二項(xiàng)式定理十大典型問(wèn)題與例題

1、學(xué)科教師輔導(dǎo)講義學(xué)員編號(hào)：年 級(jí)：高二課時(shí)數(shù)：3學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)學(xué)科教師：教學(xué)內(nèi)容1 .二項(xiàng)式定理：(a b)n C：an C：an 1b L C；an rbr L C；bn(n N ),2 .基本概念：二項(xiàng)式展開式：右邊的多項(xiàng)式叫做(a b)n的二項(xiàng)展開式。二項(xiàng)式系數(shù)：展開式中各項(xiàng)的系數(shù) Cnr (r 0,1,2, , n).項(xiàng)數(shù)：共(r 1)項(xiàng)，是關(guān)于a與b的齊次多項(xiàng)式通項(xiàng)：展開式中的第 r 1項(xiàng)C：an rbr叫做二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)。用Tr 1 Cnran rbr表示。3 .注意關(guān)鍵點(diǎn)：項(xiàng)數(shù)：展開式中總共有 (n 1)項(xiàng)。順序：注意正確選擇 a, b,其順序不能更改。(a b)n

2、與(b a)n是不同的。指數(shù)：a的指數(shù)從n逐項(xiàng)減到0,是降哥排列。b的指數(shù)從0逐項(xiàng)減到n ,是升哥排列。各項(xiàng)的次數(shù)和等于n.系數(shù)：注意正確區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)依次是 C°,C1,Cn, ,C；, ,C；.項(xiàng)的系數(shù)是a與b的系數(shù)(包括二項(xiàng)式系數(shù))。4 .常用的結(jié)論： n 012 2r rn n .令 a 1,b x, (1 x) Cn CnX CnX L CnX LCnX (n N )令 a 1,b X, (1 x)n C0 C1x C：X2 LC；xL ( 1)nCnnxn(n N )5 .性質(zhì)：二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性：與首末兩端“對(duì)距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即C0 C

3、n , Cn Cnk1二項(xiàng)式系數(shù)和：令 a b 1,則二項(xiàng)式系數(shù)的和為C： C： Cn2 L Cn L Cnn 2n ,變形式 C： C： L C； L Cn 2n 1。.下載可編輯奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和=偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和:在二項(xiàng)式定理中，令a 1,b1,則 Cn。C1Cn2C3 L1)nCn(1 1)n0從而得到：c0 c2_ 4_ 2rCnCnCnC3 LC12r12n22n 1奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和:(a(x令x令xn x) 、n a)1,C0anx°C0a則a。1,則 a。aiai得,a。a2得,a1a3Cnan 1xC：axn 1C2aC2ac n 0 nCna

4、xC n n 0Cna xa。1 a1xa2a2a5 La3Lan(aa3ananL an1)n(a 1)nanxn L2a2x2 a?xa1xn anxa0(a 1)n (a 1)n2(a 1)n (a 1)n(奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)：如果二項(xiàng)式的哥指數(shù)(偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和n是偶數(shù)時(shí)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)nCn2取得最大值。如果二項(xiàng)式的哥指數(shù)n是奇數(shù)時(shí)，則中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)Cn2 , Cn2同時(shí)取得最大值。系數(shù)的最大項(xiàng)：求(a bx)n展開式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法。設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為A,A2, ,Ani,設(shè)第r 1項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有Ar，-,從而解出r來(lái)。Ar 2題型一

5、：二項(xiàng)式定理的逆用;例:C1 Cn 6 c3 62L Cn 6n 1解:(1 6)n C0cnCn262C3 63 L Cn 6n與已知的有一些差距,練:_ 1_ 2Cn Cn6(Cn0_ 1_ 2Cn 3CnCnC362C；C2626n 11(C1 6 cl2 62L Cn 6n)61n 1nCn 6n1)(16)n 1(7n 1)6639Cn L3n1Cn一下載可編輯解：設(shè) Sn C： 3C2 9C3 L 3n 1Cn ,則3SnC：3C232C333LCn3nCnCn3 C：32C333 L Cn 3n 1(1 3)nSn(1 3)n 13.下載可編輯題型二：利用通項(xiàng)公式求 xn的系數(shù);

6、例：在二項(xiàng)式(J1 3/X2)n的展開式中倒數(shù)第 3項(xiàng)的系數(shù)為45,求含有x3的項(xiàng)的系數(shù)？解：由條件知Cn 2 45,即C： 45,n2 n 90 0,解得n 9(舍去)或n 10,由1210r 2Tr 1 C；o(x 4)10 r(x3)r C；oxF3,，由題意-0-r 3,解得 r 6,43則含有x的項(xiàng)是第7項(xiàng)T6 1 GoX210x ,系數(shù)為210 。練：求(x2 1)9展開式中x9的系數(shù)?2x解:Tr1C；(x2)9r(J )rC；x18 2r2x.QQ1 Q21故x的系數(shù)為C9(-)一。22/1 r(2)xC；( 1)rx18 3r，令 18 3r 9,則 r 32題型三：利用通項(xiàng)

7、公式求常數(shù)項(xiàng);解：Tr 1例：求二項(xiàng)式(x2的展開式中的常數(shù)項(xiàng)?520 -r二C1ro(1)rx 2 ,令 20 -r22。，得 r 8,所以 T9c180(2)845256練：求二項(xiàng)式(2x 工)6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)？2x(1)3C6320r 6 r r . 1 . rr r 6 r . 1 .r 6 2r斛：Tr 1 C6(2x) ( 1)()( 1) C62 () x ，令 6 2r 。，得 r 3,所以 丁42x2練：若(x2 ；)n的二項(xiàng)展開式中第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則n .解：T5 C4(x2)n 4(1)4 C：x2n12,令 2n 12。，得 n 6. x題型四：利用通項(xiàng)公式，再討論

8、而確定有理數(shù)項(xiàng);例：求二項(xiàng)式(jx 3/xy展開式中的有理項(xiàng)?解：Tr 1 C；(x2)9 r( x3)r27 r(1)3,令3Z,( 09)得r 3或r 9所以當(dāng)r 3時(shí),27當(dāng)r 9時(shí)，26276 r題型五：奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和例:解:練:解:_3 一 3 4_44 , T4 ( 1) C9 x84x3 c 9 330(1) C9xx o=偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和;若（JJ 工）n展開式中偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為256,求n.x21設(shè)（Jx2）n展開式中各項(xiàng)系數(shù)依次設(shè)為x令x 1,則有a0將-得：2（a1有題意得，2n 1若(34）n的展開式中,a0,a1, anaia3 a5256_0_2_4_ 2r

9、QCnCnCnCn281,則有a。aia2a3(1)nan2n,a1a3a52n所有的奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為1024,求它的中間項(xiàng)。C：八 32r 1C n L Cn2n_ n 1 一21024,解得n 11所以中間兩個(gè)項(xiàng)分別為 n 6,n 7c；（喘）6（5462 x 4, T6 146261X 15題型六：最大系數(shù)，最大項(xiàng);例:第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)1c已知（2x）n,若展開式中第5項(xiàng), 2的系數(shù)是多少？解:QC： C； 2c5, n2 21n 980,解出n 7或n 14,當(dāng)n7時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是練:解:練:c 135T4 和 T5 丁4

10、 的系數(shù)C3(-)423 35,22的項(xiàng)是T8,T8的系數(shù)C74(1)7272，1 C ，T5 的系數(shù) C4（；）3243432。在（a b）2n的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是多少?二項(xiàng)式的哥指數(shù)是偶數(shù) 2n,則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即T紅2在(270,當(dāng)n 14時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大Tn 1,也就是第n 1項(xiàng)。1n的展開式中，只有第 5項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是多少?解:只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則 n21 5,即n 8,所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為第七項(xiàng)等于C；（2）22練:寫出在（a b）7的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)？系數(shù)最小的項(xiàng)?解:因?yàn)槎?xiàng)式的哥指數(shù)7是奇數(shù)，所以中間兩項(xiàng)（第

11、4,5項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且同時(shí)取得最大值,從而有T4C3a4b3的系數(shù)最小，T5 C74a3b4系數(shù)最大。1C練:若展開式刖二項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79 ,求（2x）n的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)?20_ 1_ 21121 1212解:由 Cn Cn Cn79,解出 n 12,假設(shè) Tr1 項(xiàng)最大，Q (- 2x)(-) (1 4x)Ar 1 ArC1r24rC11214r 1Ar 1 Ar 2C1r24rC1214r 1，化簡(jiǎn)得到 9.4 r 10.4,又 Q0 r 12, r 10,展開式中系數(shù)最，一“1大的項(xiàng)為T11,有Tn（-）12c10 10 1010C124 x 16896x練:解:假

12、設(shè)Tr1項(xiàng)最大，QTr 1 C；0 2rxrArArAC r 2 rc r12 r1rC10C101i解得Ar2C；02rCiO2r,2(11r 1r) r - _ _),化簡(jiǎn)得到 6.3 k 7.3,又Q0 r 10,2(10 r)r 7 ,展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T8 C；27x715360x7.題型七：含有三項(xiàng)變兩項(xiàng)例：求當(dāng)，25（x 3x 2）的展開式中x的一次項(xiàng)的系數(shù)?解法:(x2 3x 2)5 (x2 2) 3x5,1 C；(x2 2)5 r (3x)r ,當(dāng)且僅當(dāng) r1時(shí)，Tr 1的展開式中才有x10在（1 2x）的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是多少?的一次項(xiàng)，此時(shí)Tr 1 T2 C5（x

13、2 2）43x,所以x得一次項(xiàng)為C5c4243x它的系數(shù)為C1C4243 240 。解法:2555_05_14(x23x 2)5(x 1)5(x2)5(C；x5C1x450 51 4C;5)(C5)x5 C5x42C525)4_ 5 _ 5_ 4 _ 4_故展開式中含x的項(xiàng)為C5xC52 C5x2240x,故展開式中x的系數(shù)為240.練：求式子（x J |x|一、3 一-2）的常數(shù)項(xiàng)?解：欣503 （桐木）公一一一r,.r6,設(shè)第r 1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則Tr 1 C6（ 1） x(1 )r ( 1)6C； x6 2r,得3 _ 36 2r 0, r 3,T3 1 (1) CQ20.題型八：兩個(gè)二項(xiàng)

14、式相乘；例：求(1 2x)3(1 x)4展開式中x2的系數(shù).解：Q(1 2x)3的展開式的通項(xiàng)是 Cm (2x)m cm 2m xm,(1 x)4的展開式的通項(xiàng)是 c4 ( x)nc41n xn,其中 m 0,1,2,3, n 0,1,2,3, 4,令 m n 2,則 m 0 且 n 2,m 1且 n 1,m0,因此(1 2x)3(1 x)4練:解:的展開式中x2的系數(shù)等于C0 20 C：(求(1衣)6(1)10展開式中的常數(shù)項(xiàng)x(1 Vx)6(1 J)10展開式的通項(xiàng)為c6n ix1)2mx3入1 八1C3 2nCx 4其中 m 0,1,2, ,6,n 0,1,2, ,10，當(dāng)且僅當(dāng) 4m_

15、 11_ 22 _ 00C4 ( 1) C3 2 C4 ( 1)c6n g04m 3nx 126.m3n,即 n°，或0,3,或4,6,8,時(shí)得展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C； C1c0 C3 C10 C6 C80 4246.練：已知(1 x x2)(x 4)n的展開式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng),n N*且2 n 8,則n . x解：(x工)n展開式的通項(xiàng)為cn xnr x3r cn xn 4r，通項(xiàng)分別與前面的三項(xiàng)相乘可得 xcn xn4r,Cn xn 4r 1,cn xn4r 2,Q 展開式中不含常數(shù)項(xiàng),2 n 8n 4r且n 4r 1且n 4r 2,即 n 4,8且n 3,7且n 2,6, n 5.題

16、型九：奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和；2006 a2006 x例：在(x 歷2006的二項(xiàng)展開式中，含對(duì)勺奇次曷的項(xiàng)之和為 S,當(dāng)x J2時(shí),S .解： 設(shè)(x V2) 2006=a0 a1x1 a2x2 a3x3 L(x v2) 2006=a0 a1x1 a2x2 a3x3 La2006x2006 得 2(a1x a3x3 a5x5 La2005x2005)(x 6)2006 (x 冊(cè))2006(x £2006展開式的奇次事項(xiàng)之和為S(x) 1(x C)2006 (x V2)2006當(dāng) x2ts(2)；(/22) 2006 ( 2W0063 20062 223008題型十：賦值法;

17、例:1 n設(shè)一項(xiàng)式（3次 一）n的展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和為p,所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為xs,若解:練:解:練:解:練:解:p s 272，則n等于多少?若(33x 1) xn 4.a0 a1x4n，又 p2a2xanXn ,有 Paoaian, SC0C： 2n,s 272 ,即 4n 2n 272(2n 17)(2 n 16)的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為 64,則展開式的常數(shù)項(xiàng)為多少?則3,xC；(3.x)3 (3若(1 2x)2009a0令x 2,可得a00解得2n 16或2n17（舍去）,n1 n-=的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為2nx64 ,所以n6,則展開式的常數(shù)項(xiàng)為540.12axa2x222在令

18、x0可得a01,因而a1W/c5- 5 - 4右(x 2)a5xadx3 a3x令x 0得a。32,令x1得aoa a2a3a4a§31.題型十一：整除性;例：證明：32n 2 8n 9（n3a3xa2oo922009a2222 a2xai2009La2009x(x&a20， 一2222a2009220091.1axa2%N ）能被64整除證：32n 2 8n 9 9n 1 8n 9 (8 1)n 1 8n0 Qn 11 Q nCn 18 Cn180 Qn 11 QnCn 1 8 Cn 18ao,貝I aia4a5n 1 Q2 n Q1n 1Cn 1 8 C n 18 C”

19、18 nCnn 182 8(n 1) 1 8n 9由于各項(xiàng)均能被64整除 32n 2 8n 9（nN*）能被64整除R),則a2oo922009a2a31,C： 18na?22ao11 QnCn 1 8a20092 2009的值為n 1 Q2Cn 181、(x 1)11展開式中x的偶次項(xiàng)系數(shù)之和是 1、設(shè) f(x)=(x-1)11,偶次項(xiàng)系數(shù)之和是 f(1) f( 1)(2)11/2102422、C0 3C； 32C23ncn2、4n3、M Y的展開式中的有理項(xiàng)是展開式的第項(xiàng).3、3,9,15,21 4、(2x-1) 5展開式中各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值之和是4、(2x-1) 5展開式中各項(xiàng)系數(shù)系數(shù)絕對(duì)值

20、之和實(shí)為(2x+1) 5展開式系數(shù)之和，故令 x=1,則所求和為35 5、求(1+x+x 2)(1-x) 10展開式中x4的系數(shù).5、(1 x x2)(1 x)10(1 x3)(1 x)9,要得到含x4的項(xiàng)，必須第一個(gè)因式中的1與(1-x) 9展開式中的項(xiàng)C4( x)4作積，第一個(gè)因式中的一x3與(1-x) 9展開式中的項(xiàng)C9( x)作積，故x4的系數(shù)是C9 C4135.6、求(1+x)+(1+x) 2+-+(1+x) 10展開式中x3的系數(shù). 10116、(1 x) (1 x)2(1x)1°(1x)1(1x) =止，原式中x3實(shí)為這分子中的x4,則所1 (1 x)x求系數(shù)為c77、若f(x) (1 x)m (1 x)n(m n