數(shù)學物理方程學習指導書第3章經(jīng)典方程的建立和定解條件

1、第3章 經(jīng)典方程的建立和定解條件在討論數(shù)學物理方程的解法以前，我們首先要弄清楚數(shù)學物理方程所研究的問題應該怎樣提，為此，我們從兩方面來討論，一方面要將一個具體的物理、力學等自然科學問題化為數(shù)學問題，即建立描述某種物理過程的微分方程數(shù)學物理方程，稱此方程為泛定方程；另一方面要把一個特定的物理現(xiàn)象本身所具有的具體條件用數(shù)學形式表達出來，即列出相應的初始條件和邊界條件，兩者合稱為定解條件.定解條件提出具體的物理問題，泛定方程提供解決問題的依據(jù)，作為一個整體稱之為定解問題.31 經(jīng)典方程的建立在本節(jié)，我們將通過幾個不同的物理模型推導出數(shù)學物理方程中三種典型的方程，這些方程構(gòu)成我們的主要研究對象.經(jīng)典方

2、程的導出步驟：（1） 確定出所要研究的是哪一個物理量；（2） 用數(shù)學的“微元法”從所研究的系統(tǒng)中分割出一小部分，再根據(jù)相應的物理（力學）規(guī)律分析鄰近部分和這個小部分間的作用（抓住主要作用，略去次要因素，即高等數(shù)學中的抓主部，略去高階無窮?。?，這種相互作用在一個短的時間間隔是如何影響物理量（3） 把這種關系用數(shù)學算式（方程）表達出來，經(jīng)化簡整理就是所需求的數(shù)學物理方程.例1 弦的振動弦的振動問題，雖然是一個古典問題，但對于初學者仍然具有一定的啟發(fā)性.設有一根均勻柔軟的細弦，平衡時沿直線拉緊，而且除受不隨時間而變的張力作用及弦本身的重力外，不受外力影響，下面研究弦的微小橫向振動，即假定全部運動出現(xiàn)

3、在一個平面上，而且弦上的點沿垂直于軸的方向運動（圖3-1）.圖3-1設弦上具有橫坐標為的點，在時刻時的位置為M，位移NM記作.顯然，在振動過程中位移是變量與的函數(shù).現(xiàn)在來建立位移滿足的方程.我們把弦上點的運動先看作小弧段的運動，然后再考慮小弧段趨于零的極限情況.在弦上任取一弧段，其長為，設是弦的線密度，弧段兩端所受的張力記作，現(xiàn)在考慮孤段在時刻的受力情況，用牛頓運動定律，作用于弧段上任一方向上的力的總和等于這段孤的質(zhì)量乘以該方向上的加速度.在軸方向弧段受力的總和為，由于弦只作橫向振動，所以.（3.1）如果弦的振動很小，并且在振動過程中弦上的切線傾角也很小，即，則由 可知，當為無窮小量時，與1的

4、差量是的高階無窮小量，可以略去不計，因此當時代入(3.1)式，便可近似得到.在方向弧段受力的總和為，其中是單位弧段的質(zhì)量，是弧段的重力.又因當，時，且小弧段在時刻沿方向運動的加速度為，小弧段的質(zhì)量為，所以 （3.2）或上式左邊方括號內(nèi)的部分是由于產(chǎn)生的變化而引起的的改變量，可用微分代替，即于是 或一般說來，張力較大時弧振動速度變化很快，即要比大得多，所以又可以把略去.經(jīng)過這樣逐步略去一些次要的量，抓住主要的量，最后得出應近似地滿足方程 （3.3）這里的式(3.3)稱為一維波動方程. 如果在振動過程中，弦上另外還受到一個與弦的振動方向平行的外力，且假定單位長度所受外力的，顯然，在這里(3.1)及

5、(3.2)分別為利用上面的推導方法并略去弦本身的重量，可得弦的強迫振動方程為 （3.3）其中方程(3.3)與(3.3)的差別在于(3.3)的右端多了一個與未知函數(shù)無關的項，這個項稱為自由項，包含有非零自由項的方程稱為非齊次方程，自由項恒等于零的方程稱為齊次方程.(3.3)為齊次一維波動方程，(3.3)為非齊次一維波動方程.例2 傳輸線方程對于直流電或低頻的交流電，電路的基爾霍夫定律指出同一支路中電流相等.但對于較高頻率的電流（指頻率還沒有高到能顯著地幅射電磁波的情況），電路中導線的自感和電容的效應不可忽略，因而同一支路中電流未必相等.現(xiàn)考慮一來一往的高頻傳輸線，它被當作具有分布參數(shù)的導體（圖3

6、-2）.在具有分布參數(shù)的導體中，電流通過的情況，可以用電流強度與電壓來描述，此處與都是圖3-2的函數(shù)，記作與，以R，L，C，G分別表示下列參數(shù)：R每一回路單位的趾串聯(lián)電阻，L每一回路單位的串聯(lián)電感，C每單位長度的分路電容，G每單位長度的分路電導.根據(jù)基爾霍夫第二定律，在長度為的傳輸線中，電壓降應等于電動勢之和，即而故上式可寫成 （3.4）另外，由基爾霍夫第一定律，流入節(jié)點的電流應等于流出該節(jié)點的電流，即或 （3.5）將方程(3.4)與(3.5)合并，即得與應近似地滿足如下方程組為了確定函數(shù)與，將方程(3.5)對微分，同時在方程(3.4)兩端乘以 C后再對微分，并把兩個結(jié)果相減，即得將(3.4)

7、中的代入上式，得 （3.6）這就是電流近似滿足的微分方程，采用類似的方法從（3.4）與（3.5）中消去可得電壓近似滿足的方程 （3.7）方程(3.6)或(3.7)稱為傳輸線方程. 根據(jù)不同的具體情況，對參數(shù)作不同的假定，就可以得到傳輸線方程的各種特殊形式.例如，在高頻傳輸?shù)那闆r下，電導與電阻所產(chǎn)生的效應可以忽略不計，也就是說可令，此時方程(3.6)與(3.7)可簡化為這兩個方程稱為高頻傳輸線方程.若令這兩個方程與(3.3)完全相同.由此可見，同一個方程可以用來描述不同的物理現(xiàn)象，一維波動方程只是波動方程中最簡單的情況，在流體力學、聲學及電磁場理論中，還要研究高維的波動方程.例3 電磁場方程從物

8、理學我們知道，電磁場的特性可以用電場強度與磁場強度以及電感應強度與磁感應強度來描述，聯(lián)系這些量的麥克斯韋(Maxwell)方程組為 （3.8） (3.9) （3.10） (3.11)其中為傳導電流的體密度，為電荷的體密度. 這組方程還必須與下述場的物質(zhì)方程 （3.12） （3.13） （1.14）相聯(lián)立，其中是介質(zhì)的介電常數(shù)，是導磁率，為導電率，我們假定介質(zhì)是均勻而且是各向同性的，此時，均為常數(shù).方程(3.8)與(3.9)都同時包含有與，從中消去一個變量，就可以得到關于另一個變量的微分方程，例如先消去，在(3,8)式兩端求旋度并利用(3.12)與（3.14）得將(3.9)與(3.13)代入得

9、而且所以最后得到所滿足的方程為同理，若消去即得所滿足的方程如果介質(zhì)不導電，則上面兩個方程簡化為 （3.15） （3.16）(3.15)與(3.16)稱為三維波動方程. 若將三維波動方程以標量函數(shù)的形式表示出來，則可寫成 （3.17）其中是或的任意一個分量.從方程(3.11)與(3.12)還可以推導出靜電場的電位所滿足的微分方程.事實上，以(3.12)代入(3.11)得而電場強度與電位之間存在關系所以可得或 （3.18）這個非齊次方程稱為泊松（Poisson）方程.如果靜電場是無源的，即則(3.18)變成， （3.19）這個方程稱為拉普拉斯（Laplace）方程.例4 熱傳導方程一塊熱的物體，如

10、果體內(nèi)每一點的溫度不全一樣，則在溫度較高的點處的熱量就要向溫度較低的點處流動，這種現(xiàn)象就是熱傳導.在工程技術上有許多傳熱問題都要歸結(jié)為求物體內(nèi)溫度的分布，現(xiàn)在我們來推導傳熱過程中溫度所滿足的微分方程，與上例類似，我們不是先討論一點處的溫度，而應該先考慮一個區(qū)域的溫度.為此，在物體中任取一閉曲面，它所包圍的區(qū)域記作（圖3-3）.假設在時刻，區(qū)域內(nèi)點處的溫度為，為曲面元素的外法向（從內(nèi)指向外）. 圖3-3 由傳熱學可知，在時間內(nèi)，從流入?yún)^(qū)域的熱量與時間，面積，以及沿曲面的法線方向的溫度變化率三者的乘積成正比，即其中稱為物體的熱傳導系數(shù)，當物體為均勻?qū)狍w時，為常數(shù).于是，從時刻到時刻，通過曲面流入

11、區(qū)域的全部熱量為流入的熱量使V內(nèi)溫度發(fā)生了變化，在t時間內(nèi)區(qū)域V內(nèi)各點溫度從u(x,y,z,t)變化到u(x,y,z,t+t)，則在t內(nèi)V內(nèi)溫度升高所需要的熱量為從而從時刻到時刻，由于溫度升高所吸收的熱量為其中為物體的比熱，為物體的密度，對均勻物體來說，它們都是常數(shù).由于熱量守恒，流入的熱量應等于物體溫度升高所需吸收的熱量，即此式左端的由面積分中是封閉曲面，可以利用奧-高公式將它化為三重積分，即因此有 （3.20）由于時間間隔及區(qū)域都是任意取的，并且被積函數(shù)是連續(xù)的，所以(3.20)式左右恒等的條件是它們的被積函數(shù)恒等，即 （3.21）其中方程(3.21)稱為三維熱傳導方程.若物體內(nèi)有熱源，其

12、強度為，則相應的熱傳導方程為其中作為特例，如果所考慮的物體是一根細桿（或一塊薄板），或者即使不是細桿（或薄板）而其中的溫度只與（或）有關，則方程(3.21)就變成一維熱傳導方程或二維熱傳導方程 如果我們考慮穩(wěn)恒溫度場，即在熱傳導方程中物體的溫度趨于某種平衡狀態(tài)，這時溫度已與時間無關，所以此時方程(3.21)就變成拉普拉斯方程(3.19).由此可見穩(wěn)恒溫度場內(nèi)的溫度也滿足拉普拉斯方程.在研究氣體或液體的擴散過程時，若擴散系數(shù)是常數(shù)，則所得的擴散方程與熱傳導方程完全相同.32 初始條件與邊界條件上面所討論的是如何將過程的物理規(guī)律用數(shù)學式子表達出來.除此以外，我們還需要把具體條件也用數(shù)學形式表達出來

13、，這是因為任何一個具體的物理現(xiàn)象都是處在特定條件之下的.例如弦振動問題，上節(jié)所推導出來的方程是一切柔軟均勻的弦作微小橫向振動的共同規(guī)律，在推導這個方程時沒有考慮到弦在初始時刻物狀態(tài)以及弦所受的約束情況.如果我們不是泛泛地研究弦的振動，勢必就要考慮到弦所具有的特定條件.因為任何一個具體振動現(xiàn)象總是在某時刻的振動狀態(tài)和此時刻以前的狀態(tài)有關，從而就與初始時刻的狀態(tài)有關.另外，弦的兩端所受的約束也會影響弦的振動，端點所處的物理條件不同會產(chǎn)生不同的影響，因而弦的振動也不同.所以對弦振動問題來說，除了建立振動方程以外，還需列出它的具體條件.對熱傳導方程，拉普拉斯方程也是如此.提出的條件應該恰恰能夠說明某一

14、具體物理現(xiàn)象的初始狀態(tài)以及邊界上的約束情況，用以說明系統(tǒng)的初始狀態(tài)的條件稱為初始條件.用以說明邊界上的約束情況的條件稱為邊界條件.下面具體說明初始條件和邊界條件的表達形式，先談初始條件，對于弦振動問題來說，初始條件就是弦在開始時刻的位移及速度，若以分別表示初位移和初速度，則初始條件可以表達為 （3.22）而對熱傳導方程來說，初始條件是指在開始時刻物體溫度的分布情況，若以表示時物體內(nèi)任一點處的溫度，則熱傳導方程的初始條件就是 (3.23)泊松方程與拉普拉斯方程都是描述穩(wěn)恒狀態(tài)的，與初始狀態(tài)無頭，所以不提初始條件.再談邊界條件.如果邊界條件直接給出了未知函數(shù)在邊界上的值，以表示邊界上的動點，則這樣

15、的邊界條件可表為或簡寫成 （3.24）這種邊界條件稱為第一類邊界條件，其中表示在邊界上給定的已知函數(shù).例如，在桿的導熱問題中，若在端點處溫度保持為常數(shù)，這時在端點的邊界條件為若在端點處溫度隨時間的變化規(guī)律為已知，在這點的邊界條件為又如在弦振動問題中，若弦的某端點是固定的，則在該點的位移為零，即以上都是第一類邊界條件的例子.總之，第一類邊界條件直接給出了未知函數(shù)在邊界上的值 但在許多情況下，邊界上的物理條件并不能用第一類邊界條件來描述.例如，在桿的導熱問題中，若桿的一端絕熱，那末絕熱這個條件就不能直接給出桿的端點處的溫度變化.由于從桿外通過桿端流入桿內(nèi)的熱量為(其中為時間間隔，為桿的截面積，為桿

16、在端點處的外法向，若是桿的左端點，的正向與軸正向相反，則若是桿的右端點，則的正向與軸正向相同，則所以絕熱這個條件可以表達為即若在單位時間內(nèi)通過端單位面積流入桿內(nèi)的熱量是的已知函數(shù)，則這個條件可表示為對于弦振動問題來說，如果弦在處是自由的，即沿著位移方向不受外力，則此時弦在處沿位移方向的張力（參照3.1中例1的推導） 為即總之，有時邊界條件必須表達為 （3.25）的形式，其中表示函數(shù)沿邊界外法向的變化率，這種邊界條件稱為第二類邊界條件.除了上述兩類邊界條件外，有時還會遇到其他形式的邊界條件.例如在桿的導熱熱問題中，若桿在某個端點自由冷卻，那末自由冷卻這個條件就是(其中為周圍介質(zhì)的溫度)即這是由于

17、在單位時間內(nèi)從周圍介質(zhì)傳到桿的端單位面積上的熱量與介質(zhì)和桿端的溫度差成正比，而在單位時間內(nèi)通過端單位面積傳向桿內(nèi)的熱量與成正比（參考3.1中例4）.對于有界桿，若兩端都是自由冷卻，則在處，上述條件可表為在處，這個條件可表為一般地，這種邊界條件的形式為 （3.26）這樣的邊界條件稱為第三類邊界條件.不論哪一種邊界條件，如果它的數(shù)學表達式中的右端自由項恒為零，則這種邊界條件稱為齊次的.3.3 定解問題的提法 前面兩節(jié)我們推導了三種不同類型的偏微分方程并討論了與它們相應的初始條件與邊界條件的表達方式.由于這些方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的偏導數(shù)的最高階都是二階，而且它們對于未知函數(shù)及其各階偏導數(shù)來說都是線性

18、的，所以這種方程稱為二階線性偏微分方程*）*）二階線性編微分方程可以按它們的二階導數(shù)的系數(shù)的代數(shù)性質(zhì)進行分類，在§1.1中所推導的波動方程屬于雙曲型,拉普拉斯（或泊松）方程屬于橢圓型，熱傳導方程屬于拋物型，關于二階線性偏微分方程的分類方法,讀者可參閱復旦大學數(shù)學系編數(shù)學物理方程（第二版，上?？茖W技術出版社出版）第一章§5.在工程技術上二介線性偏微分方程遇到最多.如果一個函數(shù)具有所需要的各階連續(xù)編導數(shù)，并且代入某偏微方程中能使該方程變成恒等式，則此函數(shù)稱為該方程的解.由于每一個物理過程都處在特定的條件之下，所以我們的任務是要求出適合初始條件和邊界條件的解.初始條件和邊界條件都稱為定解條件.求一個偏微方程滿足定解條件的解的問題稱為定解問題.只有初始條件，沒有邊界條件的定解問題稱為始值問題（或柯西問題）；而沒有初始條件，只有邊界條件的定解問題稱為邊值問題；既有初始條件也有邊界條件的定解問題稱為混合問題.一個定解問題提得是否符合實際情況，當然必須靠實際來證實，然而從數(shù)學角度來看，可以從三方面加以檢驗.1）解的存在