數(shù)值計算方法

1、 一、單項選擇題（每小題3分，共15分）1. 3.142和3.141分別作為的近似數(shù)具有（ ）和（ ）位有效數(shù)字.   A4和3          B3和2   C3和4          D4和42. 已知求積公式，則（ ）A      B      C &

2、#160;   D3. 通過點的拉格朗日插值基函數(shù)滿足（    ）   A0，        B 0，        C1，         D 1，4. 設(shè)求方程的根的牛頓法收斂，則它具有（    ）斂速。    A超線性   

3、  B平方       C線性           D三次5. 用列主元消元法解線性方程組 作第一次消元后得到的第3個方程（   ）.       A                B

4、60;       C                 D 單項選擇題答案1.A2.D3.D4.C5.B二、填空題（每小題3分，共15分）1. 設(shè), 則        ，        .2. 一階均差   &

5、#160;                 3. 已知時，科茨系數(shù)，那么             4. 因為方程在區(qū)間上滿足                 ，

6、所以在區(qū)間內(nèi)有根。5. 取步長，用歐拉法解初值問題的計算公式                      .填空題答案 1.       9和 2.        3.       4. &#

7、160;     5.       三、計算題（每題15分，共60分）1. 已知函數(shù)的一組數(shù)據(jù)：求分段線性插值函數(shù)，并計算的近似值.計算題1.答案 1.       解 ，           ，所以分段線性插值函數(shù)為          &

8、#160;                         2. 已知線性方程組（1）       寫出雅可比迭代公式、高斯塞德爾迭代公式；（2）       對于初始值，應(yīng)用雅可比迭代公式、高斯塞德爾迭代公式分別計算（保留小數(shù)點后五位數(shù)字

9、）.計算題2.答案 1.解 原方程組同解變形為雅可比迭代公式為高斯塞德爾迭代法公式 用雅可比迭代公式得用高斯塞德爾迭代公式得3. 用牛頓法求方程在之間的近似根（1）請指出為什么初值應(yīng)取2？（2）請用牛頓法求出近似根，精確到0.0001.計算題3.答案  3. 解 ， ，故取作初始值迭代公式為， ，              方程的根 4. 寫出梯形公式和辛卜生公式，并用來分別計算積分.計算題4.答案 4 解  梯形公式 

10、60;                                 應(yīng)用梯形公式得                 

11、            辛卜生公式為                     應(yīng)用辛卜生公式得                  

12、                                     四、證明題（本題10分）確定下列求積公式中的待定系數(shù)，并證明確定后的求積公式具有3次代數(shù)精確度證明題答案 證明：求積公式中含有三個待定系數(shù)，即，將分別代入求積公式，并令其左右相

13、等，得                                   得，。所求公式至少有兩次代數(shù)精確度。     又由于       

14、0;                               故具有三次代數(shù)精確度。  一、          填空（共20分，每題2分）1. 設(shè) ，取5位有效數(shù)字，則所得的近

15、似值x=      .2.設(shè)一階差商 ，    則二階差商 3. 設(shè), 則        ，        。4求方程   的近似根，用迭代公式 ，取初始值 ， 那么     5解初始值問題 近似解的梯形公式是 6、 ，則A的譜半徑          

16、;     。 7、設(shè)   ，則                和                  。        8、若線性代數(shù)方程組AX=b 的系數(shù)矩陣A為嚴格對

17、角占優(yōu)陣，則雅可比迭代和高斯-塞德爾迭代都               。9、解常微分方程初值問題的歐拉（Euler）方法的局部截斷誤差為               。10、為了使計算的乘除法運算次數(shù)盡量的少,應(yīng)將表達式改寫成         &#

18、160;                    。 填空題答案1、2.31502、3、6 和 4、1.55、6、7、8、 收斂9、10、二、計算題  （共75 分，每題15分）1設(shè) （1）試求 在 上的三次Hermite插值多項式使?jié)M足 以升冪形式給出。（2）寫出余項 的表達式計算題1.答案 1、（1）    （2） 2已知 的 滿足 ，試問如何利用 構(gòu)造一

19、個收斂的簡單迭代函數(shù) ，使 0，1收斂？計算題2.答案 2、由 ，可得 ，               3 試確定常數(shù)A，B，C和 a，使得數(shù)值積分公式有盡可能高的代數(shù)精度。試問所得的數(shù)值積分公式代數(shù)精度是多少？它是否為Gauss型的？計算題3.答案 3、 ，該數(shù)值求積公式具有5次代數(shù)精確度，它是Gauss型的 4 推導(dǎo)常微分方程的初值問題 的數(shù)值解公式： （提示： 利用Simpson求積公式。）計算題4.答案 4、 數(shù)值積分方法構(gòu)造該數(shù)值解公式：對方程 在區(qū)間 上

20、積分，得，記步長為h, 對積分 用Simpson求積公式得    所以得數(shù)值解公式： 5 利用矩陣的LU分解法解方程 組 計算題5.答案 5、解：三、證明題 （5分）1設(shè)  ，證明解 的Newton迭代公式是線性收斂的。證明題答案 1、一、填空題（20分）(1).設(shè)是真值的近似值，則有                 位有效數(shù)字。(2). 對, 差商(    

21、;  )。(3). 設(shè), 則        。(4).牛頓柯特斯求積公式的系數(shù)和                       。 填空題答案（1）3    （2）1    （3）7     

22、   （4）1二、計算題1).（15分）用二次拉格朗日插值多項式的值。插值節(jié)點和相應(yīng)的函數(shù)值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。計算題1.答案 1）2).（15分）用二分法求方程區(qū)間內(nèi)的一個根，誤差限。計算題2.答案 2) 3).（15分）用高斯-塞德爾方法解方程組 ，取，迭代三次(要求按五位有效數(shù)字計算).。計算題3.答案 3）迭代公式  4).（15分）求系數(shù)。計算題4.答案 4）5). (10分)對方程組 試建立一種收斂的Seidel迭代公式，說明理由計算題5.答案  5) 解：調(diào)整方程組的位置，使系數(shù)矩陣嚴格對角

23、占優(yōu) 故對應(yīng)的高斯塞德爾迭代法收斂.迭代格式為取,經(jīng)7步迭代可得：. 三、簡答題1)（5分）在你學(xué)過的線性方程組的解法中, 你最喜歡那一種方法,為什么?2)（5分）先敘述Gauss求積公式, 再闡述為什么要引入它。簡答題答案 1）憑你的理解去敘述。2）參看書本99頁。一、填空題（20分）1. 若a=2.42315是2.42247的近似值，則a有(     )位有效數(shù)字.2.  是以為插值節(jié)點的Lagrange插值基函數(shù)，則     (     

24、).3.  設(shè)f (x)可微，則求方程的牛頓迭代格式是(                  ).4.  迭代公式收斂的充要條件是            。5. 解線性方程組Ax=b (其中A非奇異，b不為0) 的迭代格式中的B稱為(      

25、60;  ). 給定方程組，解此方程組的雅可比迭代格式為(           )。填空題答案132.3.4. 5.迭代矩陣，    二、判斷題（共10分）1.          若，則在內(nèi)一定有根。             &#

26、160; (   )2.          區(qū)間a,b上的三次樣條函數(shù)是一個次數(shù)不超過三次的多項式。         (   )3.          若方陣A的譜半徑，則解方程組Ax=b 的Jacobi迭代法收斂。     (   )4.

27、          若f (x)與g (x) 都是n次多項式，且在n+1個互異點上，則 。                                    

28、;      (   )5.          用近似表示產(chǎn)生舍入誤差。                     (   )判斷題答案 1.×  2.×  3.×

29、;  4.  5.×三、計算題（70分）1.      （10分）已知f (0)1，f (3)2.4，f (4)5.2，求過這三點的二次插值基函數(shù)l1(x)=(                   )，=(           &

30、#160; ), 插值多項式P2(x)=(                ), 用三點式求得(         ).計算題1.答案 12. （15分） 已知一元方程。1）求方程的一個含正根的區(qū)間；2）給出在有根區(qū)間收斂的簡單迭代法公式(判斷收斂性)；3）給出在有根區(qū)間的Newton迭代法公式。計算題2.答案 2.（1）（2）（3）3. （15分）確定求積公式 

31、;    的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并確定其代數(shù)精度.計算題3.答案 4. （15分）設(shè)初值問題  . (1)     寫出用Euler方法、步長h=0.1解上述初值問題數(shù)值解的公式；(2)     寫出用改進的Euler法（梯形法）、步長h=0.2解上述初值問題數(shù)值解的公式，并求解，保留兩位小數(shù)。計算題4.答案 4.5. （15分）取節(jié)點，求函數(shù)在區(qū)間上的二次插值多項式，并估計誤差。計算題5.答案 5     

32、0;        =1+2(                         ， 一、填空題( 每題4分，共20分)1、數(shù)值計算中主要研究的誤差有             和&#

33、160;            。2、設(shè)是n次拉格朗日插值多項式的插值基函數(shù)，則                        ；     。3、設(shè)是區(qū)間上的一組n次插值基函數(shù)。則插值型求積公式的代數(shù)精度為 &

34、#160;       ；插值型求積公式中求積系數(shù)                    ；且          。4、辛普生求積公式具有    次代數(shù)精度，其余項表達式為     

35、;                                           。5、則。填空題答案1.相對誤差  絕對誤差 2.  

36、0;    13. 至少是n              b-a 4. 3    5. 1      0二、計算題1、已知函數(shù)的相關(guān)數(shù)據(jù) 由牛頓插值公式求三次插值多項式，并計算的近似值。計算題1.答案 解：差商表由牛頓插值公式：2、（10分）利用尤拉公式求解初值問題，其中步長，。計算題2.答案 解：3、（15分）確定求積公式。中待定參數(shù)的值，使求積公式的代數(shù)精度盡量高；

37、并指出此時求積公式的代數(shù)精度。計算題3.答案 解：分別將，代入求積公式，可得。令時求積公式成立，而時公式不成立，從而精度為3。4、（15分）已知一組試驗數(shù)據(jù)如下 ：求它的擬合曲線（直線）。計算題4.答案 解：設(shè)則可得 于是，即。5、（15分）用二分法求方程在區(qū)間內(nèi)的根時，若要求精確到小數(shù)點后二位，(1) 需要二分幾次；(2)給出滿足要求的近似根。計算題5.答案 解：6次；。6、（15分）用列主元消去法解線性方程組計算題6.答案 解：即一、填空題（25分）1).設(shè)x* = 1.234是真值x = 1.23445的近似值，則x*有     

38、0;  位有效數(shù)字。2).          ，        。3).求方程根的牛頓迭代格式是           。4).已知,則            ,      

39、;     。5). 方程求根的二分法的局限性是             。 填空題答案1）4；     2）1，0；    3）； 4）7, 6；5）收斂速度慢，不能求偶重根。 二、計算題1).（15分）已知(1)用拉格朗日插法求的三次插值多項式；(2)求， 使。計算題1.答案 解：2).（15分）試求使求積公式的代數(shù)精度盡量高，并求其代數(shù)精度。 計算題2.答案 解

40、：由等式對精確成立得：,解此方程組得     又當時    左邊右邊  此公式的代數(shù)精度為2 3).（15分）取步長h=0.2, 用梯形法解常微分方程初值問題     計算題3.答案 3）梯形法為即 迭代得4). （15分）用列主元消去法求解方程組并求出系數(shù)矩陣A的行列式detA的值.計算題4.答案 解：先選列主元，2行與1行交 換得消元；3行與2行交換；消元；回代得解；行列式得5). （15分）用牛頓(切線)法求的近似值。取x0=1.7, 計算三次，保留

41、五位小數(shù)。計算題5.答案   5). 解：是的正根，牛頓迭代公式 為，  即     取x0=1.7, 列表如下：一、填空題( 每題4分，共20分)1、辛普生求積公式具有    次代數(shù)精度，其余項表達式為                         

42、60;                      。2、則。3、設(shè)是區(qū)間上的一組n次插值基函數(shù)。則插值型求積公式的代數(shù)精度為         ；插值型求積公式中求積系數(shù)            

43、;        ；且          。4、設(shè)是n次拉格朗日插值多項式的插值基函數(shù)，則                        ；     。5、按四舍五入原則

44、數(shù)2.7182818與8.000033具有五位有效數(shù)字的近似值分別為               和             。 填空題答案1、3        2、         

45、60;   3、              14、至少是n                5、            二、計算題1、（10分）已知數(shù)據(jù)如下： 求形如擬合函數(shù)。計算題1.答案 解：2、（

46、15分）用二次拉格朗日插值多項式計算。插值節(jié)點和相應(yīng)的函數(shù)值如下表。計算題2.答案 解：過點的二次拉格朗日插值多項式為代值并計算得  。3、（15分）利用改進的尤拉方法求解初值問題，其中步長。計算題3.答案 解：4、（15分）已知(1)推導(dǎo)以這三點為求積節(jié)點在上的插值型求積公式；(2)指明求積公式所具有的代數(shù)精度；(3)用所求公式計算。計算題4.（1）答案 計算題4.（2）&（3）答案 （2）所求的求積公式是插值型，故至少具有2次代數(shù)精度，再將代入上述公式，可得故代數(shù)精度是3次。（3）由（2）可得：。(1)所求插值型的求積公式形如：。5、（15分）討論用Jacobi和Gaus

47、s-Seidel迭代法求解方程組Ax=b的收斂性，如果收斂，比較哪種方法收斂快。其中.計算題5.答案 解：  三、簡述題（本題 10 分）敘述在數(shù)值運算中，誤差分析的方法與原則是什么？簡述題答案 解：數(shù)值運算中常用的誤差分析的方法有：概率分析法、向后誤差分析法、區(qū)間分析法等。  誤差分析的原則有：1）要避免除數(shù)絕對值遠遠小于被除數(shù)絕對值的除法；2）要避免兩近數(shù)相減；3）要防止大數(shù)吃掉小數(shù)：4）注意簡化計算步驟，減少運算次數(shù)。 一、           填空（共25分，每題5分

48、）1、，則A的譜半徑               2、設(shè)則          和                    3、若 x = 1.345678, ，則x*的近似數(shù)具有  

49、     位有效數(shù)字.  4、拋物線求積公式為                                         .  5、設(shè)

50、可微，求方程根的牛頓迭代公式是             。 填空題答案1、； 2、；3、4；4、；5、.二、計算題1).（15分）設(shè) （1）試求在上的三次Hermite插值多項式使?jié)M足, 以升冪形式給出。（2）寫出余項的表達式計算題1.答案 （1）（2）2).（15分）設(shè)有解方程的迭代法: , （1） 證明,均有（為方程的根）；（2） 取用此迭代法求方程根的近似值，誤差不超過，列出各次迭代值；（3）此迭代的收斂階是多少，證明你的結(jié)論。 計算題2.答案 （1）（2）取，則有各次

51、迭代值   取，其誤差不超過（3）    故此迭代為線性收斂。3). (15分) 確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精確度盡量高，并指明求積公式所具有的代數(shù)精確度 .計算題3.答案 令代入公式精確成立，得；解得，得求積公式對；故求積公式具有2次代數(shù)精確度。4).（15分）用Gauss消去法求解下列方程組計算題4.答案 本題是Gauss消去法解具體方程組，只要直接用消元公式及回代公式直接計算即可。；故. 5).（15分） 已知方程組，其中（1） 試討論用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解此方程組的收斂性。（2） 若有迭代公式，試確定

52、一個的取值范圍，在這個范圍內(nèi)任取一個值均能使該迭代公式收斂。計算題5.答案 （1），因此兩種迭代法均收斂。（2）當時，該迭代公式收斂。數(shù)值計算方法復(fù)習(xí)試題一、填空題：1、，則A的LU分解為 。答案：2、已知，則用辛普生（辛卜生）公式計算求得,用三點式求得 。答案：2.367，0.253、，則過這三點的二次插值多項式中的系數(shù)為 ，拉格朗日插值多項式為 。答案：-1， 4、近似值關(guān)于真值有( 2 )位有效數(shù)字；5、設(shè)可微,求方程的牛頓迭代格式是( )；答案6、對,差商( 1 ),( 0 )；7、計算方法主要研究( 截斷 )誤差和( 舍入 )誤差；8、用二分法求非線性方程f (x)=0在區(qū)間(a,b

53、)內(nèi)的根時，二分n次后的誤差限為( )；9、求解一階常微分方程初值問題= f (x,y)，y(x0)=y0的改進的歐拉公式為( )；10、已知f(1)2，f(2)3，f(4)5.9，則二次Newton插值多項式中x2系數(shù)為( 0.15 )；11、 兩點式高斯型求積公式( )，代數(shù)精度為( 5 )；12、 解線性方程組Ax=b的高斯順序消元法滿足的充要條件為(A的各階順序主子式均不為零)。13、 為了使計算 的乘除法次數(shù)盡量地少，應(yīng)將該表達式改寫為 ，為了減少舍入誤差，應(yīng)將表達式改寫為 。14、 用二分法求方程在區(qū)間0,1內(nèi)的根,進行一步后根的所在區(qū)間為 0.5，1 ,進行兩步后根的所在區(qū)間為

54、0.5，0.75 。 15、 計算積分,取4位有效數(shù)字。用梯形公式計算求得的近似值為 0.4268 ，用辛卜生公式計算求得的近似值為 0.4309 ，梯形公式的代數(shù)精度為 1 ，辛卜生公式的代數(shù)精度為 3 。16、 求解方程組的高斯塞德爾迭代格式為 ，該迭代格式的迭代矩陣的譜半徑= 。17、 設(shè),則 ，的二次牛頓插值多項式為 。18、 求積公式的代數(shù)精度以( 高斯型 )求積公式為最高，具有( )次代數(shù)精度。19、 已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求積公式求( 12 )。20、 設(shè)f (1)=1， f(2)=2，f (3)=0，用三點式求( 2.5 )。21、如果用

55、二分法求方程在區(qū)間內(nèi)的根精確到三位小數(shù)，需對分（ 10 ）次。22、已知是三次樣條函數(shù)，則=( 3 )，=（ 3 ），=（ 1 ）。23、是以整數(shù)點為節(jié)點的Lagrange插值基函數(shù)，則( 1 )，( )，當時( )。24、解初值問題的改進歐拉法是 2階方法。25、區(qū)間上的三次樣條插值函數(shù)在上具有直到_2_階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。26、改變函數(shù) ()的形式，使計算結(jié)果較精確 。27、若用二分法求方程在區(qū)間1,2內(nèi)的根，要求精確到第3位小數(shù)，則需要對分 10 次。28、設(shè)是3次樣條函數(shù)，則a= 3 , b= -3 , c= 1 。29、若用復(fù)化梯形公式計算，要求誤差不超過，利用余項公式估計，至少用 477

56、個求積節(jié)點。30、寫出求解方程組的Gauss-Seidel迭代公式 ，迭代矩陣為 ，此迭代法是否收斂 收斂 。31、設(shè),則 9 。32、設(shè)矩陣的，則 。33、若，則差商 3 。34、數(shù)值積分公式的代數(shù)精度為 2 。35、 線性方程組的最小二乘解為 。36、設(shè)矩陣分解為，則 。二、單項選擇題：1、 Jacobi迭代法解方程組的必要條件是（ C ）。 AA的各階順序主子式不為零 B C D 2、設(shè)，則為( C ) A 2 B 5 C 7 D 33、三點的高斯求積公式的代數(shù)精度為( B )。 A 2 B5 C 3 D 44、求解線性方程組Ax=b的LU分解法中，A須滿足的條件是( B )。A 對稱陣

57、 B 正定矩陣 C 任意陣 D 各階順序主子式均不為零 5、舍入誤差是( A )產(chǎn)生的誤差。A. 只取有限位數(shù) B模型準確值與用數(shù)值方法求得的準確值C 觀察與測量 D數(shù)學(xué)模型準確值與實際值 6、3.141580是的有( B )位有效數(shù)字的近似值。 A 6 B 5 C 4 D 7 7、用 1+x近似表示ex所產(chǎn)生的誤差是( C )誤差。A 模型 B 觀測 C 截斷 D 舍入 8、解線性方程組的主元素消去法中選擇主元的目的是( A )。A控制舍入誤差 B 減小方法誤差C防止計算時溢出 D 簡化計算 9、用1+近似表示所產(chǎn)生的誤差是( D )誤差。 A 舍入 B 觀測 C 模型 D 截斷 10、-3

58、247500是舍入得到的近似值，它有( C )位有效數(shù)字。 A 5 B 6 C 7 D 811、設(shè)f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,則拋物插值多項式中x2的系數(shù)為( A )。 A 05 B 05 C 2 D -2 12、三點的高斯型求積公式的代數(shù)精度為( C )。 A 3 B 4 C 5 D 213、( D )的3位有效數(shù)字是0.236×102。(A) 0.0023549×103 (B) 2354.82×102 (C) 235.418 (D) 235.54×10114、用簡單迭代法求方程f(x)=0的實根，把方程f(x)=0表示成x=j(

59、x)，則f(x)=0的根是( B )。(A) y=j(x)與x軸交點的橫坐標 (B) y=x與y=j(x)交點的橫坐標(C) y=x與x軸的交點的橫坐標 (D) y=x與y=j(x)的交點15、用列主元消去法解線性方程組，第1次消元，選擇主元為( A ) 。(A) 4 (B) 3 (C) 4 (D)916、拉格朗日插值多項式的余項是( B ),牛頓插值多項式的余項是( C ) 。(A) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)，(B) (C) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)，(D) 17、等距二點求導(dǎo)公式f

60、¢(x1) »( A )。18、用牛頓切線法解方程f(x)=0，選初始值x0滿足( A ),則它的解數(shù)列xnn=0,1,2,一定收斂到方程f(x)=0的根。19、為求方程x3x21=0在區(qū)間1.3,1.6內(nèi)的一個根，把方程改寫成下列形式，并建立相應(yīng)的迭代公式，迭代公式不收斂的是(A )。(A) (B)(C)(D)20、求解初值問題歐拉法的局部截斷誤差是();改進歐拉法的局部截斷誤差是();四階龍格庫塔法的局部截斷誤差是( A )(A)O(h2) (B)O(h3) (C)O(h4) (D)O(h5)21、解方程組的簡單迭代格式收斂的充要條件是（ ）。（1）, (2) , (3

61、) , (4) 22、在牛頓-柯特斯求積公式：中，當系數(shù)是負值時，公式的穩(wěn)定性不能保證，所以實際應(yīng)用中，當（ ）時的牛頓-柯特斯求積公式不使用。（1）， （2）， （3）， （4），23、有下列數(shù)表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所確定的插值多項式的次數(shù)是（ ）。（1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次24、若用二階中點公式求解初值問題，試問為保證該公式絕對穩(wěn)定，步長的取值范圍為（ ）。(1), (2), (3), (4)25、取計算，下列方法中哪種最好？（）(A)； (B)； (C) ； (D) 。26、已知是三次樣條函數(shù)，則的值為( )(A

62、)6，6； (B)6，8； (C)8，6； (D)8，8。27、由下列數(shù)表進行Newton插值，所確定的插值多項式的最高次數(shù)是（）1.52.53.5-10.52.55.08.011.5(A)； (B)； (C) ； (D) 。28、形如的高斯（Gauss）型求積公式的代數(shù)精度為（）(A)； (B)； (C) ； (D) 。29、計算的Newton迭代格式為( )(A) ；(B)；(C) ；(D) 。 30、用二分法求方程在區(qū)間內(nèi)的實根，要求誤差限為，則對分次數(shù)至少為( ) (A)10； (B)12； (C)8； (D)9。31、經(jīng)典的四階龍格庫塔公式的局部截斷誤差為 ( )(A)； (B)；

63、(C) ； (D) 。32、設(shè)是以為節(jié)點的Lagrange插值基函數(shù)，則( )(A)； （B）； （C）； （D）。 33、5個節(jié)點的牛頓-柯特斯求積公式，至少具有( )次代數(shù)精度(A)5； (B)4； (C)6； (D)3。34、已知是三次樣條函數(shù)，則的值為( )(A)6，6； (B)6，8； (C)8，6； (D)8，8。35、已知方程在附近有根，下列迭代格式中在不收斂的是( )(A)； (B)； (C)； (D)。36、由下列數(shù)據(jù)012341243-5確定的唯一插值多項式的次數(shù)為( )(A) 4； (B)2； (C)1； (D)3。37、5個節(jié)點的Gauss型求積公式的最高代數(shù)精度為(

64、)(A)8； (B)9； (C)10； (D)11。三、是非題（認為正確的在后面的括弧中打Ö，否則打´）1、 已知觀察值,用最小二乘法求n次擬合多項式時，的次數(shù)n可以任意取。 ( )2、 用1-近似表示cosx產(chǎn)生舍入誤差。 ( )3、 表示在節(jié)點x1的二次(拉格朗日)插值基函數(shù)。 ( Ö )4、牛頓插值多項式的優(yōu)點是在計算時，高一級的插值多項式可利用前一次插值的結(jié)果。 ( Ö ) 5、矩陣A=具有嚴格對角占優(yōu)。 ( )四、計算題：1、 用高斯-塞德爾方法解方程組 ，取，迭代四次(要求按五位有效數(shù)字計算)。答案：迭代格式 k000012.75003.81

65、25 2.537520.20938 3.17893.680530.240432.59973.183940.504202.48203.70192、 求A、B使求積公式的代數(shù)精度盡量高,并求其代數(shù)精度；利用此公式求(保留四位小數(shù))。答案：是精確成立，即 得求積公式為當時，公式顯然精確成立；當時，左=，右=。所以代數(shù)精度為3。 3、 已知13452654分別用拉格朗日插值法和牛頓插值法求的三次插值多項式，并求的近似值（保留四位小數(shù)）。答案： 差商表為一階均差二階均差三階均差1236245-1-154-10 4、取步長，用預(yù)估-校正法解常微分方程初值問題 答案：解： 即 n01234500.20.40

66、.60.81.011.825.879610.713719.422435.0279 5、已知-2-101242135求的二次擬合曲線，并求的近似值。答案：解：0-244-816-8161-121-11-2220100000313111334254816102001510034341正規(guī)方程組為 6、已知區(qū)間0.4，0.8的函數(shù)表0.4 0.5 0.6 0.7 0.80.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736如用二次插值求的近似值，如何選擇節(jié)點才能使誤差最??？并求該近似值。答案：解： 應(yīng)選三個節(jié)點，使誤差 盡量小，即應(yīng)使盡量小，最靠近插值點的三個節(jié)點滿足上述要求

67、。即取節(jié)點最好，實際計算結(jié)果， 且 7、構(gòu)造求解方程的根的迭代格式，討論其收斂性，并將根求出來，。答案：解：令 .且，故在(0,1)內(nèi)有唯一實根.將方程變形為 則當時，故迭代格式 收斂。取，計算結(jié)果列表如下：n01230.50.035 127 8720.096 424 7850.089 877 325n45670.090 595 9930.090 517 3400.090 525 9500.090 525 008且滿足 .所以. 8利用矩陣的LU分解法解方程組 。答案：解： 令得，得. 9對方程組 （1） 試建立一種收斂的Seidel迭代公式，說明理由；（2） 取初值，利用（1）中建立的迭代公

68、式求解，要求。解：調(diào)整方程組的位置，使系數(shù)矩陣嚴格對角占優(yōu)故對應(yīng)的高斯塞德爾迭代法收斂.迭代格式為取,經(jīng)7步迭代可得：. 10、已知下列實驗數(shù)據(jù)xi1.361.952.16f(xi)16.84417.37818.435試按最小二乘原理求一次多項式擬合以上數(shù)據(jù)。解：當0<x<1時，ex，則 ，且有一位整數(shù). 要求近似值有5位有效數(shù)字，只須誤差 .由 ，只要 即可，解得 所以 ，因此至少需將 0,1 68等份。 11、用列主元素消元法求解方程組 。解： 回代得 。 12、取節(jié)點,求函數(shù)在區(qū)間0,1上的二次插值多項式,并估計誤差。解： 又 故截斷誤差 。13、用歐拉方法求在點處的近似值。

69、解：等價于 ()記,取,.則由歐拉公式, 可得 ,14、給定方程1) 分析該方程存在幾個根；2) 用迭代法求出這些根，精確到5位有效數(shù)字；3) 說明所用的迭代格式是收斂的。解：1）將方程 （1）改寫為 （2） 作函數(shù)，的圖形（略）知（2）有唯一根。2) 將方程（2）改寫為 構(gòu)造迭代格式 計算結(jié)果列表如下：k123456789xk1.223131.294311.274091.279691.278121.278561.278441.278471.278463) ，當時，且所以迭代格式 對任意均收斂。15、用牛頓(切線)法求的近似值。取x0=1.7, 計算三次，保留五位小數(shù)。解：是的正根，牛頓迭代公

70、式為， 即 取x0=1.7, 列表如下：1231.732351.732051.7320516、已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多項式及f (1，5)的近似值，取五位小數(shù)。解：17、n=3,用復(fù)合梯形公式求的近似值（取四位小數(shù)）,并求誤差估計。解：，時，至少有兩位有效數(shù)字。18、用Gauss-Seidel迭代法求解線性方程組 =，取x(0)=(0,0,0)T,列表計算三次，保留三位小數(shù)。解：Gauss-Seidel迭代格式為：系數(shù)矩陣嚴格對角占優(yōu)，故Gauss-Seidel迭代收斂.取x(0)=(0,0,0)T，列表計算如下:11.6670.889-2.19522.3980.867-2.38332.4610.359-2.526 19、用預(yù)估校正法求解(0£x£1)，h=0。2，取兩位小數(shù)。解：預(yù)估校正公式為 其中，h=0.2，代入上式得：123450.20.40.60.81.01.241.582.042.643.4220、（8分）用最小二乘法求形如的經(jīng)驗公式擬合以下數(shù)據(jù)：1925303819.032.349.073.3解： 解方