二面角8種求法

1、百度文庫-讓每個人平等地提升自我CiC二面角求法正方體是研究立體幾何概念的一個重要模型，中學立體幾何教學中，求平面與平面所成的二 面角是轉化為平面角來度量的，也可采用一些特殊的方法求二面角，而正方體也是探討求二面角 大小方法的典型幾何體。筆者通過探求正方體中有關二面角， 分析求二面角大小的八種方法：（1） 平面角定義法；（2）三垂線定理法；（3）線面垂直法；（4）判定垂面法；（5）異面直線上兩點問 距離公式法；（6）平行移動法；（7）投影面積法；（8）棱錐體積法。一、平面角定義法此法是根據(jù)二面角的平面角定義，直接尋求二面角的大小。 以所求二面角棱上任意一點為端點，在二面角兩個平面內 分別作垂直

2、于棱的兩條射線所成角就是二面角的平面角, 如圖二面角a -l- B中，在棱l上取一點O,分別在a、B 兩個平面內作ACIL l , BOL l , / AOBW是所求二面角的平面角例題1:已知正方體ABCD-ABiCQ中，Q O是上下底面正方形的中心，求二面角 O-BC-O的 大小。9例題2:已知正方體 ABCD-ABCiD中，E、F為AQ、GD的中點，求平面 EFCAW底面ABCD 所成的二面角。AB利用三垂線定理法此方法是在二面角的一個平面內過一點作另一個面的垂線，再由垂足（或仍是該點）作棱的垂線，連接該點和棱上的垂足（或連兩垂足）兩點線，即可得二面角的平面角如圖二面角a -l- B中，在

3、平面a內取一點 A,過A作AB，平面B, B是垂足，由 B （或 A）彳BO（或 AO ±l ,連接AO（或BO即得AO是平面B的斜線，BO是AO在平面B中的射影，根據(jù)三垂線定理（或逆定理）即得 AQL l , BOL l ,即/AOBt a-l- B的平面角。例題3:已知正方體 ABCD-AiGD中，求二面角 B-AC-B的大小。例題4:已知正方體ABCD-ABCD中，求平面ACD與平面BDC所成的二面角。AB三、線面垂直法此法利用直線垂直平面即該直線垂直平面內任何直線的性質來尋求二面角的平面角。方法是 過所求二面角的棱上一點，作棱的垂面，與兩個平面相交所得兩條交線的所成角即是二面

4、角的平 面角。如圖在二面角a -l- B的棱上任取一點O,過O作平面 丫，1 a a n 丫 =AO B n 丫 =BO 得/ ao%平面角，Vl ± T , l ±ACj l ±BQ / AOB是二面角的平面角。例題5:已知正方體 ABCD-A1CD中，求二面角B-AiC-D的大小。例題6:已知正方體 ABCD-AiCQ中，E、F分別是BB、DD的中點，求平面 BCD與平面ECF 所成的二面角。四、判定垂面法此法根據(jù)平面垂直的定義：兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么這兩個平面垂直, 反之,若能判定兩個平面垂直，則這兩個平面所成的二面角是90，無須尋作

5、二面角的平面角。如圖若已知或證得 a a ,a，Ba，B。則二面角a -l- B的大小即是90°?？梢娕卸婷娲怪笔乔蠖娼堑?一種特殊情況。例題7:已知正方體 ABCD-AiGD中，求平面 BDCt平面 ACCi 所成的二面角。例題8:已知正方體 ABCD-ABGDi中，O、O是上下底面正方形的中心, V是OO的中點，求平面AVBf平面CVM成的二面角。異面直線上兩點間距離公式法此法按高中立體幾何課本P45頁例2證明的公式，求二面角大小，題意是已知兩條異面直線a、b上分別取點E、F,設A E=m AF="求EF。如圖公式是：EF=；d2m2n22mncos （注意E、F

6、在AA同側時取“-"，EF在AA異側時取“ +”號。）應用該公式是求異面直線上兩點間的距離,若把所求二面角當作8角，即是異面直線 a、b和公垂線AA 確定的兩個平面所成的二面角，用函數(shù)觀念來理解公式中 五個量，已知其中四個量即可求第五個量，若已知或易求 知EF、d、m n則求cos 0 , 0即是所求二面角。例題9:已知正方體 ABCD-A1CD中，H是BC棱上一點且BH BC=1: 3,求二面角H-AA-Ci的大小。例題10:已知正方體 ABCD-ABCD中，O、O是上下底面正方形的中心，E是AB棱上一點,且AE EB=1 2,求二面角 Ai-OiO-E的大小。六、平行移動法平向B

7、所成的二間角中a平向平行移動到平向 角大小。例題11:已知止力體 ABCD-ABCD中， 的中點，求平向EFGW向ABC所成的二面r位置處，即求丫與B所成的二面角即是所求二面R VDDi_G.Ci1Aito&EG E、F 是所在梭 iJk !|、角WcUWCAB若所求二面角的棱線隱含未知或難尋作棱時，可采用將二面角中的一個平面平行移動到適當 位置，作得新的二面角大小與所求二面角相等，并可求得新的二面角大小。如圖將所求平面a與例題12:已知正方體 ABCD-AiCQ中，O是上底面正方形的中心，E、F是AB CD的中點，求平 面AOD與平面EOF所成的二面角。AiEB七、投影面積法在二面角

8、一個平面內若已知一個任意多邊形的面積為S,該多邊形在另一個平面內投影面積為S射，該二面角大F在AA上，且 AF: FA=1: 2,求平面小8可用cos 包來計算。如圖所示，此結論證明本文略。S高中課本P68頁習題八中11題就是類似證明習題。此方法 適合求二面角中易解得S、S射時用。例題13:已知正方體 ABCD-ABCQ中，E是BC的中點, BiEF與底面ABCQ所成的二面角。例題14:已知正方體ABCD-ABGD中，E是CC的中點，求平面 AED與平面ABC斷成二面角八、棱錐體積法此方法把所求二面角看作為求棱錐的一個側面與底面所成的二面角，在已知或易求棱錐底面 面積、側面一個面面積和體積前提下，即可用錐體體積公式V=1S底h ,3來探求二面角大小。如圖已知三棱錐V-ABC, VO是高線，若已得底面面積是S,AB=a 一個側面，ABVB積是S,體積是 V 求二面角C-AB-V大小?，F(xiàn)設所求C-AB-V平面角是如圖中的/ VDO/ABV0積 S=1a vd , sin / VDO=O ,2VDVD=2S1 , VO 空1 sin VDO ,利用棱錐體積公式， aa11 2Si2S SiV - S VO - S sin VDO sin VD