北京市東城區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷理科解析

1、2016年北京市東城區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）一、本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項1已知復(fù)數(shù)i（1+ai）為純虛數(shù)，那么實數(shù)a的值為（）A1B0C1D22集合A=x|xa，B=x|x25x0，若AB=B，則a的取值范圍是（）Aa5Ba4Ca5Da43某單位共有職工150名，其中高級職稱45人，中級職稱90人，初級職稱15人現(xiàn)采用分層抽樣方法從中抽取容量為30的樣本，則各職稱人數(shù)分別為（）A9，18，3B10，15，5C10，17，3D9，16，54執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為（）AB1C2D45在極坐標(biāo)系中，直線sincos=1被曲線

2、=1截得的線段長為（）AB1CD6一個幾何體的三視圖如圖所示，那么該幾何體的最長棱長為（）A2BC3D7已知三點P（5，2）、F1（6，0）、F2（6，0）那么以F1、F2為焦點且過點P的橢圓的短軸長為（）A3B6C9D128已知1，2為平面上的單位向量，1與2的起點均為坐標(biāo)原點O，1與2夾角為平面區(qū)域D由所有滿足=1+2的點P組成，其中，那么平面區(qū)域D的面積為（）ABCD二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分9在的展開式中，x3的系數(shù)值為_（用數(shù)字作答）10已知等比數(shù)列an中，a2=2，a3a4=32，那么a8的值為_11如圖，圓O的半徑為1，A，B，C是圓周上的三點，過點A作圓O

3、的切線與OC的延長線交于點P，若CP=AC，則COA=_；AP=_12若，且，則sin2的值為_13某貨運員擬運送甲、乙兩種貨物，每件貨物的體積、重量、可獲利潤以及運輸限制如表：貨物體積（升/件）重量（公斤/件）利潤（元/件）甲20108乙102010運輸限制110100在最合理的安排下，獲得的最大利潤的值為_14已知函數(shù)f（x）=|lnx|，關(guān)于x的不等式f（x）f（x0）c（xx0）的解集為（0，+），其中x0（0，+），c為常數(shù)當(dāng)x0=1時，c的取值范圍是_；當(dāng)時，c的值是_三、解答題：本大題共6小題，共80分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程15在ABC中，AC=2，且（）求AB的

4、長度；（）若f（x）=sin（2x+C），求y=f（x）與直線相鄰交點間的最小距離16已知三棱柱ABCA1B1C1中，A1A底面ABC，BAC=90，A1A=1，AC=2，E、F分別為棱C1C、BC的中點（）求證 ACA1B；（）求直線EF與A1B所成的角；（）若G為線段A1A的中點，A1在平面EFG內(nèi)的射影為H，求HA1A17現(xiàn)有兩個班級，每班各出4名選手進行羽毛球的男單、女單、男女混合雙打（混雙）比賽（注：每名選手打只打一場比賽）根據(jù)以往的比賽經(jīng)驗，各項目平均完成比賽所需時間如表所示，現(xiàn)只有一塊比賽場地，各場比賽的出場順序等可能比賽項目男單女單混雙平均比賽時間25分鐘20分鐘35分鐘（）求

5、按女單、混雙、男單的順序進行比賽的概率；（）求第三場比賽平均需要等待多久才能開始進行；（）若要使所有參加比賽的人等待的總時間最少，應(yīng)該怎樣安排比賽順序（寫出結(jié)論即可）18設(shè)函數(shù)f（x）=aexx1，aR（）當(dāng)a=1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（）當(dāng)x（0，+）時，f（x）0恒成立，求a的取值范圍；（）求證：當(dāng)x（0，+）時，ln19已知拋物線C：y2=2px（p0），焦點F，O為坐標(biāo)原點，直線AB（不垂直x軸）過點F且與拋物線C交于A，B兩點，直線OA與OB的斜率之積為p（）求拋物線C的方程；（）若M為線段AB的中點，射線OM交拋物線C于點D，求證：20數(shù)列an中，給定正整數(shù)m（m1），定義：數(shù)

6、列an滿足ai+1ai（i=1，2，m1），稱數(shù)列an的前m項單調(diào)不增（）若數(shù)列an通項公式為：，求V（5）（）若數(shù)列an滿足：，求證V（m）=ab的充分必要條件是數(shù)列an的前m項單調(diào)不增（）給定正整數(shù)m（m1），若數(shù)列an滿足：an0，（n=1，2，m），且數(shù)列an的前m項和m2，求V（m）的最大值與最小值（寫出答案即可）2016年北京市東城區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）參考答案與試題解析一、本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項1已知復(fù)數(shù)i（1+ai）為純虛數(shù)，那么實數(shù)a的值為（）A1B0C1D2【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算【分析】直接利用復(fù)數(shù)代

7、數(shù)形式的乘除運算化簡，然后由實部為0求得a的值【解答】解：i（1+ai）=a+i為純虛數(shù)，a=0，即a=0故選：B2集合A=x|xa，B=x|x25x0，若AB=B，則a的取值范圍是（）Aa5Ba4Ca5Da4【考點】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用【分析】由x25x0，可得B=（0，5），再利用集合的運算性質(zhì)即可得出【解答】解：由x25x0，解得0x5，B=（0，5），AB=B，a5則a的取值范圍是a5故選：A3某單位共有職工150名，其中高級職稱45人，中級職稱90人，初級職稱15人現(xiàn)采用分層抽樣方法從中抽取容量為30的樣本，則各職稱人數(shù)分別為（）A9，18，3B10，15，5C10，17，3D9

8、，16，5【考點】分層抽樣方法【分析】根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系，即可求出各職稱分別抽取的人數(shù)【解答】解：用分層抽樣方法抽取容量為30的樣本，則樣本中的高級職稱人數(shù)為30=9，中級職稱人數(shù)為30=18，初級職稱人數(shù)為30=3故選：A4執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為（）AB1C2D4【考點】程序框圖【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量S的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案【解答】解：當(dāng)k=0時，滿足進行循環(huán)的條件，故S=，k=1，當(dāng)k=1時，滿足進行循環(huán)的條件，故S=，k=2，當(dāng)k=2時，滿足進行循環(huán)的條件，故S=1，k=

9、3，當(dāng)k=3時，滿足進行循環(huán)的條件，故S=2，k=4，當(dāng)k=4時，不滿足進行循環(huán)的條件，故輸出的S值為2，故選：C5在極坐標(biāo)系中，直線sincos=1被曲線=1截得的線段長為（）AB1CD【考點】簡單曲線的極坐標(biāo)方程【分析】分別得出直角坐標(biāo)方程，求出圓心（0，0）到直線的距離d即可得出直線sincos=1被曲線=1截得的線段長=2【解答】解：直線sincos=1化為直角坐標(biāo)方程：xy+1=0曲線=1即x2+y2=1圓心（0，0）到直線的距離d=直線sincos=1被曲線=1截得的線段長L=2=2=故選：D6一個幾何體的三視圖如圖所示，那么該幾何體的最長棱長為（）A2BC3D【考點】由三視圖求面

10、積、體積【分析】由三視圖可知：該幾何體為四棱錐PABCD，其中底面ABCD為直角梯形，側(cè)棱PB底面ABCD即可得出【解答】解：由三視圖可知：該幾何體為四棱錐PABCD，其中底面ABCD為直角梯形，側(cè)棱PB底面ABCD最長的棱為PD，PD=3故選：C7已知三點P（5，2）、F1（6，0）、F2（6，0）那么以F1、F2為焦點且過點P的橢圓的短軸長為（）A3B6C9D12【考點】橢圓的簡單性質(zhì)【分析】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+=1（ab0），可得：c=6，2a=|PF1|+|PF2|，可得b=【解答】解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+=1（ab0），可得：c=6，2a=|PF1|+|PF2|=+=6，解得a=

11、3b=3橢圓的短軸長為6故選：B8已知1，2為平面上的單位向量，1與2的起點均為坐標(biāo)原點O，1與2夾角為平面區(qū)域D由所有滿足=1+2的點P組成，其中，那么平面區(qū)域D的面積為（）ABCD【考點】平面向量的基本定理及其意義【分析】以O(shè)為原點，以方向為x軸正方向，建立坐標(biāo)系xOy，寫出、的坐標(biāo)，根據(jù)=+寫出的坐標(biāo)表示，利用向量相等列出方程組，求出點P的坐標(biāo)滿足的約束條件，畫出對應(yīng)的平面區(qū)域，計算平面區(qū)域的面積即可【解答】解：以O(shè)為原點，以方向為x軸正方向，建立坐標(biāo)系xOy，則=（1，0），=（cos，sin）=（，），又=+=（+，），其中0，0，+1；設(shè)=（x，y），則（x，y）=（+，），解得；

12、由于0，0，+1，它表示的平面區(qū)域如圖所示：由圖知A（，），B（1，0）；所以陰影部分區(qū)域D的面積為S=1=故選：D二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分9在的展開式中，x3的系數(shù)值為20（用數(shù)字作答）【考點】二項式系數(shù)的性質(zhì)【分析】利用二項式定理展開式的通項公式即可得出【解答】解：Tr+1=（2x）5r=253rx52r令52r=3，解得r=1T4=x3=20x3故答案為：2010已知等比數(shù)列an中，a2=2，a3a4=32，那么a8的值為128【考點】等比數(shù)列的通項公式【分析】利用等比數(shù)列的通項公式即可得出【解答】解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，a2=2，a3a4=32，a1q=2

13、，=32，解得a1=1，q=2那么a8=27=128故答案為：12811如圖，圓O的半徑為1，A，B，C是圓周上的三點，過點A作圓O的切線與OC的延長線交于點P，若CP=AC，則COA=；AP=【考點】與圓有關(guān)的比例線段【分析】證明OAC是等邊三角形，得到COA=，利用OA=1，可求AP【解答】解：由題意，OAAPCP=AC，P=CAP，P+AOP=CAP+OAC，AOP=OAC，AC=OC，OA=OC，OAC是等邊三角形，COA=，OA=1AP=故答案為：，12若，且，則sin2的值為【考點】二倍角的正弦【分析】利用已知及兩角差的正弦函數(shù)公式可得cossin=，兩邊平方，利用二倍角公式即可解

14、得sin2的值【解答】解：=（cossin），cossin=0，兩邊平方可得：1sin2=，sin2=故答案為：13某貨運員擬運送甲、乙兩種貨物，每件貨物的體積、重量、可獲利潤以及運輸限制如表：貨物體積（升/件）重量（公斤/件）利潤（元/件）甲20108乙102010運輸限制110100在最合理的安排下，獲得的最大利潤的值為62【考點】簡單線性規(guī)劃【分析】運送甲x件，乙y件，利潤為z，建立約束條件和目標(biāo)函數(shù)，利用線性規(guī)劃的知識進行求解即可【解答】解：設(shè)運送甲x件，乙y件，利潤為z，則由題意得，即，且z=8x+10y，作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由z=8x+10y得y=x+，平移直線y=x+

15、，由圖象知當(dāng)直線y=x+經(jīng)過點B時，直線的截距最大，此時z最大，由，得，即B（4，3），此時z=84+103=32+30=62，故答案為：6214已知函數(shù)f（x）=|lnx|，關(guān)于x的不等式f（x）f（x0）c（xx0）的解集為（0，+），其中x0（0，+），c為常數(shù)當(dāng)x0=1時，c的取值范圍是1，1；當(dāng)時，c的值是2【考點】分段函數(shù)的應(yīng)用；對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)【分析】當(dāng)0x1時，f（x）=lnx，f（x）=（，1），當(dāng)x1時，f（x）=lnx，f（x）=（0，1），進而將x0=1和代入，結(jié)果斜率公式分類討論可得答案【解答】解：函數(shù)f（x）=|lnx|，當(dāng)0x1時，f（x）=lnx，f（x）=

16、（，1），當(dāng)x1時，f（x）=lnx，f（x）=（0，1），當(dāng)x0=1時，f（x）f（x0）c（xx0）可化為：f（x）f（1）c（x1）當(dāng)0x1時，f（x）f（1）c（x1）可化為：c，則c1，當(dāng)x1時，f（x）f（1）c（x1）可化為：c，則c1，故c1，1；當(dāng)x0=時，f（x）f（x0）c（xx0）可化為：f（x）f（）c（x）當(dāng)0x時，f（x）f（）c（x）可化為：c，則cf（）=2，當(dāng)x1時，f（x）f（）c（x）可化為：c，則cf（）=2，當(dāng)x1時，f（x）f（）c（x）可化為：c，則c1，故c=2，故答案為：1，1，2三、解答題：本大題共6小題，共80分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步

17、驟或證明過程15在ABC中，AC=2，且（）求AB的長度；（）若f（x）=sin（2x+C），求y=f（x）與直線相鄰交點間的最小距離【考點】兩角和與差的余弦函數(shù)；正弦函數(shù)的圖象【分析】（）利用誘導(dǎo)公式求得cosC，可得C的值，咋利用余弦定理求得AB的長度（）由f（x）=sin（2x+C），求得x1、x2的值，可得|x1x2|的最小值【解答】解：（），C=45，AC=2，=4，AB=2（）由，解得或，kZ，解得，或，k1，k2Z因為，當(dāng)k1=k2時取等號，所以 當(dāng)時，相鄰兩交點間最小的距離為16已知三棱柱ABCA1B1C1中，A1A底面ABC，BAC=90，A1A=1，AC=2，E、F分別為棱

18、C1C、BC的中點（）求證 ACA1B；（）求直線EF與A1B所成的角；（）若G為線段A1A的中點，A1在平面EFG內(nèi)的射影為H，求HA1A【考點】直線與平面所成的角；棱柱的結(jié)構(gòu)特征【分析】（I）由ACAB，ACAA1即可得出AC平面ABB1A1，于是ACA1B；（II）以A為原點建立坐標(biāo)系，求出和的坐標(biāo)，計算cos即可得出直線EF與A1B所成的角；（III）求出和平面EFG的法向量，則sinHA1A=|cos，|【解答】證明：（）AA1底面ABC，AC平面ABC，ACAA1BAC=90，ACAB又A1A平面AA1B1B，AB平面AA1B1B，A1AAB=A，AC平面A1ABB1A1B平面A1

19、ABB1，ACA1B（）以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，如圖所示：則A1（0，0，1）， 直線EF與A1B所成的角為45（），=（0，0，1）設(shè)平面GEF的法向量為=（x，y，z），則，令，則cos=A1在平面EFG內(nèi)的射影為H，HA1A位AA1與平面EFG所成的角，sinHA1A=|cos|=HA1A=17現(xiàn)有兩個班級，每班各出4名選手進行羽毛球的男單、女單、男女混合雙打（混雙）比賽（注：每名選手打只打一場比賽）根據(jù)以往的比賽經(jīng)驗，各項目平均完成比賽所需時間如表所示，現(xiàn)只有一塊比賽場地，各場比賽的出場順序等可能比賽項目男單女單混雙平均比賽時間25分鐘20分鐘35分鐘（）求按女單、混雙、

20、男單的順序進行比賽的概率；（）求第三場比賽平均需要等待多久才能開始進行；（）若要使所有參加比賽的人等待的總時間最少，應(yīng)該怎樣安排比賽順序（寫出結(jié)論即可）【考點】計數(shù)原理的應(yīng)用【分析】（）求出三場比賽的種數(shù)，其中按按女單、混雙、男單的順序進行比賽只有1種，根據(jù)概率公式計算即可，（）令A(yù)表示女單比賽、B表示男單比賽、C表示混雙比賽，分別求出按不同順序比賽時，第三場比賽等待的時間，再根據(jù)平均數(shù)的定義即可求出，（）按照比賽時間從長到短的順序參加比賽，可使等待的總時間最少【解答】解：（I）三場比賽共有種方式，其中按按女單、混雙、男單的順序進行比賽只有1種，所以按女單、混雙、男單的順序進行比賽的概率為（）

21、令A(yù)表示女單比賽、B表示男單比賽、C表示混雙比賽按ABC順序進行比賽，第三場比賽等待的時間是：t1=20+25=45（分鐘）按ACB順序進行比賽，第三場比賽等待的時間是：t2=20+35=55（分鐘）按BAC順序進行比賽，第三場比賽等待的時間是：t3=20+25=45（分鐘）按BCA順序進行比賽，第三場比賽等待的時間是：t4=35+25=60（分鐘）按CAB順序進行比賽，第三場比賽等待的時間是：t5=35+20=55（分鐘）按CBA順序進行比賽，第三場比賽等待的時間是：t6=35+25=60（分鐘）且上述六個事件是等可能事件，每個事件發(fā)生概率為，所以平均等待時間為，（）按照比賽時間從長到短的順

22、序參加比賽，可使等待的總時間最少18設(shè)函數(shù)f（x）=aexx1，aR（）當(dāng)a=1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（）當(dāng)x（0，+）時，f（x）0恒成立，求a的取值范圍；（）求證：當(dāng)x（0，+）時，ln【考點】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【分析】（）a=1時得出f（x），進而得到f（x）=ex1，這樣便可判斷導(dǎo)數(shù)符號，根據(jù)符號即可得出f（x）的單調(diào)區(qū)間；（）可以由f（x）0恒成立得到恒成立，這樣設(shè)，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號便可判斷g（x）在（0，+）上單調(diào)遞減，這便可得到g（x）1，從而便可得出a的取值范圍；（）容易得到等價于exxex10，可設(shè)h（x）=exxex1，求導(dǎo)數(shù)，并根

23、據(jù)上面的f（x）0可判斷出導(dǎo)數(shù)h（x）0，從而得到h（x）h（0）=0，這樣即可得出要證明的結(jié)論【解答】解：（）當(dāng)a=1時，則f（x）=exx1，f（x）=ex1；令f（x）=0，得x=0；當(dāng)x0時，f（x）0，f（x）在（，0）上單調(diào)遞減；當(dāng)x0時，f（x）0，h（x）在（0，+）上單調(diào)遞增；即a=1時，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（，0），單調(diào)贈區(qū)間為0，+）；（）ex0；f（x）0恒成立，等價于恒成立；設(shè)，x（0，+），；當(dāng)x（0，+）時，g（x）0；g（x）在（0，+）上單調(diào)遞減；x（0，+）時，g（x）g（0）=1；a1；a的取值范圍為1，+）；（）證明：當(dāng)x（0，+）時，等價于exxex

24、10；設(shè)h（x）=exxex1，x（0，+），；由（）知，x（0，+）時，exx10恒成立；h（x）0；h（x）在（0，+）上單調(diào)遞增；x（0，+）時，h（x）h（0）=0；因此當(dāng)x（0，+）時，19已知拋物線C：y2=2px（p0），焦點F，O為坐標(biāo)原點，直線AB（不垂直x軸）過點F且與拋物線C交于A，B兩點，直線OA與OB的斜率之積為p（）求拋物線C的方程；（）若M為線段AB的中點，射線OM交拋物線C于點D，求證：【考點】拋物線的簡單性質(zhì)【分析】（I）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB（不垂直x軸）的方程可設(shè)為與拋物線方程聯(lián)立可得：，由直線OA與OB的斜率之積為p，即可得：x1

25、x2=4 利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出（II）利用中點坐標(biāo)公式、斜率計算公式可得：直線OD的方程為，代入拋物線C：y2=8x的方程，解出即可得出【解答】（I）解：直線AB過點F且與拋物線C交于A，B兩點，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB（不垂直x軸）的方程可設(shè)為，直線OA與OB的斜率之積為p，得 x1x2=4由，化為，其中=（k2p+2p）2k2p2k20x1+x2=，x1x2=p=4，拋物線C：y2=8x（）證明：設(shè)M（x0，y0），P（x3，y3），M為線段AB的中點，直線OD的斜率為直線OD的方程為代入拋物線C：y2=8x的方程，得k20，20數(shù)列an中，給定正整數(shù)m（m1），定義：數(shù)列an滿足ai+1ai（i=1，2，m1），稱數(shù)列an的前m項單調(diào)不增（）若數(shù)列an通項公式為：，求V（5）（）若數(shù)列an滿足：，求證V（m）=ab的充分必要條件是數(shù)列an的前m項單調(diào)不增（）給定正整數(shù)m（m1），若數(shù)列an滿足：an0，（n=1，2，m），且數(shù)列an的前m項和m2，求V（m）的最大值與最小值（寫出答案即可）【考點】數(shù)列的應(yīng)