高三物理奧賽培訓(xùn)講義：牛頓運(yùn)動定律

1、第二部分 牛頓運(yùn)動定律第一講 牛頓三定律一、牛頓第一定律1、定律。慣性的量度2、觀念意義，突破“初態(tài)困惑”二、牛頓第二定律1、定律2、理解要點(diǎn)a、矢量性b、獨(dú)立作用性：F a ，F(xiàn)x ax c、瞬時性。合力可突變，故加速度可突變（與之對比：速度和位移不可突變）；牛頓第二定律展示了加速度的決定式（加速度的定義式僅僅展示了加速度的“測量手段”）。3、適用條件a、宏觀、低速b、慣性系對于非慣性系的定律修正引入慣性力、參與受力分析三、牛頓第三定律1、定律2、理解要點(diǎn)a、同性質(zhì)（但不同物體）b、等時效（同增同減）c、無條件（與運(yùn)動狀態(tài)、空間選擇無關(guān)）第二講 牛頓定律的應(yīng)用一、牛頓第一、第二定律的應(yīng)用單獨(dú)

2、應(yīng)用牛頓第一定律的物理問題比較少，一般是需要用其解決物理問題中的某一個環(huán)節(jié)。應(yīng)用要點(diǎn)：合力為零時，物體靠慣性維持原有運(yùn)動狀態(tài)；只有物體有加速度時才需要合力。有質(zhì)量的物體才有慣性。a可以突變而v、s不可突變。1、如圖1所示，在馬達(dá)的驅(qū)動下，皮帶運(yùn)輸機(jī)上方的皮帶以恒定的速度向右運(yùn)動?，F(xiàn)將一工件（大小不計）在皮帶左端A點(diǎn)輕輕放下，則在此后的過程中（ ）A、一段時間內(nèi)，工件將在滑動摩擦力作用下，對地做加速運(yùn)動B、當(dāng)工件的速度等于v時，它與皮帶之間的摩擦力變?yōu)殪o摩擦力C、當(dāng)工件相對皮帶靜止時，它位于皮帶上A點(diǎn)右側(cè)的某一點(diǎn)D、工件在皮帶上有可能不存在與皮帶相對靜止的狀態(tài)解說：B選項需要用到牛頓第一定律，A

3、、C、D選項用到牛頓第二定律。較難突破的是A選項，在為什么不會“立即跟上皮帶”的問題上，建議使用反證法（t 0 ，a ，則Fx ，必然會出現(xiàn)“供不應(yīng)求”的局面）和比較法（為什么人跳上速度不大的物體可以不發(fā)生相對滑動？因?yàn)槿耸强梢孕巫?、重心可以調(diào)節(jié)的特殊“物體”）此外，本題的D選項還要用到勻變速運(yùn)動規(guī)律。用勻變速運(yùn)動規(guī)律和牛頓第二定律不難得出只有當(dāng)L 時（其中為工件與皮帶之間的動摩擦因素），才有相對靜止的過程，否則沒有。答案：A、D思考：令L = 10m ，v = 2 m/s ，= 0.2 ，g取10 m/s2 ，試求工件到達(dá)皮帶右端的時間t（過程略，答案為5.5s）進(jìn)階練習(xí)：在上面“思考”題中

4、，將工件給予一水平向右的初速v0 ，其它條件不變，再求t（學(xué)生分以下三組進(jìn)行） v0 = 1m/s (答：0.5 + 37/8 = 5.13s) v0 = 4m/s (答：1.0 + 3.5 = 4.5s) v0 = 1m/s (答：1.55s)2、質(zhì)量均為m的兩只鉤碼A和B，用輕彈簧和輕繩連接，然后掛在天花板上，如圖2所示。試問： 如果在P處剪斷細(xì)繩，在剪斷瞬時，B的加速度是多少？ 如果在Q處剪斷彈簧，在剪斷瞬時，B的加速度又是多少？解說：第問是常規(guī)處理。由于“彈簧不會立即發(fā)生形變”，故剪斷瞬間彈簧彈力維持原值，所以此時B鉤碼的加速度為零（A的加速度則為2g）。第問需要我們反省這樣一個問題：

5、“彈簧不會立即發(fā)生形變”的原因是什么？是A、B兩物的慣性，且速度v和位移s不能突變。但在Q點(diǎn)剪斷彈簧時，彈簧卻是沒有慣性的（沒有質(zhì)量），遵從理想模型的條件，彈簧應(yīng)在一瞬間恢復(fù)原長！即彈簧彈力突變?yōu)榱恪４鸢福? ；g 。二、牛頓第二定律的應(yīng)用應(yīng)用要點(diǎn)：受力較少時，直接應(yīng)用牛頓第二定律的“矢量性”解題。受力比較多時，結(jié)合正交分解與“獨(dú)立作用性”解題。在難度方面，“瞬時性”問題相對較大。1、滑塊在固定、光滑、傾角為的斜面上下滑，試求其加速度。解說：受力分析 根據(jù)“矢量性”定合力方向 牛頓第二定律應(yīng)用答案：gsin。思考：如果斜面解除固定，上表仍光滑，傾角仍為，要求滑塊與斜面相對靜止，斜面應(yīng)具備一個多

6、大的水平加速度？（解題思路完全相同，研究對象仍為滑塊。但在第二環(huán)節(jié)上應(yīng)注意區(qū)別。答：gtg。）進(jìn)階練習(xí)1：在一向右運(yùn)動的車廂中，用細(xì)繩懸掛的小球呈現(xiàn)如圖3所示的穩(wěn)定狀態(tài)，試求車廂的加速度。（和“思考”題同理，答：gtg。）進(jìn)階練習(xí)2、如圖4所示，小車在傾角為的斜面上勻加速運(yùn)動，車廂頂用細(xì)繩懸掛一小球，發(fā)現(xiàn)懸繩與豎直方向形成一個穩(wěn)定的夾角。試求小車的加速度。解：繼續(xù)貫徹“矢量性”的應(yīng)用，但數(shù)學(xué)處理復(fù)雜了一些（正弦定理解三角形）。分析小球受力后，根據(jù)“矢量性”我們可以做如圖5所示的平行四邊形，并找到相應(yīng)的夾角。設(shè)張力T與斜面方向的夾角為，則=（90°+ ）- = 90°-（-）

7、 （1）對灰色三角形用正弦定理，有 = （2）解（1）（2）兩式得：F = 最后運(yùn)用牛頓第二定律即可求小球加速度（即小車加速度）答： 。2、如圖6所示，光滑斜面傾角為，在水平地面上加速運(yùn)動。斜面上用一條與斜面平行的細(xì)繩系一質(zhì)量為m的小球，當(dāng)斜面加速度為a時（actg），小球能夠保持相對斜面靜止。試求此時繩子的張力T 。解說：當(dāng)力的個數(shù)較多，不能直接用平行四邊形尋求合力時，宜用正交分解處理受力，在對應(yīng)牛頓第二定律的“獨(dú)立作用性”列方程。正交坐標(biāo)的選擇，視解題方便程度而定。解法一：先介紹一般的思路。沿加速度a方向建x軸，與a垂直的方向上建y軸，如圖7所示（N為斜面支持力）。于是可得兩方程Fx =

8、ma ，即Tx Nx = maFy = 0 ， 即Ty + Ny = mg代入方位角，以上兩式成為T cosN sin = ma （1）T sin + Ncos = mg （2）這是一個關(guān)于T和N的方程組，解（1）（2）兩式得：T = mgsin + ma cos解法二：下面嘗試一下能否獨(dú)立地解張力T 。將正交分解的坐標(biāo)選擇為：x斜面方向，y和斜面垂直的方向。這時，在分解受力時，只分解重力G就行了，但值得注意，加速度a不在任何一個坐標(biāo)軸上，是需要分解的。矢量分解后，如圖8所示。根據(jù)獨(dú)立作用性原理，F(xiàn)x = max即：T Gx = max即：T mg sin = m acos顯然，獨(dú)立解T值是成

9、功的。結(jié)果與解法一相同。答案：mgsin + ma cos思考：當(dāng)actg時，張力T的結(jié)果會變化嗎？（從支持力的結(jié)果N = mgcosma sin看小球脫離斜面的條件，求脫離斜面后，條件已沒有意義。答：T = m 。）學(xué)生活動：用正交分解法解本節(jié)第2題“進(jìn)階練習(xí)2”進(jìn)階練習(xí)：如圖9所示，自動扶梯與地面的夾角為30°，但扶梯的臺階是水平的。當(dāng)扶梯以a = 4m/s2的加速度向上運(yùn)動時，站在扶梯上質(zhì)量為60kg的人相對扶梯靜止。重力加速度g = 10 m/s2，試求扶梯對人的靜摩擦力f 。解：這是一個展示獨(dú)立作用性原理的經(jīng)典例題，建議學(xué)生選擇兩種坐標(biāo)（一種是沿a方向和垂直a方向，另一種是

10、水平和豎直方向），對比解題過程，進(jìn)而充分領(lǐng)會用牛頓第二定律解題的靈活性。答：208N 。3、如圖10所示，甲圖系著小球的是兩根輕繩，乙圖系著小球的是一根輕彈簧和輕繩，方位角已知?，F(xiàn)將它們的水平繩剪斷，試求：在剪斷瞬間，兩種情形下小球的瞬時加速度。解說：第一步，闡明繩子彈力和彈簧彈力的區(qū)別。（學(xué)生活動）思考：用豎直的繩和彈簧懸吊小球，并用豎直向下的力拉住小球靜止，然后同時釋放，會有什么現(xiàn)象？原因是什么？結(jié)論繩子的彈力可以突變而彈簧的彈力不能突變（胡克定律）。第二步，在本例中，突破“繩子的拉力如何瞬時調(diào)節(jié)”這一難點(diǎn)（從即將開始的運(yùn)動來反推）。知識點(diǎn)，牛頓第二定律的瞬時性。答案：a甲 = gsin

11、；a乙 = gtg 。應(yīng)用：如圖11所示，吊籃P掛在天花板上，與吊籃質(zhì)量相等的物體Q被固定在吊籃中的輕彈簧托住，當(dāng)懸掛吊籃的細(xì)繩被燒斷瞬間，P、Q的加速度分別是多少？解：略。答：2g ；0 。三、牛頓第二、第三定律的應(yīng)用要點(diǎn)：在動力學(xué)問題中，如果遇到幾個研究對象時，就會面臨如何處理對象之間的力和對象與外界之間的力問題，這時有必要引進(jìn)“系統(tǒng)”、“內(nèi)力”和“外力”等概念，并適時地運(yùn)用牛頓第三定律。在方法的選擇方面，則有“隔離法”和“整體法”。前者是根本，后者有局限，也有難度，但常常使解題過程簡化，使過程的物理意義更加明晰。對N個對象，有N個隔離方程和一個（可能的）整體方程，這（N + 1）個方程中

12、必有一個是通解方程，如何取舍，視解題方便程度而定。補(bǔ)充：當(dāng)多個對象不具有共同的加速度時，一般來講，整體法不可用，但也有一種特殊的“整體方程”，可以不受這個局限（可以介紹推導(dǎo)過程）= m1 + m2 + m3 + + mn其中只能是系統(tǒng)外力的矢量和，等式右邊也是矢量相加。1、如圖12所示，光滑水平面上放著一個長為L的均質(zhì)直棒，現(xiàn)給棒一個沿棒方向的、大小為F的水平恒力作用，則棒中各部位的張力T隨圖中x的關(guān)系怎樣？解說：截取隔離對象，列整體方程和隔離方程（隔離右段較好）。答案：N = x 。思考：如果水平面粗糙，結(jié)論又如何？解：分兩種情況，（1）能拉動；（2）不能拉動。第（1）情況的計算和原題基本相

13、同，只是多了一個摩擦力的處理，結(jié)論的化簡也麻煩一些。第（2）情況可設(shè)棒的總質(zhì)量為M ，和水平面的摩擦因素為，而F = Mg ，其中l(wèi)L ，則x(L-l)的右段沒有張力，x(L-l)的左端才有張力。答：若棒仍能被拉動，結(jié)論不變。若棒不能被拉動，且F = Mg時（為棒與平面的摩擦因素，l為小于L的某一值，M為棒的總質(zhì)量），當(dāng)x(L-l)，N0 ；當(dāng)x(L-l)，N = x -L-l。應(yīng)用：如圖13所示，在傾角為的固定斜面上，疊放著兩個長方體滑塊，它們的質(zhì)量分別為m1和m2 ，它們之間的摩擦因素、和斜面的摩擦因素分別為1和2 ，系統(tǒng)釋放后能夠一起加速下滑，則它們之間的摩擦力大小為：A、1 m1gco

14、s ； B、2 m1gcos ；C、1 m2gcos ； D、1 m2gcos ；解：略。答：B 。（方向沿斜面向上。）思考：（1）如果兩滑塊不是下滑，而是以初速度v0一起上沖，以上結(jié)論會變嗎？（2）如果斜面光滑，兩滑塊之間有沒有摩擦力？（3）如果將下面的滑塊換成如圖14所示的盒子，上面的滑塊換成小球，它們以初速度v0一起上沖，球應(yīng)對盒子的哪一側(cè)內(nèi)壁有壓力？解：略。答：（1）不會；（2）沒有；（3）若斜面光滑，對兩內(nèi)壁均無壓力，若斜面粗糙，對斜面上方的內(nèi)壁有壓力。2、如圖15所示，三個物體質(zhì)量分別為m1 、m2和m3 ，帶滑輪的物體放在光滑水平面上，滑輪和所有接觸面的摩擦均不計，繩子的質(zhì)量也不

15、計，為使三個物體無相對滑動，水平推力F應(yīng)為多少？解說：此題對象雖然有三個，但難度不大。隔離m2 ，豎直方向有一個平衡方程；隔離m1 ，水平方向有一個動力學(xué)方程；整體有一個動力學(xué)方程。就足以解題了。答案：F = 。思考：若將質(zhì)量為m3物體右邊挖成凹形，讓m2可以自由擺動（而不與m3相碰），如圖16所示，其它條件不變。是否可以選擇一個恰當(dāng)?shù)腇，使三者無相對運(yùn)動？如果沒有，說明理由；如果有，求出這個F的值。解：此時，m2的隔離方程將較為復(fù)雜。設(shè)繩子張力為T ，m2的受力情況如圖，隔離方程為： = m2a隔離m1 ，仍有：T = m1a解以上兩式，可得：a = g最后用整體法解F即可。答：當(dāng)m1 m2

16、時，沒有適應(yīng)題意的F；當(dāng)m1 m2時，適應(yīng)題意的F= 。3、一根質(zhì)量為M的木棒，上端用細(xì)繩系在天花板上，棒上有一質(zhì)量為m的貓，如圖17所示?，F(xiàn)將系木棒的繩子剪斷，同時貓相對棒往上爬，但要求貓對地的高度不變，則棒的加速度將是多少？解說：法一，隔離法。需要設(shè)出貓爪抓棒的力f ，然后列貓的平衡方程和棒的動力學(xué)方程，解方程組即可。法二，“新整體法”。據(jù)= m1 + m2 + m3 + + mn ，貓和棒的系統(tǒng)外力只有兩者的重力，豎直向下，而貓的加速度a1 = 0 ，所以：（ M + m ）g = m·0 + M a1 解棒的加速度a1十分容易。答案：g 。四、特殊的連接體當(dāng)系統(tǒng)中各個體的加速

17、度不相等時，經(jīng)典的整體法不可用。如果各個體的加速度不在一條直線上，“新整體法”也將有一定的困難（矢量求和不易）。此時，我們回到隔離法，且要更加注意找各參量之間的聯(lián)系。解題思想：抓某個方向上加速度關(guān)系。方法：“微元法”先看位移關(guān)系，再推加速度關(guān)系。、1、如圖18所示，一質(zhì)量為M 、傾角為的光滑斜面，放置在光滑的水平面上，另一個質(zhì)量為m的滑塊從斜面頂端釋放，試求斜面的加速度。解說：本題涉及兩個物體，它們的加速度關(guān)系復(fù)雜，但在垂直斜面方向上，大小是相等的。對兩者列隔離方程時，務(wù)必在這個方向上進(jìn)行突破。（學(xué)生活動）定型判斷斜面的運(yùn)動情況、滑塊的運(yùn)動情況。位移矢量示意圖如圖19所示。根據(jù)運(yùn)動學(xué)規(guī)律，加速

18、度矢量a1和a2也具有這樣的關(guān)系。（學(xué)生活動）這兩個加速度矢量有什么關(guān)系？沿斜面方向、垂直斜面方向建x 、y坐標(biāo)，可得：a1y = a2y 且：a1y = a2sin 隔離滑塊和斜面，受力圖如圖20所示。對滑塊，列y方向隔離方程，有：mgcos- N = ma1y 對斜面，仍沿合加速度a2方向列方程，有：Nsin= Ma2 解式即可得a2 。答案：a2 = 。（學(xué)生活動）思考：如何求a1的值？解：a1y已可以通過解上面的方程組求出；a1x只要看滑塊的受力圖，列x方向的隔離方程即可，顯然有mgsin= ma1x ，得:a1x = gsin 。最后據(jù)a1 = 求a1 。答：a1 = 。2、如圖21所示，與水平面成角的AB棒上有一滑套C ，可以無摩擦地在棒上滑動，開始時與棒