橢圓題型方法總結

1、 【學大教育】 吳老師【橢圓題型方法總結】知識要點一、橢圓的定義 到兩個定點的距離之和等于定長（定長大于兩個定點間的距離）的動點的軌跡叫做橢圓。即： 二、橢圓的方程。 （1）標準方程：（）或（）（其中，） （2）一般方程： 或三、橢圓的幾何性質 標準方程（）（）圖形F1F2MyxOyxOF2F1M性質范圍對稱性關于x軸、y軸和原點對稱頂點A1(-a,0)，A2(a,0) B1(0,-b)， B2(0,b)A1(0,-a)， A2(0,a) B1(-b,0)， B2(b,0)焦點F1（c，0）、F2（c，0）F1（0，c）、F2（0，c）兩軸長軸長2a，短軸長2b焦距離心率 通徑【易錯點】：對于

2、橢圓定義的把握要明確以下幾點：（1）沒有“平面內”這個條件，則是橢球而不是橢圓；（2）到兩定點F1、F2的距離之和為常數(shù)，常數(shù)必須要大于|F1F2|.【易忽視點】：對于確定哪種形式的標準方程則要看焦點的位置，若焦點在x軸上則x2的分母大，若焦點在y軸上則y2的分母大.【常用的思想方法】：方程的思想，解決橢圓問題的實質是確定a,b,c的關系（方程），求a,b,c的方法是列方程組求解；數(shù)形結合的思想，充分運用幾何圖形所蘊藏的性質，注意觀察分析。題型方法講解（一）橢圓的定義及標準方程例1、已知ABC的頂點B、C在橢圓y21上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則ABC的周長是（

3、 ）（A）2 （B）6 （C）4 （D）12【析】通過觀察分析，充分巧妙利用定義（“”）是解決問題的關鍵例2、如圖，把橢圓的長軸分成等份，過每個分點作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個點，是橢圓的一個焦點，則 .【析】通過觀察分析，利用對稱性并結合定義處理。例3、如果表示焦點在軸上的橢圓，那么實數(shù)的取值范圍是（ ）A B C D【析】一般方程標準化；焦點在y軸上則y2的分母大例4、已知方程表示橢圓，求的取值范圍?！疚觥坑^察分析橢圓方程的特征：x2 和y2的分母均為正，且不相等（若相等即為圓的方程）。例5、已知4，則曲線和有相同的（ ）A. 長軸和短軸 B. 焦點 C. 離心率 D. 焦距【析】通過

4、觀察分析，充分把握平方關系“” 是解題的關鍵。例6、根據下列條件分別求橢圓的標準方程：（1） 中心在原點，對稱軸為坐標軸，離心率為，長軸長為8；（2） 橢圓經過和【析】求橢圓標準方程常用待定系數(shù)法，若不知道焦點位置，通常設方程為，解題的關鍵是建立方程組?！咀兪剿伎肌?. ABC兩個頂點坐標是A（4，0）、B（4，0），周長是18，則頂點C的軌跡方程 .2、已知M為橢圓上一點，為橢圓的一個焦點，且,N為 中點，則的長為 .3、已知橢圓，長軸在軸上，若焦距為4，則 .4、（2008浙江理12）已知為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于A、B兩點.若，則=_.5、（2009陜西卷文）“”是“方程”表示焦

5、點在y軸上的橢圓”的_. A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 6、（2009北京文、理）橢圓的焦點為，點P在橢圓上，若，則 ；的大小為 .7、（2009廣東卷理）巳知橢圓的中心在坐標原點，長軸在軸上，離心率為，且上一點到的兩個焦點的距離之和為12，則橢圓的方程為 8、橢圓有一個光學性質：光線由一個焦點射出經橢圓壁反射后必然經過另一個焦點?，F(xiàn)有一個橢圓形的臺球桌，橢圓方程為（），一個球由該橢圓的一個焦點處擊出，經桌壁反彈后又回到起點，則球所走的路程為（ ）A B.C. D.以上結果皆有可能9、已知橢圓（）的離心率為，且經過 （1）求橢圓的方程 （2

6、）設是橢圓的左焦點，判斷以為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關系并說明理由。10、（2010課標全國）已知為橢圓 （）的左右焦點，設過斜率為1的直線與E相較于A、B兩點。且成等差數(shù)列(1)求橢圓的離心率。(2)設點滿足，求橢圓的方程。11、（2010安徽理數(shù)）19、（本小題滿分13分）已知橢圓經過點，對稱軸為坐標軸，焦點在軸上，離心率。 ()求橢圓的方程；()求的角平分線所在直線的方程；()在橢圓上是否存在關于直線對稱的相異兩 點？若存在，請找出；若不存在，說明理由。（二）橢圓的幾何性質的考查（1）橢圓的幾何性質的靈活運用 例1、在平面直角坐標系中，已知頂點和，頂點在橢圓上，則 .【析】根

7、據標準方程確定a,b,c的值，并結合正弦定理“”的性質“”即可。 例2、橢圓的兩個焦點為，過作垂直于軸的直線與橢圓相交，一個交點為P，則等于（ ） A B. C. D.4【析】掌握橢圓通徑長并結合橢圓定義即可解決（2）離心率的求法橢圓的離心率問題，通常有兩種處理方法：求，求，再求比.數(shù)形結合，充分利用圖形蘊藏的數(shù)量關系，含和的齊次方程，再化含的方程，解方程即可.例1、如圖，直線過橢圓的左焦點F1和 一個頂點B，該橢圓的離心率為A B C D例2、設橢圓的兩個焦點分別為F1、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是( )A. B. C. D. 例3

8、、設F1、F2為橢圓的兩個焦點，以F2為圓心作圓F2，已知圓F2經過橢圓的中心，且與橢圓相交于M點，若直線MF1恰與圓F2相切，則該橢圓的離心率e為（ ）A. 1 B.2 C. D.【變式思考】1、（2010廣東文數(shù)）若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是（ ） A. B. C. D. 2、（2009江西卷理）過橢圓()的左焦點作軸的垂線交橢圓于點，為右焦點，若，則橢圓的離心率為（ ） A B C D 3、已知為橢圓 （）的左右焦點，以為邊作正三角形。若橢圓恰好平分正三角形的另外兩條邊，則橢圓的離心率為（ ） A B C D 4、(2008湖北卷10)如圖所示，“

9、嫦娥一號”探月衛(wèi)星沿地月轉移軌道飛 向月球，在月球附近一點軌進入以月球球心為一個焦點的橢圓軌道繞月飛行，之后衛(wèi)星在變點第二次變軌進入仍以月球球心為一個焦點的橢圓軌道繞月飛行，最終衛(wèi)星在點第三次變軌進入以為圓心的圓形軌道繞月飛行，若用和分別表示橢軌道和的焦距，用和分別表示橢圓軌道和的長軸的長，給出下列式子：; ; ; .其中正確式子的序號是 （ ）A. B. C. D. 5、（2008江蘇）在平面直角坐標系中，橢圓的焦距為2，以O為圓心，為半徑的圓，過點作圓的兩切線互相垂直，則離心率= （3） 焦點三角形面積公式：例1、 已知橢圓，為橢圓上任一點，求證:例2、設是橢圓的兩個焦點，點在橢圓上，且，

10、求的面積。例3、已知橢圓的焦點為F1、F2，點M在橢圓上且則點M到x軸的距離為（ ）A B C D例4、（2009年上海卷理）已知、是橢圓（0）的兩個焦點，為橢圓上一點，且.若的面積為9，則=_. 例5、若點在橢圓上，、分別是橢圓的兩焦點，且，則的面積是（ ）A. 2 B. 1 C. D. 例6、如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，點P在橢圓上，POF2是面積為的正三角形，則b2的值是 . (4)有關大小討論的問題例1、橢圓的焦點、，點為其上的動點，則使得的點的個數(shù)為（ ）A. 0 B.1 C. 2 D. 4例2、橢圓的焦點、，點為其上的動點，當為鈍角時,點 橫坐標的取值范圍是 。例3、已

11、知、是橢圓（0）的兩個焦點，為橢圓上一點，且.求橢圓離心率的取值范圍。例4、設P是橢圓（ab0）上的一點，F(xiàn)1、F2是橢圓的焦點，且F1PF2=90°，求證：橢圓的率心率e例5、（2008江西文、理科7）已知F1、F2是橢圓的兩個焦點滿足·0的點M總在橢圓內部，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）A(0，1)B(0，C(0，)D，1)（三）點、線與橢圓的位置關系 （1）位置關系的討論問題點與橢圓的位置關系： 在橢圓上。在橢圓外。在橢圓內。研究直線與橢圓位置關系的問題往往轉化為研究方程解得問題，要回根據韋達定理和判別式解決問題。例1、當為何值時，直線與橢圓相交？相切？相離？例2、已

12、知以F1（2,0），F(xiàn)2（2,0）為焦點的橢圓與直線有且僅有一個交點，則橢圓的長軸長為 （ ）A. B. C. D.例3、直線與橢圓恒有公共點，則b的取值范圍是（ ）A（0，1）B（0，5）CD例4、設橢圓的離心率為，右焦點為，方程的兩個實根分別為和，則點（）必在圓內必在圓上必在圓外以上三種情形都有可能（2）弦長公式：例1、已知斜率為1的直線過橢圓的右焦點F2，交橢圓于A、B兩點，求：（1）弦長|AB|；（2）ABF1的面積。例2、 是橢圓的兩個焦點，為橢圓上一點，且，則的面積為（ ）A B C D例3、過橢圓的右焦點作一條斜率為2的直線與橢圓交于兩點, 為坐標原點, 則的面積為 . 例4、A

13、B是過橢圓的一個焦點F的弦，若AB的傾斜角為，求弦AB的長例5、（2008北京文科19）已知ABC的頂點A，B在橢圓上，C在直線l：y=x+2上，且ABl當AB邊通過坐標原點O時，求AB的長及ABC的面積；例6、橢圓與直線相交于兩點，若,且的中點 與橢圓中心連線的斜率為，求實數(shù)的值。例7、若直線y=x+t與橢圓 相交于A、B兩點，當t變化時，求|AB|的最大值（3）與橢圓有關的中點弦問題例1、已知橢圓，求過點且被平分的弦所在的直線方程【分析一】：已知一點求直線，關鍵是求斜率，故設斜率為，利用條件求解法一：設所求直線的斜率為，則直線方程為代入橢圓方程，并整理得由韋達定理得是弦中點，故得所以所求直

14、線方程為【分析二】：設弦兩端坐標為、，列關于、的方程組，從而求斜率：解法二：設過的直線與橢圓交于、，則由題意得得 將、代入得，即直線的斜率為所求直線方程為【說明】：有關弦及弦中點問題常用的方法是：“韋達定理應用”及“點差法” 【變式思考】1、橢圓內有一點P（3，2）過點P的弦恰好以P為中點，那么這弦所在直線的方程為（ ）ABCD 2、過橢圓內一點引一條弦使弦被點平分，求這條弦所在直線的方程3、過點作直線與橢圓交于A，B兩點，若線段AB的中點恰為P點，求AB所在的直線的方程和線段AB的長度4、傾斜角為的直線交橢圓于兩點，求線段中點的軌跡方程5、已知直線y= -x +1與橢圓相交于A、B兩點，且線

15、段AB的中點在直線l:x -2y=0上.（1）求此橢圓的離心率；（2）若橢圓的右焦點關于直線l的對稱點的在圓x2+ y2=4上，求此橢圓的方程.（4）與橢圓有關的最值與取值范圍問題例1、橢圓上的點到直線的最大距離是（ ） A3BCD例2、 求橢圓上的點到直線的距離的最小值例3、直線和橢圓相交于A、B兩點，當m變化時；（1） 求的最大值（2） 求面積的最大值（O是坐標原點）例4、設是橢圓上的一點，是橢圓的兩個焦點，則的最大值為 ；最小值為 ；例5、（2010福建文）11若點O和點F分別為橢圓的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則的最大值為A2 B3 C6 D8例6、已知橢圓的左、右焦點分別為、，過的直線交橢圓于B、D兩點，過的直線交橢圓于A、C兩點，且，垂足為P. （）設P點的坐標為，證明：；（）求四邊形ABCD的面積的最小值?！咀兪剿伎肌?、橢圓的點到直線的距離最大時，點的坐標是( ) 2、在