comp

28、uters & Industrial Engineering, 2012, 62: 546-553.1提出了三種混合整數(shù)線性規(guī)劃模型來(lái)改進(jìn)Foroughi (2011)的模型中所存在的問(wèn)題。這三種最優(yōu)決策單元選擇的模型分別為：1. 基于不變規(guī)模收益的混合整數(shù)線性規(guī)劃模型的最優(yōu)決策單元選擇方法Minimize Subject to , , , (13), , , ,其中 ()是二元變量,且只有一個(gè)變量可以取非零值1。如果,那么約束條件 對(duì)應(yīng)的 的約束為 , 即允許的效率值大于1，而其余的DMU的約束與原始的CCR模型的約束相同, 也就是 對(duì)于任意的除了。 因此, 只有最有效的決策單元的效

29、率值會(huì)大于1，而其余決策單元的效率均小于等于1。權(quán)重約束沿用 (Sueyoshi, 199922 Sueyoshi T. DEA non-parametric ranking test and index measurement: slack-adjusted DEA and an application to Japanese agriculture cooperatives J. Omega, 1999, 27(3): 315-326.2)提出的松弛變量模型中的形式，該約束形式在實(shí)際應(yīng)用中被廣泛采用，即 ();對(duì)于任意的 ().2. 基于投入導(dǎo)向的BCC模型的混合整數(shù)線性規(guī)劃最優(yōu)決策單元選

30、擇方法模型(13)是基于不變規(guī)模收益下的最優(yōu)決策單元的選擇方法。該方法可以拓展到可變規(guī)模收益的情形如下所示，該模型的形式是基于投入導(dǎo)向的BCC模型下的形式 ：Minimize Subject to , , , (14), , , , 無(wú)符號(hào)限制.3. 基于產(chǎn)出導(dǎo)向的BCC模型的混合整數(shù)線性規(guī)劃最優(yōu)決策單元選擇方法同理可得，基于產(chǎn)出導(dǎo)向的可變規(guī)模收益的BCC形式下的混合整數(shù)線性規(guī)劃模型如下：Minimize Subject to , , , , (15), , , , is free in sign,其中約束條件 ()是為了保證全體產(chǎn)出是非負(fù)的，因?yàn)樨?fù)的產(chǎn)出沒(méi)有意義。（七）舉例說(shuō)明下面用3個(gè)例子

31、來(lái)說(shuō)明DEA方法的應(yīng)用。例1：假設(shè)現(xiàn)有七個(gè)被評(píng)價(jià)的決策單元，投入、產(chǎn)出項(xiàng)各有一項(xiàng)，投入項(xiàng)為X，產(chǎn)出項(xiàng)為Y，輸入如下表所示。此時(shí)七個(gè)決策單元的相對(duì)位置如圖52所示。在CCR模型下，連接原點(diǎn)與點(diǎn)B的射線構(gòu)成前沿面，如圖中所示，其余的點(diǎn)均位于該前沿面的下方。表52 七個(gè)決策單元的投入、產(chǎn)出數(shù)據(jù)DMUXYEfficiencyA210.5000B331.0000C860.7500D620.3333E540.8000F1060.6000G74.50.6429圖52 七個(gè)決策單元的分布及其在生產(chǎn)前沿面上的投影從圖2中可以看出，只有決策單元B位于生產(chǎn)前沿面上，而其他所有決策單元均位于該生產(chǎn)前沿面的下方，即A,

32、 C, D, E, F, G均為非DEA有效，從表52最后一列的效率值大小也很容易得到確認(rèn)。為了使非DEA有效決策單元為DEA有效，可依圖中箭頭所示的方向?qū)⒎荄EA有效的決策單元往前沿面上投影。A, C, D, F, G均為減小投入而保持產(chǎn)出不變；而E給出了三種投影方式(減小投入產(chǎn)出不變；保持投入不變?cè)龃螽a(chǎn)出；或者同時(shí)減小投入和增大產(chǎn)出)。例2: 五個(gè)先進(jìn)制造技術(shù)的甄別, 數(shù)據(jù)來(lái)源于Wang和Chin(2009)23 Wang Y M, Chin K S. A new approach for selection of advanced manufacturing technologies:

33、DEA with double frontiers J. International Journal of Production Research, 2009, 47 (23): 6663-6679.。表53 五個(gè)先進(jìn)制造技術(shù)的數(shù)據(jù)及其樂(lè)觀、悲觀以及幾何平均值決策單元投入產(chǎn)出Y樂(lè)觀效率值悲觀效率值幾何平均值X1X2A4072101.00001.60001.2469B32121050.56391.00000.7509C52203041.00001.73711.3180D35132000.98381.74151.3089E3281500.85801.42861.1071對(duì)于每一個(gè)決策單元而言，可通

34、過(guò)求解模型(2)和(12)獲得全體DMUs的樂(lè)觀和悲觀效率，結(jié)果如上表所示。下面簡(jiǎn)單介紹一下求解過(guò)程和技術(shù)實(shí)現(xiàn)。以第一個(gè)決策單元的CCR效率(即樂(lè)觀效率)為例，將數(shù)據(jù)代入模型(2)即得模型(16)，顯然這是個(gè)較為復(fù)雜的線性規(guī)劃模型，需要借助軟件計(jì)算才會(huì)更為簡(jiǎn)便。因此本書(shū)分別給出了Lingo以及Matlab下的CCR模型的編程。Lingo的編程一次也只能計(jì)算一個(gè)(見(jiàn)下面程序后的計(jì)算說(shuō)明)，而Maltab程序相對(duì)而言更為簡(jiǎn)便，其可以很快地計(jì)算出所有決策單元的效率。此例中通過(guò)軟件計(jì)算所得，在樂(lè)觀效率下，所得效率為表53的第五列所示，全體單元的優(yōu)序關(guān)系為： C=A>D>E>B。，決策

35、單元A與C均為DEA有效，而B(niǎo), D, E為非DEA有效。在悲觀模型下，所得的效率值為表53的第六列所示，決策單元B為DEA無(wú)效，而其他單元均為非DEA無(wú)效，其優(yōu)序順序?yàn)椋篋>C>A>E>B。由此可見(jiàn)，在樂(lè)觀前沿面和在悲觀前沿面下的排序存在著一定的差異。表53的最后一列的值為樂(lè)觀和悲觀效率的幾何平均值，顯然Wang等人(2007)提出的該幾何平均值較好的綜合了樂(lè)觀和悲觀前面的兩部分信息，從而五個(gè)單元合理的排序?yàn)椋篊>D>A>E>B。 (16)下面給出LINGO與Matlab的程序：例2的LINGO程序?qū)崿F(xiàn)：(以計(jì)算第一個(gè)決策單元的樂(lè)觀效率為例)M

36、ODEL:sets:DMU/1.5/:S,T,P; !Decision making units;II/1.2/:w; !input index;OI/1/:u; !output index;IV(II,DMU):X; !input variable;OV(OI,DMU):Y; !output variable;endsetsdata:P=1 0 0 0 0;X=40 32 52 35 32 7 12 20 13 8;Y=210 105 304 200 150;enddatamax=sum(DMU: P*T);for(DMU(j):S(j)=sum(II(i): w(i)*X(i,j);T(j

37、)=sum(OI(i): u(i)*Y(i,j);S(j)>=T(j);sum(DMU:P*S)=1;END在上述程序中，P的值(1 0 0 0 0)分別替換為 (0 1 0 0 0), (0 0 1 0 0), (0 0 0 1 0), (0 0 0 0 1), 可得5個(gè)決策單元的最優(yōu)效率值依次為1.0000， 0.5639， 1.0000， 0.9838， 0.8580。例2的Matlab程序?qū)崿F(xiàn)：clear all;X= 40 32 52 35 32 7 12 20 13 8;Y= 210 105 304 200 150;n=size(X',1);m=size(X,1);s

38、=size(Y,1);A=-X' Y'b=zeros(n,1); LB=zeros(m+s,1);UB=;for i=1:n;F=zeros(1,m) -Y(:,i)'Aeq=X(:,i)' zeros(1,s); beq=1;w(:,i)=linprog(F,A,b,Aeq,beq,LB,UB); E(i,i)=Y(:,i)'*w(m+1:m+s,i); endwEomega=w(1:m,:)mu=w(m+1:m+s,:)EE=diag(E)運(yùn)行上述Matlab程序，即可得全體DMUs的CCR效率值。例3. 現(xiàn)有14家國(guó)際航空公司，數(shù)據(jù)來(lái)源于Tofal

39、lis(1997) 24 Tofallis C. Input efficiency profiling: An application to airlines J. Computer & Operations Research, 1997, 24: 253-258.。已知投入有三項(xiàng)，產(chǎn)出有兩項(xiàng)，分別為： :飛機(jī)容量噸公里:營(yíng)業(yè)費(fèi)用:其他資產(chǎn)（預(yù)定系統(tǒng)，便利性以及流動(dòng)資產(chǎn)）: 每公里乘客數(shù): 非客運(yùn)收益表54 14家航空公司的數(shù)據(jù)DMU投入產(chǎn)出1572332392003266776972589542254557308153932409995606267124055126641356574

40、9932136473415635518318807832360451361908080323272950115727460334572360221129698120976779647452363200196587334135812650412971056541878191619277972111255980983310419253398125728248122542775498213471517922485313325431422793987441451225281404表55 CCR效率及其非有效決策單元的改進(jìn)DMUj CCR 效率. 投入 產(chǎn)出 x1j x2j x3jy1j y2j 10.

41、8684-753-916-2640020.3379-3903-2940-40323569030.9475-1265-502-329073140.9581-569-1235-13500510000060.9766-447-402-770810710000080.8588-1709-957-20080090.9477-344-175-1392001010000011100000121000001310000014100000利用CCR模型以及將非有效DMU改進(jìn)為有效DMU的投影公式，可得表55的結(jié)果。從表中可知，決策單元 5, 7, 10, 11，12, 13, 14為DEA有效，而其它單元為非D

42、EA有效。對(duì)于非有效決策單元，例如對(duì)第一家航空公司而言，它的第一項(xiàng)投入應(yīng)減少753，第二項(xiàng)投入應(yīng)減少916，第三項(xiàng)投入應(yīng)減少264，同時(shí)保持產(chǎn)出不變，這時(shí)該航空公司可達(dá)DEA有效。DMU4，DMU8和DMU9與DMU1類(lèi)似也均需減少該三項(xiàng)投入。而對(duì)DMU2而言，其前三項(xiàng)投入應(yīng)分別減少3903，2940和4032，第一項(xiàng)產(chǎn)出需增加3569，第二項(xiàng)產(chǎn)出保持不變可達(dá)有效。而DMU3和DMU6在減少三項(xiàng)投入的同時(shí)，還需要增加第二項(xiàng)產(chǎn)出才會(huì)有效。利用攻擊型交叉效率模型，我們可得如下表(表56)所示的14家航空公司的交叉效率表以及其排序。從表中可以看出第5家航空公司的相對(duì)效率為0.7983，為所有航空公司

43、中最優(yōu)，其次是第11家航空公司，其交叉效率值為0.7742。而第2家航空公司的交叉效率值為0.1652，為14家航空公司中最差。利用仁慈型交叉效率模型，我們可得如下表(表57)所示的14家航空公司的交叉效率表以及其排序。從表中可以看出第11家航空公司的相對(duì)效率為0.9193，為所有航空公司中最優(yōu)，其次是第13家航空公司，其交叉效率值為0.9190。而第2家航空公司的交叉效率值為0.1894，為14家航空公司中最差。此結(jié)果與攻擊型交叉效率模型所得的結(jié)果又較大的差異，然而至今仍無(wú)一個(gè)準(zhǔn)則可以清晰的告訴決策者何時(shí)該選擇攻擊型模型或者是仁慈型模型。因此均對(duì)不同的決策問(wèn)題，選擇的模型的不同，所得結(jié)果可能

44、出入較大。為此，學(xué)者們提出了一些改進(jìn)模型，例如Wang 和Chin(2010a)的中性交叉效率模型，以及Liang等人(2008a)的博弈交叉效率模型都可以較好的避免這個(gè)問(wèn)題。表56 攻擊型交叉效率值表DMU目標(biāo)DMU平均交叉效率排序123456789101112131410.86840.45010.62250.86840.44180.47260.76790.78810.70310.41580.33900.70430.47110.47260.59901220.17190.33790.04720.17190.02240.02470.27700.27240.28080.24650.11520.27

45、890.04170.02470.16521430.88260.19420.94750.88260.65660.68980.64680.68330.62250.25590.19680.62610.74220.68980.62261140.95810.42590.70340.95810.66830.69730.76290.78500.69910.40270.47390.70160.49370.69730.6734750.96530.36581.00000.96531.00001.00000.70110.73590.77780.52720.63820.78190.71811.00000.798316

46、0.88180.11080.95630.88180.96320.97660.57450.60840.50990.13760.17030.51410.67660.97660.6385970.92110.77810.47730.92110.31080.33821.00001.00000.83950.54160.40000.83830.36580.33820.6478880.78130.61140.51620.78130.26830.29240.84150.85880.82080.57030.30110.81940.44180.29240.58551390.78550.72780.50750.785

47、50.24550.26770.88810.90720.94770.75010.35280.94520.45370.26770.630910100.78210.63540.65200.78210.33370.35640.76500.79441.00001.00000.49421.00000.58710.35640.68136111.00001.00000.42871.00000.42020.44181.00001.00001.00000.81071.00001.00000.29610.44180.77422120.94620.63360.75000.94620.40850.43950.90820

48、.93950.99980.76470.42441.00000.63980.43950.73145131.00000.42561.00001.00000.41830.45550.95111.00001.00000.58550.21291.00001.00000.45550.75033141.00000.22771.00001.00000.98061.00000.69190.72750.64780.27470.32990.65210.70971.00000.73164表57 仁慈型交叉效率值表DMU目標(biāo)DMU平均交叉效率排序123456789101112131410.86840.45010.622

49、50.86840.84920.47260.81080.78810.70310.75120.86840.77130.86840.86840.75431220.17190.33790.04720.17190.17350.02470.24790.27240.28080.20580.17190.20250.17190.17190.18941430.88260.19420.94750.88260.88440.68980.72320.68330.62250.78460.88260.80720.88260.88260.7678940.95810.42590.70340.95810.94130.69730.82280.78500.69910.81120.95810.83410.95810.95810.8222650.96530.36581.00000.96531.00001.00000.77040.73590.77781.00000.96531.00000.96530.96530.8912360.88180.11080.95630.88180.87800.97660.661