數(shù)學(xué)高考題分類匯編不等式

1、不等式一、選擇題1.(2013 重慶高考理科 T3)J(3 a)(a 6)( 6 a 3)的最大值為()A. 9B.9C.3D.史22【解題指南】直接利用基本不等式求解.【解析】選B.當(dāng)a 6或a 3時，v;(3 a)(a 6) 0,當(dāng)6 a 3時，43 a)(a 6) 3 a a 6號,當(dāng)且僅當(dāng)3 a a 6,即a 3時取等號.2222. (2013 山東高考理科 T 12)設(shè)正實數(shù)x,y,z滿足x2-3xy+4y2-z=0.則當(dāng)xy取得最大值時，2 1 2的最大值為()zx y zA.0B.1C. 9D.34【解題指南】此題可先利用已知條件用x,y來表示z,再經(jīng)過變形, 轉(zhuǎn)化為基本不等式的

2、問題，取等號的條件可直接代入再利用基本不等式求出2 1 2的最值. x y z22x 3xy 4y .【解析】選B.由x2 3xy 4y2 z 0,得z所以xy z當(dāng)且僅當(dāng))y2y2(當(dāng) 1 max .z打，即x2 y時取等號此時z1 2 _2_2_y z 2y y xy2(1 y212(1 ) 4y 2y12y12y1.3. （2013 山東高考文科 T 12）設(shè)正實數(shù)x,y,z滿足x2 3xy 4y2 z 0 ,則當(dāng)上取得最大值時，x 2y z的最大值為（） xyA.0 B.9C.2 D.-84【解題指南】此題可先利用已知條件用x,y來表示z,再經(jīng)過變形，轉(zhuǎn)化為基本不等式的問題，取等號的條

3、件可直接代入x 2y z,進而再利用基本不等式求出x 2y z的最值.【解析】 選C.由x2 3xy 4y2 z 0 , 得 z x2 3xy 4y2.22所以三 3時取得最小值，則 a o 3xy 4y七型3 2” 3 1,當(dāng)且僅當(dāng)W義，xy xy y xy xy x即x 2 y時取等號此時z 2y2,2所以 x 2y z 2y 2y 2y2 4y 2y2 2y 2 y 2 y 2 y 2,當(dāng)且僅當(dāng)y=2-y時取等號.4.（2013 福建高考文科 T7）若2x+2y=1,則x+y的取值范圍是（）A. 0,2B.2,0C.2,D., 2【解題指南】“一正二定三相等"，當(dāng)題目出現(xiàn)正數(shù)，

4、出現(xiàn)兩變量，一般而言，這種題就是在考查基本不等式.【解析】選D. 20 2旺2片1,所以2x+yw與即2x+yW2-2，所以x+y< 4-2.二、填空題5. （2013 四川高考文科T 13）已知函數(shù)f（x） 4x2（x 0,a 0）在 x【解題指南】本題考查的是基本不等式的等號成立的條件，在求解時需要找到等號成立的條件，將X 3代入即可.【解析】由題f3 4x a(x 0, a嘰 根據(jù)基本不等式4x - 4«,XX當(dāng)且僅當(dāng)4x a時取等號，而由題知當(dāng)X 3時取得最小值，即a 36.x【答案】366. (2013 天津高考文科 T設(shè)a + b = 2, b>0,則七號的最

5、小值為【解題指南】將，回中的1由a + b代換，再由均彳1不等式求解.2|a| b'【解析】因為a + b = 2, b>0，所以，回5回L回2 |a| b 4| a| b 4|a| 4|a| bb4|a|a|b1,當(dāng)且僅當(dāng)擊號時等號成立,此時a 2,或a 3,若a 2 ,a4|a|。.所以和勺最小值為時,2|a| b【解題指南】將,回中的1由a + b代換，再由均彳1不等式求解.2|a| b3.4【答案】【解析】因為a + b = 2, b>0，所以1 |a | a b | a| a b |a |2|a|b 4|a| b 4|a| 4|a| ba 2 b |a| 4|a|

6、4|a| b當(dāng)且僅當(dāng)禽我等號成立，此時a 2,23，2,則具4|a|,若a 41|1:.所以湍T取最小值時，7. (2013 天津高考理科 T 14)設(shè)a + b = 2, b>0,貝U當(dāng)a = 上回取得最小值.2.【答案】-228. （2013 上海高考文科 T13）設(shè)常數(shù)a>0.若9x a 1對一切x正實數(shù)x成立，則a的取值范圍為 .【解析】考查均值不等式的應(yīng)用，.一_ 一 ， 一，a2/321由題息知，當(dāng) x 0時，f（x） 9x - 2 9x _ 6a a 1 a -x ' x5【答案】1,）59. （2013 陜西高考文科 T 14）在如圖所示的銳角三角形空地中，

7、欲建一個面積最大的內(nèi)接矩形花園（陰影部分），則其邊長x為(m).【解題指南】設(shè)出矩形的高y,由題目已知列出x, y的關(guān)系式，整理 后利用均值不等式解決應(yīng)用問題.【解析】設(shè)矩形高為y,由三角形相似得： 40y,且x 0, y Q x 40, y 40404040 x y 2jxy,僅當(dāng)x y 20時，矩形的面積s xy取最大值400.【答案】20.不等關(guān)系與不等式一、選擇題1. （2013 北京高考文科 T 2）設(shè)a,b,cG R,且2>>則（）A.ac>bcB.- -C.a2>b2D.a3>b3a b【解題指南】利用不等式的性質(zhì)求解.【解析】選D.y=x3在（-0

8、0,f00）上為增函數(shù)，所以a3>b3.2. （2013 浙江高考文科 T10）設(shè)a,b R,定義運算“A”和“V”如 下：aA b=a；"aVb b，a；"、b, a>b,L a, a>b.若正數(shù) a,b,c,d滿足 abn4,c+dW4,則（）A.aA b>2,cA d<2 B.aA b>2,cVd>2C.aV b>2,cA d< 2 D.aV b>2,cVd>2【解題指南】充分理解新定義的運算根據(jù)它的運算性質(zhì)求解.【解析】 選 C.因為 a A b=mina,b,a V b=maxa,b,又 abn 4

9、,所以 a,b 中至少有一個大于等于2,所以aV b> 2,排除A,B;因為c+dW4,所以c,d 中至少有一個小于等于2,所以cA dW2,故選C.二、填空題3. （2013 浙江高考文科 T16）設(shè) a,b R,若 x>0 時恒有 0Wx4-x3+ax+b W（x2-1）2，則 ab=.【解題指南】由不等式恒成立可取特殊值得到 a,b的關(guān)系，再由不等式 恒成立求得ab.【解析】因為x>0時,0wx4-x3+ax+b w （玄1）2恒成立，所以當(dāng)x=1時,0< a+b< 0 成立，所以 a+b=O,a=-b, x=0 時,CK b< 1,所以-1 waw。

10、,所以原不 等式為 0 < x4-x3+ax-a< (1)2,ax-a < x3-2x2+1,所 以 a(x-1) <2(x2-x-1)(x-1),當(dāng) x>1 時，aWx2-x-1 = x - £ (xn 1)恒成立彳導(dǎo) aw-1;所以24a=-1.當(dāng)x<1時，同理可得a=-1,所以ab-a21.【答案】-1一元二次不等式及其解法一、選擇題1. (2013 重慶高考文科 T7)關(guān)于x的不等式x2 2ax 8a2 0 (a 0)的解集為由，且X2 xi 15 ,則a()A. 5 B.7 C.15 D.15【解題指南】直接求出不等式的解集 根據(jù)x2 x

11、i 15求出a的值.【解析】選A.由題意知，不等式x2 2ax 8a2 0 (a 0)的解集為5(2a,4a),因為 x2 x1 15,所以 4a ( 2a) 15,角牛得 a -.22. (2013 江西高考文科 T 6)下列選項中，使不等式x<3<x2成 x立的x的取值范圍是()A. (, -1) B. (-1, 0) C. (0, 1)D. (1,)【解題指南】轉(zhuǎn)化為不等式組，應(yīng)注意x>0與x<0的區(qū)別.【解析】選A.當(dāng)x 0時不等式化為x2 1,此時無解；當(dāng)x 0時不等x3 1式化為x2 1 ,此時解得x 1.x3 13. (2013 安徽高考理科 T 6)已知

12、一元二次不等式f (x)<0的解集為x|x<-1 或x>l ,則 f(10x)>0 的解集為()2A .x|x<-域x>lg2 B.x卜1<x<lg2 C. x|x>-lg2 D.x|x<-lg2 【解題指南】根據(jù)一元二次不等式、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)進行判斷.【解析】選D。由f(x)<0的解集為x|x<-1或x>：,可得f (x)=-(x- - )(x+1)=-x 2 - x+ ,當(dāng) f (10x)>0 日寸,有 I。<2，即 x < lgJ = - 1g 2。 22224. （2013

13、陜西高考理科T9）在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積不小于300m2的內(nèi)接矩形花園（陰影部分），則其邊長x（單位m）的取值范圍是 （）A.15,20B.12,25C.10,30D.20,30【解題指南】設(shè)出矩形的高y,由題目已知列出x, y的關(guān)系式，整理得x的一元二次不等式，解之可得 x的取值范圍.【解析】選C.設(shè)矩形高為y,由三角形相似得： 40,且x 0,y 0,x 40,y 40, xy 300,整理得4040y x 40,將y 40 x代入xy 300,整理得x2 40x 300 0,解之得10 x 30.5. （2013 大綱版全國卷高考文科 T4）不等式x2 2 2的解集是

14、（）A. -1,1B. -2,2C. -1,0 U 0,1D. -2,0 U 0,2【解題指南】利用絕對值不等式|x| a（a 0）,則a x a,去掉絕對值.【解析】選D.由|x2 2| 2得，2 x2 2 2,即0 x2 4,所以不等 式的解集為-2,0 U 0,2 .二、填空題6. （2013 重慶高考文科 T 15）設(shè)0,不等式8x2 （8sin ）x cos2 0對x R恒成立，則a的取值范圍為.【解題指南】因為不等式恒成立，所以判別式小于等于零，直接求解即可.【解析】因為不等式8x2 (8sin )x cos2 0對x R恒成立，所以 64sin232 cos20,即 64sin2

15、32 64sin20,解得 sin 12因為 0，所以0,-U5；-,【答案】0,-U,667. (2013 上海高考文科 T1)不等式<0的解為 2x 1【解析】x(2x 1) 0 x (0,1)【答案】(0) 28. (2013 廣東高考理科9) 不等式x2 x 2 0的解集為.【解題指南】本題考查二次不等式的解法，注意應(yīng)用口訣“小于取中間”.【解析】x2 x 2 (x 1)(x 2) 0,解得2x1,解集為x| 2 x 1.【答案】x| 2x1.二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題一、選擇題1.（2013 新課標(biāo)全國H高考理科 T9）已知a>0,x,y滿足約束條件x 1x

16、 y 3若z=2x+y的最小值為1,則a=（）y a x 3A. 1 B. 1 C.1D.2 42【解題指南】結(jié)合線性約束條件，畫出可行域，由目標(biāo)函數(shù)取得最小值1,結(jié)合圖形可求得a.【解析】選B.畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=2x+y表示的直線經(jīng)過點A時,z取得最小值，而點A的 坐標(biāo)為（1,-2a）所以2-2a=1,解得a=；,故選B.2. （2013 新課標(biāo)全國H高考文科 T 3）設(shè)x,y滿足約束條件x y 1 0,x y 1 0,則z 2x 3y的最小值是（）x 3,A. 7B. 6C. 5D. 3【解題指南】結(jié)合線性約束條件，畫出可行域，將目標(biāo)函數(shù)平移得最 小值.【解析

17、】選B.由z=2x-3y得3y=2x-z,即y 2x - o作出可行域如圖， 33卜3 巾平移直線y 2x ；由圖象可知當(dāng)直線y ?x 3經(jīng)過點B時，直線 3333y 2x4的截距最大，此時z取得最小值，由xy1 0得x3,即33x3y4B(3,4)，代入直線 z=2x-3y 得 z 3 2 3 46 ,選 B.3. (2013 陜西高考文科 T 7)若點(x,y)位于曲線y =岡與y = 2所圍成的封閉區(qū)域，則2x y的最小值為()A. -6B .-2C. 0D. 2【解題指南】畫出直線圍成的封閉區(qū)域，把求2x-y最小值轉(zhuǎn)化為求 y=2x-z所表示直線的截距的最大值，通過平移可求解.【解析】

18、選A. y |x|與y 2的圖像圍成一個三角形區(qū)域，3個頂點的 坐標(biāo)分別是(0,0),(-2,2),(2,2).在封閉區(qū)域內(nèi)平移直線y=2x,在點(-2,2) 時，2x - y = - 6取最小值.4. (2013 山東高考理科 T 6)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M為不2x y 2 0等式組：x 2y 1 0,所表示的區(qū)域上一動點，則直線 OM斜率的 3x y 8 0最小值為()A.2B.1 C. 1D.-32【解題指南】本題可先根據(jù)題意畫出平面區(qū)域，然后利用數(shù)形結(jié)合找 出斜率的最值.【解析】選C.作出可行域如圖由圖象可知當(dāng)M位于點D處時,OM的斜率最小.由x 2y 1。得 3x y 8 0

19、'x 3 ,即D(3, 1),此時OM的斜率為y 132x y 1 0,5. （2013 北京高考理科 T8）設(shè)關(guān)于x,y的不等式組x m 0, 表 y m 0示的平面區(qū)域內(nèi)存在點P（x°, y°）滿足x°2y0=2,求得m的取值范圍A.B.C.D.【解題指南】作出平面區(qū)域，則區(qū)域的邊界點中有一個在 x0-2y0=2的上方，一個在下方?！窘馕觥窟xC。作出可行域如下圖所示：要使可行域存在，必有m 2m 1,要求可行域內(nèi)包含直線y 2x 1上 的點，只要邊界點（m,1 2m）在直線y 1x 1上方，且（m,m）在直線m 1 2 m,y 1x 1下方，解不等式組

20、1 2m 1m 1,得m< 2.223m1 m 1,2x y 8,6. （2013 四川高考文科T8）若變量x,y滿足約束條件2y x 4,且x 0,y 0,z 5y x的最大值為a,最小值為b,則a b的值是（）A. 48B.30C.24D.16【解題指南】本題考查的是簡單的線性規(guī)劃問題，求解的關(guān)鍵是正確的作出可行域，然后求出最大值與最小值.【解析】選C,作出可行域如圖,結(jié)合圖形可知，當(dāng)y 1x 1z經(jīng)過點A 4,4時，z取最大值16,當(dāng) 55y 1x b經(jīng)過點B 8,0時，z取最小值為-8,所以a b 24,故選C.557. (2013 湖北高考文科 T 9)某旅行社租用A, B兩種

21、型號的客車安排900名客人旅行，a, B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1600元/輛和2400元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛，且B型車不多于A型車7輛.則租金最少為()A. 31200元B. 36000元 C. 36800元D. 38400元【解題指南】利用線性規(guī)劃求解.【解析】選C.設(shè)A型、B型車輛的數(shù)量分別為x, y輛，則相應(yīng)的運營成本為1600x+2400y,依題意，x,y還需滿足：x+y<21, y<x+7,x y 21, y x 7, 36x+60y>900,于是問題等價于求滿足約束條件36x 60y 900,x, y 0,x, y N,要

22、使目標(biāo)函數(shù)z 1600x 2400y達到最小值。作可行域如圖所示，可行域的三個頂點坐標(biāo)分別為 P(5,12),Q(7,14),R(15,6),由圖可知，當(dāng)直線z=1600x+2400y經(jīng)過可行域的點P時直線z=1600x+2400y在y軸上截距一z最小，即z取得最小值.故應(yīng)配備A 2400型車5輛,B型車12輛.Zmin = 1600x+2400y=1600X 5+2400X 12=36800前）.8. （2013 天津高考文科 T2）與（2013 天津高考理科 T2）相同3x y 6 0,設(shè)變量x,y滿足約束條件x y 2 0,則目標(biāo)函數(shù)z=y-2x的最小值為 y 3 0,（）A.-7B.-

23、4 C.1D.2【解題指南】畫出約束條件所表示的可行域，平移直線z=y-2x至截距 最小即可.【解析】選A.由z=y-2x得y=2x+z.作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域ABC.作直線y=2x,平移直線y=2x+z,由圖象知當(dāng)直線經(jīng)過點B時,y=2x+z的截距最小，此時z最小.由x y 2 0,得x 5,代入z=y-2x得z=3-2X5=-7.y 3 0,y 3,所以最小值為-7.x y 2,9. （2013 福建高考文科 T6）若變量x,y滿足約束條件x 1,則y 0,z=2x+y的最大值和最小值分別為（）A.4 和 3B.4 和 2C.3 和 2D.2 和 0【解題指南】找出可行域，將各端點代入

24、求出最值【解析】選B.可行域如圖所示可行域的三個端點為1,0 , 2,0 , 1,1，分別代入可得Zmg=2X1+0=2,Zmax=2X 2+0=4.y 2x10. （2013 湖南高考理科4）若變量x,y滿足約束條件x y 1, y 1則x 2 y的最大值是（）A. -5B. 0C. 5D.-232【解題指南】先作出約束條件對應(yīng)的可行域，再求出頂點坐標(biāo)，然后 找出最優(yōu)解即可y 2x【解析】選C.作出不等式組x y 1 ,表示的平面區(qū)域y 1得到如圖的 ABC及其內(nèi)部，其中 A（- 2，-1），B（1，3），。（2,-1）.設(shè)z=x+2y,將直線 l:z=x+2y進行平移,當(dāng)l經(jīng)過點B時，目標(biāo)

25、函數(shù)z達到最大值，所以z最大值二j3二、填空題11. （2013 新課標(biāo)I高考文科14）設(shè)x, y滿足約束條件11xx3y 0,則z 2X y的最大值為【解題指南】畫出x,y滿足約束條件的可行域，平移目標(biāo)函數(shù)，確定目標(biāo) 函數(shù)取得最大值的位置，求出點的坐標(biāo)，將該點坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)中.【解析】畫出可行域如圖所示，x-y+l -0當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z 2x y過點A（3,3）時，取得最大值，Zmax2 3 3 312. （2013 大綱版全國卷高考文科 T 15）若x、y滿足約束條件0,3y 4,則z x y的最小值為3x y 4,【解析】畫出x、y滿足約束條件的可行域，如圖可知過點a時,目標(biāo)函數(shù)取得最小值

26、，聯(lián)立 J 4,解得31)，所以 Zmin 110.【答案】0.x 0,13. (2013 大綱版全國卷高考理科T 15)記不等式組x 3y 4,所 3x y 4,表示的平面區(qū)域為D.若直線y a x 1與D有公共點，則加勺取值范圍是 .【解析】畫出可行域如圖所示，當(dāng)直線y a(x 1)過點A (0,4)時，a取得最大值為4 ,當(dāng)直線y a(x 1)過點, (1,1)時，a取得最小值為1.所以a的取值范圍為1,4.22【答案】1,4 214.(2013 浙江高考理科 T13)設(shè)z=kx+y,其中實數(shù)x,y滿足x y 2>0,x 2y 4A0,若Z的最大值為12,則實數(shù)k=.2x y 4&

27、lt; 0,【解析】不等式組表示的可行域如圖所示，由z=kx+y可得y=-kx+z,知其在y軸上的截距最大時，z最大，由圖知當(dāng)k< 1且直線過點A(4,4)時,z取最大值12,即4k+4=12所以k=2.2【答案】215.(2013 浙江高考文科 T15)設(shè)z=kx+y,其中實數(shù)x,y滿足x> 2,x 2y 4A0,若z的最大值為12,則實數(shù)k=.2x y 4< 0,【解題指南】根據(jù)不等式組畫出可行域，再把目標(biāo)函數(shù)z轉(zhuǎn)化為在y 軸上的截距.【解析】不等式組表示的可行域如圖所示，由z=kx+y可得y=-kx+z,知其在y軸上的截距最大時，z最大,經(jīng)檢驗-k<0且直線過點A

28、(4,4)時,z取最大值12,即4k+4=12，所以k=2.【答案】216. (2013 江蘇高考數(shù)學(xué)科 T9)拋物線y=x2在x=1處的切線與兩坐 標(biāo)軸圍成的三角形區(qū)域為 D(包含三角形內(nèi)部和邊界).若點P(x,y)是區(qū) 域D內(nèi)的任意一點，則x+2y的取值范圍是.【解題指南】先確定可行域，再通過平移目標(biāo)函數(shù)求范圍 【解析】由y 2x得拋物線y x2在x 1處的切線方程為y 1 2(x 1)即 y 2x 1即得可行域如圖中陰影目標(biāo)函數(shù)z x 2y 2y ；x gz平移目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點A時x 2y最小 經(jīng)過點B時x 2y最大，故x 2y的取值范圍是2,1【答案】22x 2y 8,17. (2013

29、 湖南高考文科 T13)若變量x,y滿足約束條件0 x 4,0 y 3,則x+y的最大值為 【解題指南】先作出約束條件對應(yīng)的可行域，求出頂點坐標(biāo)，然后找 出最優(yōu)解即可。【解析】畫出可行域如圖由x 2y 8,得A（4,2）,目標(biāo)函數(shù)z=x+y可看成斜率為-1的動直線，其縱 x 4,截距越大z越大,數(shù)形結(jié)合可得當(dāng)動直線過點 A時,z最大=4+2=6.【答案】618. （2013 安徽高考文科 T 12）若非負(fù)數(shù)變量x、y滿足約束條件索;y?14則x+y的最大值為【解題指南】 作出可行域，求出最優(yōu)點，得出最大值。2?x =【解析】由眄x-y = -1T3,即點A (2,5),同理可得點B (4,0),然+2y = 4、/_53 3?y ?3可行域如圖陰影所示,5-個7削4,0)二 + 胖 F - U-2-3聞-5由圖可知當(dāng)直線x + y = k經(jīng)過（4,0）時得所求的最大值是4.【答案】4x 0,19. （2013 北京高考文科T 12）設(shè)D為不等式組2x y 0，表x y 3 0示的平面區(qū)域，區(qū)域D上的點與點（1,0）之間的距離的最小值為【解題指南】作出可行域D,然后可以看出點（1,0）到D的距離的最小值為點(1,0)到直線2x-y=0的距離【解析】作出可行域D,點(1, 0)到區(qū)域D上點的最小距離即是點(1,0)到直線2x-y=0的距離，d|2-1-0| 2-5 o