注漿過(guò)程中裂隙與裂隙之間的內(nèi)部作用

1、注漿過(guò)程中裂隙與裂隙之間的內(nèi)部作用Rikard Gothäll *， Håkan Stille摘要：獨(dú)立的地下建筑密封往往是采用了灌漿或預(yù)注漿，并且應(yīng)用最頻繁的是水泥漿液。為了達(dá)到足夠的密封，在漿液變硬之前，必須使細(xì)裂縫貫穿相當(dāng)長(zhǎng)的距離。這是實(shí)現(xiàn)與高注射壓力抗衡的正常的原位應(yīng)力性裂隙。在本文中，對(duì)高應(yīng)力注漿作用下的平行裂隙進(jìn)行了模擬并對(duì)此產(chǎn)生的擴(kuò)張影響進(jìn)行了討論。將線(xiàn)性和非線(xiàn)性斷裂剛度用來(lái)建模。關(guān)鍵詞：注漿 斷裂力學(xué) 頂進(jìn)壓力 非線(xiàn)性斷裂剛度1.引言在斯堪的納維亞盾構(gòu)隧道工程中一般很少采用混凝土襯砌，巖石往往是能夠獨(dú)立的與噴射混凝土和錨桿去支持足夠的質(zhì)量。豐盛的地下水和日趨

2、激烈的水流入隧道對(duì)于斯堪的納維亞企業(yè)家來(lái)說(shuō)是一個(gè)更為顯著的挑戰(zhàn)?；炷烈r砌的缺乏使得預(yù)注漿成為在地下挖掘中最常用的密封方法。水泥灌漿是大多數(shù)項(xiàng)目密封劑最經(jīng)濟(jì)合理的選擇，但是當(dāng)流入邊界收到限制時(shí)，什么現(xiàn)代漿液可能被考慮是注漿流變帶來(lái)的一個(gè)問(wèn)題（2000年埃里克森等人）。為了漿液能夠更好的滲透于細(xì)裂縫中，使用的泵送壓力也越來(lái)越高。它就像一個(gè)活塞在巖體內(nèi)作為作為高壓灌漿穿透裂隙使裂隙面彼此分離。這將使巖石與漿液之間力學(xué)耦合。這種偶合行為以及它對(duì)注漿和密封效果的影響已經(jīng)在許多注漿工程師中間做了大量的研究課題。因此，增加我們對(duì)這些現(xiàn)象的理解，以控制其范圍和判斷其可用性和固有的風(fēng)險(xiǎn)長(zhǎng)期是這項(xiàng)事業(yè)的長(zhǎng)期目標(biāo)

3、。隨著對(duì)漿液流變特性和在泵送壓力下漿液與巖體之間的內(nèi)部作用的深入理解，每個(gè)注漿過(guò)程可以看作是巖體水文測(cè)量。通過(guò)對(duì)注漿期間記錄的數(shù)據(jù)進(jìn)行檢查，可以估計(jì)巖體的力學(xué)和水文特性。在對(duì)注漿過(guò)程中所有信息的積累和解釋將對(duì)預(yù)知今后開(kāi)挖周期形成寶貴工具。然后，在挖掘周期中注漿成為一個(gè)增值過(guò)程而不僅僅是一個(gè)耗時(shí)的必要性。在本文中描述的模型的目標(biāo)是要把握一個(gè)機(jī)械系統(tǒng)，可以作為一個(gè)典型的基礎(chǔ)灌漿方案考慮的基本行為。裂隙傾向于具有類(lèi)似的性質(zhì)和方向，因此，主要基礎(chǔ)方案之一將是兩個(gè)相互平行的裂縫，雖然并不完全相同，水力性質(zhì)在同一時(shí)間從相同的鉆孔內(nèi)灌入。在過(guò)去的研究（2009年Gothäll等人）本文利用幾個(gè)關(guān)鍵

4、要素進(jìn)行了描述。本文為習(xí)慣用于模擬漿液與裂隙之間相互作用的標(biāo)準(zhǔn)裂隙剛度提出了一種分析推到方式。本文中的裂隙剛度模型源于一個(gè)有許多彈簧從事不同層次彈性變形的模型。因此，一個(gè)有正常壓載的裂隙可以看作是一種預(yù)先加載了對(duì)于改變?nèi)魏握Ｘ?fù)荷具有獨(dú)立變化的彈性變形的機(jī)械結(jié)構(gòu)。雖然不一定是線(xiàn)性的，但所產(chǎn)生的標(biāo)準(zhǔn)裂縫剛度可近似的概括為從虎克定律得到標(biāo)準(zhǔn)剛度的定義。之前的研究中表明了加壓漿液是如何分配通過(guò)裂隙和卸載粗糙接觸面的荷載。雖然局部降低荷載可能會(huì)影響裂隙的剛度和抗剪強(qiáng)度，但除非漿液在粗糙接觸面中卸載，否則它不會(huì)影響更大尺度的巖體。因此，應(yīng)當(dāng)減小被用作模型中的荷載之前的注漿壓力。這將通過(guò)減去注漿中地應(yīng)力和

5、利用作為負(fù)載的剩余壓力來(lái)實(shí)現(xiàn)。雖然裂隙剛度的有關(guān)細(xì)節(jié)會(huì)改變，但是該解決方案的功能的出現(xiàn)不會(huì)受到荷載下降的影響。除非漿液傳播區(qū)域受到裂隙幾何形狀的限制，加載區(qū)將會(huì)比注漿區(qū)小。水泥漿液的壓力比地應(yīng)力低的現(xiàn)象存在將影響問(wèn)題的制定，而是對(duì)結(jié)果的解釋。之前的研究對(duì)想從本文中充分受益的讀者給出了極大的建議。在圖1中給出了如何考慮該系統(tǒng)的圖解說(shuō)明。圖1 漿液擴(kuò)展和對(duì)裂隙面的壓力兩裂隙之間的鉆孔壓力相等，但更迅速消散在較薄裂隙在這篇文章中，荷載被認(rèn)為是靜態(tài)的,只對(duì)彈性變形進(jìn)行了較為深入的探討。裂隙變形和漿液流動(dòng)之間的耦合作用也被忽略。如果在發(fā)生變形之后繼續(xù)施加泵送壓力，加載會(huì)以一個(gè)循序漸進(jìn)的方式增加。除非邊界

6、條件也發(fā)生變化，時(shí)間相關(guān)性可以通過(guò)迭代的方式得到，但這些計(jì)算超出了本文的范圍。接下來(lái)本文將描述建模和分析解決問(wèn)題的方法。當(dāng)荷載僅僅作用在對(duì)稱(chēng)軸上時(shí)，該解析解有一個(gè)簡(jiǎn)單的表達(dá)式。采用有限元模型分析其他荷載類(lèi)型并用非線(xiàn)性斷裂剛度進(jìn)行試驗(yàn)。當(dāng)荷載相似時(shí)有限元解決方案與分析解決方案將表現(xiàn)一致性。2.方法2.1定義在當(dāng)前的工程實(shí)踐中，“頂進(jìn)”一詞有著非常廣泛的用途。為了避免混亂，這個(gè)詞和其他幾個(gè)將有如下定義：臨界滲透長(zhǎng)度: 已經(jīng)滲透的漿液壓力超過(guò)臨界壓力時(shí)滲透的總距離。臨界壓力：促使頂進(jìn)所需要的最小壓力。超額壓力稱(chēng)為“后臨界壓力”。頂進(jìn)壓力：在裂隙或部分裂隙的有效應(yīng)力狀態(tài)規(guī)定為零。極限壓力：引起不能接受

7、的變形所需的壓力，例如丟失穩(wěn)定性。隆起：巖體的變形主要由平移構(gòu)成而不是應(yīng)力的改變。其的他影響像水壓致裂過(guò)程在本文中沒(méi)有考慮。2.2邊界條件由于高壓流體的內(nèi)部作用使得對(duì)裂隙變形的估算成為一項(xiàng)艱巨的問(wèn)題。由于所涉及的未知因素很多，一些文獻(xiàn)中的彈性解通常難以適用。在生產(chǎn)環(huán)境中，裂隙的方向往往是唯一可以統(tǒng)計(jì)的，以及他們?cè)趲r體中的延伸很可能完全未知的。當(dāng)我們?cè)诮５臅r(shí)候，不確定裂隙尺寸大小很可能是最麻煩的問(wèn)題，因?yàn)檫@種不確定性需要對(duì)邊界條件進(jìn)行特殊考慮。如果裂隙的尺寸比注漿灌入深度大很多時(shí)裂隙的變形應(yīng)該與該裂隙尺寸無(wú)關(guān)，這是一個(gè)合理的假設(shè)。在邊界上的剩余時(shí)刻應(yīng)該是零，并且作用在裂隙上的荷載應(yīng)該是與局部反

8、應(yīng)平衡的加載。利用這個(gè)方法，所有足夠大的裂隙可以以同種方式模擬，其結(jié)果與裂隙的尺寸無(wú)關(guān)。在注漿壓力作為荷載之前，對(duì)于利用相同變化率的注漿壓力所形成一分錢(qián)形裂紋(Sneddon 和 Lowengrub, 1969年)，可以通過(guò)彈性解來(lái)估算裂隙的變形小于漿液侵入長(zhǎng)度。然而，這些裂隙是不太可能成為灌漿后的含水裂隙網(wǎng)絡(luò)的一部分，所以對(duì)這些裂隙很少考慮。由于注漿壓力的存在，裂隙內(nèi)的壓力分布可以近似為圓錐形的荷載。對(duì)于賓漢姆流體（如水泥漿液），注漿壓力不能像牛頓流體那樣按照指數(shù)方式衰減。相反，它將迅速衰減為流量的減少并最終近似為隨著距離線(xiàn)性下降，壓力下降主要由剪切阻力而非粘滯力確定。因此，圓錐形近似適合這

9、種類(lèi)型的液體。周?chē)膸r體可以假定為擁有足夠的硬度且不變形，不以任何方式影響漿液的流動(dòng)。這個(gè)假定可以通過(guò)觀(guān)察是否鉆孔與其他裂隙相交確定，它將是與經(jīng)歷最明顯的相互作用最接近的兩個(gè)裂隙。這些裂隙之間的巖石將可能是幾個(gè)平行巖石板中最薄的，因此其剛度也是最小的。裂隙剛度已經(jīng)近似為線(xiàn)性和分析問(wèn)題的必要性，否則將缺乏一個(gè)封閉形式的解。然而，對(duì)于有限元模型，一定程度的非線(xiàn)性可以得到滿(mǎn)足。不過(guò)，假設(shè)把該系統(tǒng)的基本行為歸因于非線(xiàn)性是合理的。這是因?yàn)榱严额A(yù)加載的性質(zhì)將暫停兩壓縮裂隙中的巖石板。由于巖石板的變形，斷裂剛度將在壓縮裂隙中增大，在其他裂隙中減小。這個(gè)平衡將在比單一裂隙大的變形的壓縮實(shí)驗(yàn)過(guò)程中使整個(gè)系統(tǒng)的剛

10、度近似表現(xiàn)為線(xiàn)性。有限元模型對(duì)非線(xiàn)性特性有了詳細(xì)一點(diǎn)的探討。2.3模型分析考慮將兩平行裂隙間恒定厚度h的巖石板在兩剛性半空間之間移除。讓巖石板在垂直對(duì)稱(chēng)軸周?chē)臄嗔衙嫘D(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)且斷裂面延伸到無(wú)窮大。另外,要有一個(gè)壓應(yīng)力垂直于斷裂面上的預(yù)應(yīng)力裂隙。此應(yīng)力將在由裂隙剛度構(gòu)成的潛力井中保持巖石板的有利位置。巖石板可以假定遵循基爾板理論(Timoshenko 和 Woinowsky-Krieger, 1959)在這種情況下，控制方程為： （1）其中是巖石板的變形，垂直于裂隙，為巖石板的抗彎剛度（），在這種情況下，巖石板的外加荷載是一個(gè)純粹的點(diǎn)荷載（見(jiàn)公式（5），近似為線(xiàn)性裂隙的彈性標(biāo)準(zhǔn)剛度。此外，是楊氏

11、模量，是泊松比。如果我們讓,其可以看作對(duì)于這個(gè)問(wèn)題的特征尺度參數(shù)，且，公式（1）的解有以下方程給出（例如見(jiàn)Timoshenko和 Woinowsky-Krieger, 1959） （2） 其中和都是貝賽爾函數(shù)，為了分離解決方案的實(shí)部，可以依據(jù)開(kāi)爾文函數(shù)進(jìn)行改寫(xiě)。 （3）由于邊界條件需要在處有局部極值，且衰減變形趨于無(wú)窮大，只有有一個(gè)非零值，從而巖石板變形的主要形式將是開(kāi)爾文函數(shù)之一。如果是對(duì)稱(chēng)軸上的集中荷載，常量可以由剪應(yīng)力的表達(dá)式?jīng)Q定。因此巖石板的撓度計(jì)算公式為 （4）事實(shí)上，對(duì)于分析函數(shù)問(wèn)題，這個(gè)解決方案是方便的。眾所周知開(kāi)爾文函數(shù)的基的屬性可以在許多教科書(shū)中找到。就本分析的目的而言，由于

12、參數(shù)趨于無(wú)窮大，它足以說(shuō)明該函數(shù)迅速趨于零，且在處有局部極大值。2.4有限元模擬有限元模型便于使用不同的荷載狀態(tài)并能夠用于非線(xiàn)性裂隙剛度。它還認(rèn)為，除非巖石板很厚，與巖石板的撓曲相比其擠壓作用的影響非常小。該模型由半徑為40m，厚度為常數(shù)的軸對(duì)稱(chēng)巖石板構(gòu)成。漿液滲透長(zhǎng)度分別設(shè)置為10.2m。不同滲透長(zhǎng)度相當(dāng)于有不同水力孔徑的兩平行裂隙的情況。真實(shí)的情況下的滲透長(zhǎng)度通常都比模型中的長(zhǎng)，但是滲透長(zhǎng)度已經(jīng)以便于研究其他參數(shù)的方式被選用。 利用圓錐函數(shù)近似裂隙中的應(yīng)力分布，模型中產(chǎn)生荷載將是一個(gè)低于注漿液力的環(huán)狀荷載。兩裂隙的滲透深度相等是不可能的，裂隙之間的荷載將與其他荷載平衡并且沒(méi)有除石板的變形以

13、外的其他壓縮。該模型的半徑以至于在外緣上的殘余時(shí)刻已經(jīng)有了足夠下降，而對(duì)模擬沒(méi)有任何影響。一個(gè)足夠大的半徑將確保模型的尺寸對(duì)裂隙的變形沒(méi)有影響，從而模擬無(wú)限裂隙。2.5模擬對(duì)比在有限元模擬中，荷載可以為任意旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)的形狀且剛度不一定為線(xiàn)性。引入更多的現(xiàn)實(shí)荷載和剛度變化將導(dǎo)致兩模型之間的差異增加。通過(guò)增加有限元模型的復(fù)雜性，能夠估計(jì)公式（4）的適用范圍。首先，兩模型中的荷載將設(shè)置為參考值。這個(gè)集中荷載簡(jiǎn)單地認(rèn)為等于分布荷載的積分。對(duì)于有兩個(gè)不同孔徑、同時(shí)注漿的裂隙將產(chǎn)生不同臨界荷載半徑，荷載變?yōu)椋?（5）其中C為另計(jì)荷載區(qū)域。見(jiàn)圖2。圖2 該系統(tǒng)的示意圖。對(duì)于部分滲透長(zhǎng)度，壓力只比臨界壓力高（深

14、灰色與灰色對(duì)比）。因此，在處剩余壓力是最高的，且小裂隙中壓力不再抑制大裂隙中的壓力。左邊是對(duì)稱(chēng)軸。在分析模型中，板延伸至無(wú)窮大。在以下所有計(jì)算中，應(yīng)用下列材料參數(shù)，楊氏模量=60GPa,泊松比（黃岡巖）。超臨界注漿壓力，在處的荷載半徑分別為1m和0.2m。在圖3中可以看到對(duì)比結(jié)果。對(duì)于集中荷載，最大變形比較高，但是超出荷載范圍，變形曲線(xiàn)之間的差異迅速減小。結(jié)果表明，對(duì)于滲透長(zhǎng)度板的厚度比較大。這是有限元模擬獲取該系統(tǒng)基本行為的標(biāo)志。與滲透長(zhǎng)度相比裂隙很小，該模型仍然被認(rèn)為是有效地，但是如果巖石板韌性太大，將不能確定集中荷載近似值。對(duì)于這些情況的解決辦法是采取以點(diǎn)載荷之間的解決辦法。然而，在本文

15、中沒(méi)有嘗試找出這一問(wèn)題的一般解。圖3 半徑為1m環(huán)狀荷載下的有限元模型解和集中荷載下分析解的對(duì)照。圖中參數(shù)為：板厚，楊氏模量，裂隙剛度，附加注漿壓力，臨界滲透長(zhǎng)度。2.6非線(xiàn)性裂隙剛度在有限元模型中，非線(xiàn)性裂隙剛度的影響可以比用解析方法更容易地探討?；拘袨椴粫?huì)改變裂隙剛度，但裂隙膨脹的幅度和范圍會(huì)引起裂隙剛度的改變。幾種具有不同裂隙剛度的模型要設(shè)置自身的限制因素和參數(shù)。然而，出于簡(jiǎn)便的原因他們已經(jīng)應(yīng)用不同的近似方法來(lái)描述相同類(lèi)型的行為。這種近似方法不是確定的裂隙剛度模型，但它的斷裂剛度獲取相同的行為不會(huì)增加太多的新參數(shù)。在有限元分析，下面的表達(dá)式是用于計(jì)算裂隙剛度： （6）其中是尺度參數(shù)，表

16、明變形量需要按照指數(shù)改變裂隙剛度。這一提法確保裂隙剛度對(duì)于小變形的設(shè)定值處于初始應(yīng)力狀態(tài)。對(duì)于大的擴(kuò)張，剛度降低，在壓縮過(guò)程中，剛度增加。在線(xiàn)性的情況下，其彈性勢(shì)能呈拋物線(xiàn)形。然而，對(duì)于非線(xiàn)性的描述，拋物線(xiàn)形由代替，使得對(duì)于小變形有良好的相似性，但是對(duì)于大變形有很大差異，并有效地限制了變形的數(shù)量。以至于這一提法裂隙剛度快速接近高壓縮完整巖石。這種模擬的目的是用來(lái)模仿了BartonBandis斷裂剛度模型(Bandis等,1983年)，但是為合理的變形提供了一個(gè)比原來(lái)的模型更為有效地有限元實(shí)施方法。由于微裂隙閉合受到限制，大裂隙的擴(kuò)張也受到圍巖剛度的限制。在現(xiàn)階段，與前面所描述的相比，由布西涅斯

17、克解的描述的大裂隙的擴(kuò)張更為準(zhǔn)確(Gothäll 等人, 2009年)?，F(xiàn)在的問(wèn)題是兩個(gè)尺度參數(shù)需要加以區(qū)分。第一個(gè)參數(shù)描述了巖石板的彎曲剛度與標(biāo)準(zhǔn)裂隙剛度之間的關(guān)系。第二個(gè)參數(shù)描述了非線(xiàn)性裂隙剛度。然而在實(shí)際工程中參數(shù)只應(yīng)用在分析計(jì)算中，參數(shù)只在計(jì)算機(jī)模擬中應(yīng)用。3.研究結(jié)果表1顯示從線(xiàn)性剛度進(jìn)行有限元建模的結(jié)果。唯一已經(jīng)變化的參數(shù)是影響巖石板剛性的裂隙間距。我們可以看到兩種不同的狀態(tài)。如果巖石板非常薄，它與臨界加載距離有關(guān)，它將不能往更大部分的裂隙分配荷載。這將導(dǎo)致荷載作用下發(fā)生變形且在鉆孔中的最大擴(kuò)張為。如果裂隙被壓密或者注漿壓力超過(guò)臨界壓力一小部分將形成與良好滲透相結(jié)合的方案

18、。表1 使用線(xiàn)性剛度模型由有限元模擬的結(jié)果。由于巖石板的剛度增加，最大擴(kuò)張減小且擴(kuò)展距離增加。對(duì)于較小的裂隙間距，巖石板變得越來(lái)越有韌性且變形將類(lèi)似于荷載的形狀如果巖石板剛性非常大且分配相應(yīng)的荷載將會(huì)出現(xiàn)相反的情況。那么最大的擴(kuò)張將會(huì)比較低，但是很可能在預(yù)注漿之前，擴(kuò)張距離會(huì)在巖體中變得更遠(yuǎn)。當(dāng)尺度參數(shù)大約為0.3，對(duì)應(yīng)于這種情況下的抗彎剛度為時(shí)，兩種應(yīng)力狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)換詳見(jiàn)圖4。剛性板或者由大的非剛性的裂隙包圍的平板，將有一個(gè)與集中荷載分析解緊密匹配的變形。對(duì)于其他情況，其結(jié)果將是一個(gè)集中荷載載解和其他荷載的卷積。錯(cuò)綜復(fù)雜的形狀將有一個(gè)較低的最大擴(kuò)張，但也可能有一個(gè)較大的擴(kuò)張距離。圖4 如果板

19、具有足夠的剛度分配荷載，擴(kuò)張距離將伴隨裂隙剛度有所下降。對(duì)于球板，將會(huì)發(fā)生與荷載具有相同形式的變形。在這些計(jì)算中使用的值，在抗彎剛度約為處將產(chǎn)生過(guò)渡。如果裂縫艱巨變得非常大，巖石板的壓縮將有一個(gè)比撓曲更大的貢獻(xiàn)。在這種情況下，擴(kuò)張距離將變得非常大，類(lèi)似于布西涅斯克解的所預(yù)期的(Gothäll 等人, 2009年)。如果考慮到非線(xiàn)性裂隙剛度，結(jié)果是定性相似的，但最大擴(kuò)張將和擴(kuò)展距離一樣獲得預(yù)期的減小。這些模擬結(jié)果可以在圖5和圖6中看到。圖5 對(duì)于參數(shù)的所有值，其變形的基本形狀是相同的，但幅值和擴(kuò)張范圍減小圖6 x軸表示非線(xiàn)性尺度參數(shù)，y軸表示最大變形量。最右邊的值表示一個(gè)線(xiàn)性剛度。4.

20、討論對(duì)于斯堪的納維亞的地質(zhì)條件條件，我們用一個(gè)例子使用典型值來(lái)說(shuō)明漿液流變和巖石的參數(shù)。按照表2中的說(shuō)明假設(shè)巖石和漿液參數(shù)的典型值，且水力半徑平均值為的兩平行裂隙間距在之外，我們就可以估計(jì)擴(kuò)張結(jié)果。理論上，各條裂縫中的最大漿液滲透系數(shù)可以通過(guò)下面的公式計(jì)算(Gustafson和 Stille，1996年) （7）其中為鉆孔中的注漿壓力和裂隙中的地下水壓力之差，為平均孔徑液體壓力，為漿液的剪切強(qiáng)度。為理論上取決于賓漢姆流體性能的最大滲透系數(shù)，但是在恒定泵送壓力作用下，這個(gè)滲透系數(shù)使得泵送時(shí)間達(dá)到無(wú)窮大。隨著滲透系數(shù)的增加，漿液的剪切強(qiáng)度將增大，從而導(dǎo)致滲流速度迅速接近于零。一般來(lái)說(shuō)，要30分鐘才

21、能達(dá)到的10%且對(duì)于更長(zhǎng)的時(shí)間而言，漿液的流變特性通常不是常數(shù)。由表2的值可知，將在每個(gè)裂隙中產(chǎn)生315m的滲透距離和15m的滲透區(qū)域。利用由于孔徑近2cm的變化所產(chǎn)生的數(shù)值來(lái)進(jìn)行有限元模擬。很顯然在變形之前處在大裂隙附近的微裂隙變成大裂隙，從而增加了系統(tǒng)的剛度，減少了擴(kuò)張。但是，它表明了與裂隙中的平均半徑液壓具有相同數(shù)量級(jí)的擴(kuò)張時(shí)完全有可能的，并且大裂隙的擴(kuò)張將使微裂隙引起孔徑減小。表2 這些參數(shù)用于滲透長(zhǎng)度的計(jì)算。它們可以被視為“典型”數(shù)據(jù)，但是它們會(huì)在不同情況之間發(fā)生變化。上面的例子可以在壓力超過(guò)臨界水平時(shí)，根據(jù)對(duì)注漿中壓力的增加以至于漿液在裂隙中已經(jīng)有一個(gè)很好的滲透距離來(lái)估算。這是一個(gè)與目前采用的運(yùn)作方式類(lèi)似的方法，然而它經(jīng)常用來(lái)分析具有恒定泵送壓力的情況。幾何參數(shù)為常數(shù)，但滲透長(zhǎng)度將隨著時(shí)間增加。最大擴(kuò)張可以寫(xiě)成（見(jiàn)Timoshenko和 Woinowsky-Krieger, 1959年） (8) 由于大裂隙將膨脹使小裂隙閉合，將隨著變形的增加而變小。值得注意的是，擴(kuò)張隨著變形的平方發(fā)生變化。只要荷載能夠近似為集中荷載，裂隙擴(kuò)張范圍不能隨著改變。對(duì)于大型滲透，擴(kuò)張可以描述為荷載和開(kāi)爾文函數(shù)基的循環(huán)。這