《連續(xù)體力學(xué)》習(xí)題及解答41

1、因此 (a)211圖4-1(2) 為坐標(biāo)原點(diǎn)(球心)，取單位球面，采用球坐標(biāo)(圖4-1)，則的分量分別為 (b)在各個(gè)方向上的平均值可表示為將式(a)、(b)代入上式，為單位球面面積，經(jīng)運(yùn)算后，可得 注意到則易于證明 4-9 設(shè)上取駐值，證明 并用Cauchy應(yīng)力的駐值。又在的主方向坐標(biāo)系內(nèi)，證明下式成立。 解 (1) 求記為Lagrange乘子。求的極值等價(jià)于即應(yīng)滿足 (a)式(a)表明，的主值。由式(a)可求出的駐值為 (b)上式表明，有三個(gè)駐值，分別等的三個(gè)主應(yīng)力。這反過來又說明了Cauchy應(yīng)力的主應(yīng)力是法向應(yīng)力的駐值。 由式(a)和(b)又可看出 (2) 在，于是記，則有 (c)再結(jié)

2、合，則可由式(c)解出證畢。根據(jù)以上三式，可在平面上作出三個(gè)圓，即應(yīng)力圓。 4-10 設(shè)方向的應(yīng)力矢，證明方向的分量等于方向的分量。 解 已知點(diǎn)處的Cauchy應(yīng)力張量。于是由于。證畢。 4-11 設(shè)變形體內(nèi)任一點(diǎn)處的Cauchy應(yīng)力張量的分量矩陣為試求切于圓柱面且過點(diǎn)的截面上的應(yīng)力矢、的主應(yīng)力和主方向。 解 將為在點(diǎn)，圓柱面的梯度為因此過點(diǎn)切于圓柱面的截面方向。于是過該點(diǎn)切于圓柱面的截面上的應(yīng)力矢為 主應(yīng)力由解下列特征方程求得式中，代入上式可解出分別將主應(yīng)力代入下式并與聯(lián)立求解，可分別求出對(duì)應(yīng)于主應(yīng)力的主方向，如下易證相互正交。 4-12 設(shè)點(diǎn)處Cauchy應(yīng)力張量為不變的單位矢。如果是自我

3、平衡的，證明 (1) (2) 方向的剪應(yīng)力的平方為 (3) 解 (1) 自我平衡，故有即。 (2) 于是所以 (3) 因?yàn)?，則由上面的結(jié)果可得式中，所以 4-13 如果物體，且處于平衡狀態(tài)；證明 (1) Cauchy應(yīng)力張量的平均為可表示為式中。 (2) 若在。 (3) 若在均為不變的，則 解 平衡方程為上式遍乘上式可寫成其中內(nèi)積分上式，并應(yīng)用Green公式，得到式中是應(yīng)力矢在的方向的分量。將上式的指標(biāo)對(duì)換，并注意到，于是可得或者寫成 (a)證畢。 (2) 在時(shí)，式(a)簡化為()所以 (b) (3) 在式(a)簡化為(，為常數(shù)及)即證畢。 4-14 偶應(yīng)力理論認(rèn)為，在任一物質(zhì)面元上，不僅作用

4、有應(yīng)力矢，而且有偶應(yīng)力矢是二階偶應(yīng)力張量。設(shè)單位質(zhì)量的體力和體力偶分別為；物體處于平衡狀態(tài)。證明，線動(dòng)量守恒方程的局部形式為 (a)角動(dòng)量守恒方程的局部形式為 (b) 解 在線動(dòng)量守恒方程中，不涉及偶應(yīng)力等，因此與沒有偶應(yīng)力存在的情況相同，所以在相關(guān)的Euler型運(yùn)動(dòng)方程中令便得到式(a)。 角動(dòng)量守恒可表示為(對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)取角動(dòng)量) (c)其中因?yàn)?；將上列結(jié)果代回式(a)，得到其局部形式即式(b)。 4-15 設(shè)桿件在參考構(gòu)形內(nèi)長為作用下伸長變形，變形后長為。物質(zhì)和空間坐標(biāo)系重合，試求名義應(yīng)力及Kirchhoff應(yīng)力沿桿長的分量。 解 在現(xiàn)時(shí)構(gòu)形中，Cauchy應(yīng)力分量為，其余為零；此處是采用

5、笛卡爾坐標(biāo)系，是變形后桿中軸向單位面積上的內(nèi)力，是實(shí)際存在的應(yīng)力，有時(shí)稱為真應(yīng)力。 已知。于是上列應(yīng)力常稱為名義應(yīng)力。 又按，有已經(jīng)沒有原來應(yīng)力(內(nèi)力集度)的意義，故有時(shí)稱為偽應(yīng)力。根據(jù)以上分析結(jié)果，人們有時(shí)將分別稱為真應(yīng)力張量、名義應(yīng)力張量及偽應(yīng)力張量。 4-16 試根據(jù)直接導(dǎo)出 (a) 解 首先由 (b) 其次其中用到了式(b)及。將上列結(jié)果代入注意到，就得到式(a)。 4-17 試從現(xiàn)時(shí)構(gòu)形上的運(yùn)動(dòng)方程，導(dǎo)出 解 已知遍乘現(xiàn)時(shí)構(gòu)形上的運(yùn)動(dòng)方程，得到 (a)式中，類似地=；以及于是式(a)可寫成 (b)又已知，所以式(b)可寫成證畢。提示：在以上的運(yùn)算中，作為一個(gè)矢量先同進(jìn)行運(yùn)算，不是對(duì)后

6、面的量加括號(hào)時(shí)，表示將算子作用于括號(hào)中的場量，即對(duì)該場量求導(dǎo)。 例如： 4-18 某物體在參考構(gòu)形內(nèi)的體積為。當(dāng)物體處于平衡狀態(tài)時(shí)，證明 (1) (2) (3) 式中是參考構(gòu)形內(nèi)的面元。 解 (1) ，于是 (2) ，于是由于物體處于平衡狀態(tài)，所以提示，還可如下推導(dǎo)。 (a) (3) 已得，則 (b)于是采用與上面類似的推導(dǎo)過程，可得提示，式(b)也可如下導(dǎo)出或者4-19 試推導(dǎo)用三種應(yīng)力表述的變率型運(yùn)動(dòng)方程，設(shè)參考和瞬時(shí)構(gòu)形的坐標(biāo)系重合。 解 首先推導(dǎo)三種應(yīng)力變率之間的關(guān)系。記的物質(zhì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)。于是由可得 (1)由上式可解出 (2)又由，可得 (3)由上式可解出 (4)此處用到了。 再由，可得

7、 (5)由上式可解得 (6) 下面討論一個(gè)特殊情況，即現(xiàn)時(shí)構(gòu)形與參考構(gòu)形重合，于是，字母指標(biāo)可一律采用小寫(或大寫)字母，以及?；蛘邠Q一種更一般的說法，設(shè)采用流動(dòng)參考構(gòu)形，則都是相對(duì)于流動(dòng)參考構(gòu)形定義的。討論瞬時(shí)構(gòu)形與流動(dòng)參考構(gòu)形重合的特殊情況，即，。在式(1)到(6)中將等，就得到相應(yīng)的(簡化)公式 (7) 下面推導(dǎo)率型運(yùn)動(dòng)方程。在時(shí)刻，Lagrange型運(yùn)動(dòng)方程分別是注意，此處的是與時(shí)間無關(guān)的。將以上兩式相減，且除以，將得到 (8)式(8)是對(duì)時(shí)刻的構(gòu)形建立的，其中已省去了場量。這是對(duì)于應(yīng)力建立的率型運(yùn)動(dòng)方程。 將式(1)代入式(8)，將得到對(duì)應(yīng)力建立的率型運(yùn)動(dòng)方程 (9)式(8)和(9)

8、的分量式分別為 (10)式中用到了。 Cauchy應(yīng)力的率型運(yùn)動(dòng)方程是在時(shí)刻的構(gòu)形內(nèi)建立的，實(shí)質(zhì)上它可看成是以時(shí)刻的構(gòu)形為流動(dòng)參考構(gòu)形，并令瞬時(shí)構(gòu)形與流動(dòng)參考構(gòu)形重合所得到的結(jié)果。為此，在式(8)和(9)中，以等，以，再將式(7)代入式(8)或等價(jià)地式(9)，就得到對(duì)應(yīng)力建立的率型運(yùn)動(dòng)方程 (11)上式是數(shù)值分析中的重要公式。 式(11)也可值接導(dǎo)出如下，Euler型運(yùn)動(dòng)方程為此處，分別建立時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方程，再令兩式相減，得到以，得到 (a)式中是空間時(shí)間導(dǎo)數(shù)，它與物質(zhì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)有如下的關(guān)系于是式(a)可寫作 (b)式中根據(jù)Euler型運(yùn)動(dòng)方程，上式右側(cè)一、三項(xiàng)之和為零。而將以上有關(guān)結(jié)果代入式(b

9、)，得到 (c)可以證明這可用分量式證明如下上式的直接記法為于是式(c)最后變?yōu)榇思词?11)。 式(11)還可如下推導(dǎo)，注意到則Euler型運(yùn)動(dòng)方程可寫成對(duì)上式求物質(zhì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)，得到 (d)式中可以證明實(shí)際上，的分量表示為其直接表示式為于是將以上有關(guān)式代入式(d)，并注意到，我們又得到式(c)，從而可得到式(11)。 提示，此處及以下都不考慮應(yīng)力變率的客觀性問題。 4-20 試推導(dǎo)應(yīng)力率邊界條件 解 設(shè)以為參考構(gòu)形內(nèi)物體邊界的單位法線矢，則用表示的應(yīng)力邊界條件為或者式中是沿坐標(biāo)軸方向的給定的應(yīng)力分量。于是有 (a) 如果要用Cauchy應(yīng)力表示應(yīng)力率型邊界條件，情況將稍復(fù)雜些。應(yīng)力矢為瞬時(shí)構(gòu)形

10、內(nèi)物體邊界的法線矢，它也是隨時(shí)間而變化的。于是有式中(可由式3-6-6及3-7-6以及導(dǎo)出)最后得到 (b) 4-21 試推導(dǎo)Cauchy應(yīng)力增量和Kirchhoff應(yīng)力增量的表達(dá)式。 解 Cauchy應(yīng)力是在瞬時(shí)構(gòu)形內(nèi)定義的(真實(shí)的)應(yīng)力，與參考構(gòu)形無關(guān)，同時(shí)，我們是采用固定的標(biāo)準(zhǔn)正交基，它不隨時(shí)間而變化；因此有 (a) Kirchhoff應(yīng)力與參考構(gòu)形有關(guān)，因此它的增量，亦如Green應(yīng)變的增量，有兩種描述方法。下面將時(shí)刻步。為書寫簡單計(jì)，以下將記作，等等。 TLD法。此法始終相對(duì)于(固定的)參考構(gòu)形進(jìn)行計(jì)算。取時(shí)的構(gòu)形為固定參考構(gòu)形，質(zhì)點(diǎn)的位矢為時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位矢為。于是有 (b)式中Cau

11、chy應(yīng)力分別為由以上兩式相減得到 (c)式中當(dāng)為小量時(shí)，式中。于是 (d)上式是的線性化表達(dá)式。將式(d)代入式(c)，并注意到此處的線性化表達(dá)式又注意到上式最后可寫成 (e)此式與習(xí)題4-19中的表達(dá)式(式6)是一致的。 ULD法。以時(shí)刻的構(gòu)形為流動(dòng)參考構(gòu)形，因此，在上面的結(jié)果中，將改為、。于是由上面的式(c)可得或者 (7)當(dāng)都屬小量時(shí)，有亦為小量，這時(shí)于是在略去二階小量后，由式(f)可得到的線性化公式 (g)上式與習(xí)題4-19中的式(7)一致；但應(yīng)注意在式(7)中，有，及。 下面進(jìn)一步分析TLD法中和ULD法中之間的關(guān)系。此時(shí)式(f)可寫作()按TLD法，有下列關(guān)系將上列后一式中的代入

12、前一式，并注意到經(jīng)運(yùn)算后得到 (h)或 (i) 4-22 試推導(dǎo)用名義應(yīng)力和Kirchhoff應(yīng)力表示的虛功原理(虛位移原理)和虛功率原理(虛速度原理)。解 設(shè)處于平衡(或滿足運(yùn)動(dòng)方程)的物體具有應(yīng)力，作用于物體的外力和慣性力為。物體在參考和現(xiàn)時(shí)構(gòu)形的體積分別為是任意的小量，且在給定位移的邊界。于是外力在上所作的虛功為式中，所以上式中的面積分只在上進(jìn)行。其中于是外虛功為應(yīng)用運(yùn)動(dòng)方程及，最后得到(注意=) (a)式(a)是用名義應(yīng)力表述的虛功原理，它是在物體滿足運(yùn)動(dòng)方程的條件下建立的。反過來，如果式(a)成立，則將上式代入式(a)，得到(注意在)位移的變分是任意的，由上式可得到這表明，如果物體的

13、應(yīng)力和外力滿足虛功原理(式a)，則它滿足運(yùn)動(dòng)方程和應(yīng)力邊界條件。 類似地在現(xiàn)時(shí)構(gòu)形上可建立用Cauchy應(yīng)力表述的虛功原理 (b) 在式(a)中，令，于是注意到是對(duì)稱張量，因此有于是由式(a)可以得到用Kirchhoff應(yīng)力表述的虛功原理如下 (c)式中 如果在虛功原理中，用虛速度是任意選取的虛速度場(或稱為速度的變分)，但在，則可導(dǎo)出虛功率(或虛速度)原理，其推導(dǎo)過程與虛功原理類似。但速度是現(xiàn)時(shí)構(gòu)形內(nèi)的場量，所以(在上)對(duì)應(yīng)于。考慮到于是可以分別得到用Cauchy應(yīng)力和Kirchhoff應(yīng)力表述的虛功率原理如下： (d) (e) (f) 考慮到于是式中，稱為帶權(quán)的Cauchy應(yīng)力，有人也稱為

14、Kirchhoff應(yīng)力。于是式(d)又可寫成 (g) 4-23 試推導(dǎo)虛功率變率原理 解 在虛功率原理(上題的式d、e、f)中，是任意給定與時(shí)間無關(guān)的虛速度場，同時(shí)虛功率原理在任何時(shí)刻都成立，因此它們對(duì)時(shí)間的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)亦成立，即有 (a) (b) (c) 在進(jìn)一步求積分的物質(zhì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)時(shí)，要用到以下各式及 于是有式中 將上列各式代回式(a)，得到 (d) 在式(b)中，有。于是由式(b)可直接得到 (e) 在式(c)中，有所以于是式(c)可寫成 (f)式(d)、(e)、(f)分別是用表述的虛功率變率原理。 4-24 試推導(dǎo)功率平衡方程 解 在一般教材中已經(jīng)介紹了機(jī)械能守恒方程。此處將從虛功率原理導(dǎo)

15、出這個(gè)方程，又稱為功率平衡方程。 設(shè)在現(xiàn)時(shí)構(gòu)形內(nèi)，物體的體積為而在參考構(gòu)形內(nèi)，它們分別記為，于是物體的總動(dòng)能表示為應(yīng)變能率可表示為記外功率為 令質(zhì)點(diǎn)的速度為虛速度，于是習(xí)題4-22中三種表述方法的虛功率原理可統(tǒng)一寫成 (a)上式就是機(jī)械能守恒方程或稱為功率平衡方程。如果體積力有勢，即存在一個(gè)勢函，使得則記又如果(a)簡化為 (b)式(b)稱為總機(jī)械能守恒方程。 4-25 證明 解 在習(xí)題4-19中，已經(jīng)導(dǎo)出(該題式1)于是由于的對(duì)稱部分為所以有或者證畢。 4-26 設(shè)線彈性體處于平衡狀態(tài)，且設(shè)體積力為零，在給定位移的邊界上，上，只承受集中力作用。證明下式成立式中是物體的總余應(yīng)變能率的變分。 解

16、 設(shè)給予物體一虛應(yīng)力場，則外虛余功率為在推導(dǎo)此式時(shí)，已用到(因?yàn)轶w力為零)。由于表面力為集中力，因此或者上式是結(jié)構(gòu)力學(xué)中常用的Castigliano定理。 4-27 Lagrange型應(yīng)變張量為為整數(shù)。證明 解 按定義對(duì)上式求物質(zhì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)，得或者而，代回上式，最后得到 4-28 證明 (a) 解 根據(jù)共軛對(duì)的定義，有式中于是上式對(duì)任何的都成立，由此得到將上式兩側(cè)分別前乘和后乘，然后相減，就得到式(a)。 顯然，由上題的結(jié)果為負(fù)整數(shù)時(shí)的相應(yīng)公式。但這些公式不適用于的情況(見下題)。 4-29 推導(dǎo)的關(guān)系式 解 由，不難得到由上式不難求得顯然在上題所得公式中，令，則可得到上式，因此上題的式(a)適

17、用于為任何整數(shù)。 4-30 推導(dǎo)下列公式 (a)式中。 解 可以按兩個(gè)途徑導(dǎo)出式(a) (1) (b)于是將上式代入式(b)，由于是任意的，可得但上式可寫成證畢。 (2) 已知 (c)式中，代入式(c)，并注意到這是因?yàn)闉榉捶Q的。于是式(c)可簡化成注意到的反稱系數(shù)不能確定，于是由上式只能確定對(duì)稱的系數(shù)，即這表明的對(duì)稱部分，常稱為Biot應(yīng)力張量，有些作者則稱為Jaumann應(yīng)力張量。 4-31 證明對(duì)于所有的正整數(shù)，有下式并導(dǎo)出用在Lagrange主軸的剪切分量。 解 已知(參見習(xí)題4-28) (a)當(dāng)，代回式(a)，得到 (b)式中，于是式(b)又可寫成證畢。 在Lagrange主軸的分量

18、式為設(shè)于是有在上式中令上的分量式。將這些分量式代入式(a)，可得由上式可得。 4-32 設(shè)，此處是Lagrange主軸，是固定的標(biāo)準(zhǔn)正交基，使得證明 (1)式中， (2) 解 (1) 由。于是式中于是有 (a)證畢。 (2) 由及可得上式右側(cè)第一項(xiàng)是兩個(gè)對(duì)稱部分的雙點(diǎn)乘，第二項(xiàng)是兩個(gè)反稱部分的雙點(diǎn)乘。事實(shí)上，將該項(xiàng)展開，得到其中及。于是最后得到 (b) 現(xiàn)在分析式(a)，它的右側(cè)第一項(xiàng)是兩個(gè)反稱部分的雙點(diǎn)乘，第二項(xiàng)是兩個(gè)對(duì)稱部分的雙點(diǎn)乘。由于式(a)和(b)中的對(duì)稱和反稱部分彼此獨(dú)立，所以在式(a)和(b)中對(duì)稱部分和反稱部分應(yīng)分別相等，由此得到證畢。 4-33 證明 (1) (2) 功共軛 解 已知，所以又知，于是其中于是最后得到又有，將上面有關(guān)的表達(dá)式代入，可得兩側(cè)是任意的，故從上式可得證畢。 (2) 由，易得于是上式右側(cè)是應(yīng)變能率，所以功共軛。證畢。 4-34 證明，一般地不存在與功共軛的應(yīng)變。給出上列兩(誘導(dǎo))應(yīng)力張量的載荷-面積解釋。 解 上題已證將上式寫成式中不能表示成應(yīng)變張量的物質(zhì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)，所以一般地沒有功共軛的應(yīng)變。類似地，可證上式可寫成其中一般地不能表示成應(yīng)變張量的物質(zhì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)，所以一般地沒