高等數(shù)學備課資料：第四章 不定積分 03 第三節(jié) 分部積分法

1、第三節(jié) 分部積分法分布圖示 分部積分公式 幾點說明 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 例12 例13 例14 例15 例16 例17 例18 分部積分的列表法 例19 例20 例21 例22 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習 習題4-3 返回內(nèi)容要點 分部積分公式： (3.1) (3.2)分部積分法實質(zhì)上就是求兩函數(shù)乘積的導數(shù)(或微分)的逆運算. 一般地, 下列類型的被積函數(shù)?？紤]應用分部積分法(其中m, n都是正整數(shù)).例題選講例1 (E01) 求不定積分 .解一 令顯然, 選擇不當，積分更難進行.解二 令例2 (E02) 求不定積分 .解 小結(jié)：若被積函數(shù)是冪函數(shù)(指

2、數(shù)為正整數(shù))與指數(shù)函數(shù)或正(余)弦函數(shù)的乘積, 可設冪函數(shù)為u, 而將其余部分湊微分進入微分號, 使得應用分部積分公式后, 冪函數(shù)的冪次降低一次.例3 (E03) 求不定積分 .解 令例4 (E04) 求不定積分.解 令小結(jié)：若被積函數(shù)是冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)的乘積, 可設對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為u, 而將冪函數(shù)湊微分進入微分號, 使得應用分部積分公式后, 對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)消失.例5 (E05) 求不定積分.解 注意循環(huán)形式注：若被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與正(余)弦函數(shù)的乘積,u, dv可隨意選取, 但在兩次分部積分中, 必須選用同類型的u, 以便經(jīng)過兩次分部積分后產(chǎn)生循環(huán)式, 從而解出所求

3、積分.例6(E06) 求積分.解 靈活應用分部積分法,可以解決許多不定積分的計算問題. 下面再舉一些例子,請讀者悉心體會其解題方法.例7 (E07) 求解 由于上式右端的第三項就是所求的積分把它移到等號左端去，再兩端各除以2，便得例8 求不定積分解 例9 求不定積分解 原式例10求不定積分解 令則于是例11(E08) 求不定積分.解 令則例12 求解法1 先分部積分，后換元.設則 于是 再設則于是代入上式, 得解法2 先換元, 后分部積分.設 則再設 則例13 求不定積分解 令則于是原式其中例14(E09) 求其中為正整數(shù).解 用分部積分法，當時有 即 于是 以此作遞推公式，并由 即可得例15 (E10) 已知的一個原函數(shù)是, 求.解 根據(jù)題意再注意到兩邊同時對求導，得例16 求不定積分解 先折成兩個不定積分，再利用分部積分法.原式例17 求不定積分解 例18 利用分部積分計算解 選于是注: 本題選比選更能使解題方便.例19 計算不定積分解 不易求積分，只能放在左列，而放在右列,列表如下: 例20 計算不定積分解 可看作乘積形式將放在左列,1放在右列，列表如下:例21 計算不定積分解 函數(shù)和都是易求原函數(shù)的函數(shù),都可放右列，但考慮到左列的函數(shù)應是求導后逐漸簡單的，故放左列, 放右列列表如下: 例22 計算不定積分.解 函數(shù)都是易求原函數(shù)的函數(shù)，且它們的導函數(shù)分別是穩(wěn)定的和