數(shù)學(xué)模型試驗(yàn)二

1、數(shù)學(xué)模型作業(yè)實(shí)驗(yàn)二1、 微分方程穩(wěn)定性分析解：（1）首先選取平衡點(diǎn)，通過可得平衡點(diǎn)為（0,0），系數(shù)矩陣為從而得特征值則，通過與穩(wěn)定性情況表對比，可發(fā)現(xiàn)平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。（2）同理，選取平衡點(diǎn)（0,0），可得特征值，并與穩(wěn)定性情況表對比，可發(fā)現(xiàn)平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。（3）同理，選取平衡點(diǎn)（0,0），可得特征值，并與穩(wěn)定性情況表對比，可發(fā)現(xiàn)平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。（4）選取平衡點(diǎn)（1,0），可得特征值，并與穩(wěn)定性情況表對比，可發(fā)現(xiàn)平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的。2、 營養(yǎng)平衡問題解：根據(jù)題意，可得到，則該方程組的圖形解如下圖所示：通過對上圖分析可知，該方程的平衡點(diǎn)為，要使平衡點(diǎn)穩(wěn)定的條件是K>0，營養(yǎng)的濃度的是可以

2、達(dá)到平衡。反之，將不會(huì)平衡。3、 種群增長模型解： 依題意得，N滿足的微分方程為：令，可知平衡點(diǎn)為（0，），通過，令可得，令將第一象限劃分為三部分，且分別有，則微分方程的解族圖形，如圖3-1所示，其中為不穩(wěn)定的，為穩(wěn)定的。圖3-1 微分方程的解族4、單種群開發(fā)模型解： 本題的重點(diǎn)在于研究方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性問題。令 (4-1)平衡點(diǎn)應(yīng)滿足： (4-2)解得兩個(gè)平衡點(diǎn)為：，不難算得：若對（4-1）的任一個(gè)解，都存在，可根據(jù)一階近式方程：來判斷平衡點(diǎn)是否穩(wěn)定。該一階近式方程的一般解為：。因此可以得到：a. 若，則是穩(wěn)定平衡點(diǎn)；b. 若，則不是穩(wěn)定平衡點(diǎn)；即：當(dāng)時(shí)，則是穩(wěn)定平衡點(diǎn)，不是穩(wěn)定平衡點(diǎn)；

3、當(dāng)時(shí)，則不是穩(wěn)定平衡點(diǎn)，是穩(wěn)定平衡點(diǎn)；通過以上分析可知，如果捕撈適度，也就是時(shí)，可使?jié)O場產(chǎn)量穩(wěn)定在，持續(xù)產(chǎn)量為，如果捕撈過度，也就是時(shí)，漁場產(chǎn)量會(huì)減至，這不是可持續(xù)捕撈。為了使得捕撈強(qiáng)度持續(xù)產(chǎn)量最大，則因此最優(yōu)捕撈率為。5、Compertz模型解：依題意可知變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型為：則設(shè)。a、令，得 解得，所，為平衡點(diǎn)。又，可得出平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的，而平衡點(diǎn)不穩(wěn)定。b、因?yàn)樽畲螽a(chǎn)量的數(shù)學(xué)模型為通過第一步的計(jì)算結(jié)果可知，令。所以最大產(chǎn)量的捕撈強(qiáng)度，從而可知最大持續(xù)產(chǎn)量，而此時(shí)漁場魚量水平為。6、有限資源競爭模型解：依據(jù)題意，可構(gòu)建微分方程組：，令可得到以下平衡點(diǎn)：對于，其系數(shù)矩陣為：，又根據(jù)題意已知，所

4、以，該點(diǎn)不穩(wěn)定。對于，其系數(shù)矩陣為：，由題意可知，該點(diǎn)是穩(wěn)定的。即，說明物種1最終會(huì)滅亡。對于，其系數(shù)矩陣為：由題意可知，該點(diǎn)是穩(wěn)定的。也就是說當(dāng)，物種2最終將會(huì)滅亡。因?yàn)榉匠探M為線性方程組，在平面上匹配兩條直線會(huì)將第一象限分成三個(gè)區(qū)域。（1）當(dāng)時(shí)，隨著時(shí)間的增加，物種1將會(huì)滅亡，物種2將達(dá)到穩(wěn)定值。（2）而當(dāng)時(shí)，隨著時(shí)間的增加，物種1最終會(huì)達(dá)到穩(wěn)定值，對于物種2最終則會(huì)滅亡。7、蝴蝶效應(yīng)與混沌解解：（1）建立自定義函數(shù)，Lorenz函數(shù)的M文件。程序如下:function dx=Lorenz(t,x)dx=-8/3*x(1)+x(2)*x(3);-10*x(2)+10*x(3);-x(1)*

5、x(2)+28*x(2)-x(3);end建立“Lzdis.m”的M文件，用來求解和繪圖。程序如下：clcclear allt,x=ode45(Lorenz,0,100,0 0 1e-10);plot(x(:,1),x(:,2);xlabel('x1'),ylabel('x2');figure plot(x(:,2),x(:,3);xlabel('x2'),ylabel('x3'); figure plot(x(:,3),x(:,1);xlabel('x3'),ylabel('x1');即可得到以下

6、圖形：（2）將參數(shù)做如下調(diào)整，令，同時(shí)將調(diào)整為，則可得到以下圖形：從以上分析可以看出，圖形對參數(shù)和初始值的變化敏感很高，隨著參數(shù)和初始值的輕微變化而改變非常大。8、藥物動(dòng)力學(xué)模型解：設(shè)初始時(shí)刻氫氯四環(huán)素在腸道中的濃度為，在血液中的濃度為0，也就是，因此可得到如下的微分方程： (8-1)則在matlab中建立一個(gè)M文件，“weifen.m”內(nèi)容如下：clcclear allr1,r2 = dsolve('Dr1=-tho1*r1','Dr2=tho1*r1-tho2*r2', 'r1(0)=tho3,r2(0)=0','t')運(yùn)行之

7、后，即可得到r1 =(tho12*tho3)/(exp(t*tho1)*(tho1 - tho2) - (tho1*tho2*tho3)/(exp(t*tho1)*(tho1 - tho2)/tho1 r2 =(tho1*tho3)/(exp(t*tho2)*(tho1 - tho2) - (tho1*tho3)/(exp(t*tho1)*(tho1 - tho2)也就是，在matlab中建立名為“FUN”的函數(shù) function f= FUN( a,t )%UNTITLED3 Summary of this function goes here% Detailed explanation goes here f=a(3)*(exp(-1)*a(2)*t)-exp(-1)*a(1)*t);end在matlab中建立名為“l(fā)sqnonlinFUN”M文件，如下所示clcclear allt=1 2 3 4 6 8 10 12 16;f=0.7 1.2 1.4 1.4 1.1 0.8 0.6 0.5 0.3; a0=1,1,1;a,res = l