微積分基本概念

1、微積分基本概念第一章 函數(shù)、極限連續(xù)重點：函數(shù)性質(zhì)與函數(shù)的圖形函數(shù)是微積分的研究對象,因此在課程的開始,要先對函數(shù)部分加以復(fù)習(xí),要求對函數(shù)的概念、表示方法、性質(zhì)及基本初等函數(shù)的圖形有較好的理解與掌握.極限是微積分的基礎(chǔ),故需要介紹一下,因為不考試,故不作復(fù)習(xí)重點,不作任何要求,也不做練習(xí)題.一、函數(shù)（一）函數(shù)的概念1函數(shù)的定義【定義1.1】 設(shè)在某一變化過程中有兩個變量和,若對非空集合中的每一點,都按照某一對應(yīng)規(guī)則,有惟一確定的實數(shù)與之相對應(yīng),則稱是的函數(shù),記作稱為自變量,稱為因變量,稱為函數(shù)的定義域,的取值范圍即集合稱為函數(shù)的值域.平面上點的集合稱為函數(shù)的圖形.定義域(或記)與對應(yīng)法則是確定

2、函數(shù)的兩個要素.因此稱兩個函數(shù)相同是指它們的定義域與對應(yīng)法則都相同.2函數(shù)的表示方法函數(shù)的表示方法一般有三種：解析法、表格法、圖示法.這三種表示方法各有其特點,表格法和圖示法直觀,解析法便于運算,在實際中經(jīng)常結(jié)合使用.3函數(shù)定義域的求法由解析式表示的函數(shù),其定義域是指使該函數(shù)表達式有意義的自變量取值的全體,這種定義域稱為自然定義域,自然定義域通常不寫出,需要我們?nèi)デ蟪?因此必須掌握一些常用函數(shù)表達式有意義的條件.（二）函數(shù)的幾何特性1單調(diào)性（1）【定義1.2】 設(shè)函數(shù)在實數(shù)集上有定義,對于內(nèi)任意兩點,當(dāng) 時,若總有成立,則稱內(nèi)單調(diào)遞增（或單增）；若總有 成立,則稱在內(nèi)嚴(yán)格單增,嚴(yán)格單增也是單增

3、.當(dāng)在內(nèi)單調(diào)遞增時,又稱內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù).類似可以定義單調(diào)遞減或嚴(yán)格單減.單調(diào)遞增或單調(diào)遞減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).（2）可以用定義證明函數(shù)的單調(diào)性,對幾個常用的基本初等函數(shù),可以根據(jù)熟悉的幾何圖形,找出其單調(diào)區(qū)間.對一般的初等函數(shù),我們將利用導(dǎo)數(shù)來求其單調(diào)區(qū)間.2有界性【定義1.3】 設(shè)函數(shù),若存在實數(shù)0,使得對任意,都有,則稱在內(nèi)有界,或稱為內(nèi)的有界函數(shù).【定義1.4】 設(shè)函數(shù),若對任意的實數(shù)0,總可以找到一,使得,則稱在內(nèi)無界,或稱為內(nèi)的無界函數(shù).有界函數(shù)的圖形完全落在兩條平行于軸的直線之間.函數(shù)是否有界與定義域有關(guān),如（0,+）上無界,但在1,e上是有界的.有界函數(shù)的界是不惟一的,即若對任

4、意,都有,則也一定有.3奇偶性【定義1.5】 設(shè)函數(shù)在一個關(guān)于原點對稱的集合內(nèi)有定義,若對任意,都有,則稱為D內(nèi)的奇（偶）函數(shù).奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱,當(dāng)為連續(xù)的函數(shù)時,=0,即的圖形過原點.偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對稱.關(guān)于奇偶函數(shù)有如下的運算規(guī)律：設(shè)為奇函數(shù),為偶函數(shù),則為奇函數(shù)；為偶函數(shù)；非奇偶函數(shù)；為奇函數(shù)；均為偶函數(shù).常數(shù)C是偶函數(shù),因此,奇函數(shù)加非零常數(shù)后不再是奇函數(shù)了.利用函數(shù)奇偶性可以簡化定積分的計算.對研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)作圖都有很大幫助.【例】 判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1);(2)【解】 (1)因為 所以是奇函數(shù).(2)因為4周期性【定義1.6】 設(shè)函數(shù),如果存在非零常數(shù)T

5、,使得對任意,恒有成立,則稱為周期函數(shù).滿足上式的最小正數(shù)T,稱為的基本周期,簡稱周期.我們熟知的三角函數(shù)為周期函數(shù)(考綱不要求),除此以外知之甚少.是以1為周期的周期函數(shù).與的圖形分別如圖1-1(a)和圖1-1(b)所示.圖1-1（三）初等函數(shù)1基本初等函數(shù)（1）常數(shù)函數(shù) ,定義域為(-,+),圖形為平行于軸的直線.在軸上的截距為.（2）冪函數(shù) ,其定義域隨著的不同而變化.但不論取何值,總在（1,+）內(nèi)有定義,且圖形過點（1,1）.當(dāng)0時,函數(shù)圖形過原點（圖1-2）（a） (b)圖1-2（3）指數(shù)函數(shù) ,其定義域為（-,+）.當(dāng)01時,函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)遞減.當(dāng)1時,函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)遞增.子數(shù)圖形過點

6、（0,1）.微積分中經(jīng)常用到以為底的指數(shù)函數(shù),即（圖1-3）（4）對數(shù)函數(shù) ,其定義域為（1,+）,它與互為反函數(shù).微積分中常用到以e為底的對數(shù),記作,稱為自然對數(shù).對數(shù)函數(shù)的圖形過點（1,0）（圖1-4）(圖1-3) (圖1-4) 另有兩類基本初等函數(shù)：三角函數(shù)與反三角函數(shù),不在考綱之內(nèi).對基本初等函數(shù)的特性和圖形要熟練地掌握,這充分條件判斷、導(dǎo)數(shù)和定積分應(yīng)用中都很重要.例如,設(shè)0.則 (1)在內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)減少；（2）在上為凸弧,均不充分.此題可以用舉例的方法來說明（1）、（2）均不充分.由初等函數(shù)的圖形可知,為凸弧.=在（,）上嚴(yán)格單調(diào)遞減,但=-120,因此（1）,（2）均不充分,故選E.

7、此題若把題干改成0,則（1）,（2）均充分,差別就在等于零與不等于零.可見用初等函數(shù)圖形來判斷非常便捷.2反函數(shù)【定義1.7】 設(shè)函數(shù)的定義域為,值域為,如果對于每一個,都有惟一確定的與之對應(yīng),且滿足是一個定義在以為自變量的函數(shù),記作并稱其為反函數(shù).習(xí)慣上用作自變量,作因變量,因此反函數(shù)常記為.函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對稱.嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù),且函數(shù)與其反函數(shù)有相同的單調(diào)性.互為反函.0,+的反函數(shù)為,而（,0）的反函數(shù)為（圖1-2（b）.3復(fù)合函數(shù)【定義1.8】 已知函數(shù).又,uR,若非空,則稱函數(shù)為函數(shù)的復(fù)合函數(shù).其中稱為因變量,稱為自變量,稱為中間變量.4初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過

8、有限次四則運算和有限次復(fù)合運算而得到的一切函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù),初等函數(shù)在其定義域內(nèi)有統(tǒng)一的表達式.（四）隱函數(shù)若函數(shù)的因變量明顯地表示成的形式,則稱其為顯然函數(shù).等.設(shè)自變量與因變量之間的對應(yīng)法則用一個方程式表示,如果存在函數(shù)（不論這個函數(shù)是否能表示成顯函數(shù)）,將其代入所設(shè)方程,使方程變?yōu)楹愕仁剑浩渲袨榉强諏崝?shù)集.則稱函數(shù)由方程所確定的一個隱函數(shù).如方程可以確定一個定義在0,1上的隱函數(shù).此隱函數(shù)也可以表示成顯函數(shù)的形式,即但并不是所有隱函數(shù)都可以用的顯函數(shù)形式來表示,如因為我法用初等函數(shù)表達,故它不是初等函數(shù).另外還需注意,并不是任何一個方程都能確定隱函數(shù),如.（五）分段函數(shù)有些函數(shù),對于其

9、定義域內(nèi)的自變量的不同值,不能用一個統(tǒng)一的解析式表示,而是要用兩個或兩個以上的式子表示,這類函數(shù)稱為分段函數(shù),如都是定義在（,）上的分段函數(shù).分段函數(shù)不是初等函數(shù),它不符合初等函數(shù)的定義.二、極限（不在考試大綱內(nèi),只需了解即可）極限是微積分的基礎(chǔ).（一）數(shù)列極限按照一定順序排成一串的數(shù)叫做數(shù)列,如稱為通項.1極限定義【定義1.9】 設(shè)數(shù)列,當(dāng)項數(shù)無限增大時,若通項無限接近某個常數(shù),則稱數(shù)列收斂于A,或稱A為數(shù)列的極限,記作否則稱數(shù)列發(fā)散或不存在.2數(shù)列極限性質(zhì)（1）四則極限性質(zhì) 設(shè),則（2） （為任意正整數(shù)）.（3）若,則數(shù)列是有界數(shù)列.（4）夾逼定理 設(shè)存在正整數(shù),使得時,數(shù)列滿足不等式.若

10、,則.利用此定理可以證明重要極限 （e2.718,是一個無理數(shù)）.（5）單調(diào)有界數(shù)列必有極限 設(shè)數(shù)列有界,且存在正整數(shù),使得對任意都有（或）,則數(shù)列的極限一定存在.利用此定理可以證明重要極限 （e2.718,是一個無理數(shù)）.（二）函數(shù)的極限1時的極限【定義1.10】 設(shè)函數(shù)在上有定義,當(dāng)時,函數(shù)無限接近常數(shù)A,則稱當(dāng)時以A為極限,記作當(dāng)或時的極限當(dāng)沿數(shù)軸正（負(fù)）方向趨于無窮大,簡記（）時,無限接近常數(shù)A,則稱當(dāng)（）時以A為極限,記作3時的極限【定義1.11】 設(shè)函數(shù)在附近（可以不包括點）有定義,當(dāng)無限接近時,函數(shù)無限接近常數(shù)A,則稱當(dāng)時,以A為極限,記作4左、右極限若當(dāng)從的左側(cè)（）趨于時,無限

11、接近一個常數(shù)A,則稱A為時的左極限,記作 或 若當(dāng)從的左側(cè)（）趨于時,無限接近一個常數(shù)A,則稱A為時的右極限,記作 或 （三）函數(shù)極限的性質(zhì)1惟一性若,則A=B.2局部有界性若.則在的某鄰域內(nèi)（點可以除外）,是有界的.3局部保號性若.且A0（或A0,則存在的某鄰域（點可以除外）,在該鄰域內(nèi)有0（或0。若。且在的某鄰域（點可以除外）有0（或0，則必有A0（或A0）。4不等式性質(zhì)若，且A>B，則存在的某鄰域（點可以除外），使>.若，.且在的某鄰域（點可以除外）有<或（），則AB。5四則運算同數(shù)列（四）無窮小量與無窮大量1無窮小量的定義【定義1.12】 若，則稱是時的無窮小量。（若

12、則稱是時的無窮大量）。2無窮小量與無窮大量的關(guān)系無窮小量的倒數(shù)是無窮大量；無窮大量的倒數(shù)是無窮小量。3無窮小量的運算性質(zhì)（i）有限個無窮小量的代數(shù)和仍為無窮小量。（ii）無窮小量乘有界變量仍為無窮小量。（iii）有限個無窮小量的乘積仍為無窮小量。4無窮小量階的比較設(shè)， 5等價無窮小常用的等價無窮小：是，等價無窮小具有傳遞性，即，又。等價無窮小在乘除時可以替換，即，則第二講 函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)的概念與計算重點：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的定義、幾何意義、基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運算。三、函數(shù)的連續(xù)性（一）函數(shù)連續(xù)的概念1兩個定義【定義1.13】 設(shè)函數(shù)的定義域為。若

13、，則稱點連續(xù)；若中每一點都連續(xù)，則稱點右連續(xù)。【定義1.14】 若，則稱點右連續(xù)。若，則稱點左連續(xù)。點連續(xù)點既左連續(xù)又右連續(xù)。2連續(xù)函數(shù)的運算連續(xù)函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算或復(fù)合而得到的函數(shù)仍然連續(xù)，因而初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)處處連續(xù)。（二）間斷點1若都存在，且不全等于，則稱為的第一類間斷點。其中若存在，但不等于（或在無定義），則為的可去間斷點。若都存在，但不相等，則稱為的跳躍間斷點。2若中至少有一個不存在，則稱為的第二類間斷點。（三）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)若在區(qū)間內(nèi)任一點都連續(xù)，又，則稱函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)。1最值定理設(shè)在上連續(xù)，則在上必有最大值M和最小值m,即存在，使。2價值定理設(shè)在上連續(xù)，且m

14、,M分別是在上最小值與最大值,則對任意的，總存在一點?！就普?】 設(shè)在上連續(xù)，m,M分別為最小值和最大值，且mM<0,則至少存在一點?！就普?】 設(shè)在連續(xù)，且，則一定存在使。推論1，推論2又稱為零值定理。第二章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用一、導(dǎo)數(shù)的概念1導(dǎo)數(shù)定義【定義2.1】 設(shè)y=f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義,在該鄰域內(nèi)給自變量一個改變量,函數(shù)值有一相應(yīng)改變量,若極限存在,則稱此極限值為函數(shù)y=f(x)在x0點的導(dǎo)數(shù),此時稱y=f(x)在x0點可導(dǎo),用表示.若在集合D內(nèi)處處可導(dǎo)（這時稱f(x)在D內(nèi)可導(dǎo)）,則對任意,相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)將隨的變化而變化,因此它是x的函數(shù),稱其為y=f(x)的導(dǎo)函數(shù),記作.2

15、導(dǎo)數(shù)的幾何意義若函數(shù)f(x)在點x0處可導(dǎo),則就是曲線y=f(x)在點（x0,y0）處切線的斜率,此時切線方程為.當(dāng)=0,曲線y=f(x)在點（x0,y0）處的切線平行于x軸,切線方程為.若f(x)在點x0處連續(xù),又當(dāng)時,此時曲線y=f(x)在點（x0,y0）處的切線垂直于x軸,切線方程為x=x0.3左、右導(dǎo)數(shù)【定義2.2】 設(shè)f(x)在點x0點的左側(cè)鄰域內(nèi)有定義,若極限存在,則稱此極限值為f(x)在點x0處的左導(dǎo)數(shù),記為=類似可以定義右導(dǎo)數(shù).f(x)在點x0點處可導(dǎo)的充要條件是f(x)在點x0點處的左、右導(dǎo)數(shù)都存在且相等,即存在.若f(x)在（a,b）內(nèi)可導(dǎo),且及都存在,則稱f(x)在a,b

16、上可導(dǎo).4可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系若函數(shù)點可導(dǎo),則在點處一定連續(xù).此命題的逆命題不成立.郵導(dǎo)數(shù)定義,極限存在可知,在點可導(dǎo),必有,故在點連續(xù).但在點連續(xù)只說明當(dāng)時,也有,而當(dāng)?shù)臒o窮小的階低于時,極限即不存在,故在點不可導(dǎo).只有與是同階無窮小,或是比高階的無窮小時,在點才可導(dǎo).例如,點連續(xù),但不可導(dǎo).二、導(dǎo)數(shù)的運算1幾個基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）（2）（3）（4）2導(dǎo)數(shù)的四則運算（1）；（2）；（3）；（4）；3復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)在x處可導(dǎo),而函數(shù)在相應(yīng)的點處可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)在點x處可導(dǎo),且.4高階導(dǎo)數(shù)（二階導(dǎo)數(shù)）若函數(shù) 區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo),一般說來,其導(dǎo)數(shù)仍然是x的函數(shù),如果也是可導(dǎo)的,則對其繼續(xù)求

17、導(dǎo)數(shù),所得的導(dǎo)函數(shù)稱為的二階導(dǎo)數(shù),記為.【注】 更高階的導(dǎo)數(shù)MBA大綱不要求,二階導(dǎo)數(shù)主要用來判定極值、函數(shù)凹凸區(qū)間及拐點.導(dǎo)數(shù)的計算要求非常熟練、準(zhǔn)確.第三講 微分、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（1）重點：微分的概念及運算、求曲線切線方程的方法、函數(shù)單調(diào)區(qū)間、極值、最值的求法三、微分1微分的概念【定義2.3】 設(shè)在的某鄰域內(nèi)有定義,若在其中給一改變量,相應(yīng)的函數(shù)值的改變量可以表示為其中A與無關(guān),則稱在點可微,且稱A為在點的微分,記為是函數(shù)改變量的線性主部.在可微的充要條件是在可導(dǎo),且.當(dāng)時,可得,因此由此可以看出,微分的計算完全可以借助導(dǎo)數(shù)的計算來完成.（2）微分的幾何意義 當(dāng)由變到時,函數(shù)縱坐標(biāo)的改變量為,

18、此時過點的切線的縱坐標(biāo)的改變量為dy.如圖2-1所示.當(dāng)dy<時,切線在曲線下方,曲線為凹弧.當(dāng)dy>時,切線在曲線上方,曲線為凸弧.2微分運算法則設(shè)可微,則一階微分形式不變性：設(shè)是由可微函數(shù)和復(fù)合而成,則關(guān)于x可微,且由于,不管u是自變量還是中間變量,都具有相同的形式,故稱一階微分形式不變.但導(dǎo)數(shù)就不同了：若u是自變量,.若u是中間變量,.四、利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程求切線方程大致有四種情況,最簡單的一種是求過曲線上一點的切線方程,此時只需求出,切線方程為.第二種情況是過曲線外一點（a,b）,求曲線的切線方程,此時.設(shè)切點為,切線方程為,將點（a,b）代入方程中,有從中

19、求出,化成第一種情況的切線方程,若得到惟一,則切線也不惟一.第三種情況是求兩條曲線的公共切線,這兩條曲線可能相離,也可能相交.設(shè)兩曲線為解題方法是設(shè)在兩條曲線上的切點分別為這兩點的切線斜率相等,從而有方程 另外過點（）的切線方程也過點（b,g(b)）,故有由、求出a,b,有了切點,切線方程也就可以寫出來了.第四種情況是求兩條曲線在某公共點處的公切線.設(shè)曲線在某點處相切,求a的值與切線方程.則可設(shè)切點為,從而有,由兩方程聯(lián)和可得a的值及切點橫坐標(biāo).即切點,再由第一種情況,寫出切線方程.五、函數(shù)的增減性、極值、最值1函數(shù)的增減性的判定設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在（a,b）內(nèi)可導(dǎo),若,則在a,b上單調(diào)增

20、加（或單調(diào)減少）.反之,若在（a,b）上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）且可導(dǎo),則.二者的差異在于有沒有等號.2極值概念與判定【定義2.4】 設(shè)在的某鄰域內(nèi)有定義,對該鄰域內(nèi)任意點x,都有（或）,則稱為極大值（或極小值）為極大值點（或極小值點）.需要注意的是,極值點一定是內(nèi)點,極值不可能在區(qū)間的端點取到.（1）極值存在的必要條件：若在點可導(dǎo),且為極值點,則=0.因此,極值點只需在=0的點（駐點）或不存在的點中去找,也就是說,極值點必定是=0或不存在的點,但這種點并不一定都是極值點,故應(yīng)加以判別.（2）極值存在的充分條件,即極值的判別法,分為第一判別法和第二判別法.第一判別法用一階導(dǎo)數(shù)判定.高在點連續(xù),且

21、=0（或不存在）.若存在,使得當(dāng)時,有>0（或不存在）,當(dāng)時,有<0（或>0）,此時為極大（極?。┲迭c.為極大（極小）值.若在的左右不變號,則不是極值點.以上判別法用下表示意更清楚.x+極大值點極小值點不是極值點不是極值點+第二判別法需用二階導(dǎo)數(shù)判定,只適用于二階導(dǎo)數(shù)存在且不為零的點,因此有局限性.當(dāng)=0,若,則為極小值點,若,為極大值點,判別法失效,仍需用第一判別法.3函數(shù)在閉區(qū)間a,b上的最大值與最小值.極值是函數(shù)的局部性質(zhì).最值是函數(shù)的整體性質(zhì).求最大值與最小值只需找出極值的可疑點（駐點和不可導(dǎo)點）,把這些點的函數(shù)值與區(qū)間的端點函數(shù)值比較,找出最大的與最小的即為最大值和

22、最小值,相應(yīng)的點為最大值點和最小值點.第四講 函數(shù)圖形的凹凸性、拐點、不定積分重點：函數(shù)圖形凹凸區(qū)間及拐點求法、找原函數(shù)的換元積分法和分部積分法六、函數(shù)圖形的凹凸性、拐點及其判定1概念【定義2.5】 若在某區(qū)間內(nèi),曲線弧上任一點處的切線位于曲線的下方,則稱曲線在此區(qū)間內(nèi)是上凹的,或稱為凹?。ê営洖椋环粗?切線位于曲線上方,則稱曲線是上凸的,亦稱凸?。ê営洖椋?曲線凹、凸的分界點稱為拐點.2凹凸的判定設(shè)函數(shù)在區(qū)間（a,b）內(nèi)二階可導(dǎo),若在（a,b） 內(nèi)恒有>0（或<0）,則曲線在（a,b）內(nèi)是凹?。ɑ蛲够。?3拐點的求法與判定拐點存在的必要條件是=0或不存在（請與極值比較其共性）.

23、設(shè)在（a,b）內(nèi)二階可導(dǎo),不存在,若在點的左右變號,則點是曲線的拐點,否則就不是拐點.由以上可以看出,要求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點,只要找出其一階導(dǎo)數(shù)等于零和一階導(dǎo)不存在的點,設(shè)這種點一共有k個,則這個k個點把整個區(qū)間分成k+1個子區(qū)間,在每一個子區(qū)間內(nèi)不變號,由>0（或）判定f（x）在該子區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增（或遞減）,同時也可以將極大值點和極小值點求出.求函數(shù)曲線的凹凸區(qū)間與拐點.只需求二階導(dǎo)數(shù)等于零或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點,然后用上面的方法加以判定.第三章 定積分及其應(yīng)用 一、不定積分1不定積分概念【定義3.1】(原函數(shù)) 若對區(qū)間I上的每一點x,都有則稱F（x）是函數(shù)f(x)在該區(qū)間上的一個

24、原函數(shù).原函數(shù)的特性 若函數(shù)f(x)有一個原函數(shù)F(x),則它就有無窮多個原函數(shù),且這無窮多個原函數(shù)可表示為F（x）+C的形式,其中C是任意常數(shù).【定義3.2】(不定積分) 函數(shù)f(x)的原函數(shù)的全體稱為f(x)的不定積分,記作.若F(x)是f(x)的一個原函數(shù),則【定義3.3】(原函數(shù)的存在性) 在區(qū)間I上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上存在原函數(shù)；且原函數(shù)在該區(qū)間上也必連續(xù).2不定積分的性質(zhì)（1）積分運算與微分運算互為逆運算.（2）（3）3基本積分公式4求不定積分的基本方法和重要公式（1）直接積分法所謂直接積分法就是用基本積分公式和不定積分的運算性質(zhì),或先將被積函數(shù)通過代數(shù)或三角恒等變形,再用基本積分

25、公式和不定積分的運算性質(zhì)可求出不定積分的結(jié)果.（2）換元積分法（I）第一換元積分法【公式3.1】 若,則 = .【說明】 1°運算較熟練后,可不設(shè)中間變量,上式可寫作2°第一換元積分法的實質(zhì)正是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式的逆用.它相當(dāng)于將基本積分公式中的積分變量x用x的可微函數(shù)替換后公式仍然成立.用第一換元積分法的思路不定積分可用第一換元積分法,并用變量替換,其關(guān)鍵是被積函數(shù)g(x)可視為兩個因子的乘積且一個因子的函數(shù)（是積分變量x的復(fù)合函數(shù)）,另一個因子是的導(dǎo)數(shù)（可以相差常數(shù)因子）.有些不定積分,初看起來,被積函數(shù)不具有上述第一換元積分法所要求的特征,在熟記基本積分公式的前提下,注

26、意觀察被積函數(shù)的特點,將其略加恒等變形：代數(shù)或三角變形,便可用第一換元積分法.（II）第二換元積分法【公式3.2】 【說明】 第二換元積分法與第一換元積分法實際上正是一個公式從兩個不同的方向運用 用第二換元積分法的思路若所給的積分不易積出時，將原積分變量x用新變量t的某一函數(shù)來替換，化成以t為積分變量的不定積分，若該積分易于積出，便達到目的。被積函數(shù)是下述情況，一般要用第二換元積分法：1°被積函數(shù)含根式，求其反函數(shù)。作替換，可消去根式，化為代數(shù)有理式的積分。2°被積函數(shù)含根式時，令，求其反函數(shù)，作替換可消去根式。被積函數(shù)含指數(shù)函數(shù)，有時也要作變量替換：令，設(shè)，以消去。（3）

27、分部積分法【公式3.3】 【說明】 分部積分法是兩個函數(shù)乘積求導(dǎo)數(shù)公式的逆用。用分部積分法的思路(I)公式的意義欲求 求(II)關(guān)于選取u和用分部積分法的關(guān)鍵是,當(dāng)被積函數(shù)看作是兩個函數(shù)乘積時,選取哪一個因子為,哪一個因子為.一般來說,選取u和應(yīng)遵循如下原則:1°選取作的函數(shù),應(yīng)易于計算它的原函數(shù);2°所選取的u和,要使積分較積分易于計算;3°有的不定積分需要連續(xù)兩次(或多于兩次)運用分部積分法,第一次選作(或u)的函數(shù),第二次不能選由(或u)所得到的v(或).否則,經(jīng)第二次運用,被積函數(shù)又將復(fù)原.()分部積分法所適用的情況由于分部積分法公式是微分法中兩個函數(shù)乘積

28、的求導(dǎo)數(shù)公式的逆用,因此,被積函數(shù)是兩個函數(shù)乘積時,往往用分部積分法易見效.5.求不定積分需要注意的問題(1)由于初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間上是連續(xù)的,所以每個初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間上都有原函數(shù),但初等函數(shù)的原函數(shù)并不都是初等函數(shù).例如等的原函數(shù)就無法用初等函數(shù)表示.(2)對同一個不定積分,采用不同的計算方法,往往得到形式不同的結(jié)果.這些結(jié)果至多相差一個常數(shù),這是由于不定積分的表達式中含有一個任意常數(shù)所致.第五講重點：定積分的概念、性質(zhì)、變限求導(dǎo)、牛頓-菜布尼茲公式、定積分的換元積方法和分部積分法二、定積分1定積分的定義【定義3.1】(定積分) 函數(shù)在區(qū)間a,b上的定積分定義為，其中.由定積分

29、的定義,可推出以下結(jié)論:(1)定積分只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān);(2)定積分的值與積分變量無關(guān),即;(3),特別地, .定積分的幾何意義設(shè)在a,b上邊續(xù), 在幾何上表示介于i軸、曲線y=及直線之間各部分面積的代數(shù)和,在x軸上方取正號,在x軸下方取負(fù)號.利用定積分的幾何意義,可以計算平面圖形的面積,也是考綱中要求的定義應(yīng)用內(nèi)容.【定理3.2】(可積的必要條件) 若函數(shù)在區(qū)間a,b上可積,則在a,b上有界.【定理3.2】(可積的充分條件) 若函數(shù)在區(qū)間a,b上連續(xù),則在a,b上可積.【定理3.4】(可積的充分條件) 在區(qū)間a,b上只有有限個間斷點的有界函數(shù)在該區(qū)間上可積.2.定積分的性質(zhì)設(shè),在a,

30、b上可積(1)為常數(shù);(2);(3)對積分區(qū)間的可加性 對任意三個數(shù)a,b,c,總有(4)比較性質(zhì) 設(shè),則.特別地1°若,則;2°(5).【定理3.5】(估值定理) 若在a,b上的最大值與最小值分別為M與m,則.【定理3.6】(積分中值定理) 若在a,b上連續(xù),則在a,b上至少存在一點,使.上式若寫成,該式右端稱為函數(shù)在區(qū)間a,b上的平均值.3.微積分學(xué)基本定理【定理3.7】(原函數(shù)存在性定理) 若函數(shù)在區(qū)間a,b上連續(xù),則函數(shù)是在a,b上的一個原函數(shù),即.設(shè)可導(dǎo)【推論1】 設(shè),則.【推論2】 設(shè),則.【推論3】 ,則.【定理3.8】(牛頓-萊布尼茨公式) 若函數(shù)在區(qū)間a,

31、b上連續(xù)，是在a,b上的一個原函數(shù)，則.上述公式也稱為微積分基本定理,是計算定積分的基本公式.4.計算定積分的方法和重要公式(1)直接用牛頓-萊布尼茨公式這時要注意被積函數(shù)在積分區(qū)間a,b上必須連續(xù).(2)換元積分法【公式3.4】 設(shè)函數(shù)在區(qū)間a,b上連續(xù),而函數(shù)滿足下列條件:1°在區(qū)間上是單調(diào)連續(xù)函數(shù);2°3°上連續(xù),則 .該公式從右端到左端相當(dāng)于不定積分的第一換元積分法;從左端到右端相當(dāng)于不定積分的第二換元積分法,即用定積分的換元積分法與不定積分的換元積分法思路是一致的.作變量替換是,要相應(yīng)地變換積分上下限.(3)分部積分法【公式3.5】 設(shè)函數(shù)在區(qū)間a,b上

32、有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),則.用該公式時,其思路與不定積分法的分部積分法是相同的.除此此外,當(dāng)被積函數(shù)為變上限的定積分時,一般要用分部積分法.例如,設(shè),這時,應(yīng)設(shè).(4)計算定積分常用的公式1°.2°奇偶函數(shù)積分 設(shè)上連續(xù),則3°.計算定積分,當(dāng)積分區(qū)間為-a,a時,應(yīng)考慮兩種情況:其一是函數(shù)的奇偶性;其二是作變量替換,用上述公式3°,當(dāng)公式右端的積分易于計算時,便達目的.4°周期函數(shù)積分 設(shè)是以T為周期的周期函數(shù),則.5°若以T為周期且是奇函數(shù),則第六講重點：廣義積分、利用定積分的性質(zhì)還應(yīng)平面圖形面積(直角坐標(biāo)系下).5.廣義積分前面引進的定積

33、分有兩個特點:積分區(qū)間為有限區(qū)間;被積函數(shù)在a,b上為連續(xù)函數(shù)或只有有限個第一類間斷點,從而在a,b上是有界函數(shù).廣義積分是指具有下列兩個特點之一的積分:積分區(qū)間為無窮區(qū)間;被積函數(shù)為有限區(qū)間上的無界函數(shù).MBA大綱只要求無窮區(qū)間上的積分.無窮積分在概率中廣泛應(yīng)用.無窮區(qū)間上的積分【定義3.4】 函數(shù)在區(qū)間a,+上有定義,在a,b(a<b<+)上可積.若極限存在,則稱廣義積分收斂,并規(guī)定若上述極限不存在,則稱廣義積分發(fā)散.類似地,廣義積分用極限的存在與否來定義它的斂散性.函數(shù)在上的廣義積分,定義為其中c是任一有限數(shù),任當(dāng)?shù)忍栍叶说膬蓚€廣義積分都收斂時,左端的廣義積分才收斂;否則稱它

34、是發(fā)散的.6.定積分的應(yīng)用(求平面圖形的面積)(1)面積公式1°曲線,直線所圍圖形的面積2°曲線,和直線所圍圖形的面積3°曲線,直線所圍圖形的面積4°曲線,和直線所圍圖形的面積(2)解題程序1°據(jù)已知條件畫出草圖;2°選擇積分變量并確定積分限:直接判定或解方程組確定曲線的交點;3°用相應(yīng)的公式計算面積.【說明】 選擇積分變量時,一般情況下計算面積時,圖形不分塊或少分塊為好.第七講第四章 多元函數(shù)微分學(xué)重點：一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的計算(不含復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù))、二元函數(shù)無條件極值的求法(必要性和充分性)一、重要定義、定理及公式1.多

35、元函數(shù)、極限與連續(xù)概念【定義4.1】(二元函數(shù)定義) 以x,y為自變量,z為因變量的二元函數(shù)記作數(shù)對集D是函數(shù)的定義域，f是由(x,y)對應(yīng)z的法則;若記,則Z是函數(shù)的值域.幾何意義 函數(shù),其圖形是空間直角坐標(biāo)系下一張空間曲面;該曲面在Oxy平面上的投影區(qū)域就是該函數(shù)的定義域D.【定義4.2】(二元函數(shù)的極限) 函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)除去點以外都有定義.如果動點P（x,y）與定點之間的距離趨向于0時，趨向于一個常數(shù)A，那么就稱A為P趨向于時函數(shù)的極限，記作【定義4.3】(連續(xù)性) 設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義,若則稱函數(shù)在點連續(xù);否則稱函數(shù)在間斷.【定理4.4】(最值定理) 有界閉區(qū)域D上的二元連

36、續(xù)函數(shù),在D上必有最大值和最小值.2.偏導(dǎo)數(shù)【定義4.5】(偏導(dǎo)數(shù)定義) 函數(shù)在點關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)記作;定義為 函數(shù)在點關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)記作;定義為函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)每一點(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)分別記作偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系二元函數(shù)在點連續(xù)不是偏導(dǎo)數(shù)存在的必要條件;偏導(dǎo)數(shù)存在也未必連續(xù).【定義4.5】(高階偏導(dǎo)數(shù)) 函數(shù)在偏導(dǎo)數(shù)、關(guān)于x和關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù),稱為的二階偏導(dǎo)數(shù),共有四個:【定理4.6】 若函數(shù)的二階混合偏導(dǎo)數(shù)和在區(qū)域D內(nèi)連續(xù),則必有=.3.多元函數(shù)的極值【定義4.7】(二元函數(shù)極限定義) 在函數(shù)有定義的點的某鄰域內(nèi),若有,則稱是函數(shù)的極大值或極小值,點稱為函數(shù)的極大值點或極小值點.極值存在的條件

37、【定義4.8】(極值存在的必要條件) 若函數(shù)在點存在偏導(dǎo)數(shù),且是極值點,則【定義4.9】(判別極值點的充分條件) 設(shè)函數(shù)在點的某鄰域連續(xù),存在二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且.記.(1)若且A<0(或C<0),則是極大值點;若且A>0(或C>0),則是極小值點.(2)若,則不是極值點.(3)若,不能判另是否為極值點.二、求偏導(dǎo)數(shù)的思路由偏導(dǎo)數(shù)的定義知,求偏導(dǎo)數(shù)仍是求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題,即.(1) 求偏導(dǎo)(函)數(shù)時,一般用一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式與運算法則.(2) 求在某定點的偏導(dǎo)數(shù)時,可采取兩種方法:1°先求偏導(dǎo)(函)數(shù),然后再定值;2°用下述公式,即求時,可先由得到,

38、再注時也如此.三、求函數(shù)極值的思路1.無條件極值問題求函數(shù)在其定義域D上的極值.求函數(shù)極值的程序(1)求駐點(可能取極值的點) 由定理4.7知,求方程組的一切實數(shù)解;(2)判定 用定理4.9判定所求駐點是否為極值點;(3)求出極值 由極值點求出相應(yīng)的極值.【說明】 (1)駐點不一定是極值點.例如,點(0,0)是函數(shù)的駐點,卻不是極值點.(2)在偏導(dǎo)數(shù)不存在的點處,函數(shù)也可能取得極值,例如,函數(shù)在點(0,0)處偏導(dǎo)數(shù)不存在,但是函數(shù)的極小值.(3)函數(shù)在駐點(0,0)處,均有但易看出,在點(0,0)處,無極值;而有極小值.2.條件極值問題求函數(shù),在約速條件之下的極值,這是條件極值問題,這是在函數(shù)

39、的定義域D上滿足附加條件的點中選取極值點.求解條件極值問題一般有兩種方法(1)把條件極值問題轉(zhuǎn)化為無條件極值問題.先從約束條件中解出表示為x的函數(shù):;再把它代入函數(shù)中,得到,這個一元函數(shù)的無條件極值就是二元函數(shù)在約束條件下的條件極值.當(dāng)從條件解出y較困難時,此法就不適用.解題程序1°先作輔助函數(shù)(稱拉格朗日函數(shù)),其中(稱拉格朗日乘數(shù))是待定常數(shù).2°其次,求可能極值點,求偏導(dǎo)數(shù),并解方程組一般情況是消去,解出x,y,則點(x,y)就是可能極值點.3°判定可能極值點是否為極值點MBA考試不要求判別充分條件,對應(yīng)用問題,一般根據(jù)問題的實際意義來判定.3.最大值與最小

40、值問題在有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值.為了求出極值,需先算出函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)部所有駐點、偏導(dǎo)數(shù)不存在的點的函數(shù)值,一般而言,這是無條件極值問題;其次,需算出函數(shù)在區(qū)域D的邊界上點的函數(shù)值,一般而言,這是以為目標(biāo)函數(shù),以D的邊界曲線方程為約束條件的條件極值問題;最后比較,其中最大(最小)者,即為函數(shù)在D上的最大(最小)值.這是一般方法,實際上這樣做,將是極為復(fù)雜甚至是困難的.對于應(yīng)用問題,若已經(jīng)知道或能夠判定函數(shù)在區(qū)域D的內(nèi)部確實有最大(或最小)值;此時,若在D內(nèi)函數(shù)僅有一個駐點,就可以判定,該駐點的函數(shù)值就是函數(shù)在區(qū)域D上的最大(或最小)值.附錄名師之談數(shù)學(xué)如何學(xué)習(xí)一、數(shù)學(xué)考試在

41、聯(lián)考中占居的位置及如何入手復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)MBA聯(lián)考中，數(shù)學(xué)部分占的比重還是相當(dāng)大的。對大多數(shù)考生來說，數(shù)學(xué)是個難點，也是浪費時間較多的一門課程。從2002年開始，MBA聯(lián)考把數(shù)學(xué)、語文、邏輯作為一門綜合科目來考察。數(shù)學(xué)的題量并沒有減少很多，只是類型上作了改變，都改成選擇題。其中包括條件充分性判斷和問題求解兩個部分，這無疑對考生的數(shù)學(xué)思維提出了更高的要求。2005年聯(lián)考數(shù)學(xué)的新變化是分值略為下降，數(shù)學(xué)總分從90分改為70分，但題型更加靈活多變，所以這就要求考生掌握扎實的基本功和熟練的解題技巧，并具有一定的解題速度。如果達不到一定的速度或計算不準(zhǔn)確就等于不會。根據(jù)以往的教學(xué)經(jīng)驗，我建議考生在復(fù)習(xí)中注意以下幾點：1、不是背誦的背誦要先把教材吃透，對教材上的概念、定理、公式要認(rèn)真領(lǐng)會，牢牢掌握。因為其中的每一個字都是經(jīng)過了甚至數(shù)百年的，無數(shù)次的推