利用極坐標(biāo)解圓錐曲線題

1、利用極坐標(biāo)解圓錐曲線題（焦點）的距離和一F作相應(yīng)準(zhǔn)線的垂線，.若允許pv 0,方程利用極坐標(biāo)解題知識點精析：橢圓、雙曲線、拋物線可以統(tǒng)一定義為：與一個定點條定直線（準(zhǔn)線）的距離的比等于常數(shù) e的點的軌跡.以橢圓的左焦點（雙曲線的右焦點、拋物線的焦點）為極點，過點垂足為K,以FK的反向延長線為極軸建立極坐標(biāo)系.橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程為：一ep1 ecos其中 p是定點 F到定直線的距離，p>0 .當(dāng)0vev 1時，方程表示橢圓；當(dāng)e>1時，方程表示雙曲線，若p >0,方程只表示雙曲線右支,就表示整個雙曲線；當(dāng)e=1時，方程表示開口向右的拋物線.3 / 11引論（1

2、）若7p1+ecos則0vev1當(dāng)時，方程表示極點在右焦點上的橢圓當(dāng)e=1時時，方程表示開口向左的拋物線當(dāng)e>1方程表示極點在左焦點上的雙曲線（2 ）若一ep一1-esin當(dāng)0 ve<1時，方程表示極點在下焦點的橢圓當(dāng)e=1時，方程表示開口向上的拋物線當(dāng)e >1時！方程表示極點在上焦點的雙曲線當(dāng)0 vevl時，方程表示極點在上焦點的橢圓當(dāng)e=1時，方程表示開口向下的拋物線當(dāng)e >1時！方程表示極點在下焦點的雙曲線例題選編(1)二次曲線基本量之間的互求例1.(復(fù)旦自招)確定方程一-一表示曲線的離心率、焦距、長短軸長。5 3cos解法3 -cos53 105萬d 31 一

3、cos5103c a b2c351033 a c5510a c332581525 215 2（8）（8）88方程表示橢圓的離心率 e解法二：轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)(2)圓錐曲線弦長問題若圓錐曲線的弦MN經(jīng)過焦點F,31525I，焦距T，長軸長g短軸長51、橢圓中,2Jp c , |mnccep1 ecosc , 2ep2ab1 ecos（ ） a2 c2 cos2半焦距為r >0 ,焦點及5, °)、風(fēng)七0),7 + J = 13 > i > 0） 若橢圓方程為口 b設(shè)過齡的直線】的傾斜角為 網(wǎng)交橢圓于A、B兩點，求弦長解：連結(jié)另4盧#,設(shè)因H三陽1芭以仁,，由橢圓定義得

4、|巴牛2次-刈區(qū)外22 7,由余弦定理得三+曲）=2匯2-必&=（2一天尸9產(chǎn)X. - ，=整理可得a-cesa ,同理可求得a+cs。，則弦長Hti - ccos ct a +r cos a a1 - cos2 a同理可求得焦點在y軸上的過焦點弦長為留三一a-c重口在（a為長半軸，b為短半軸,c為半焦距） 結(jié)論：橢圓過焦點弦長公式:丁岑;德點岳軸上）AB= .a c cos g?書L （焦點在聲由上）& - c sin a2、雙曲線中，（注釋：雙曲線問題比較特殊，很多參考書上均有誤解。）若M、N在雙曲線同一支上，MNepep2ab21 ecos1 ecos(222,)a c

5、cos若M、N在雙曲線/、同支上，MNepep2ab21 ecos1 ecos222c cos a利用極坐標(biāo)解圓錐曲線題設(shè)雙曲線口J = ig >o, i>c)b2，其中兩焦點坐標(biāo)為直線？的傾斜角為 "，交雙曲線于 A B兩點，求弦長|AB| 。bbarctan - <a <環(huán)-arctan 解：（1）當(dāng) 笳a時，（如圖2）直線與雙曲線的兩個交點 A、B在同一交點上，連同A F/,設(shè)因周=心|尸閏=> ,由雙曲線定義可得氏川加:貓氏年出+尸，由余弦定理可得爐+ （2獷萬工08 = （/+廣工-y - 整理可得同理 厘-C*COE 口，則可求得弦長圖35

6、/ 110 < or < arctan 江一 arctan - u 以兄（2）當(dāng)厘或金時，如圖3,直線l與雙曲線交點 A B在兩支上，連同A F聲設(shè)出山”|尻樂引則|用W + X隨即一一冽由余弦定理可得” + 3'=+,y2 +Qs)，-2y-2c- cos(腰-oj) = (y- 2s)”利用極坐標(biāo)解圓錐曲線題x ! y -整理可得叮一。03）一厘，則因此焦點在X軸的焦點弦長為（時ctan2<o兀一隙”出2）a建(0 < ci < arctan 士 或宓-arctan。) a同理可得焦點在 y軸上的焦點弦長公式/ 一鼻 T<2、(0 er <

7、 arctan 或笈-arctan < g < jtj hh(arctan< a c 用 一ar clan?)其中a為實半軸，b為虛半軸，c為半焦距，I1為AB的傾斜角。3、拋物線中，MN| 一p1 cosp1 cos( )2p. 2 sin9 / 11口FC" 0）若拋物線尸二次式P:0；與過焦點2 '的直線?相交于A、B兩點，若，的傾斜角為& ,求弦長|AB| ?（圖4）解：過A、B兩點分別向x軸作垂線山東以瓦，星為垂足，設(shè)第上汽，|網(wǎng)= pp則點A的橫坐標(biāo)為2，點B橫坐標(biāo)為2,由拋物線定義可得pppP一 + 工 C0£ H+二工1-V

8、 - COS £3 4* - = V222 z 2/_ P _ Pk - y -即 1 - C8£Z 1 十103czpp2p 2pxry =h=力貝u1 - 匚口叩 1 + C0S0! 1- cos a sin a同理產(chǎn)=2#的焦點弦長為sin ax = 2py的焦點弦長為|第二必co£ a ,所以拋物線的焦點弦長為焦點在辭由上） sic a.gL （焦點科由上）bcos a例2.已知拋物線y2=2px （p>0）,過其焦點且斜率為k的直線交拋物線于 A, B兩點,求AB長.22練習(xí)1:.過雙曲線x.y 1的右焦點，引傾斜角為 一的直線，交雙曲線與 A、B

9、兩點, 453求 | AB |解：根據(jù)題意，建立以雙曲線右焦點為極點的極坐標(biāo)系即得2 3cosA( i，-),B( 22 3cos3一I3)807附錄直角坐標(biāo)系中的焦半徑公式設(shè)P （x,y）是圓錐曲線上的點，1、若Fi、F2分別是橢圓的左、右焦點，則 |PFi| a ex, PF a ex;2、若Fi、F2分別是雙曲線的左、右焦點，當(dāng)點P在雙曲線右支上時，|PF1ex a, PF2| ex a;當(dāng)點P在雙曲線左支上時，|PF1 a ex, |PF2 a ex；3、若F是拋物線的焦點，|PFx -P .利用弦長求面積22例3.設(shè)過橢圓 -y- 1的右焦點的弦 AB=8 ,求三角形AOB的面積。2

10、516褥國焦點弦長為工r i .其中為直線傾斜角 丁 - L £2ab _160c cosi &2 5 - 9 cos 2 &而一點。在4方上的有代度為。產(chǎn)，sitiS鴕出它為Sxa=2 3所 ff=2xg 2 = 82練習(xí)2. （08年海南卷）過橢圓 工52匕 1的焦點F作一條余率為2的直線與橢圓交于 4A, B兩點，O為坐標(biāo)原點，求 AOB的面積.簡解：首先極坐標(biāo)方程中的焦點弦長公式|AB| 2ep 2 求弦長，然后利用公式1 e cos-1-Saob - |AB|OF |sin AFO直接得出答案。2練習(xí)3. （2005年全國高考理科）已知點F為橢圓y2 1的左

11、焦點.過點F的直線L,與橢2圓交于P、Q兩點，過F且與l1垂直的直線）交橢圓于M、N兩點，求四邊形PMQN面 積的最小值和最大值利用極坐標(biāo)解圓錐曲線題13 / 11解析：以點F為極點，建立極坐標(biāo)系，則橢圓的極坐標(biāo)方程為:2V1.21 cos2設(shè)直線li的傾斜角，則直線12的傾斜角為900,由極坐標(biāo)系中焦點弦長公式知:|PQ|、21121 -cos2| MN |用他們來表示四邊形的面積S 1|PQ|MN |12-cos 2900)即求-12 161 sin2 21 1sin2211.2 sin2 42cos1 sin2 22 16的最大值與最小值由三角知識易知：當(dāng) sin 21時，面積取得最小值

12、 16；當(dāng)sin2 0時，面積取得最大9利用弦長公式解決常量問題2x-2例4.過橢圓ab21 (ab 0)的左焦點F,作傾斜角為60的直線1交橢圓于A、B兩點，若FA2FB,求橢圓的離心率.簡解：建立極坐標(biāo)系，然后利用等量關(guān)系,可很快求出離心率。設(shè)橢圓的極坐標(biāo)方程為FAecos1 ecos600,fbecos2400練習(xí)4.求過橢圓3 cos的左焦點,且傾斜角為一的弦長4AB和左焦點到左準(zhǔn)線的距離。解：先將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式:_1 cos3則離心率e13'所以左焦點到左準(zhǔn)線的距為2。設(shè)人（1,）,B（ 2,也），代入極坐標(biāo)方程，則弦長 44AB 1（3）定值問題3 cos- 3 cos4

13、42417例5.拋物線 y2 2 Px（p 0）的一條焦點弦被焦點分為a,b的兩段，證明:解：以焦點F為極點，以 FX軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則拋物線的極坐標(biāo)方程為設(shè) A(a, ), B(b, ) 1 cos將A,B兩點代入極坐標(biāo)方程，得-,b P1 cos 1 cos( )則1 1 = 1 c0s3s）=2 （定值）a b pp p點睛：引申到橢圓和雙曲線也是成立的。,112推論：若圓錐曲線的弦 MN經(jīng)過焦點F,則有MFNFep例6.經(jīng)過橢圓的的焦點作兩條相互垂直的弦AB和弦CD,求證1AB1CD為定值。證明：以橢圓的左焦點建立極坐標(biāo)系，此時橢圓的極坐標(biāo)方程為又設(shè)1 ecos31AB1 =2-

14、e2CD - 2epA 1, 1 ,B 2, +,C 3,-+ ,D4,3r則代入可得| AB|2ep 2，| AB|2ep 2 則1 e cos1 e sin注釋。此公式對拋物線也成立，但對雙曲線不成立。注意使用的范圍。推廣1若經(jīng)過橢圓的中心做兩條相互垂直的弦，倒數(shù)和也為定值。需要以原點為極點建立 極坐標(biāo)方程。推廣2若不取倒數(shù)，可以求它們和的最值。22點F是其左焦點，在橢圓上任例7. （2007重慶理改編）中心在原點O的橢圓 1 ,36 27取三個不同點Pi,P2扃使/P1FP2 ZF2FP3/P3FP11200 .1證明：FP11FP21 為定值，并求此定值.FP3解析：以點F為極點建立極

15、坐標(biāo)系，則橢圓的極坐標(biāo)方程為:9,設(shè)點P1對應(yīng)2 cos的極角為，則點P2與P3對應(yīng)的極角分別為1200、1200,已、P2與P3的極徑就分別是| FP1192 cosEl92 cos( 1200)與尸3|92 cos(1200)FP11FP2FP3cos92 cos(1200)2 cos( 1200),而在二角函9數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們知道cos cos(1200) cos(120°) 0,因此FP11_FP2FP3為定值3點睛：極坐標(biāo)分別表示| FP1 |、| FP2 |與|FP31,這樣一個角度對應(yīng)一個極徑.就不會象解析幾何那樣，一個傾斜角，對應(yīng)兩個點，同時對應(yīng)兩條焦半徑（極徑） 表示圓錐曲線的優(yōu)點.推廣：若放在拋物線和雙曲線中是否成立呢？,這就是極坐標(biāo)2 x 例8. （2006全國聯(lián)賽江蘇）橢圓2521的右焦點為F, P116P2,P24為24個依逆時針順序排列在橢圓上的點，其中P