2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明2.2直接證明與間接證明2.2.2間接證明

1、2. 2.2 間接證明入門(mén)蓉科入門(mén)蓉科1 問(wèn)題：在今天商品大戰(zhàn)中，廣告成了電視節(jié)目中的一道美麗的風(fēng)景線，幾乎所有的 廣告商都熟諳這樣的命題變換藝術(shù).如宣傳某種食品， 其廣告詞為： “擁有的人們都幸福，幸福的人們都擁有”.該廣告詞實(shí)際說(shuō)明了什么？提示：說(shuō)的是：“不擁有的人們不幸福”.2.已知正整數(shù)a,b,c滿足a2+b2=c2.求證：a,b,c不可能都是奇數(shù).問(wèn)題 1：你能利用綜合法和分析法給出證明嗎？提示：不能.問(wèn)題 2：a、b、c不可能都是奇數(shù)的反面是什么？還滿足條件a2+b2=c2嗎？2 2 2提示：都是奇數(shù).若a、b、c都是奇數(shù)，則不能滿足條件a+b=c.1. 間接證明不是直接從原命題的

2、條件逐步推得命題成立，這種不是直接證明的方法通常稱為間接證明反證法就是一種常用的間接證明方法，間接證明還有同一法、枚舉法 _2. 反證法（1）反證法證明過(guò)程反證法證明時(shí)，要從否定結(jié)論開(kāi)始, 經(jīng)過(guò)正確的推理，導(dǎo)致邏輯矛盾，從而達(dá)到新的否定（即肯定原命題），用反證法證明命題“若p則 q”的過(guò)程可以用下面的框圖表示：（2）反證法證明命題“若p則q”的步驟1假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假定原結(jié)論的反面為真.2歸謬一一從反設(shè)和已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果.3存真一一由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不真，從而肯定原結(jié)論成立.歸納歸納升華升華麵悟麵悟、1.反證法就是通過(guò)否定命題的結(jié)論而導(dǎo)出矛盾來(lái)達(dá)到

3、肯定命題的結(jié)論，完成命題的論 證的一種數(shù)學(xué)證明方法.2.可能出現(xiàn)矛盾的四種情況：（1）與題設(shè)矛盾；（2）與反設(shè)矛盾；（3）與公理、定理被證明了的結(jié)論矛盾；（4）在證明過(guò)程中，推出自相矛盾的結(jié)論.崙爲(wèi)疋羔粗主它-字山點(diǎn)軌通對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P30思路點(diǎn)撥本題證明的命題是否定性命題，解答時(shí)先假設(shè)四個(gè)三角形都是銳角三角 形，再分情況去推出矛盾.精解詳析假設(shè)以每三點(diǎn)為頂點(diǎn)的四個(gè)三角形都是銳角三角形，記這四個(gè)點(diǎn)為A、B(1) 如果點(diǎn)D在厶ABC之內(nèi)(如圖(1)，根據(jù)假設(shè)圍繞點(diǎn)D的三個(gè)角都是銳角，其和小于270,這與一個(gè)周角等于360。矛盾.(2) 如果點(diǎn)D在厶ABC之外(如圖(2)，根據(jù)假設(shè)/AZB,ZC/D

4、都小于 90,這 和四邊形內(nèi)角之和等于 360矛盾.綜上所述.原結(jié)論成立.一點(diǎn)通(1)結(jié)論中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等詞語(yǔ)的命題 稱為否定性命題，此類問(wèn)題正面比較模糊，而反面比較具體，適于應(yīng)用反證法.(2)反證法屬于邏輯方法范疇，它的嚴(yán)謹(jǐn)體現(xiàn)在它的原理上，即“否定之否定等于肯 定”，其中：第一個(gè)否定是指“否定結(jié)論(假設(shè))”；第二個(gè)否定是指“邏輯推理結(jié)果否定了 假設(shè)”.反證法屬“間接解題方法”.1 .實(shí)數(shù)a、b、c不全為 0 等價(jià)于_(填序號(hào)).a,b,c全不為 0;a,b,c中最多只有一個(gè)為0:a,b,c中只有一個(gè)不為0;4a,b,c中至少有一個(gè)不為 0.解析：“不全為 0

5、”等價(jià)于“至少有一個(gè)不為0”.答案：用反證法證明否定性命題EEM1B A例 1已知平面上四點(diǎn)，沒(méi)有三點(diǎn)共線，求證：以每三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形不可能都是 銳角三角形.C D,考慮ABC點(diǎn)D的位置分為在ABC之內(nèi)或之外兩種情況.2.如圖，正方體ABCBABCD中，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)N是CD的中點(diǎn)，用反證法證3明直線BM與直線AN是兩條異面直線.解：假設(shè)直線BM與AN共面.則AD?平面ABND,且平面ABNDA平面ABCIBN由正方體特征知AD/平面ABCD故AD/BN又AiD/BC所以BIN/ BC這與BND BC= B矛盾，故假設(shè)不成立.所以直線BM與直線AN是兩條異面直線.3已知三個(gè)正數(shù)a,b,

6、c成等比數(shù)列，但不成等差數(shù)列，求證：.a, b,. c不成等 差數(shù)列.證明：假設(shè)，a,b,c成等差數(shù)列，則a+c= 2b即a+c+2 _ ac= 4b,而b2=ac,即卩b=ac,.a+c+ 2ac= 4ac,所以（a叮c）2= 0.即a= ,c,從而a=b=c,與a,b,c不成等差數(shù)列矛盾，故，a,b,c不成等差數(shù)列.EXBI1用反證法證明惟一性命題例 2求證：兩條相交直線有且只有一個(gè)交點(diǎn).思路點(diǎn)撥“有且只有一個(gè)”的否定分兩種情況：“至少有兩個(gè)”、“一個(gè)也沒(méi)有”.精解詳析 假設(shè)結(jié)論不成立，則有兩種可能：無(wú)交點(diǎn)或不只有一個(gè)交點(diǎn).若直線a,b無(wú)交點(diǎn)，則a/b或a,b是異面直線，與已知矛盾.若直線

7、a,b不只有一個(gè)交點(diǎn)，則至少有兩個(gè)交點(diǎn)A和B,這樣同時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A, B就有兩條直線，這與“經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線”相矛盾.綜上所述，兩條相交直線有且只有一個(gè)交占八、一點(diǎn)通證明“有且只有一個(gè)”的問(wèn)題，需要證明兩個(gè)命題， 即存在性和惟一性. 當(dāng)證明結(jié)論以“有且只有”“只有一個(gè)”“惟一存在”等形式出現(xiàn)的命題時(shí)，由于反設(shè)結(jié)論易于導(dǎo)出矛盾，所以用反證法證其惟一性就較為簡(jiǎn)單明了.44證明方程 2x= 3 有且僅有一個(gè)根.證明：T2= 3,.x= log23，這說(shuō)明方程有一個(gè)根.下面用反證法證明方程 2x= 3 的根是惟一的，假設(shè)方程 2x= 3 有兩個(gè)根bi、bbiMb2), 則 2bi= 3,2b2=

8、3.兩式相除得：2bib2= 1.如果bib20,貝U2bib2l，這與 2bib2= 1 相矛盾.如果bib20,貝U2bib21.求證：a,b,c,d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù).思路點(diǎn)撥 本題要證a、b、c、d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)， 具體有一個(gè)負(fù)數(shù)？?jī)蓚€(gè)負(fù)數(shù)？ 三個(gè)負(fù)數(shù)？還是四個(gè)負(fù)數(shù)？都有可能，誰(shuí)是負(fù)數(shù)也都有可能. 所以正面證明很復(fù)雜，可考慮用反證法.精解詳析假設(shè)a、b、c、d都不是負(fù)數(shù)，即a0,b0,O0,d0./a+b=c+d= 1,b= 1 a0,d= 1 c0. ac+bd=ac+ (1 a)(1 c) = 2ac (a+c) + 15=(aca) + (acc) + 1 =a(c- 1)

9、+c(a-1) + 1.a(c1)w0,c(a1)w0.a(c1)+c(a1)+1w1,即ac+bdw1.與ac+bd1 相矛盾.假設(shè)不成立a、b、c、d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù).一點(diǎn)通(1)對(duì)于否定性命題或結(jié)論中出現(xiàn)“至多”“至少”“不可能”等字樣時(shí), 常用反證法.(2)常用的“原結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”歸納如下表：原結(jié)論詞至少有一個(gè)至多有一個(gè)至少有n個(gè)至多有n個(gè)反設(shè)詞一個(gè)也沒(méi)有(不存在)至少有兩個(gè)至多有n 1 個(gè)至少有n+ 1 個(gè)(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a不能都大于 扌證明：假設(shè)(1 a)b, (1 b)c,a,b,c (0,1),-1 a 0,1 b 0,1 c 0,+a1 2.

10、三式相加，得 -2+b+1b+c+12+a3即 23，矛盾.1所以(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a不能都大于 才7.用反證法證明：若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上是增函數(shù)，那么方程f(x) = 0 在區(qū)間a,b上至多只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.6.已知a,b,c (0,1)，求證:1(1 c)a都大于 4.同理1 14= 2.1a+ba b6證明：假設(shè)方程f(x) = 0 在區(qū)間a,b上至少有兩個(gè)根，7設(shè)a,3為其中的兩個(gè)實(shí)根. 因?yàn)閍3，不妨設(shè)a3 ,又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間a,b上是增函數(shù)，所以f(a)f(3).這與f(a) = 0=f(3)矛盾.所以方程f(x) = 0 在區(qū)間a,b上至多只

11、有一個(gè)實(shí)根.方法方法規(guī)律規(guī)律小結(jié)】小結(jié)】一一1反證法證明的適用情形(1) 一些基本命題、基本定理；(2) 易導(dǎo)出與已知矛盾的命題；(3) “否定性”命題；(4) “惟一性”命題；(5) “必然性”命題；(6) “至多”“至少”類命題；涉及“無(wú)限”結(jié)論的命題.2用反證法證明問(wèn)題應(yīng)注意以下三點(diǎn)(1) 必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面，當(dāng)結(jié)論的反面呈現(xiàn)多樣性時(shí)，必然羅列出各 種可能結(jié)論，缺少任何一種可能，反證都是不完全的；(2) 反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須根據(jù)這一條 件進(jìn)行推證，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行推理，就不是反證法；(3) 推導(dǎo)出的矛盾可能多

12、種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與事實(shí)矛盾 等，推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的.丨、”1一、填空題1 +b1 +a1. 命題“，中至多有一個(gè)小于 2”的反設(shè)為a b1 +b1 +a答案：匚，亍都小于 232. (山東高考改編)用反證法證明命題“設(shè)a,b為實(shí)數(shù)，則方程x+ax+b= 0 至少有應(yīng)益.衛(wèi)燧遼紅上鄉(xiāng)在軌羔矣庇對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū) P328一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是 _ .解析：至少有一個(gè)實(shí)根的否定是沒(méi)有實(shí)根.答案：方程x3+ax+b= 0 沒(méi)有實(shí)根1.用反證法證明命題“若a1 2+b2= 0，則 a,b全為 0（a、b為實(shí)數(shù)）”，其反設(shè)為解析：a,b全為 0”即是“a= 0 且b= 0

13、”，因此它的反設(shè)為“a0或b*0”. 答案：a,b不全為 04.用反證法證明“一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角”有三個(gè)步驟：1/冊(cè)/B+ZC= 90+ 90+/ 0180,這與三角形內(nèi)角和為 180矛盾，故假設(shè) 錯(cuò)誤.2所以一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角.3假設(shè)ABC中有兩個(gè)直角，不妨設(shè)ZA= 90,/B= 90.上述步驟的正確順序?yàn)?_ .解析：由反證法的一般步驟可知，正確的順序應(yīng)為答案：5 .用反證法證明命題“若x2 （a+b）x+ab* 0,貝Ux*a且x豐b”時(shí)，應(yīng)假設(shè)為解析：對(duì)“且”的否定應(yīng)為“或”， 所以“x*a且x*b”的否定應(yīng)為“x=a或x=b”.答案：x=a或x=b、解答題6.（陜西高考）

14、設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列.推導(dǎo)an的前n項(xiàng)和公式；設(shè)q* 1,證明數(shù)列an+1不是等比數(shù)列. 解：設(shè)an的前n項(xiàng)和為S,當(dāng)q= 1 時(shí)，$=a+a1+a1=na；2n1當(dāng)q* 1 時(shí)，$=a+ag+aq+aq，qS=ag+ag2+ +agn，一得，（1 q）S=a1aqn,1 q1 q9na1,q=1,-S= ia1 q證明：假設(shè)an+ 1是等比數(shù)列，則對(duì)任意的2(ak+1+ 1) = (ak+1)(ak+2+ 1),2ak+1+ 2ak+1+1 =akak+2+ak+ak+2+ 1,2 2kkk-1k+1k-1k+1aq+ 2a1q=agag+aq+aq,k k-1k+1/a1豐0,. 2q=q+q.2Tqz0,二q- 2q+ 1 = 0, q= 1,這與已知矛盾.假設(shè)不成立，故an+ 1不是等比數(shù)列.27.設(shè)f(x) =x+ax+b,求證：|f(l)| , |f(2)|1 1 1證明：假設(shè) |f(1)| 2，|f(2)| 2，|f(3)| 2,-111 +a+b2,1 1 -29+3a+b2.3 4.-字 3a+b-17由、得一 4a 2，由、得一 6a 4.4、顯然相互矛盾，所以假設(shè)不成立，所以原命題正確.&已知P?直線a.求證：過(guò)點(diǎn)P和直線a平行