小學(xué)奧數(shù)行程問題分類討論

1、小學(xué)奧數(shù)行程問題分類討論行程問題是小升初考試和小學(xué)四大杯賽四大題型之一。具體題型變化多樣， 形成 10 多種題型，都有各自相對(duì)獨(dú)特的解題方法?，F(xiàn)根據(jù)四大杯賽的真題研究 和主流教材將小題型總結(jié)如下，希望各位看過之后給予更加明確的分類。一、一般相遇追及問題。 包括一人或者二人時(shí) （同時(shí)、異時(shí) ） 、地（同地、異 地） 、向（同向、相向 ）的時(shí)間和距離等條件混合出現(xiàn)的行程問題。在杯賽中大量 出現(xiàn)，約占80流右。建議熟練應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)解法，即s=vx t結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)畫圖（基本功） 解答。由于只用到相遇追及的基本公式即可解決， 并且要就題論題， 所以無法展 開，但這是考試中最常碰到的，希望高手做更為細(xì)致的分類。二

2、、復(fù)雜相遇追及問題。（1）多人相遇追及問題。比一般相遇追及問題多了一個(gè)運(yùn)動(dòng)對(duì)象，即一般我 們能碰到的是三人相遇追及問題。 解題思路完全一樣， 只是相對(duì)復(fù)雜點(diǎn)， 關(guān)鍵是 標(biāo)準(zhǔn)畫圖的能力能否清楚表明三者的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。（2）多次相遇追及問題。即兩個(gè)人在一段路程中同時(shí)同地或者同時(shí)異地反復(fù) 相遇和追及，俗稱反復(fù)折騰型問題。分為標(biāo)準(zhǔn)型 （ 如已知兩地距離和兩者速度， 求 n 次相遇或者追及點(diǎn)距特定地點(diǎn)的距離或者在規(guī)定時(shí)間內(nèi)的相遇或追及次數(shù) ） 和純周期問題 （少見，如已知兩者速度，求一個(gè)周期后，即兩者都回到初始點(diǎn)時(shí) 相遇、追及的次數(shù) ）。標(biāo)準(zhǔn)型解法固定， 不能從路程入手， 將會(huì)很繁，最好一開始就用求單位相遇

3、、 追及時(shí)間的方法， 再求距離和次數(shù)就容易得多。 如果用折線示意圖只能大概有個(gè) 感性認(rèn)識(shí)，無法具體得出答案，除非是非考試時(shí)間仔細(xì)畫標(biāo)準(zhǔn)尺寸圖。一般用到的時(shí)間公式是 （只列舉甲、乙從兩端同時(shí)出發(fā)的情況，從同一端出 發(fā)的情況少見，所以不贅述 ）：單程相遇時(shí)間：t單程相遇=s/（v甲+V乙）單程追及時(shí)間：t單程追及=s/（v甲-V乙）第n次相遇時(shí)間：Tn= t單程相遇x （2n-1）第m次追及時(shí)間：Tm= t單程追及x （2m-1）限定時(shí)間內(nèi)的相遇次數(shù)：N相遇次數(shù)=（Tn+ t單程相遇）/2 t單程相遇 限定時(shí)間內(nèi)的追及次數(shù)：M追及次數(shù)=（Tm+ t單程追及）/2 t單程追及注： 是取整符號(hào) 之后再

4、選取甲或者乙來研究有關(guān)路程的關(guān)系，其中涉及到周期問題需要注 意，不要把運(yùn)動(dòng)方向搞錯(cuò)了。簡單例題：甲、乙兩車同時(shí)從 A地出發(fā)，在相距300千米的A、B兩地之間 不斷往返行駛，已知甲車的速度是每小時(shí) 30千米，乙車的速度是每小時(shí) 20千米， 問（1） 第二次迎面相遇后又經(jīng)過多長時(shí)間甲、乙追及相遇 ?（2） 相遇時(shí)距離中點(diǎn)多 少千米?（3）50 小時(shí)內(nèi)，甲乙兩車共迎面相遇多少次 ?三、火車問題。 特點(diǎn)無非是涉及到車長，相對(duì)容易。小題型分為：（1）火車vs點(diǎn)（靜止的，如電線桿和運(yùn)動(dòng)的，如人）s火車=（v火車土 v人） X t經(jīng)過（2）火車vs線段（靜止的，如橋和運(yùn)動(dòng)的，如火車）s火車+S橋=v火車X

5、t經(jīng)過和 s 火車 1+s 火車 2=（v 火車 1± v 火車 2） X t 經(jīng)過合并和來理解即S和=V相對(duì)X t經(jīng)過把電線桿、人的水平長度想象為 0 即可?；疖噯栴}足見基本公式的應(yīng)用廣度，只要略記公式，火車問題一般不是 問題。（3）坐在火車?yán)?。本身所在火車的車長就形同虛設(shè)了，注意的是相對(duì)速度的 計(jì)算。電線桿、橋、隧道的速度為 0（弱智結(jié)論） 。四、流水行船問題。 理解了相對(duì)速度，流水行船問題也就不難了。理解記住1 個(gè)公式（順?biāo)?靜水船速+水流速度 ）就可以順勢理解和推導(dǎo)出其他公式 （逆 水船速=靜水船速-水流速度，靜水船速=（順?biāo)?逆水船速）寧2,水流速度=（順 水船速-

6、逆水船速）-2），對(duì)于流水問題也就夠了。技巧性結(jié)論如下：（1）相遇追及。水流速度對(duì)于相遇追及的時(shí)間沒有影響，即對(duì)無論是同向還 是相向的兩船的速度差不構(gòu)成“威脅”，大膽使用為善。（2）流水落物。漂流物速度 =水流速度， t1= t2（t1 ：從落物到發(fā)現(xiàn)的時(shí)間段， t2 ：從發(fā)現(xiàn)到拾到的時(shí)間段 ）與船速、水速、順行逆行無關(guān)。此結(jié)論所帶來的時(shí) 間等式常常非常容易的解決流水落物問題，其本身也非常容易記憶。例題：一條河上有甲、乙兩個(gè)碼頭，甲碼頭在乙碼頭的上游 50千米處。一艘客船和一艘貨船分別從甲、 乙兩碼頭同時(shí)出發(fā)向上游行駛， 兩船的靜水速度相 同?？痛霭l(fā)時(shí)有一物品從船上落入水中， 10 分鐘后此

7、物品距客船 5 千米。客 船在行駛 20 千米后掉頭追趕此物品，追上時(shí)恰好和貨船相遇。求水流速度。五、間隔發(fā)車問題。 空間理解稍顯困難，證明過程對(duì)快速解題沒有幫助。一 旦掌握了 3 個(gè)基本公式，一般問題都可以迎刃而解。(1) 在班車?yán)铩＜戳▎栴}。 不用基本公式解決， 快速的解法是直接畫時(shí)間 - 距離圖，再畫上密密麻麻的交叉線，按要求數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可完成。如果不畫圖， 單憑想象似乎對(duì)于像我這樣的一般人兒來說不容易。例題：A、B是公共汽車的兩個(gè)車站，從 A站到B站是上坡路。每天上午8 點(diǎn)到11點(diǎn)從A B兩站每隔30分同時(shí)相向發(fā)出一輛公共汽車。已知從 A站到B 站單程需要105分鐘，從B站到A站單程

8、需要80分鐘。問8： 30、9： 00從A 站發(fā)車的司機(jī)分別能看到幾輛從 B站開來的汽車？(2) 在班車外。聯(lián)立 3 個(gè)基本公式好使。汽車間距=(汽車速度+行人速度)X相遇事件時(shí)間間隔 1汽車間距=(汽車速度-行人速度)X追及事件時(shí)間間隔 2汽車間距=汽車速度X汽車發(fā)車時(shí)間間隔-31、 2合并理解，即汽車間距=相對(duì)速度X時(shí)間間隔分為 2個(gè)小題型： 1、一般間隔發(fā)車問題。用 3個(gè)公式迅速作答 ;2、求到達(dá) 目的地后相遇和追及的公共汽車的輛數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)方法是：畫圖 -盡可能多的列 3個(gè) 好使公式-結(jié)合s全程=vX t-結(jié)合植樹問題數(shù)數(shù)。例題：小峰在騎自行車去小寶家聚會(huì)的路上注意到， 每隔 9分鐘就有一

9、輛公 交車從后方超越小峰。 小峰騎車到半路車壞了， 于是只好坐出租車去小寶家。 這 時(shí)小峰又發(fā)現(xiàn)出租車也是每隔 9分鐘超越一輛公交車， 已知出租車的速度是小峰 騎車速度的 5 倍，如果這 3 種車輛在行駛過程中都保持勻速， 那么公交車站每隔 多少分鐘發(fā)一輛車 ?六、平均速度問題。 相對(duì)容易的題型。大公式要牢牢記住：總路程 =平均速 度X總時(shí)間。用s=vX t寫出相應(yīng)的比要比直接寫比例式好理解并且規(guī)范，形成 行程問題的統(tǒng)一解決方案。七、環(huán)形問題。 是一類有挑戰(zhàn)性和難度的題型，分為“同一路徑”、“不同 路徑”、“真實(shí)相遇”、“能否看到”等小題型。其中涉及到周期問題、幾何位 置問題 （審題不仔細(xì)容易

10、漏掉多種位置可能 ） 、不等式問題 （ 針對(duì)“能否看到”問 題，即問甲能否在線段的拐角處看到乙 ） 。仍舊屬于就題論題范疇，不展開了。八、鐘表問題。 是環(huán)形問題的特定引申?；娟P(guān)系式： v 分針= 12v 時(shí)針（1） 總結(jié)記憶：時(shí)針每分鐘走 1/12 格，0.5 °分針每分鐘走 1 格， 6°。時(shí) 針和分針“半”天共重合 11 次，成直線共 11次，成直角共 22次（ 都在什么位置 需要自己拿表畫圖總結(jié) ） 。（2） 基本解題思路：路程差思路。即格或角（ 分針）=格或角 （ 時(shí)針）+格或角 （ 差）格： x=x/12+（ 開始時(shí)落后時(shí)針的格 +終止時(shí)超過時(shí)針的格 ）角： 6

11、x=x/2+（ 開始時(shí)落后時(shí)針的角度 +終止時(shí)超過時(shí)針的角度 ） 可以解決大部分時(shí)針問題的題型， 包括重合、 成直角、成直線、成任意角度、 在哪兩個(gè)格中間，和哪一個(gè)時(shí)刻形成多少角度。例題：在 9點(diǎn) 23分時(shí)，時(shí)針和分針的夾角是多少度 ?從這一時(shí)刻開始， 經(jīng)過 多少分鐘，時(shí)針和分針第一次垂直 ?（3）壞鐘問題。所用到的解決方法已經(jīng)不是行程問題了，變成比例問題了， 有相應(yīng)的比例公式。這里不做討論了，我也討論不好，都是考公務(wù)員的題型，有 難度。九、自動(dòng)扶梯問題。 仍然用基本關(guān)系式 s 扶梯級(jí)數(shù) =（v 人速度± v 扶梯速度 ） Xt上或下解決最漂亮。這里的路程單位全部是“級(jí)”，唯一要注意

12、的是t上或下要表示成實(shí)際走的級(jí)數(shù)/人的速度。可以PK掉絕大部分自動(dòng)扶梯問題。例題：商場的自動(dòng)扶梯以勻速由下往上行駛， 兩個(gè)孩子在行駛的扶梯上上下 走動(dòng)，女孩由下向上走，男孩由上向下走，結(jié)果女孩走了 40 級(jí)到達(dá)樓上，男孩 走了 80級(jí)到達(dá)樓下。如果男孩單位時(shí)間內(nèi)走的扶梯級(jí)數(shù)是女孩的 2 倍，則當(dāng)該 扶梯靜止時(shí)，可看到的扶梯梯級(jí)有多少級(jí) ?十、十字路口問題。 即在不同方向上的行程問題。沒有特殊的解題技巧，只 要老老實(shí)實(shí)把圖畫對(duì)，再通過幾何分析就可以解決。十一、校車問題。 就是這樣一類題：隊(duì)伍多，校車少，校車來回接送，隊(duì)伍 不斷步行和坐車， 最終同時(shí)到達(dá)目的地 (即到達(dá)目的地的最短時(shí)間， 不要求證

13、明 ) 分 4 種小題型： 根據(jù)校車速度 ( 來回不同 ) 、班級(jí)速度 ( 不同班不同速 ) 、班數(shù)是否 變化分類。(1) 車速不變-班速不變-班數(shù) 2個(gè)(最常見)(2) 車速不變 -班速不變 -班數(shù)多個(gè)(3) 車速不變-班速變-班數(shù) 2個(gè)(4) 車速變-班速不變-班數(shù) 2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)解法：畫圖-列 3個(gè)式子： 1、總時(shí)間=一個(gè)隊(duì)伍坐車的時(shí)間 +這個(gè)隊(duì)伍步 行的時(shí)間 ;2 、班車走的總路程 ;3 、一個(gè)隊(duì)伍步行的時(shí)間 =班車同時(shí)出發(fā)后回來接 它的時(shí)間。 最后會(huì)得到幾個(gè)路程段的比值， 再根據(jù)所求代數(shù)即可。 此類問題可以 得到幾個(gè)公式， 但實(shí)話說公式無法記憶， 因?yàn)橄鄬?duì)復(fù)雜， 只能臨考時(shí)抱佛腳還管 點(diǎn)兒

14、用。孩子有興趣推導(dǎo)一下倒可以，不要死記硬背。簡單例題：甲班與乙班學(xué)生同時(shí)從學(xué)校出發(fā)去 15 千米外的公園游玩，甲、 乙兩班的步行速度都是每小時(shí) 4 千米。學(xué)校有一輛汽車，它的速度是每小時(shí) 48 千米，這輛汽車恰好能坐一個(gè)班的學(xué)生。 為了使兩班學(xué)生在最短時(shí)間內(nèi)到達(dá)公園， 那么甲班學(xué)生與乙班學(xué)生需要步行的距離是多少千米 ?十二、保證往返類。 簡單例題： A、B 兩人要到沙漠中探險(xiǎn)，他們每天向沙 漠深處走 20 千米，已知每人最多可以攜帶一個(gè)人 24天的食物和水。 如果不準(zhǔn)將 部分食物存放于途中，其中一個(gè)人最遠(yuǎn)可深入沙漠多少千米 ( 要求兩人返回出發(fā) 點(diǎn))?這類問題其實(shí)屬于智能應(yīng)用題類。 建議推導(dǎo)后記憶結(jié)論， 以便考試快速作答。 每人可以帶夠 t 天的食物，最遠(yuǎn)可以走的時(shí)間 T(1) 返回類。 (保證一個(gè)人走的最遠(yuǎn)，所有人都要活著回來 )1、兩人：如果中途不放食物： T=2/3t