上海高考數(shù)學(xué)試題及答案理科

1、2003年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（上海卷）數(shù) 學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）第卷 （共110分）一、填空題（本大題滿分48分）1函數(shù)的最小正周期T=.2若.3在等差數(shù)列中，a5=3, a6=2,則a4+a5+a10=4在極坐標(biāo)系中，定點(diǎn)A點(diǎn)B在直線上運(yùn)動，當(dāng)線段AB最短時，點(diǎn)B的極坐標(biāo)是5在正四棱錐PABCD中，若側(cè)面與底面所成二面角的大小為60°，則異面直線PA與BC所成于.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）6設(shè)集合A=x|x|<4,B=x|x24x+3>0,則集合x|xA且=.7在ABC中，sinA;sinB:sinC=2:3:4,則ABC=.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）8若首項(xiàng)為a1

2、，公比為q的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和總小于這個數(shù)列的各項(xiàng)和，則首項(xiàng)a1，公比q的一組取值可以是（a1，q）=.9某國際科研合作項(xiàng)目成員由11個美國人、4個法國人和5個中國人組成.現(xiàn)從中隨機(jī)選出兩位作為成果發(fā)布人，則此兩人不屬于同一個國家的概率為.（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）10方程x3+lgx=18的根.（結(jié)果精確到0.1）11已知點(diǎn)其中n的為正整數(shù).設(shè)Sn表示ABC外接圓的面積，則=.12給出問題：F1、F2是雙曲線=1的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上.若點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離等于9，求點(diǎn)P到焦點(diǎn)F2的距離.某學(xué)生的解答如下：雙曲線的實(shí)軸長為8，由|PF1|PF2|=8，即|9|PF2|=8，得|PF2|=1或17.

3、該學(xué)生的解答是否正確？若正確，請將他的解題依據(jù)填在下面空格內(nèi)，若不正確，將正確的結(jié)果填在下面空格內(nèi).二、選擇題（本大題滿分16分）13下列函數(shù)中，既為偶函數(shù)又在（0，）上單調(diào)遞增的是（ ）Ay=tg|x|.By=cos(x). C D.14在下列條件中，可判斷平面與平行的是（ ）A、都垂直于平面r； B內(nèi)存在不共線的三點(diǎn)到的距離相等.Cl，m是內(nèi)兩條直線，且l，m； Dl，m是兩條異面直線，且l，m, l，m.15a1、b1、c1、a2、b2、c2均為非零實(shí)數(shù)，不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0的解集分別為集合M和N，那么“”是“M=N”的（ ）A充分非必

4、要條件.B必要非充分條件. C充要條件D既非充分又非必要條件.16f()是定義在區(qū)間c,c上的奇函數(shù)，其圖象如圖所示：令g（）=af（）+b，則下列關(guān)于函數(shù)g（）的敘述正確的是（ ）A若a<0,則函數(shù)g（）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.B若a=1，2<b<0,則方程g（）=0有大于2的實(shí)根.C若a0,b=2,則方程g（）=0有兩個實(shí)根.D若a1,b<2,則方程g（）=0有三個實(shí)根.三、解答題（本大題滿分86分）17（本題滿分12分）已知復(fù)數(shù)z1=cosi，z2=sin+i，求| z1·z2|的最大值和最小值.D1C1B1A1DABC18（本題滿分12分）已知平行六面體A

5、BCDA1B1C1D1中，A1A平面ABCD，AB=4，AD=2.若B1DBC，直線B1D與平面ABCD所成的角等于30°，求平行六面體ABCDA1B1C1D1的體積.19（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分9分. 已知數(shù)列（n為正整數(shù)）是首項(xiàng)是a1，公比為q的等比數(shù)列. （1）求和： （2）由（1）的結(jié)果歸納概括出關(guān)于正整數(shù)n的一個結(jié)論，并加以證明.20（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分. 如圖，某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車道，車道總寬22米，要求通行車輛限高4.5米，隧道全長2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個橢圓形狀.

6、（1）若最大拱高h(yuǎn)為6米，則隧道設(shè)計(jì)的拱 寬l是多少？ （2）若最大拱高h(yuǎn)不小于6米，則應(yīng)如何設(shè) 計(jì)拱高h(yuǎn)和拱寬l，才能使半個橢圓形隧 道的土方工程量最最?。?（半個橢圓的面積公式為，柱體體積為：底面積乘以高.本題結(jié)果精確到0.1米）21（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分5分，第3小題滿分7分. 在以O(shè)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（4，3）為OAB的直角頂點(diǎn).已知|AB|=2|OA|，且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)大于零. （1）求向量的坐標(biāo)； （2）求圓關(guān)于直線OB對稱的圓的方程； （3）是否存在實(shí)數(shù)a，使拋物線上總有關(guān)于直線OB對稱的兩個點(diǎn)？若不存在，說明理由：若存在，求a的

7、取值范圍.22（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分6分，第3小題滿分7分.已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體：存在非零常數(shù)T，對任意xR，有f(x+T)=T f(x)成立. （1）函數(shù)f(x)= x 是否屬于集合M？說明理由； （2）設(shè)函數(shù)f(x)=ax（a>0,且a1）的圖象與y=x的圖象有公共點(diǎn)，證明：f(x)=axM； （3）若函數(shù)f(x)=sinkxM ,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.2003年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（上海卷）數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）答案一、（第1題至第12題）1. 2. 349 . 4. 5arctg2. 61,3.78的一組數(shù)）.

8、 9102.6 .114 12|PF2|=17.二、（第13題至第16題）題 號13141516代 號CDDB三、（第17題至第22題）17解 故的最大值為最小值為.18解連結(jié)BD，因?yàn)锽1B平面ABCD，B1DBC，所以BCBD.在BCD中，BC=2，CD=4，所以BD=.D1C1B1A1DABC又因?yàn)橹本€B1D與平面ABCD所成的角等于30°，所以B1DB=30°，于是BB1=BD=2.故平行六面體ABCDA1B1C1D1的體積為SABCD·BB1=.19解（1） （2）歸納概括的結(jié)論為：若數(shù)列是首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列，則20解（1）如圖建立直角坐標(biāo)系

9、，則點(diǎn)P（11，4.5）， 橢圓方程為.將b=h=6與點(diǎn)P坐標(biāo)代入橢圓方程，得.因此隧道的拱寬約為33.3米.（2）解一由橢圓方程，得故當(dāng)拱高約為6.4米、拱寬約為31.1米時，土方工程量最小.解二由橢圓方程，得 于是得以下同解一.21解（1）設(shè)得 所以v3>0,得v=8,故=6，8.（2）由=10，5，得B（10，5），于是直線OB方程：由條件可知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x3)2+y(y+1)2=10, 得圓心（3，1），半徑為.設(shè)圓心（3，1）關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn)為（x,y）則故所求圓的方程為(x1)2+(y3)2=10.（3）設(shè)P (x1,y1), Q(x2,y2) 為拋物線上關(guān)于直線O

10、B對稱兩點(diǎn)，則故當(dāng)時，拋物線y=ax21上總有關(guān)于直線OB對稱的兩點(diǎn).22解（1）對于非零常數(shù)T，f(x+T)=x+T, Tf(x)=Tx. 因?yàn)閷θ我鈞R，x+T= Tx不能恒成立，所以f(x)=（2）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ax（a>0且a1）的圖象與函數(shù)y=x的圖象有公共點(diǎn)，所以方程組：有解，消去y得ax=x,顯然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常數(shù)T，使aT=T.于是對于f(x)=ax有 故f(x)=axM.（3）當(dāng)k=0時，f(x)=0，顯然f(x)=0M.當(dāng)k0時，因?yàn)閒(x)=sinkxM，所以存在非零常數(shù)T，對任意xR，有f(x+T)=Tf(x)成立，即sin(kx+kT)=Tsinkx .因?yàn)閗0，且xR，所以kxR，kx+kTR，于是sinkx1，1，sin(kx+kT)1，