微分的概念性質(zhì)及應(yīng)用

1、圖2-1設(shè)此薄片的邊長為x,面積為A,則A是x的函數(shù):第二章第6節(jié):函數(shù)的微分教學(xué)目的：掌握微分的定義，了解微分的運(yùn)算法則，會(huì)計(jì)算函數(shù)的微分，會(huì)利用微分作 近似計(jì)算教學(xué)重點(diǎn)：微分的計(jì)算教學(xué)難點(diǎn)：微分的定義，利用微分作近似計(jì)算教學(xué)內(nèi)容：1.微分的定義計(jì)算函數(shù)增量 y f xo x f xo是我們非常關(guān)心的。一般說來函數(shù)的增量的計(jì)算是比較復(fù)雜的，我們希望尋求計(jì)算函數(shù)增近似計(jì)算方法。先分析一個(gè)具體問題，一塊正方形金屬薄片度變化的影響，其邊長由Xo變到Xo X （圖問此薄片的面積改變了多少？A x2。薄片受溫度變化的影響時(shí)面積的改變量，可以看成是當(dāng)自變量x自x°取得增量x時(shí)，函數(shù)A相應(yīng)的增量

2、 A,即222A x0x x0 2x0 x x o從上式可以看出，A分成兩部分，第一部分2x0 A是A的線性函數(shù)，即圖中帶有斜線的兩個(gè)矩形面積之和，而第二部分x 2在圖中是帶有交叉斜線的小正方 形的面積，當(dāng) x 0時(shí)，第二部分 x2是比x高階的無窮小，即 x2 0 x。由 此可見，如果邊長改變很微小，即 | x很小時(shí)，面積的改變量 A可近似地用第一 部分來代替。般地，如果函數(shù)y f x滿足一定條件，則函數(shù)的增量y可表示為 其中A是不依賴于 x的常數(shù)，因此A x是x的線性函數(shù)，且它與 y之差y A x 0 x ,是比x高階的無窮小。所以，當(dāng) A 0,且| x很小時(shí)，我們就可近似地用 A x來 代

3、替y。定義 設(shè)函數(shù)y fx在某區(qū)間內(nèi)有定義，x° x及x°在這區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù) 的增量可表示為y A x 0 x ,其中A是不依賴于 x的常數(shù)，而0 x是比x高階的無窮小，那么稱函數(shù) y f x 在點(diǎn)x0是可微的，而A x叫做函數(shù)y f x在點(diǎn)x0相應(yīng)于自變量增量 x的微分， 記作dy ,即dy A x。定理1函數(shù)f x在點(diǎn)x?？晌⒌某浞直匾獥l件是函數(shù) f x在點(diǎn)x?？蓪?dǎo)，且當(dāng)f x在點(diǎn)x0可微時(shí)，其微分一定是dy f x° x。 設(shè)函數(shù)y f x在點(diǎn)x°可微，則按定義有式成立。式兩邊除以 x ,得/ A 3。 xx于是，當(dāng)x 0時(shí)，由上式就得到A li

4、m y f x0。 x 0 x因此，如果函數(shù)f x在點(diǎn)x0可微，則f x在點(diǎn)x0也一定可導(dǎo)（即f x0存在），且A f x0 o反之，如果y f x在點(diǎn)x0可導(dǎo)，即存在，根據(jù)極限與無窮小的關(guān)系，上式可寫成X其中 0 (當(dāng)x 0)。由此又有f Xoy f x0 x x o因 x 0 x ,且不依賴于 x,故上式相當(dāng)于式，所以f x在點(diǎn)x。也是可微的。由此可見，函數(shù)f x在點(diǎn)x0可微的充分必要條件是函數(shù)f x在點(diǎn)x0可導(dǎo)，且當(dāng)f x在點(diǎn)x°可微時(shí)，其微分一定是dy f x0 x。例 1 設(shè) y ex cosx ,求 dy解：dy ex cosx exsinxdx微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用：

5、在f x0 0的條件下，以微分dy f x° x近似代替增 量y f x° x f x0時(shí)，相對(duì)誤差當(dāng) x 0時(shí)趨于零。因此，在| x很小時(shí)，有 精確度較好的近似等式y(tǒng) dy o即 f x0x f x0f x0 x或 f(x) f(x°) f (x°) x特別地，當(dāng)x° 0, x很小時(shí)，有f(x) f (0) f (0)x(3)(3)式是計(jì)算零點(diǎn)附近的函數(shù)值當(dāng)| x很小時(shí)，有下列近似計(jì)算公式：例證明：% x 1 1x。(當(dāng)x很小時(shí))n令 f(x) n 1 xr增大x0值，曲增量從圖1 二11因?yàn)?f(0)1f(0)-(1 x)n |x0 nn由

6、 f(x) f (0) f (0)x故，當(dāng) x很小時(shí)，v11 x 1 -x n例2 一個(gè)充好氣的氣體，r 4ml升空后，因外面氣壓降低，氣球半徑了 10cm,求體積增加了多少？解：因?yàn)閂 4 r33所以 V dv (4 r3)x 4 r2 x3例3求J42的近似值.解設(shè) f(x) Jx,取 x。 4, x 0.2 ,則所以.4.2f(4) f (4)(4.2 4) 2.05或者:2 .微分的幾何意義為了對(duì)微分有比較直觀的了解，我們來說明微分的幾何意義o在直角坐標(biāo)系中，函數(shù) y f x的圖形是一條曲線。對(duì)于某一固定的線上有一個(gè)確定點(diǎn) M x0, y0當(dāng)自變量x有微小x時(shí)，就得到曲線上另一點(diǎn) N

7、x0 x, y0y .2-2可知：MQ x ,QN y。過M點(diǎn)作曲線的切線，它的傾角為 ，則QP MQ tan x f x0 ,dy QP 0由此可見，當(dāng)y是曲線y f x上的M點(diǎn)的縱坐標(biāo)的增量時(shí)，dy就是曲線的切線上M點(diǎn)的縱坐標(biāo)的相應(yīng)增量。當(dāng)| x很小時(shí)，| y dy比x小得多。因此在點(diǎn)M 的鄰近，我們可以用切線段來近似代替曲線段。3 .微分運(yùn)算法則及微分公式表由dy f xdx,很容易得到微分的運(yùn)算法則及微分公式表（當(dāng) u、v都可導(dǎo)）：du vdu dv ,d Cu Cdu ,d u vvdu udv ,u vdu udvd -2°v v微分公式表：,i.d x x dx ,d

8、sin x cosxdx ,d cosx sin xdx ,2d tan x sec xdx ,2 d cot x csc xdx ,d secx secx tan xdx ,d cscx csc x cot xdx ,d axax In adx ,d ex exdx ,.1,d log a x dx ,xln a1 d ln x - dx , xd arcsin x1dxJ x2d arccosxd arctanxd arc cotx-dx ,1 x2-dxo1 x2注：上述公式必須記牢，對(duì)以后學(xué)習(xí)積分學(xué)很有好處，而且上述公式要從右向左 背。例如:、dx xd1,x.1.dx d ax b

9、, av 1 va dx da。Ina4.復(fù)合函數(shù)微分法則與復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則相應(yīng)的復(fù)合函數(shù)的微分法則可推導(dǎo)如下:設(shè)y fu及u x都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y f x的微分為dy yxdx f u x dx。由于 xdx du,所以，復(fù)合函數(shù)y f x的微分公式也可以寫成dy f u du 或 dy yudu。由此可見，無論u是自變量還是另一個(gè)變量的可微函數(shù)， 微分形式dy f u du 保持不變。這一性質(zhì)稱為微分形式不變性。這性質(zhì)表示，當(dāng)變換自變量時(shí)（即設(shè) u 為另一變量的任一可微函數(shù)時(shí)），微分形式dy f u du并不改變。例4求y與的微分sin x sin xsin x角單 dy d(e ) e d sin x e cosx