微積分課件：4-4函數(shù)的單調(diào)性與凹凸性

1、1 問題的提出問題的提出xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xfabBA若若 在區(qū)間（在區(qū)間（a,b)上單調(diào)上升上單調(diào)上升)(xfy 若若 在區(qū)間（在區(qū)間（a,b)上單調(diào)下降上單調(diào)下降)(xfy 0)( xf4.4函數(shù)的單調(diào)性與凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與凹凸性2 單調(diào)性的判別法定理定理.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上上單單調(diào)調(diào)減減少少在在，那那末末函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)如如果果在在上上單單調(diào)調(diào)增增加加；在在，那那末末函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)如如果果在在）（內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)上上連連續(xù)續(xù)，在在在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy 證證),(,

2、21baxx ,21xx 且且應(yīng)用拉氏定理應(yīng)用拉氏定理,得得)()()()(211212xxxxfxfxf , 012 xx, 0)(),( xfba內(nèi)，內(nèi)，若在若在, 0)( f則則).()(12xfxf .,)(上單調(diào)增加上單調(diào)增加在在baxfy , 0)(),( xfba內(nèi)，內(nèi)，若在若在, 0)( f則則).()(12xfxf .,)(上單調(diào)減少上單調(diào)減少在在baxfy 例例1 1解解. 的單調(diào)性的單調(diào)性判斷函數(shù)判斷函數(shù)xeyx . 1 xey,)0 ,(內(nèi)內(nèi)在在 , 0 y函數(shù)單調(diào)減少；函數(shù)單調(diào)減少；,), 0(內(nèi)內(nèi)在在, 0 y.函函數(shù)數(shù)單單調(diào)調(diào)增增加加注注1:1:要用導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上的

3、符號來判定，而不能用要用導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上的符號來判定，而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號來判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號來判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性).,(: D又又- 3- 2- 11232345注注2 2：函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各：函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)3 單調(diào)區(qū)間求法1、單調(diào)區(qū)間、單調(diào)區(qū)間定義定義: :若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)的分界點(diǎn).,)()(0)(

4、數(shù)的符號然后判斷區(qū)間內(nèi)導(dǎo)的定義區(qū)間來劃分函數(shù)不存在的點(diǎn)的根及用方程xfxfxf2、單調(diào)區(qū)間、單調(diào)區(qū)間的劃分的劃分例例2 2解解.)(32的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間確定函數(shù)確定函數(shù)xxf ).,(函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?0(,32)(3 xxxf.,0導(dǎo)數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)不存在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0)( xf上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在), 0 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) x0, 0)( xf上單調(diào)減少；上單調(diào)減少；在在0 ,(單調(diào)區(qū)間為單調(diào)區(qū)間為，0 ,( )., 0 32xy 例3：的單調(diào)區(qū)間求函數(shù)x1x)x(f2解：1）定義域?yàn)?-、-1)（-1、+).2)x1 ()2x(x)x( f2）020

5、)( 21xxxf、得令3)列表:(-、-2)+-20（-1、0）-00+(0、+)4） 由表可知函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(-、-2)(0、+) 單調(diào)減區(qū)間為（-2、-1）（-1、0）。xyy（-2、-1）-4 單調(diào)性的應(yīng)用單調(diào)性的應(yīng)用例例4 4證證.132,1成立成立試證試證時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxx )1(111)(22 xxxxxxf則則, 0)(), 1(,), 1 )( xfxf可可導(dǎo)導(dǎo)，且且上上連連續(xù)續(xù)在在上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；故在故在), 1 ,0)1( f時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 xxxxf132)( 設(shè)設(shè)0)( xf.132 ,1成立成立時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxx 5,sin xx例 試證只有一個(gè)實(shí)根。0:x觀察法

6、解：先證存在性01cos)( xxfxxxf sin)(設(shè)設(shè)應(yīng)應(yīng)用用單單調(diào)調(diào)性性）再再證證唯唯一一性性12112211221212( ) : ,., ,()()()1, ,.f xabRxxabfxxf xf xfab設(shè)函數(shù)如果不等式對于滿足的任意非負(fù)實(shí)數(shù)和都成立 則稱在上為凸 函數(shù)凸性凸性5函數(shù)的凸性函數(shù)的凸性1x2xxx)( xfy yoAB12112211221212( ) : ,., ,()()()1, ,.f xabRxxabfxxf xf xfab設(shè)函數(shù)如果不等式對于滿足的任意非負(fù)實(shí)數(shù)和都成立 則稱在上為凹函數(shù)凹凹函函數(shù)數(shù)yxo1x2xx凹凹的的（上上凸凸）)(xfy AB定義定義

7、121212( )( , ),( , )()(),(),22( )( , );f xa ba bxxf xf xx xff xa b設(shè)在內(nèi)連續(xù) 如果對內(nèi)任意兩點(diǎn)恒有那末稱在內(nèi)的圖形是凸的121212( , ),()()(),22( )( , );a bx xxxf xf xff xa b如果對內(nèi)任意兩點(diǎn)恒有那末稱在內(nèi)的圖形是凹的( )ln( , )( , ),0,0.f tttx yy xxy在或是凸的)2()()(21yxfyfxf 于是于是,2ln2lnln21yxyxyyxx 即即.2ln)(lnlnyxyxyyxx 即即例例6 6)., 0, 0( ,2ln)(lnlnyxyxyxyx

8、yyxx 證明不等式證明不等式證證),0(ln)( ttttf令令, 1ln)( ttf則則, 01)( ttf)(xfy 1x2xxxyo都都有有及及必必要要條條件件是是上上為為下下凸凸的的充充分分在在函函數(shù)數(shù),:,)(212121xxxxxbaxxbaxf 性質(zhì)：性質(zhì)：xxxfxfxxxfxf 2211)()()()().(),()(:)(,),(,)(非非增增內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)非非減減在在函函數(shù)數(shù)的的充充分分必必要要條條件件是是上上凸凸為為下下凸凸在在則則可可導(dǎo)導(dǎo)開開區(qū)區(qū)間間在在連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)baxfbafbabaxf 凸性的判定凸性的判定定理定理1：( 用一階導(dǎo)數(shù)判定凸

9、性用一階導(dǎo)數(shù)判定凸性 )證證 必要性必要性上上為為下下凸凸函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè),)(baxf212121:,xxxxxxbaxx 且且有有性性根根據(jù)據(jù)極極限限的的保保號號都都可可導(dǎo)導(dǎo)與與在在因因?yàn)闉?)(21xxxf2211)()(lim)()(lim11xxxfxfxxxfxfxxxx 21211)()()(xxxfxfxf 即即2211)()()()(xxxfxfxxxfxf 有有2211)()(lim)()(lim22xxxfxfxxxfxfxxxx 也也有有)()()(21212xfxxxfxf 即即)()(21xfxf 于于是是有有2121,)(xxxbaxxx 且且充分性充分性

10、有有滿滿足足存存在在根根據(jù)據(jù)微微分分中中值值定定理理,:,221121xxx )()()(222 fxxxfxf )()()(111 fxxxfxf )()(,21 ff 有有由由已已知知2211)()()()(xxxfxfxxxfxf 因因此此有有.,)(,下下凸凸的的上上是是在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)這這就就是是說說baxf定理定理2：( 用二階導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的凸性用二階導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的凸性 ).0)(0)(:)(,),(,)( xfxfbafbabaxf的的充充分分必必要要條條件件是是函函數(shù)數(shù)上上凸凸為為下下凸凸在在則則二二階階可可導(dǎo)導(dǎo)內(nèi)內(nèi)在在上上連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)定理定理3：( 用切線位置

11、判定函數(shù)的凸性用切線位置判定函數(shù)的凸性 )()()(,:,),(,)(0000 xxxfxfxfbaxbafbabaxf 有有分分必必要要條條件件是是為為下下凸凸函函數(shù)數(shù)的的充充在在則則可可導(dǎo)導(dǎo)間間在在開開區(qū)區(qū)連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)切線位于切線位于曲線下方曲線下方證證 必要性必要性為為下下凸凸函函數(shù)數(shù)假假設(shè)設(shè) f有有且且,1010 xxxbaxxx 010111)()()()(xxxfxfxxxfxf )()()(00001xfxxxfxfxx 令令)()()(000 xxxfxfxf 充分性充分性曲曲線線的的切切線線方方程程為為,0bax 0)()()()()(,000 xxx

12、fxfxfxyxfbax有有若若)()()(000 xxxfxfxy )()()(,0000 xfxxxfxfxx 有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng))()()(,0000 xfxxxfxfxx 有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)有有且且,2121xxxbaxxx 2211)()()()(xxxfxfxxxfxf 定義:若曲線y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)位于其切線的上方.則稱該曲線在此區(qū)間內(nèi)是凸的,此區(qū)間稱為凸區(qū)間. 若曲線位于其切線的下方,則稱該曲線在此區(qū)間內(nèi)是凹的,此區(qū)間稱為凹區(qū)間.xyo123abxyo123切線刻畫凸性ab凸型曲線:切線的斜率隨著X的增大而增大.凹型曲線:切線的斜率隨著X的增大而減小.x1x2x3x1x2x300006

13、.(,()( ),(,()( ).xf xyf xxf xyf x拐點(diǎn)定義 設(shè)點(diǎn)是曲線上的一個(gè)點(diǎn)，在該點(diǎn)兩側(cè)曲線凸性相反 則稱點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn)0 xxy)(,(00 xfxo)(xfy 定理定理（拐點(diǎn)必要條件）（拐點(diǎn)必要條件）. 0)(,)()(,(,)(000 xfxfxfxxf則則有有拐拐點(diǎn)點(diǎn)的的為為若若有有二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)連續(xù)曲線y=f(x)上凹的曲線弧和凸的曲線弧的分界點(diǎn)稱為拐點(diǎn).證證.0)(.)()(,),(,),(,)()(,(00000000 xfxfxxffxxfxxxfxfx所所以以有有二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在處處取取得得極極值值，且且在在單單調(diào)調(diào)非非減減內(nèi)內(nèi)在在非非增增單

14、單調(diào)調(diào)內(nèi)內(nèi)則則在在右右側(cè)側(cè)下下凸凸側(cè)側(cè)上上凸凸不不妨妨設(shè)設(shè)該該點(diǎn)點(diǎn)左左的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)為為 .)()(,(,)(000的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)是是連連續(xù)續(xù)曲曲線線也也可可能能點(diǎn)點(diǎn)不不存存在在若若xfyxfxxf 注意注意: :.)(,(,0000個(gè)個(gè)拐拐點(diǎn)點(diǎn)的的一一是是則則兩兩側(cè)側(cè)異異號號在在若若的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)fxfxxfxf 定理定理2（拐點(diǎn)的充分條件）（拐點(diǎn)的充分條件）例例7 7.3的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)求求曲曲線線xy 解解,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,3132 xy,9435 xy.,0均不存在均不存在是不可導(dǎo)點(diǎn)是不可導(dǎo)點(diǎn)yyx , 0,)0 ,( y內(nèi)內(nèi)但在但在(,0;曲線在上是凸的, 0,), 0( y內(nèi)內(nèi)在在0,).曲線在上是凹的.)0 , 0(3的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)是是曲曲線線點(diǎn)點(diǎn)xy 例8.判定y=ax+bx+c的凹凸性. (a0)解: 定義域?yàn)?,+)y=2ax+b 當(dāng)a0時(shí)，y0,曲線y=ax+bx+c在(,+)內(nèi)是凸的.當(dāng)a0時(shí)，y0,曲線y=ax+bx+c在(,+)內(nèi)是凹的.注：凹凸性的判定定理的記憶與二次函數(shù)的開口方向相結(jié)合。y=2a例9.求下列曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)