圓錐曲線中重點問題的求解策略與方法

1、圓錐曲線中重點問題的求解策略與方法尹建堂圓錐曲線中的幾個重點問題久考不衰， 且?？汲Ｐ?，因此，掌握其求解的基本策 略與方法是至關(guān)重要的。.求曲線方程問題C、求曲線方程問題的基本形式有兩種：一是已知曲線的形狀與位置關(guān)系求曲線方 程,即通常所說的“求曲線方程”問題，求解的基本策略是：根據(jù)題設的“定位” 條件，合理選擇曲線方程形式，根據(jù)“定量”條件利用待定系數(shù)法建立關(guān)于特征 參數(shù)（a、b、c、e、p）的方程（組），解出有關(guān)參數(shù)，得到所求曲線方程。二 是題設條件給出了點的運動規(guī)律，但難以判斷曲線類型和方程的具體形式， 即通 常所說的“求軌跡方程”問題，求解的基本策略是：分析清楚動點運動的基本規(guī) 律（動

2、點所滿足的幾何條件），把該條件坐標化，使條件坐標化的常用方法有定 義法、直接法、代點法、轉(zhuǎn)移法、參數(shù)法、向量法等。b = 2護（工+ 0）例1.如圖1所示，拋物線2的準線和焦點分別是雙曲線的與拋物線及雙曲線在第一象限分別交于 A B兩點,右準線和右焦點，直線卜二&且A為OB中點。(1)當時，求雙曲線漸近線的斜率;（2）在（1）的條件下，若雙曲線的一條漸近線在 y軸上截距為孑，求拋物 線和雙曲線方程。，故需求出e；分析：（1）注意a -心屮尹5（2）由題意知雙曲線方程為肚 b根據(jù)已知條件利用特征參數(shù)a、b、c、p的關(guān)系可獲解/=辰h =2p(x-)屁）或A （2，得點A（p，解：（1）由匚吾33

3、）（舍去）由A是OB的中點，得點B （2P, 2羽P|0糾二J（勿尸十住屁）2 T，且點B到準線xr的距離為d = R由離心率及雙曲線定義，得:=?=耐=乎二 （兀-幾）線方程為3，由漸近線在y軸上截距為3（2）依題意設雙曲線方程為雙曲線的半焦距c= 4。得帝二Y，從而知，則雙曲線的一條漸近F 二? ，得所求雙曲線方程為7.所求拋物線方程為評注：圓錐曲線中的特征參數(shù)宀去土護a、b、c、e、p （焦點到相應準線的距離）及其間卩=,P - ,反的關(guān)系：映了圓錐曲線的本質(zhì)屬性，且與坐標系的選取無關(guān)，在解決圓錐曲線的諸多問題 中起著十分重要的作用。（橢圓取“ + ”，雙曲線取“一”）.直線與圓錐曲線位

4、置關(guān)系問題求解的基本策略是，將其轉(zhuǎn)化為直線與圓錐曲線方程的方程組的解的問題，進而轉(zhuǎn)化為一元二次方程的實根問題，因而判別式、韋達定理、弦長公式、焦半徑公 式的應用，以及設而不求、整體代入、數(shù)形結(jié)合的思想方法技巧在這里起著極為重要的作用。例2.直線4 + 1與雙曲線女相交于不同兩點A Bo（1）以AB為直徑的圓恰好過原點，求k的值。對稱？若存在，求出k值；若不（2）是否存在k，使A B兩點關(guān)于直線y- 2x 存在，請說明理由。分析：（1）所給圓過原點的條件為21旳卅I（C為AB中點），將其轉(zhuǎn)化為k 的方程；（2）用假設法求解。解：（1）將卜=&+1代入弓*-屛，消去y，得:G-H)F-2h-2 =

5、 0依題意知士韻，由心=或 k ，得一丈上丈或一七 心設 A （xi，yi）， B （X2，y2），AB中點 C （Xo，y。），由韋達定理，得2上-2Z,3于是 23-F3-Fk33-e * 3-F因以AB為直徑的圓過原點，則在 Rt AOB中，匚冋曲I，由兩點距離公式及 弦長公式，得：化簡，得片-4上2+ 3=0，解得|上=1|或2 7 （舍去）(2)假設存在k，使A、B關(guān)于直線y=2x對稱，則直線p=2x垂直平分線段AB上=r于是 2且AB中點在直線y2X上。與弘H聯(lián)立，消去y,得:丄 12由韋達定理、中點公式，可得 AB中點C (11) 顯然點C不在直線上，故滿足條件的k不存在。評注：

6、(1中要注意圓錐曲線與直線方程聯(lián)立得到相應的一元二次方程的二次 項系數(shù)，對它們交點個數(shù)的影響；(2)屬探索型問題，也是高考中的常見題型, 基本解法有假設法、反證法。三.最值問題 求解的基本策略有二：一是從幾何角度考慮，當題目中的條件和結(jié)論明顯體現(xiàn)幾 何特征及意義時，可用圖形性質(zhì)來解；二是從代數(shù)角度考慮，當題中的條件和結(jié) 論體現(xiàn)出一種明顯的函數(shù)關(guān)系時，可通過建立目標函數(shù)，求其目標函數(shù)的最值， 求函數(shù)最值的常用方法有： 函數(shù)單調(diào)性法等。元二次函數(shù)法、基本不等式法、判別式法、定義法、例3.已知0為坐標原點， 沁，試求分析：設AB與x軸交點為 目標函數(shù)M（ t，0）X，則可根據(jù)題設條件利用向量數(shù)量積建

7、立A B為拋物線宀2品 0)上的點，設 m的最小值。解：如圖 2,設 AB 交 x 軸于點 M（ t，0），A（ xi, yi）, B（ X2, y2）。當 AB 與 x軸斜交時，設ABJ =托a - )i由|L/ = 2 嚴，得耳1心=宀=2前當WFIa軸時，上面結(jié)論仍成立。E圖嚴fl鬲I鬲MID詼=l|MUc75|.cosEAOB. tan OF2 由已知條件=用tan 40占m = l|S|-|(5|cosZOS=-o內(nèi) + JVJ = 2(廠2典)=2(戸尸-2 h - 2 h 當t = P時, 評注：選取自變量t是關(guān)鍵，這是一道立意新穎、涉及知識點多且難度適中的好 題。四.參數(shù)范圍問題求解的基本策略是構(gòu)建以待定參數(shù)為主元的關(guān)系式。常用方法有：不等式法（列出關(guān)于待定參數(shù)的不等式組，解得待定參數(shù)的范圍），函數(shù)法。例4.如圖3,拋物線X T+匚=1的一段與橢圓4 弓 的一段圍成封閉圖形，點 N（ 1, 0）在X軸上，又A B兩點分別在拋物線及橢圓上， 且AB/X軸，求 NAB 的周長I的取值范圍。解：易知N為拋物線A占 Z = -1C、A B、D在同一條與x軸平行的直線上。,過A作,3】于C,過B作也業(yè)于D,則Ij -k丿4；i(9X = 4分析：利用I與拋物線的準線和橢圓右準線之間的距離關(guān)系是求解的關(guān)鍵。八 g的焦點，又為橢圓的右焦點，拋物線的準線 ，橢圓的右準線h乂