圓錐曲線中重點(diǎn)問題的求解策略與方法

1、圓錐曲線中重點(diǎn)問題的求解策略與方法尹建堂圓錐曲線中的幾個(gè)重點(diǎn)問題久考不衰， 且?？汲Ｐ?，因此，掌握其求解的基本策 略與方法是至關(guān)重要的。.求曲線方程問題C、求曲線方程問題的基本形式有兩種：一是已知曲線的形狀與位置關(guān)系求曲線方 程,即通常所說的“求曲線方程”問題，求解的基本策略是：根據(jù)題設(shè)的“定位” 條件，合理選擇曲線方程形式，根據(jù)“定量”條件利用待定系數(shù)法建立關(guān)于特征 參數(shù)（a、b、c、e、p）的方程（組），解出有關(guān)參數(shù)，得到所求曲線方程。二 是題設(shè)條件給出了點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，但難以判斷曲線類型和方程的具體形式， 即通 常所說的“求軌跡方程”問題，求解的基本策略是：分析清楚動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的基本規(guī) 律（動(dòng)

2、點(diǎn)所滿足的幾何條件），把該條件坐標(biāo)化，使條件坐標(biāo)化的常用方法有定 義法、直接法、代點(diǎn)法、轉(zhuǎn)移法、參數(shù)法、向量法等。b = 2護(hù)（工+ 0）例1.如圖1所示，拋物線2的準(zhǔn)線和焦點(diǎn)分別是雙曲線的與拋物線及雙曲線在第一象限分別交于 A B兩點(diǎn),右準(zhǔn)線和右焦點(diǎn)，直線卜二&且A為OB中點(diǎn)。(1)當(dāng)時(shí)，求雙曲線漸近線的斜率;（2）在（1）的條件下，若雙曲線的一條漸近線在 y軸上截距為孑，求拋物 線和雙曲線方程。，故需求出e；分析：（1）注意a -心屮尹5（2）由題意知雙曲線方程為肚 b根據(jù)已知條件利用特征參數(shù)a、b、c、p的關(guān)系可獲解/=辰h =2p(x-)屁）或A （2，得點(diǎn)A（p，解：（1）由匚吾33

3、）（舍去）由A是OB的中點(diǎn)，得點(diǎn)B （2P, 2羽P|0糾二J（勿尸十住屁）2 T，且點(diǎn)B到準(zhǔn)線xr的距離為d = R由離心率及雙曲線定義，得:=?=耐=乎二 （兀-幾）線方程為3，由漸近線在y軸上截距為3（2）依題意設(shè)雙曲線方程為雙曲線的半焦距c= 4。得帝二Y，從而知，則雙曲線的一條漸近F 二? ，得所求雙曲線方程為7.所求拋物線方程為評(píng)注：圓錐曲線中的特征參數(shù)宀去土護(hù)a、b、c、e、p （焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離）及其間卩=,P - ,反的關(guān)系：映了圓錐曲線的本質(zhì)屬性，且與坐標(biāo)系的選取無關(guān)，在解決圓錐曲線的諸多問題 中起著十分重要的作用。（橢圓取“ + ”，雙曲線取“一”）.直線與圓錐曲線位

4、置關(guān)系問題求解的基本策略是，將其轉(zhuǎn)化為直線與圓錐曲線方程的方程組的解的問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程的實(shí)根問題，因而判別式、韋達(dá)定理、弦長公式、焦半徑公 式的應(yīng)用，以及設(shè)而不求、整體代入、數(shù)形結(jié)合的思想方法技巧在這里起著極為重要的作用。例2.直線4 + 1與雙曲線女相交于不同兩點(diǎn)A Bo（1）以AB為直徑的圓恰好過原點(diǎn)，求k的值。對(duì)稱？若存在，求出k值；若不（2）是否存在k，使A B兩點(diǎn)關(guān)于直線y- 2x 存在，請(qǐng)說明理由。分析：（1）所給圓過原點(diǎn)的條件為21旳卅I（C為AB中點(diǎn)），將其轉(zhuǎn)化為k 的方程；（2）用假設(shè)法求解。解：（1）將卜=&+1代入弓*-屛，消去y，得:G-H)F-2h-2 =

5、 0依題意知士韻，由心=或 k ，得一丈上丈或一七 心設(shè) A （xi，yi）， B （X2，y2），AB中點(diǎn) C （Xo，y。），由韋達(dá)定理，得2上-2Z,3于是 23-F3-Fk33-e * 3-F因以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，則在 Rt AOB中，匚冋曲I，由兩點(diǎn)距離公式及 弦長公式，得：化簡，得片-4上2+ 3=0，解得|上=1|或2 7 （舍去）(2)假設(shè)存在k，使A、B關(guān)于直線y=2x對(duì)稱，則直線p=2x垂直平分線段AB上=r于是 2且AB中點(diǎn)在直線y2X上。與弘H聯(lián)立，消去y,得:丄 12由韋達(dá)定理、中點(diǎn)公式，可得 AB中點(diǎn)C (11) 顯然點(diǎn)C不在直線上，故滿足條件的k不存在。評(píng)注：

6、(1中要注意圓錐曲線與直線方程聯(lián)立得到相應(yīng)的一元二次方程的二次 項(xiàng)系數(shù)，對(duì)它們交點(diǎn)個(gè)數(shù)的影響；(2)屬探索型問題，也是高考中的常見題型, 基本解法有假設(shè)法、反證法。三.最值問題 求解的基本策略有二：一是從幾何角度考慮，當(dāng)題目中的條件和結(jié)論明顯體現(xiàn)幾 何特征及意義時(shí)，可用圖形性質(zhì)來解；二是從代數(shù)角度考慮，當(dāng)題中的條件和結(jié) 論體現(xiàn)出一種明顯的函數(shù)關(guān)系時(shí)，可通過建立目標(biāo)函數(shù)，求其目標(biāo)函數(shù)的最值， 求函數(shù)最值的常用方法有： 函數(shù)單調(diào)性法等。元二次函數(shù)法、基本不等式法、判別式法、定義法、例3.已知0為坐標(biāo)原點(diǎn)， 沁，試求分析：設(shè)AB與x軸交點(diǎn)為 目標(biāo)函數(shù)M（ t，0）X，則可根據(jù)題設(shè)條件利用向量數(shù)量積建

7、立A B為拋物線宀2品 0)上的點(diǎn)，設(shè) m的最小值。解：如圖 2,設(shè) AB 交 x 軸于點(diǎn) M（ t，0），A（ xi, yi）, B（ X2, y2）。當(dāng) AB 與 x軸斜交時(shí)，設(shè)ABJ =托a - )i由|L/ = 2 嚴(yán)，得耳1心=宀=2前當(dāng)WFIa軸時(shí)，上面結(jié)論仍成立。E圖嚴(yán)fl鬲I鬲MID詼=l|MUc75|.cosEAOB. tan OF2 由已知條件=用tan 40占m = l|S|-|(5|cosZOS=-o內(nèi) + JVJ = 2(廠2典)=2(戸尸-2 h - 2 h 當(dāng)t = P時(shí), 評(píng)注：選取自變量t是關(guān)鍵，這是一道立意新穎、涉及知識(shí)點(diǎn)多且難度適中的好 題。四.參數(shù)范圍問題求解的基本策略是構(gòu)建以待定參數(shù)為主元的關(guān)系式。常用方法有：不等式法（列出關(guān)于待定參數(shù)的不等式組，解得待定參數(shù)的范圍），函數(shù)法。例4.如圖3,拋物線X T+匚=1的一段與橢圓4 弓 的一段圍成封閉圖形，點(diǎn) N（ 1, 0）在X軸上，又A B兩點(diǎn)分別在拋物線及橢圓上， 且AB/X軸，求 NAB 的周長I的取值范圍。解：易知N為拋物線A占 Z = -1C、A B、D在同一條與x軸平行的直線上。,過A作,3】于C,過B作也業(yè)于D,則Ij -k丿4；i(9X = 4分析：利用I與拋物線的準(zhǔn)線和橢圓右準(zhǔn)線之間的距離關(guān)系是求解的關(guān)鍵。八 g的焦點(diǎn)，又為橢圓的右焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線 ，橢圓的右準(zhǔn)線h乂