歷年概率論與數(shù)理統(tǒng)計試題分章整理

1、歷年概率論與數(shù)理統(tǒng)計試題分章整理、選擇與填空11級31、設P(A) 0.5，P(AB)=0.2，則P(B A) 5。1、設代B,C為隨機事件，則下列選項中一定正確的是_D_(A)若P(A) 0,則A為不可能事件(B)若A與B相互獨立，則A與B互不相容(C)若A與B互不相容，則P(A) 1 P(B)(D)若P(AB) 0,則P(BC A) P(B A)P(C BA)10級1.若代B為兩個隨機事件， 則下列選項中正確的是C。(A) AUB B A(B) AUB B B1.某人向同一目標獨立重復進行射擊， 每次射擊命中的概率為 擊恰好是第2次命中目標的概率為_3p2(1 p)2_。2.在0,1中隨機

2、取數(shù)X，在1,2中隨機取數(shù)y，貝U事件x y3的概率為209級1. 10件產(chǎn)品中有8件正品，2件次品，任選兩件產(chǎn)品，則恰有一件為次品的概率為 蘭454172.在區(qū)間0,1中隨機地取兩個數(shù)則事件兩數(shù)之和大于-的概率為-1.設A, B為兩個隨機事件，若事件A, B的概率滿足0 P(A) 1 , 0 P(B) 407級2、設A, B,C為三個事件，且P A P B P CPBC -，求:P(C B)P(CB) P(C) P(BC) A；P(B) 1 P(B) 16(3)P A,B,C至少有一個發(fā)生 P(A B C)、選擇與填空11級F( a) F( a) 1。10級k 13.設隨機變量X與Y相互獨立

3、且服從同一分布：PX k PY k - - (k 0,1)，則概率35PX Y的值為-_ 。9_08級2、設相互獨立的兩個隨機變量X，丫的分布函數(shù)分別為Fx(x)，F(xiàn)y(y)，則Z max(X,Y)的分-,P AB 0,P AC3(1)P(C A);(2)P(C B);(3)代B,C至少有一個發(fā)生的概率解答：(1)P(C A)P(AC)P(A)P(A) P(B) P(C) P(AB)111c11門170 0o33368242、設隨機變量X服從正態(tài)分布N(2)，F(xiàn)(x)為其分布函數(shù)，則對任意實數(shù)a，有P(AC) P(BC) P(ABC)布函數(shù)是C o二、計算與應用11級1、已知隨機變量X的概率密

4、度函數(shù)為1f(x)、廠 X2 30,21 1F(?) F( p(B)FZ(z) maxFx(z),FY(z)(C)Fz(z)FX(Z)FY(Z)(D) Fz(z) FX(X)FYW)3、設隨機變量X N(1,4),丫N(0,1)，且X與丫相互獨立，則A。(A Fz(z) max Fx(z), FY(Z)(A) X 2 丫N (1,8)(C) X 2 丫N(1,2)07級(B) X 2 丫N(1,6)(D) X 2 丫N(1,1)1、已知隨機變量X服從參數(shù)n 2,p1-的二項分布，F(xiàn)(x)為X的分布函數(shù)，則F(1.5)3(A)(B)(C)(D)x 1,x 1.求：(1)X的分布函數(shù)F(x)；(2

5、)概率P x解答：(1)F(x) PX xxf (t)dtx1時，F(xiàn)(x) f (t)dtx0dt 0.1分當1 x 1時，F(xiàn)(x)xf(t)dtdt(arcsin x ).2分x當x 1時，F(xiàn)(X) f(t)dt- dt 11.1 t2.1分0,綜上，F(xiàn)(x)1(arcsin x2),(2)P111 11arcsi n( = ) arcsi n( )-222232、設連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)為求隨機變量Y X3的概率密度函數(shù)。0時：FY(y)01時：FY(y) 12 y故fY(y) FY(y)30,10級解答：(1)f(x)dx 1Ce|x|dxf(x)2x,0,0 x1,其他.解法1

6、：由于Y X3所以x h(y)3y,.1分fY(y)fx(h(y) h(y)2 口護 |y0,其他.6分解法2：FY(y) PYy PX3yy1 2時：R(y)PX3y PX3yyfx(x)dx2xdx y3.5分2.已知連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)f (x) Cex()，求:(1)常數(shù)C;(2)X的分布函數(shù)FX(X)；(3)概率P13 o(2)當x 0時,F(x)PXx1x- exdx2當x 0時，F(xiàn)(x)PXx丄 exdx2xdx11ex2.3分其他故X的分布函數(shù)F(x)0時：FY（y）y 4時:09級2.設有三個盒子，第一個盒裝有4個紅球，1個黑球；第二個盒裝有3個紅球，2個黑球；第三個

7、盒裝有2個紅球，3個黑球.若任取一盒，從中任取3個球。已知取出的3個球中有2個紅球，計算此3個球是取自第一箱的概率;故fY(y)FY(y)_1_y0,其他(2)以X表示所取到的紅球數(shù)，求X的分布律;(3)若丫sin2X，求丫的分布律.解答：（1）設Bi“取第i箱”（i 1,2,3），A“取出的3個球中有2個紅球”，則P(A3P(Bi)P(ABi)扌普3誓 i 13 C53 C53C； C3C532113(3)P1 X 3F(3) F(1) (e1e3)23.設隨機變量X在區(qū)間0,2上服從均勻分布，求隨機變量Y X2的概率密度函數(shù)fY（y）。答：fx（X）J20,0 x2其他方法1：x2的反函數(shù)

8、為xfY(y)fxC、y)C.y)0,fx(方法2:1 _1_22 右0,_1_4y其他FY(y)PYyPX2yFY(y) PX2yP .y ye 11 Lfx(X)dx02dx2(1)(2)P X 0 - 0 - 0 - C3丄333 Of30P(A)-,P X 3- P X 02因此，X的分布律為X01231311P一301026(3)P Y - P X 3PY 0 PX 0 PX 2-5，因此，丫的分布律為Y101P-_8_衛(wèi)615103.設連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為0,x 0,2FX(x) a bx ,0 x -,仁x(D求系數(shù)a,b的值及X的概率密度函數(shù)fX(x);(2)若隨機變量

9、丫 X2，求丫的概率密度函數(shù)fY(y).解答：(D由于連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)，因此:lim F(x) F(0)，lim F(x)F(1)，即得a 0,b 1，2x, 0 x 1,fX(x) FX(x)0,其他.P(BiA)P( BiA)P(A)P(BJP(A BJ 2P(A)5-o -主33 Cf1 C-C；33 C；-0（2）（方法1對任意實數(shù)y，隨機變量丫的分布函數(shù)為:FY(Y) PY2y PX y當y0時：F,y） 0，當y0時：F,y) PJX . yFX( J)FX(,y)，當0y4時：FY(y).720 y，當y1時：FY(y)1 0 1于是,1, 0W) R(

10、y)0y 1,其他.3分（方法2）fY(y)fx(、y)G. y)fx(、y) (vy) , 0 y 1，0,其他._ . 1 2目0,2jy0,0 y 1，1, 0 y 0,其他.0,其他-.3分08級2、已知連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為0, x 03F (x) cx , 0 x 1,4 x 1求：（1）常數(shù)c；（2）X的概率密度函數(shù);1(3)概率P1X-解答：（1）連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為連續(xù)函數(shù)，故c 1；(3)P 1 X弓F(f) F( 1)12 2 83、設隨機變量X服從標準正態(tài)分布N（0,1），求隨機變量丫X2的概率密度函數(shù)fY（y）。解答:fx(X)x2的反函數(shù)為x、y和x(2

11、)f(x) F(x)3x2, 0 x 10,其他fY(y)fx( , y) ( , y),y 00,y 0121 1、廠 2 J亍2 1e2十，y 0 2門1 Ie2, y 0 ,2 y0,y 00,y 007級2、已知連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為0,x1F(x) abares in x,1 x 1，1,x 1求(1)常數(shù)a和b；(2)X的概率密度f(x)；(3)概率P 2 X 0。b的方程:解得:當e2(2)F(x)對x求導，得X的概率密度為f (x)1、1 x20,(3)1 P 2 X 0 = F (0) F( 2)23、設隨機變量X在區(qū)間(1,2)上服從均勻分布，求e2X的概率密度fY(

12、y)。解答：(解法一)由題設知，X的概率密度為fx(x)x 2其他對任意實數(shù)y，隨機變量丫的分布函數(shù)為:e2時：F,y) PYFY(y)yPe2XPYyy 0；Pe2XyFy(y)2XPe1y PX2lny1:nyfx(x)dx1In y211dx ln y 1；2解答：(1)由于連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)，將1和1代入F(x)，得到關于a和0 F( 1) a0F(1)a2be4時:當y e4時：FY(V)2 XPY y Pe y 1，0,1FYW)J1,1,于是,fY(y) Fy(y)1石0,其他(解法二)fY(y)1 1 fx(jn y) (jny),0,12y,0,1如其

13、他12y0,其他、選擇與填空11級3、設隨機變量X與丫相互獨立,X在區(qū)間0,3上服從均勻分布，丫服從參數(shù)為2的指數(shù)分布,則概率P min(X,Y) 123e2o2、設隨機變量(X,Y)服從二維正態(tài)分布，且X與丫不相關，fx(x)、fY(y)分別為X、丫的概率密度，則在丫 y條件下，X的條件概率密度fX|Y(x y)為_A (A) fx(x)(C) fx(x)fY(y)10級(B) fY(y)(D)fx(X)fY(y)3.設隨機變量X與丫相互獨立且都服從參數(shù)為(0)的指數(shù)分布，則min(X,Y)服從B(A)參數(shù)為的指數(shù)分布(B)參數(shù)為2的指數(shù)分布(C)參數(shù)為一的指數(shù)分布(D) (0,)上的均勻分

14、布2二、計算與應用11級3、設二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為10110乂000100(1)求概率P X |Y；(2)求X與Y的相關系數(shù)XY，并討論X與Y的相關性，獨立性。111解答：(1)PXYPX1,Y0P X1,Y0-一一3分44 2(2)EX0,EY0,E(XY)0，故cov(X,Y)0,XY0。因XY0,故X與Y不相關。 .2分由聯(lián)合分布律顯然PjPgPgj，所以X與Y不獨立。 .2分1、設二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為Axy, 0 y x 1, HZ 0 ,其他.求:(1)常數(shù)A;(2)(X,Y)的邊緣概率密度函數(shù)fY(y);(3)在Y y的條件下，X的條件概率密度

15、函數(shù)fX|Y(xy);2 1(4) 條件概率PX-丫-。32解答：(1)f(x, y)dxdy 11x0dx0Axydy 1 A 8. .2分.1分(2)fY(y)18xydxf(x,y)dxy0,24y(1 y ), 0 y其他(3)當0 y 1時,fXY(xy)=f(x,y)fY(y)2x2,1 y0,(4)PX2丫 丄321dx2310級其他727.2分1.設二維隨機變量（X,Y）的聯(lián)合概率密度函數(shù)為.2Ax y, f (x, y)0,x2y 1其他求：（1）常數(shù)A；(2)（X,Y）的邊緣概率密度函數(shù)fy（y）；(3)在丫 y的條件下，X的條件概率密度函數(shù)fx|Y(xy)；(4) 條件概

16、率PX 0Y2。解答：（1）f (x, y)dxdy(2)(3)(4)1dx12Ax ydxdy 1 AfY(y)f(x, y)dx1時,PX0Y 丄209級214y212 .x ydxy40,fXY(xy)=g032y2xyfy(y)32dx32x y20,0326x22其他其他2 2dx21.設二維隨機變量（X,Y）的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(x,y) 0y, x0,0,y 0,其它.(3)計算P X Y立;（百分制）近似服從正態(tài)分布X N（72,2），并且分數(shù)在60分至84分之間的考生人數(shù)占考生總數(shù)的%試求考生的外語成績在96分以上的概率.X0解答：(x)根據(jù)題意有，P60X 8412()1

17、2 12()2 ()1=%.4分故（早）0.841， 因此12，.2分PX 96241(竺)1(2)0.023 .2分08級1、設二維隨機變量（X,Y）的聯(lián)合概率密度函數(shù)為丄f（x,y）_,0,求：（1）（X，Y）的邊緣概率密度函數(shù)fX（x）和條件概率密度f丫x（yx）；（2）概率PY X；（3） 隨機變量Z X2Y2的概率密度函數(shù)fz（z）。（1）求關于X的邊緣密度函數(shù)fx（x）試判斷X與Y是否相互獨立解答：（1）fx（x）=f (x, y)dy00,ydy,0,0.e0,0,；0.（2）與（1）類似，易知fY（y）ey0,0，滿足f（x,y）fx（x）fY（y），因此X與丫相互獨01 1(

18、3)PX 丫1。ydy 12e某次抽樣調查結果表明，考生的外語成績x2y21其他07級1、設二維隨機變量（X,Y）的聯(lián)合概率密度函數(shù)為Ax, 0 y x 1 f （x,y）卄宀0 ,其它求（1）常數(shù)A；（2）（X，丫）的邊緣概率密度函數(shù)fY（y）和條件概率密度函數(shù)fXY（x y）；（3） 概率PX Y 1。1.解答：(1)由于f (x, y)dxdy 1，1x即dx Axdy 1，推得A 3。0 031323xdx, 0 y 1- (1 y ),0 y 1(2)fY(y)=f(x,y)dxy2，0,其他0,其他2x -.rrf(x y)- , 0 y x 1當0 y 1時：fX|Y(xy)1

19、y2；fY(y)0,其他1、解答:（1）fx（X）=f (x, y)dy1 x21 x20,dy,其他0,1 x 1其他x 1時:f(x,y)fx(X)2、 10,x2其他(2)PY X1y x(3)Fz(z) PZ z當z 0時：FZ(Z)0當0 z 1時：FZ(z)當z 1時：FZ(Z) 1。因此，fz(z)FZ(Z)71x, y)dxdyP X2Y2x2y2z,0,zf (x, y) dxdyz0 z 1其他1dxdy、選擇與填空11級07級1(3)PX Y 1=；dy3xdx3、將一枚質量均勻對稱的硬幣獨立地重復擲n次，以X和丫分別表示正面向上和反面向上的次數(shù)，則X和丫的相關系數(shù)為_B

20、(A) 1(B)1(C) 0(D) 0.510級2.設隨機變量X服從參數(shù)為(0)的泊松分布，且PX 1PX 2，則D(X 1)的值為A。(A) 2(B) 3(D)09級2.設X和Y為獨立同分布的隨機變量,X的分布律為P X130-，P X 1，令隨機44變量Z max(X, Y)，則數(shù)學期望E(Z)1(A)丄4(C)16(D)151608級2、設隨機變量X服從參數(shù)為1的泊松分布，則PX E(X2)丄o2e_3、設隨機變量X和丫的相關系數(shù)為，E(X) E(Y) 0，E(X2)E(Y2)2，則E(X Y)26o2、F面四個隨機變量的分布中，期望最大，方差最小的是1(A)X服從正態(tài)分布N(5,2)(

21、B) 丫服從均勻分布U(5,7)(C) Z服從參數(shù)為1指數(shù)分布6(D) T服從參數(shù)為3的泊松分布3、若二維隨機變量(X,Y)的相關系數(shù)XY0，則以下結論正確的是_B(B)(A) X與丫相互獨立D(X Y) D(X) D(Y)(C) X與丫互不相容(D)D(XY) D(X) D(Y)_ 13、設隨機變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則PX . DX =-e二、計算與應用10級將2封信隨機地投入2個郵筒，設隨機變量X,Y分別表示投入第1個和第2個郵筒的信的數(shù)目，試求:解答：(1)0120001/41012021400(2)X與丫同分布，且X的分布為:X012P1/41/21/4(1)(X,Y)的聯(lián)合分布

22、;(2)X的數(shù)學期望E(X)及方差D(X)；(3)(X,Y)的相關系數(shù)(4)判斷X , Y是否不相關.是否相互獨立因此E(X) 1，E(X2)(3)方法1：E(Y)1，D(Y)cov(X,Y) ，DX DY方法2:由于X 丫2，即丫11，E(XY)，cov(X,Y) E(XY) E(X)E(Y) 22. 2分X 2，X與丫存在線性關系，因此1。(4)相關，不獨立09級1八D(X). 2分232，4.設隨機變量X與Y的相關系數(shù)1/4,D(X) D(Y) 1，令U X Y,V且U與V不相關，求常數(shù)a.方法1)cov(U,V) cov(X Y,X aY)D(X) aD(Y) (a 1)cov(X,Y

23、)1 a (a 1) . D(X)；D(Y)5(a 1)4由于U與V不相關，因此cov(U ,V)0,4分于是a 1.2分(方法2) E(UV) E(X Y)(X aY)2121 E(X) (a 1)H E(X)E(Y) a1 E(Y)4E(U)E(V) E(X Y)E(X aY) E(X)2(a 1)E(X)E(Y) aE(Y)25則cov(U ,V) E(UV) E(U )E(V) (a 1)X1101X201p111P丄142422并且PX1X201。(1) 求X1，X2的數(shù)學期望以及方差；(2) 求(X1,X2)的聯(lián)合分布律；(3) 求X1，X2的協(xié)方差；(4) 判斷X1，X2是否不相

24、關，是否獨立解答：(2)(1)E X10,E X212,1D X1-,21D X2-；4-101X aY，4由于U與V不相關，因此cov(U,V) 0,4分于是a 1.2分08級2、設隨機變量X1和X2的分布律為01401410120(3)cov(XX2) E(X1X2) EX1EX20;(4)由cov(Xi,X2) 0知xx0故Xi,X2不相關；又(人兀)聯(lián)合分布律中不滿足PijPiPj，所以Xi,X2不獨立設某企業(yè)生產(chǎn)線上產(chǎn)品的合格率為0.96，不合格品中只有專的產(chǎn)品可進行再加工，且再加工的合格率為0.8，其余均為廢品。已知每件合格品可獲利80元，每件廢品虧損20元，為保證該企業(yè)每天平均利潤不低于2萬元，問該企業(yè)每天至少應生產(chǎn)多少產(chǎn)品30.96 0.040.80.984，不合格率為，設隨機變量42000078.4255.1，因此企業(yè)每天至少應生產(chǎn)256件產(chǎn)品。07級2、設二維隨機變量(X,Y)的概率分布為01PX Xi-10PYyj1(1)請將上表空格處填全；(2)求X，Y的數(shù)學期望以及方差EX、EY、DX、DY；(