2020年西城區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試卷及答案(理科)

1、北京市西城區(qū)2020年高三二模試卷數(shù) 學(xué)（理科） 2020.5第I卷（選擇題共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出 符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合 A x|log2x 1, B x|0 x c,其中 c 0.若 AUB B,則c的取值范圍是（）(A) (0,1(B) 1,)(C) (0,2(D) 2,)2.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入如下四個(gè)函數(shù): f (x) ex; f (x) x x 1;則輸出函數(shù)的序號(hào)為(A)(C) f(x)ex; f (x) x x)(B)(D)一 x 3cos 3 .橢圓（是參數(shù)）的離心率是（）y 5sin(A)(B)

2、(C)925(D)1625b”的（4.已知向量 a (x,1), b ( x,4),其中 x R .則 “x 2” 是 “a（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充要條件（D）既不充分又不必要條件5 .右圖是1, 2兩組各7名同學(xué)體重(單位：kg)I組2也數(shù)據(jù)的莖葉圖.設(shè)1, 2兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)依 "次為X1和X2 ,標(biāo)準(zhǔn)差依次為S1和S2 ,那么()其中又為Xi, X2, L , Xn的平均(注：標(biāo)準(zhǔn)差 s4(x x)2 (X2 x)2 L (Xn x)2, 數(shù))X2 , S)S2(A)XiX2 ,SiS2(B)XiS2(C)XiX2 ,SiS2(D)X!2,i .對(duì)0

3、,i,f(X) 06 .已知函數(shù)f(X) kX i，其中實(shí)數(shù)k隨機(jī)選自區(qū)間的概率是()(D)(A)(B) -(C)-3232至第i2層,7 .某大樓共有i2層，有ii人在第i層上了電梯，他彳 每層i人.因特殊原因，電梯只允許停i次，只可使i人如愿到達(dá)，其余i0人都要步行到達(dá) 所去的樓層.假設(shè)這i0位乘客的初始“不滿意度”均為0,乘客每向下步行i 層的“不滿意度”增量為i,每向上步行i層的“不滿意度”增量為2, i0人 的“不滿意度”之和記為S ,則S的最小值是()(A) 42(B) 4i(C) 40(D) 398 . 對(duì)數(shù)列an, 如果 k N*及 i, 2,L , k R ， 使an k1a

4、n k 12an k 2 Lk an成立，其中n N ,則稱an為k階遞歸數(shù)列.給出下列三個(gè)結(jié)論： 若an是等比數(shù)列，則an為1階遞歸數(shù)列; 若an是等差數(shù)列，則an為2階遞歸數(shù)列； 若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an個(gè)，則an為3階遞歸數(shù)列.其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3第R卷(非選擇題共110分)二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.9 .在 ABC 中，BC 73, AC V2, A，則 B310 .已知復(fù)數(shù)z滿足(1 i) z 1,則z 11 .如圖， ABC是。的內(nèi)接三角形，PA是。的切 線，PB交AC于點(diǎn)E,交。于點(diǎn)D .若PA PE,ABC 60

5、, PD 1, PB 9 ,貝U PA ;EC .12 .已知函數(shù)f(x) x2 bx 1是R上的偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)b ;不等式f(x 1) |x|的解集為13. 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長(zhǎng)為1的兩個(gè)全等的等腰直角三角形，該幾何體的體積是若該幾何體的所有頂點(diǎn)在同一球面上，則球的表面積是正覘期制現(xiàn)國(guó)14.曲線C是平面內(nèi)到定點(diǎn)F(0,1)和定直線l ：y1的距離之和等于4的點(diǎn)的軌跡,給出下列三個(gè)結(jié)論：曲線C關(guān)于y軸對(duì)稱；若點(diǎn)P(x,y)在曲線C上，則|y| 2;若點(diǎn)P在曲線C上，則1 |PF | 4.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是:三、解答題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明

6、，演算步驟或證明過(guò)程15.(本小題滿分13分)已知函數(shù) f(x) cos2 (x ) sin2 x .(I )求f(1)的值；(H)若對(duì)于任意的x 0, 2,都有f (x) c ,求實(shí)數(shù)c的取值范圍.16.(本小題滿分14分)如圖，直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直.AB /CD , AB BC , AB 2CD 2BC , EA EB .(I )求證：AB DE ;(II)求直線EC與平面ABE所成角的正弦值；(m)線段EA上是否存在點(diǎn)F ,使EC/平面FBD ?若存在，求出 空；若EA不存在，說(shuō)明理由.17 .(本小題滿分13分)甲、乙兩人參加某種選拔測(cè)試.在備選的1

7、0道題中，甲答對(duì)其中每道題的概率都是3,乙能答對(duì)其中的5道題.規(guī)定每次考試都從備選的10道題中隨機(jī)抽出3道 5題進(jìn)行測(cè)試，答對(duì)一題加10分，答錯(cuò)一題(不答視為答錯(cuò))減5分，至少得15分才能入選.(I)求乙得分的分布列和數(shù)學(xué)期望；(H)求甲、乙兩人中至少有一人入選的概率.18 .(本小題滿分13分)已知拋物線y2 4x的焦點(diǎn)為F ,過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A, B兩點(diǎn).uuur uuu(I )若AF 2FB ,求直線AB的斜率；(H)設(shè)點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)為C ,求四邊形OACB面積的最小化19 .(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x) 2ax 2 a一1 ，其中a R .

8、2x 1(I)當(dāng)a 1時(shí)，求曲線y f(x)在原點(diǎn)處的切線方程；(H )求f (x)的單調(diào)區(qū)間；(m)若f(x)在0,)上存在最大值和最小值，求a的取值范圍.20.(本小題滿分13分)若An aa2 L an (ai 0或1,i 1,2,L ,n),則稱An為0和1的一個(gè)n位排列.對(duì)于A , 將排列an&azL an 1記為R1(An)；將排列a冏41 an 2記為R2(An)；依此類推，直 至 Rn(An) An.對(duì)于排列An和Ri(An)(i 1,2,L ,n 1),它們對(duì)應(yīng)位置數(shù)字相同的個(gè)數(shù)減去對(duì)應(yīng)位置數(shù)字不同的個(gè)數(shù)，叫做An和Ri(An)的相關(guān)值，記作t(An,Ri(An) .

9、例如A3 110, 則 R1(A3) 011, t(A3,R1(A3)1 .若tA'RilAn)1(i 1,2,L ,n 1),則稱 An為最佳排列.(I )寫出所有的最佳排列A3 ;(H)證明：不存在最佳排列(m)若某個(gè)a2k 1 (k是正整數(shù))為最佳排列，求排列 外中1的個(gè)數(shù).北京市西城區(qū)2020年高三二模試卷數(shù)學(xué)(理科)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)2020.5、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.1. D;2. C；二、填空題:_ 冗9 4 ；4 ；本大題共6小題,每小題5分,共30分.1011. 3,12.0, x|1 x 21314注:11、12、13第一問2分，第二問3分；

10、14題少填不給分.15.(解答題：本大題共6小題，共 (本小題滿分13分)I80分.r / 無(wú)2 /無(wú) 2 %f () cos ( ) sin 121212花 cos6(H)解:f(x)1-1 cos(2xI。cos2x)1r/ c又c ,cos(2 x ) cos2x23. c 3 c、sin 2x - cos2x)2_ Ttsin(2 x -).3因?yàn)閤 0, j ,所以, 九2x 310分所以當(dāng)_ 冗2x 一2,即f (x)取得最大值11分所以花0,2f(x)故當(dāng)0,；，f(x)，E.5c時(shí)，c的取值范圍是二).221316 .(本小題滿分14分)(I )證明：取AB中點(diǎn)O ,連結(jié)EO

11、, DO .因?yàn)镋B EA,所以EO AB.1分因?yàn)樗倪呅蜛BCD為直角梯形，AB 2CD 2BC , AB BC ,所以四邊形OBCD為正方形，所以AB OD ：2分所以AB 平面EOD . 3所以 AB ED . 4分(H)解：因?yàn)槠矫?ABE 平面ABCD,且 EO所以EO 平面ABCD ,所以EO OD .由OB,OD,OE兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 O xyz. 5分因?yàn)槿切蜤AB為等腰直角三角形，所以O(shè)A OB OD OE,設(shè)OB 1,所以 O(0,0,0), A( 1,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0),D(0,1,0), E(0,0,1).uur(0

12、,1,0).所以EC (1,1, 1),平面ABE的一個(gè)法向量為OD設(shè)直線EC與平面ABE所成的角為所以sinuur uur |cosEC,OD |uur uur|EC OD | uttr-uumH |EC|OD|EC 與平面 ABE角的正弦值為存在點(diǎn) F , 且EFEA10分，有 EC 平面證明如下：由 EF 1EA ( 1,0, 1), F( -,0,2),所以 FB (-,0, 2). 3333333uur設(shè)平面FBD的法向量為v (a, b, c),則有V uur °,v FB 0.a b 0,所以 42 取 a 1,得 v (1,1,2).a -z 0.3312分因?yàn)?EC

13、 v (1,1, 1) (1,1,2) 0,且 EC 平面 FBD,所以 EC/ 平面 FBD .EF 1 .即點(diǎn)F酒足時(shí)，有EC 平面FBD .EA 314分17 .(本小題滿分13分)(I )解：設(shè)乙答題所得分?jǐn)?shù)為X ,則X的可能取值為15,0,15,30 .c5115)_ 3.P(XC1012c5c25P(X15)-3-C1012P(X0)P(X 30)C2C5"CT512，c5 iC3012EX155(15)015121212301215乙得分的分布列如下:X1501530P155112121212(n)由已知甲、乙至少答對(duì)2題才能入選，記甲入選為事件 A,乙入選為事件B.則

14、 P(A)23223 381叫理(5)法，10分P(B)勺1 112 12211分故甲乙兩人至少有一人入選的概率P 1 P(A B)4412510312513分18 .(本小題滿分13分)(I)解：依題意F(1,0),設(shè)直線AB方程為x my 1 .將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去x得y4my設(shè) A(x1, y1)B(X2,y2),所以 y1 y2 4m, yy?y1uuir因?yàn)锳F2y2 uur2FB ,聯(lián)立和，消去y1，y2,得m*4所以直線AB的斜率是2衣.(n)解：由點(diǎn)C與原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，得M是線段OC的中點(diǎn)，從而點(diǎn)。與點(diǎn)C到直線AB的距離相等,所以四邊形OACB的面積等于

15、2S aob1因?yàn)?2s aob 2 |OF | |yi y2 |210分屈1 y2)2 4yiY2 4x/1 m2 , 12分所以m 0時(shí)，四邊形OACB的面積最小，最小值是4. 13分19 .(本小題滿分14分)(I)解：當(dāng) a 1 時(shí)，f(x)f(x) 2(x 1)(x2(x a)(x )2a2a-x2 1. 2x 1(x 1)分由f (0) 2,得曲線y f(x)在原點(diǎn)處的切線方程是2x y 0 . 3分(x a)(ax 1)(H)解：f (x)2-2.x2 14分當(dāng) a 0時(shí)，f (x) -x2 . x2 1當(dāng)a 0時(shí)，令f (x) 0,得x11a , x2 一，”*)與£

16、 (x)的情況如下: a所以f(x)在(0,)單調(diào)遞增，在(，0)單調(diào)遞減.x(,x1)x(x1, x2)x2(x2,)f (x)00f(x)f (x1)/f(x2)故f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(，a), (1,);單調(diào)增區(qū)間是(a,-).aa7分當(dāng)a 0時(shí)，f(x)與f (x)的情況如下：x(,x2)x2M, X)x(x1,)f (x)00f(x)/f (x2)f(x1)/1 一1所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(，)；單調(diào)減區(qū)間是(1, a), ( a,).aa9分(田)解：由(H)得，a 0時(shí)不合題意.10分11當(dāng)a 0時(shí)，由(H)得，f(x)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1,)單調(diào)遞減，所以f(x)

17、在 aa12(0,)上存在最大值f(1) a 0 .a14分綜上，a的取值范圍是(，1U(0,1.20.(本小題滿分13分)(I )解：最佳排列 A3 為麗，101 , 100,而，010 , 001 . 3分(H )證明：設(shè) A a1a2a3a4a5 ,則 R1(A) a5a1a2a3a4 ,因?yàn)?t(A5,R1(A5)1,所以 | a1a51,| a?a1 | ,| a3a2 |,| a4a31,| a5a4| 之中有 2 個(gè) 0 , 3 個(gè) 1 .按a5a1a2a3a4a5的順序研究數(shù)碼變化，由上述分析可知有2次數(shù)碼不發(fā)生改變，有3次數(shù)碼發(fā)生了改變.但是a5經(jīng)過(guò)奇數(shù)次數(shù)碼改變不能回到自身

18、，所以不存在A ,使得t(A5, R1(A5)1 ,從 而 不 存 在 最 佳 排 列A . 7 分(田)斛：由 A?k 1 a1a2L a2k 1 (a0 或 1, i 1,2, L ,2 k 1),得R (A2k 1)a2k 何仰1 a2k ,R (A2k 1)a2ka2k 1a1a2L a2k 1 ，R2k 1(A2k 1)a3a4 La2k 1a1a2R2k(A2k1)a2k 1al.因?yàn)?t(A2k 1,Ri(A2k1)1(i 1,2,L ,2k),所以a2kl與每個(gè)Ri(A2k 1)有k個(gè)對(duì)應(yīng)位置數(shù)碼相同，有k 1個(gè)對(duì)應(yīng)位置數(shù)碼同，因此有| a1a2k 1 | a2a1 | L| a2ka2k