淺談二次型理論一定理在中學數(shù)學中的應用 - 成長博客

1、淺談二次型理論一定理在中學數(shù)學中的應用泉州第十五中學 張上建高等數(shù)學與初等數(shù)學有著密切的聯(lián)系，其中有些基本原理對中學數(shù)學問題的解決有著很強的指導意義，能對問題給出一般性的解決方法，便于掌握。本文旨在探討二次型理論一定理在中學數(shù)學中的應用。一、定理在北京大學數(shù)學力學系編高等代數(shù)教科書第375頁有這么一個結(jié)論：設 f ( x1 , x2 , xn ) = XAX 是一實二次型，1，2 ，n 是A的特征多項式的根，且 1 2 n。則1XX XAX n XX，且等號成立的充分條件是 X 分別取 1 和n所對應的特征向量。證明從略。二、定理應用例1、求 f ( x1 .x2 .x3 )=2x12 + 5

2、x22 +5x32+ 4x1x2 - 4x1x3 - 8x2 x3 在條件x12 + x22 + x32 =1下的最大值與最小值。解：因為 f ( x1 .x2 .x3 )= ( x1 .x2 .x3 ) 令 A = I=由| I - A |= =0，得( - 1 )2( -10 ) =0所以 1 = 2 =1， 3 =10，根據(jù)定理的結(jié)論 1XX f ( x1 .x2 .x3 ) 3 XX 即x12 + x22 + x32 2x12 + 5x22 + 5x2+ 4x1x2 - 4x1x3 - 8x2x3 10(x12 + x22 + x32) 而x12 + x22 + x32 =1，故 f

3、( x1 .x2 .x3 ) 的最大值為10，最小值為1。例2設 x2+ xy + y2=19，求 x2 + y2 的最值。解：令 f ( x , y ) = x2 + xy + y1 = X XA= ,I=由|I-A|= =0， 得1= ，2=3/2，根據(jù)定理的結(jié)論，得1XX f ( x , y ) n XX,而 f ( x , y ) =19故( x2 + y2 ) 19( x2 + y2 ) 故 x2 + y2 的最大值為38，最小值為 。例3：求 f ( x , y ) x2 +4xy+2y2 在 ( x , y ) | x2 +y2 1，y0的最大值與最小值（1984年上海中學生數(shù)學

4、競賽題）解： f ( x , y ) =( x , y ) , A =由| I - A | = =0 得1= 2=根據(jù)定理的結(jié)論有： 1XX f ( x，y) 2 XX ( x + y ) x2 +4xy+2y2 (x+y)而x + y 1，y0 故 f ( x，y) 的最大值為，最小值為 例4：設 x , y , z , w 是不全為零的實數(shù)。求：S= 的最大值（85年奧地利波蘭聯(lián)合數(shù)學競賽題）解：令 f ( x , y , z , w ) =xy+2yz+zw 則f ( x , y , z , w )= ( x , y , z , w ) 這里 A= 由| I - A | =0，易得A的最

5、大特征值為所以依定理，得： f ( x , y , z , w ) ( x2+y2 + z2+ w2 )故S=的最大值是例5：已知三角形三邊長為 a, b, c, 面積為S,求證：a2+b2+c2 S ，并問何時等號成立。（第三屆MIO競賽題）證：依正弦定理，有：S=a b sinc=b c sinA=a c sinB令f ( a, b, c)=ab+bc+ac=( a, b, c) =2S ( )A= ,由| I - A |= =0易得=1是A的最大特征值，根據(jù)定理，有f ( a, b, c)1（a2+b2+c2）故 a2+b2+c22S（）又在ABC中，sinA0, sinB0,sinC0,且有sinAsin BsinC所以 3 3 =故 a2+b2+c22S（）2S= S 上式等