(完整版)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)

1、第十一章無(wú)窮級(jí)數(shù)教學(xué)內(nèi)容目錄：§ 1§8本章主要內(nèi)容：常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：無(wú)窮級(jí)數(shù)及其收斂與發(fā)散的定義，無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)，級(jí)數(shù)收斂的必要條件，幾何級(jí)數(shù)，調(diào)和級(jí)數(shù)，P 級(jí)數(shù)，正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法和比值審斂法，交錯(cuò)級(jí)數(shù)，萊布尼茲定理，絕對(duì)收斂和條件收斂。冪級(jí)數(shù) ：冪級(jí)數(shù)概念，阿貝爾（Abel ）定理，冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間，冪級(jí)數(shù)的四則運(yùn)算，和的連續(xù)性、逐項(xiàng)積分與逐項(xiàng)微分。泰勒級(jí)數(shù)，函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)的唯一性，函數(shù)（ex、sinx、cosx、ln（1+x）、（1+x） m等）的幕級(jí)數(shù)展開式，幕級(jí)數(shù)在近似計(jì)算中的應(yīng)用舉例， “歐拉（ Euler ）公式。函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般概

2、念，收效域及和函數(shù)。教學(xué)目的與要求：1 、理解無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無(wú)窮級(jí)數(shù)基本性質(zhì)及收斂的必要條件。2、掌握幾何級(jí)數(shù)和P一級(jí)數(shù)的收斂性。3、掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法，掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法。4、理解交錯(cuò)級(jí)數(shù)的審斂法（萊布尼茲定理）。5、了解無(wú)窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念以及絕對(duì)收斂與收斂的關(guān)系。6、了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。7、掌握比較簡(jiǎn)單的冪級(jí)數(shù)收斂區(qū)間的求法（區(qū)間端點(diǎn)的收斂性可不作要求）。8、了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)。9、了解函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件。10、掌握應(yīng)用ex,sinx,cox,en（1+x）和 （1+x） u 的馬克勞林（M

3、aclaurin ）展開式將一些簡(jiǎn)單的的函數(shù)間接展開成冪級(jí)數(shù)的方法。11、了解函數(shù)展開為傅里葉（Fourier ）級(jí)數(shù)的狄利克雷（Dirchet ）條件，會(huì)將定義在（-冗，冗）上的函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)，并會(huì)將定義在（-冗，冗）上的函數(shù)展 開為正弦或余弦級(jí)數(shù)。本章重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn) :正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法；將一些簡(jiǎn)單的的函數(shù)間接展開成冪級(jí)數(shù)難點(diǎn)：應(yīng)用逐項(xiàng)積分、逐項(xiàng)微分的性質(zhì)求和函數(shù)、本章計(jì)劃學(xué)時(shí)：16 學(xué)時(shí)（ 2節(jié)習(xí)題課）教學(xué)手段：課堂講授、習(xí)題課、討論，同時(shí)結(jié)合多媒體教學(xué)推薦閱讀文獻(xiàn)：1. 高等數(shù)學(xué)同步輔導(dǎo)（下） （第十一章）主編2. 高等數(shù)學(xué)名師導(dǎo)學(xué)（ 下） （第十一章）主編3. 高等數(shù)學(xué)雙博士課

4、堂作業(yè)：習(xí)題 11 1： 2（2、 4）（ 第十一章 ） 主編3(2) 、 4(1 、 3、 5)同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系彭舟航空工業(yè)出版社大學(xué)數(shù)學(xué)名師導(dǎo)學(xué)叢書編寫組中國(guó)水利水電出版社北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院機(jī)械工業(yè)出版社習(xí)題112：1（1 、 3、 5）、 2（2、4）、3（1 、3、4）、 4（1 、3、5）、 5（1 、3、5）習(xí)題113：1（1、 3、5、 6、8）、2（1 、3）習(xí)題114：1、2（2、3、 5）、4、6習(xí)題117：1（1、 3）、2（1） 、4、6能力培養(yǎng)及措施:通過(guò)精講多練, 啟發(fā)式教學(xué), 討論式教學(xué), 重點(diǎn)講授重點(diǎn)、難點(diǎn)，自學(xué)部分內(nèi)容課堂討論 , 結(jié)合習(xí)題課及多媒體教學(xué)培

5、養(yǎng)學(xué)生的比較熟練的運(yùn)算能力、邏輯推理的能力及抽象思維能力, 推薦學(xué)生閱讀相關(guān)文獻(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)能力.§ 11-1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)問題的提出計(jì)算半徑為R圓的面積用內(nèi)接正3X 2n邊形的面積逐步逼近圓面積：正六邊形面積A=a1，正十二邊形面積A=a1 + a2 ,正 3 2n 形面積 A=a + a2+ an若內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)n無(wú)限增大，則和a#a2+a0的極限就是所要求的圓 面積A。這時(shí)和式中的項(xiàng)數(shù)無(wú)限增多，出現(xiàn)了無(wú)窮多個(gè)數(shù)量依次相加的數(shù)學(xué)式子。一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念1.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)如果給定一個(gè)數(shù)列U1 , u2 , u3 ,，un ,，則表達(dá)式u1 + u2+u3+ +un+（1）

6、叫（常數(shù)項(xiàng)）無(wú)窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱（常數(shù)項(xiàng)）級(jí)數(shù)，記為 u即nn 1un =U + U2+U3 + Un+Un =股項(xiàng).n 1注1:怎樣理解級(jí)數(shù)中無(wú)窮多個(gè)數(shù)量相加呢？觀察有限項(xiàng)和的變化趨勢(shì)2 .級(jí)數(shù)的部分和一n前 n 項(xiàng)的和 Sn U1 U2 UnUi（2）1 1部分和數(shù)列 sn: G U1S2 U1 + U2Sn U1 + u2 +u3 +un3.級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散定義（斂散性） 如果級(jí)數(shù)Un的部分和數(shù)列Sn有極限S,即lim Sn Sn 1n則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)Un收斂.,極限S為這級(jí)數(shù)的和，并寫成n 1s Ui+u2+U3+Un + 如果數(shù)列 Sn 沒有極限，則稱無(wú)窮級(jí)數(shù) Un發(fā)眼. n 1注2：若級(jí)數(shù)收

7、斂，Sn是和S的近似值，rnS Sn Un 1 Un 2叫做級(jí)數(shù)的余項(xiàng),，Sn代替和S所產(chǎn)生的誤差是該余項(xiàng)的絕對(duì)值，即誤差是 rn判別級(jí)數(shù)n 1 (n 2)(n 3)的收斂性.unk 1 (k 2)(k 3)1(- n111n 3)3 n 3611limSn1所以級(jí)數(shù)收斂,它的和是1n33例2討論等比級(jí)數(shù)（幾何級(jí)數(shù)）naq (n 0a w0, q :級(jí)數(shù)的公比）的收斂性。分析：若q 1, Sna aqaqna aq1 q當(dāng)q 1時(shí)，lim qn 0, lim Sn a，級(jí)數(shù)收斂，其和a.當(dāng)q 1時(shí), nn 1 q1 qlim qn , lim Sn,級(jí)數(shù)發(fā)散.當(dāng)q 1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。nn即：若q

8、 1 ,級(jí)數(shù)收斂；若q 1,級(jí)數(shù)發(fā)散.例3討論調(diào)和級(jí)數(shù) 1 1的收斂性.分析因?yàn)閤 ln 1 xln2,-211ln -,211. 4一ln 一,333ln 2 ln 一2n4 ln3n 1lnnn 1ln ln n 1nlim Snlim ln n 1nn所以級(jí)數(shù)發(fā)散二、收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1若級(jí)數(shù)Un收斂于和S,則級(jí)數(shù)kUn也收斂，且其和為ks.分析：設(shè)Un與 kUn的部分和分別為Sn與n ,則nkSnn 1n 1lim n lim ksnklimsnks .則 kun 收斂，和為 ksnnn,n 1由n ksn知，若sn無(wú)極限且k 0,則n也無(wú)極限.結(jié)論：級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常

9、數(shù)后，它的收斂性不會(huì)改變n 02n級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)發(fā)散性質(zhì)2若 un n 1Vn分別收斂于s、 n 1，則（Un Vn）也收斂，且其和為sn 1分析： Un、 Vn : sn、n 1n 1(Un Vn)的部分和n$nnn 1lim n sn.則（UnVn）收斂，且其和為sn 1注3:性質(zhì)2也說(shuō)成：兩收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加減性質(zhì)3在級(jí)數(shù)中去掉或加上有限項(xiàng)，不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性 .分析：只需證明“在級(jí)數(shù)的前面部分去掉或加上有限項(xiàng)，不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性” 因?yàn)槠渌樾危丛诩?jí)數(shù)中任意去掉、加上或改變有限項(xiàng)的情形）都可以看成在級(jí)數(shù)的 前面先去掉有限項(xiàng)，然后再加上有限項(xiàng)的結(jié)果.將級(jí)數(shù)U1 + U2 + U3+

10、 - +Uk+Uk 1+ - +Uk n+的前k項(xiàng)去掉，得級(jí)數(shù)Uk 1 + Uk n +新級(jí)數(shù)的部分和為n = Uk1+ + Ukn=sn k $k ,其中）n是原級(jí)數(shù)的前k+n項(xiàng)的和.因或是常數(shù)，故n 時(shí)，n與sk n或者同時(shí)有極限，或者同時(shí)沒有極限.類似地，可以證明在級(jí)數(shù)的前面加上有限項(xiàng)，不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性.性質(zhì)4如果級(jí)數(shù)Un收斂，則對(duì)這級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)n 1(u1uni ) (u ni 1un2)(unkiuni仍然收斂，且其和不變.即加括弧后所成的級(jí)數(shù)收斂，且其和不變.注意如果加括弧后所成的級(jí)數(shù)收斂，則不能斷定去括號(hào)后原來(lái)級(jí)數(shù)也收斂.例如，級(jí)數(shù)(1-1) + (1-1)+收斂于零，但級(jí)數(shù)1-1+1-1+是發(fā)散的.推論：如果加括弧后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散，則原來(lái)級(jí)數(shù)也發(fā)散.事實(shí)上，倘若原來(lái)級(jí) 數(shù)收斂，則根據(jù)性質(zhì)4知道，加括弧后的級(jí)數(shù)就應(yīng)該收斂了 .性質(zhì)5(級(jí)數(shù)收斂的必要條件)若unn 1收斂，則lim nun 0分析設(shè) un的部分和為Sn ,且SnS(nn 1)，則 limunlim(Sn Sn 1) 0.nn注 4: (1)lim un n0 是級(jí)數(shù)收斂的必要條件而非充分條件。如調(diào)和