《流體力學(xué)》典型例題20111120

1、流體力學(xué)典型例題（9大類）例1例3牛頓內(nèi)摩擦定律（牛頓剪切公式）應(yīng)用例4例5流體靜力學(xué)基本方程式的應(yīng)用用流體靜力學(xué)基本方程和等壓面計算某點的壓強或兩點之間的壓差。例6例8液體的相對平衡流體平衡微分方程中的質(zhì)量力同時考慮重力和慣性力（補充內(nèi)容）（1）等加速直線運動容器中液體的相對平衡（與坐標系選取有關(guān)）（2）等角速度旋轉(zhuǎn)容器中液體的平衡（與坐標系選取有關(guān)）例9求流線、跡線方程；速度的隨體導(dǎo)數(shù)（歐拉法中的加速度）；渦量計算及流動有旋、無旋判斷例1016速度勢函數(shù)、流函數(shù)、速度場之間的互求例17計算流體微團的線變形率、角變形率及旋轉(zhuǎn)角速度例1820動量定理應(yīng)用（課件中求彎管受力的例子）例2122總流

2、伯努利方程的應(yīng)用例23綜合：總流伯努利方程、真空度概念、平均流速概念、流態(tài)判斷、管路系統(tǒng)沿程與局部損失計算例題1：如圖所示，質(zhì)量為m5 kg、底面積為S40 cm60 cm的矩形平板，以U1 m/s的速度沿著與水平面成傾角的斜面作等速下滑運動。已知平板與斜面之間的油層厚度1 mm，假設(shè)由平板所帶動的油層的運動速度呈線性分布。求油的動力粘性系數(shù)。解：由牛頓內(nèi)摩擦定律，平板所受的剪切應(yīng)力又因等速運動，慣性力為零。根據(jù)牛頓第二定律：，即：粘性是流體在運動狀態(tài)下，具有的抵抗產(chǎn)生剪切變形速率能力的量度；粘性是流體的一種固有物理屬性；流體的粘性具有傳遞運動和阻滯運動的雙重性。例題2：如圖所示，轉(zhuǎn)軸的直徑d

3、0.36 m，軸承的長度l1 m，軸與軸承的縫隙寬度0.23 mm，縫隙中充滿動力粘性系數(shù)的油，若軸的轉(zhuǎn)速。求克服油的粘性阻力所消耗的功率。解：由牛頓內(nèi)摩擦定律，軸與軸承之間的剪切應(yīng)力粘性阻力（摩擦力）：克服油的粘性阻力所消耗的功率：例題3：如圖所示，直徑為的兩個圓盤相互平行，間隙中的液體動力黏度系數(shù)為，若下盤固定不動，上盤以恒定角速度旋轉(zhuǎn)，此時所需力矩為，求間隙厚度的表達式。解：由于圓盤不同半徑處的線速度不同，在半徑處取徑向?qū)挾鹊奈⒃娣e環(huán)，根據(jù)牛頓內(nèi)摩擦定律，可得該微元面積環(huán)上受到的切向力為：例題4：如圖所示的雙U型管，用來測定比水小的液體的密度，試用液柱高差來確定未知液體的密度（取管中水

4、的密度1000 kg/m3）。 解：經(jīng)分析可知圖中1-1和2-2為兩組等壓面。根據(jù)等壓面的性質(zhì)和流體靜力學(xué)基本方程，采用相對壓強可得：左側(cè)：，右側(cè)：中間：聯(lián)立可得：例題5：如圖所示，U型管中水銀面的高差h0.32 m，其他流體為水。容器A和容器B中心的位置高差z1 m。求A、B兩容器中心處的壓強差（取管中水的重度9810 N/m3，水銀的重度133416 N/m3）。解：圖中1-1、2-2為2組等壓面。根據(jù)等壓面的性質(zhì)和流體靜力學(xué)基本方程，可得：，例題6：如圖所示，僅在重力場作用下的無蓋水箱高H1.2m，長L3m，靜止時盛水深度h=0.9m。現(xiàn)水箱以的加速度沿水平方向做直線運動。若取水的密度，

5、水箱中自由水面的壓強98000Pa。試求：（1）水箱中自由水面的方程和水箱中的壓強分布。（2）水箱中的水不致溢出時的最大加速度。解：（1）如圖所示，將固定在水箱上的運動坐標系的原點置于靜止時自由水面的中點，z軸垂直向上，x軸與加速度的方向一致。則水箱運動時單位質(zhì)量水受到的質(zhì)量力和水的加速度分量分別為代入非慣性坐標系中的壓力全微分公式，得 積分得 利用邊界條件確定積分常數(shù)：在坐標原點O（）處，得由式可得水箱內(nèi)的壓強分布對于水箱中的等壓面，有，所以由式可得等壓面的微分方程積分得 上式給出了一簇斜率為的傾斜平面，就代表水箱加速運動的一簇等壓面，自由水面是等壓面中的一個，因自由水面通過坐標原點，可確定

6、積分常數(shù)。因此自由水面方程為（2）假設(shè)水箱以加速度運動時，其中的水剛好沒有溢出，且此時水箱右側(cè)水的深度為，則根據(jù)加速前后水的體積不變的性質(zhì)可得 又根據(jù)水箱作水平等加速直線運動時，自由表面的斜率與幾何長度之間的關(guān)系 和式聯(lián)立求解，得：例題7：有一盛水的旋轉(zhuǎn)圓筒，直徑D1 m，高H2 m，靜止時水深為h1.5 m。求：（1）為使水不從筒邊溢出，旋轉(zhuǎn)角速度應(yīng)控制在多大？（2）當(dāng)6 rad/s時，筒底G、C點處的相對壓強（相對于自由水面）分別為多少？解：（1）若將坐標原點放在筒底的中心位置，并假設(shè)自由表面最低點的高度為，則由：，可推出自由水面（為一等壓面）的方程：根據(jù)在水沒有溢出的情況下，旋轉(zhuǎn)前后水的

7、體積不變的性質(zhì)，可得：由此可求得：，帶入自由表面方程得：若使達到某一最大值而水不溢出，則有時，帶入上式，得（2）旋轉(zhuǎn)容器中任意一點的相對壓強可表達為將G點條件：帶入得：同理，將C點條件：帶入得：例題8：如圖所示為一圓柱形容器，直徑為，高，容器內(nèi)裝水，水深為，使容器繞垂直軸做等角速旋轉(zhuǎn)，試確定水正好不溢出來的轉(zhuǎn)速。解：如圖所示，將坐標原點o放在筒底的中心位置，并假設(shè)自由表面最低點的高度為，則由：，可推出自由水面（為一等壓面）的方程：根據(jù)在水沒有溢出的情況下，旋轉(zhuǎn)前后水的體積不變的性質(zhì)，可得：由此可求得：，帶入自由表面方程得：若使達到某一最大值而水不溢出，將時，帶入上式，得 例9 已知平面直角坐標

8、系中的二維速度場。試求：（1）跡線方程；（2）流線方程；（3）時刻，通過（1，1）點的流體微團運動的加速度；（4）渦量（即旋度），并判斷流動是否有旋。解：（1）將代入跡線方程得：采用變量代換法解這個微分方程。令，則，代入上式，得：，于是得跡線的參數(shù)方程：其中，是積分常數(shù)（拉格朗日變數(shù)）。消掉時間，并給定即可得到以表示的流體質(zhì)點的跡線方程。例如：已知歐拉法表示的速度場，求流體質(zhì)點的跡線方程，并說明跡線形狀。將代入跡線微分方程：，得：分離變量并積分，得： 從上兩式中消去時間t得跡線方程： 即： 可見，該流場中流體質(zhì)點的跡線為一雙曲線。（2）將代入流線微分方程得：將看成常數(shù)，積分上式得流線方程：或

9、（3）由質(zhì)點導(dǎo)數(shù)的定義可得流動在x和y方向的加速度分量分別為：所以，時刻，通過（1，1）點的流體微團運動的加速度為：（4）由渦量（旋度）的定義，對于題中所給的平面流動有：所以流動無旋。求速度勢函數(shù)（一）利用勢函數(shù)的全微分求由，得又由，得，積分得于是，求速度勢函數(shù)（二）按勢函數(shù)定義求例題10已知：速度場。求證：此流動是不可壓縮流體的平面勢流，并求速度勢函數(shù)。解：平面流動不可壓縮無旋求速度勢函數(shù)（一）利用勢函數(shù)的全微分求由，得又由，得，積分得于是，求速度勢函數(shù)（二）按勢函數(shù)定義求 （正確）不能按三個獨立的不定積分相加求（錯誤）例題11已知：三維速度場。求證：此流動是不可壓縮流體的無旋流動，并求速度

10、勢函數(shù)。解：不可壓縮流體，流動無旋求速度勢函數(shù)（一）利用勢函數(shù)的全微分求由，得又由，得，可得于是，求速度勢函數(shù)（二）按勢函數(shù)定義求（正確）不能按三個獨立的不定積分相加求 （錯誤）例12 已知二維速度場為，。（1）證明該速度分布可以表示不可壓縮流體的平面流動；（2）求該二維流場的流函數(shù)；（3）證明該流動為勢流；（4）求速度勢函數(shù)。解：（1）平面流動判定不可壓縮流體平面流動的連續(xù)方程為由已知條件可求，可見速度分布滿足連續(xù)方程。故可以表示不可壓縮流體的平面運動。（2）流函數(shù)的確定按流函數(shù)定義和已知條件有 (1) (2)積分式(1)得 (3)為確定函數(shù)，將式(3)對求偏導(dǎo)，并按流函數(shù)定義令其等于，即

11、(4)由式(4)可以判定，積分求得 (5)其中為積分常數(shù)。將式(5)代入式(3)，得： （3）有勢流動判定判定流動是否為有勢流有兩種方法。方法一：是直接利用速度場求旋度看其是否為零由此可以判定流動為有勢流。方法二：看流函數(shù)是否滿足拉普拉斯方程（因為平面不可壓縮勢流同時存在流函數(shù)和勢函數(shù)）：流函數(shù)滿足拉普拉斯方程，流動為勢流。（4）勢函數(shù)方法一：按勢函數(shù)定義和已知條件有 (6) (7)積分式(6)得 (8)為確定函數(shù)，將式(8)對求偏導(dǎo)，并按勢函數(shù)定義式(7)令其等于，即 (9)由式(9)可以判定，積分求得 (10)其中為積分常數(shù)。將式(10)代入式(8)，得： 方法二：因已證明流動為有勢流，則

12、必然存在勢函數(shù)，且和已知?？砂磩莺瘮?shù)定義求：例13：證明：所表示的流動是勢流，并求出該流動的速度勢函數(shù)。解：1）判斷流動是否為勢流方法一 對于平面內(nèi)的流動，說明流動無旋，所以是勢流。方法二 ，流函數(shù)滿足Laplace方程，所以流動是勢流。平面不可壓縮無旋流動的流函數(shù)滿足拉普拉斯方程。注：1、不可壓流體無旋流動的速度勢函數(shù)滿足Laplace方程：2、不可壓縮流體平面無旋流動的流函數(shù)滿足Laplace方程2）因為 所以 又因為 所以 ，于是 例14： 三維不可壓縮流場中，且已知處，試求流場中的表達式，并檢驗是否無旋？解：由連續(xù)方程得：積分得： 由處=0得：c=0所以流場中的表達式為由于，可見，當(dāng)時

13、，該流體運動是無旋的；當(dāng)時，該流體運動是有旋的。例15：已知二元流場的速度勢為（1）試求和，并檢驗是否滿足連續(xù)條件和無旋條件。（2）求流函數(shù)。解：（1），由于，滿足連續(xù)方程；由于，流動無旋。（2）由流函數(shù)的定義： 積分式得 將式對x求偏導(dǎo)，并令其等于，即，可得，于是，流函數(shù)為： 例16：不可壓縮流場的流函數(shù)為（1）證明流動有勢（2）并求速度勢函數(shù)。（3）求（1，1）點的速度。解：（1）因為，所以，即流動無旋，也即有勢。（2）因為，所以，對上式作不定積分得速度勢函數(shù)：（3）由，得，（1，1）點的速度為：，即： 例17：已知，試求此流場中在，點處的線變形率、角變形率和角速度。解：由，得線變形率為：

14、，角變形率為：角速度為：例題18：如圖所示，有一水平放置的噴管水射流裝置，由直管段和收縮形噴管組成，噴嘴與直管段的接頭用螺栓連接。水流從噴嘴噴出，沖擊到一塊垂直平板上。已知：噴管上游直管段的截面積，水的壓強（表壓，即相對于大氣壓的值），噴管出口截面積。若將射流視為不可壓縮流體的穩(wěn)態(tài)流動，且不計粘性和重力的影響。試求：（1）噴管與直管段接頭處所受的拉力；（2）平板所受的水流的沖擊力。解：建立如圖所示的坐標系，取x軸所在的水平面為基準面；選取控制體，確定控制面；分析控制體受力：假定噴管壁面對水的作用力在水平方向的分量為，沿x軸的負方向；垂直平板對射流的作用力為，沿x軸的負方向。對11和22截面列伯

15、努利方程：，將已知條件，（相對壓強）代入伯努利方程，得： （A）又由質(zhì)量守恒方程，可得： （B）聯(lián)立求解（A）和（B）可得：，。（1）針對11和22截面間的控制體，列x方向的動量方程：可求得噴管壁面對水流的作用力：為正值，說明噴管壁面對水流的作用力方向與初始假定的方向相同，水流對噴管壁面沿水平方向的作用力為的反作用力，故有，即噴管與直管段接頭處所受的拉力為57.6N。（2）針對22、34和44截面間的控制體（該控制體周圍的壓強均為大氣壓強，故不考慮壓強引起的作用力），列x方向的動量方程：可求得垂直平板對射流的作用力：為正值，說明垂直平板對射流的作用力方向與初始假定的方向相同，射流對垂直平板的作

16、用力為的反作用力，故有。例題19：如圖所示，將一平板放在自由水射流中，并垂直于射流的軸線，該平板截去射流的一部分，并引起射流其余部分偏轉(zhuǎn)角度。已知，（升/秒），。求射流對平板的作用力R及射流的偏轉(zhuǎn)角（不計摩擦力及水的重量的影響，取水的密度）。解：建立坐標系，選取控制體，確定控制面。分析受力（假定力的方向）：由于不計摩擦力的影響，平板對射流只有沿垂直于平板方向的法向作用力（假設(shè)其方向向左），而沿平行于平板方向的切向摩擦力。于是可列出x和y方向的動量方程：根據(jù)已知條件和連續(xù)性方程：將其他已知條件帶入，可以求得：，射流對平板的作用力，方向向右。例題20：如圖所示連續(xù)管系中的90漸縮彎管放在水平面上，

17、管徑，入口處水的平均流速，靜壓（計示壓強）。如不計能量損失，試求支撐彎管在其位置所需的水平力？解：由可得： 對1-1和2-2兩個過流截面列伯努利方程，可得：建立如圖所示的坐標系，x坐標軸向右為正，y坐標軸向上為正。取1-1、2-2截面和彎管內(nèi)壁所包圍的體積為控制體，假設(shè)彎管對控制體內(nèi)水流的作用力為F，它沿x、y方向的分量分別為，方向如圖所示，則可分別列出x、y方向的動量方程：再利用連續(xù)性方程，則有：均為正值，說明其實際方向與假設(shè)的方向相同，即分別沿x、y坐標軸的負方向。彎管對控制體內(nèi)水流作用力的合力F大小為合力F的方向角（如圖所示）為彎管受到水流的作用力是F的反作用力，二者大小相等，方向相反，

18、即。就本題而言，只需用x方向的動量方程求出，即可知道彎管受到水流沿水平方向的作用力，與大小相等、方向相反。例題21：軸流式風(fēng)機可采用如圖3所示的集流器來測量流量，已知風(fēng)機入口側(cè)管道直徑，U形管讀數(shù),水與空氣的密度分別為,，忽略流動的能量損失，求空氣的體積流量。解：針對在風(fēng)機入口前斷面11和U型管所在的風(fēng)筒截面22列伯努里方程：得 由靜力學(xué)基本方程： 帶入上式，得： 空氣的體積流量： 例題22：如圖所示，離心式水泵通過一內(nèi)徑的吸水管以的流量，從一個截面積遠大于吸水管截面積的敞口水池中吸水，并將水送至一水箱。設(shè)裝在水泵入口處的真空計讀數(shù)為Pa。水池水面為大氣壓，水力損失不計，試求水泵的吸水管高度？解：選取自由液面1-1為零勢能面，針對1-1截面和水泵入口截面2-2列伯努里方程：帶入條件：，得例題23：離心泵吸水管路如圖所示，已知管徑d=250毫米，吸水管路全長L10米，通過管路的流量為Q80L/s，吸水井水面壓強=1at（1at9.81104Pa），泵進口處最大允許的真空度=0.7at。此管中帶有單向底閥的吸水濾器一個，r/R=0.5的度彎頭2個，泵入口前還有漸縮管一個（漸縮管出入口直徑比為3/4）。問允許水泵的實際安裝高度為多少？（