2013年北京市高考數(shù)學(xué)試卷理科教師版

1、2013年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科） 一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng) 1（5分）（2013?北京）已知集合A=1，0，1，B=x|1x1，則AB=（ ） A0B1，0C0，1D1，0，1 【分析】找出A與B的公共元素，即可確定出兩集合的交集 【解答】解：A=1，0，1，B=x|1x1， AB=1，0 故選：B 2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ） ）（2013?北京）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（2i2（5分） A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限 【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)為代數(shù)形式，求出復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可判斷復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限 22=34i，=44i+【解答】解

2、：復(fù)數(shù)（2i）i 復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（3，4）， 2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限i）所以在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（2 故選：D 3（5分）（2013?北京）“=”是“曲線y=sin（2x+）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)”的（ ） A充分而不必要條件B必要而不充分條件 D充分必要條件既不充分也不必要條件C 【分析】按照充要條件的定義從兩個(gè)方面去求曲線y=sin（2x+）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求出的值，=時(shí)，曲線y=sin（2x+）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn) 【解答】解：=時(shí)，曲線y=sin（2x+）=sin2x，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn) 但是，曲線y=sin（2x+）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，即O（0，0）在圖象上， 將（0，0）代入解析式整理即得sin=0，=k，kZ，不一定有= 故“

3、=”是“曲線y=sin（2x+）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)”的充分而不必要條件 故選：A 4（5分）（2013?北京）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為（ ） CA1DB 的大2從框圖賦值入手，先執(zhí)行一次運(yùn)算，然后判斷運(yùn)算后的i的值與【分析】小，滿足判斷框中的條件，則跳出循環(huán)，否則繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)，直到條件滿足為止 1賦值0和【解答】解：框圖首先給變量i和S ；+ 1=1，i=0執(zhí)行 ；+1=2不成立，執(zhí)行 ，i=1判斷12 的值為成立，算法結(jié)束，跳出循環(huán)，輸出S22判斷 故選：C 個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象與1（x）的圖象向右平移分）（5（2013?北京）函數(shù)f5x） （ f軸對(duì)稱(chēng)，則（x）曲線y=e=關(guān)于y 11

4、xxx11x+eeAeDBeC x然后換軸對(duì)稱(chēng)的圖象的函數(shù)解析式，的圖象關(guān)于【分析】首先求出與函數(shù)y=ey即可得到要求的答案+1x為x xx，y=e解：函數(shù)【解答】y=ey的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的圖象的函數(shù)解析式為 xyy=e1xf而函數(shù)（）的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象與曲線的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)， x1x1x1）（+=e（x）=e所以函數(shù)f（x）的解析式為y=e即f 故選：D 的離心率為 ，則其漸近線方程 北京）若雙曲線（2013?（5分）6 ） 為（ D ±Ay=2xB C 【分析】通過(guò)雙曲線的離心率，推出a、b關(guān)系，然后直接求出雙曲線的漸近線方程 【解答】解：由雙曲線的離心率 ，可知

5、c= a， 222，所以b= a+b，=c又a =± x 所以雙曲線的漸近線方程為：y= 故選：B 2=4y的焦點(diǎn)且與yx：軸垂直，則l與（5分）（2013?北京）直線l過(guò)拋物線C7C所圍成的圖形的面積等于（ ） BA2CD 先確定直線的方程，再求出積分區(qū)間，確定被積函數(shù)，由此利用定積分【分析】與拋物線圍成的封閉圖形面積可求直線l 2，）【解答】解：拋物線x=4y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1 2軸垂直，=4yy的焦點(diǎn)且與：直線l過(guò)拋物線Cx ，y=1l的方程為直線 ，可得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為2，由 2 = （ x 與拋物線圍成的封閉圖形面積為直線l |=） 故選：C ， ，的不等式組，y（20

6、13?北京）設(shè)關(guān)于x表示的平面區(qū)8（5分） ） =2，求得m的取值范圍是（，y），滿足x2y域內(nèi)存在點(diǎn)P（x 0000 B ， A ， D， C ， ，畫(huà)出可行域要使可行域存在，必有【分析】先根據(jù)約束條件 1m，x1上的點(diǎn)，只要邊界點(diǎn)（，要求可行域包含直線m2m+1y= 的下方，從而建1m）在直線y=x）在直線2my=x1的上方，且（m， 的不等式組，解之可得答案立關(guān)于m ， ，畫(huà)出可行域，【解答】解：先根據(jù)約束條件 上的點(diǎn)，只1x2m+1，要求可行域包含直線y=要使可行域存在，必有m ）2m要邊界點(diǎn)（m，1 的下方，1y=x1的上方，且（m，m）在直線在直線y=x ，故得不等式組 解之得：m

7、 故選：C 分分，共306小題，每小題5二、填空題共 sin=2的距離等于2）到直線（5分）（2013?北京）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)（9 1 然后用先將點(diǎn)的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)，極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，【分析】點(diǎn)到直線的距離來(lái)解 sin=2，直線，1） 化為直角坐標(biāo)為（ ， 【解答】解：在極坐標(biāo)系中，點(diǎn) ，y=2化為直角坐標(biāo)方程為 ，1sin=2的距離 到直線， ，即為點(diǎn) （ ，1），到y(tǒng)=2的距離1 1故答案為： ，則公比q=a+a=40a滿足a+a=20，10（5分）（2013?北京）若等比數(shù)列5n4231n+ 項(xiàng)和S= 22n2 ；前 n ，解出即可利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和已知即可得出【分析

8、】 ，再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出a得到及q 1 ，q的公比為a【解答】解：設(shè)等比數(shù)列 n2q=20）1=aa+a（+ 2242q1（=a+aa+）=40 353 兩個(gè)式子相除，可得到=2 即等比數(shù)列的公比q=2， 將q=2帶入中可求出a=4 2 則a=2 1 數(shù)列a時(shí)首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列 n n1+數(shù)列a的前n項(xiàng)和為：S=22 nn n1+，22故答案為：2 11（5分）（2013?北京）如圖，AB為圓O的直徑，PA為圓O的切線，PB與圓 ，AB=4：16，則PD= DO相交于，若PA=3，PD：DB=9 2，利用切割線定理可得PA=PD?PB可設(shè)PD=9x，DB=16x：【

9、分析】由PD：DB=916，的切線，利用OPA為圓AB為圓O的直徑，PD即可求出x，進(jìn)而得到，PBABPA再利用勾股定理即可得出切線的性質(zhì)可得AB DB=16xPD=9x，DB=9：16，可設(shè)【解答】解：由PD： 2，=PD?PB為圓O的切線，PAPA 2 ， +16x），化為 39x=9x?（ ，PB=25x=5PD=9x= PAABPAO的直徑，為圓O的切線，AB為圓 =4= 故答案分別為，4 4的55張參觀券全部分給，北京）將序分別為（512（分）2013?1234張參觀券連，那么不同的分法種數(shù)張，如果分給同一人的人，每人至少12 是96 2張，如果分給同一人的1人，每人至少4張參觀券全

10、部分給5求出【分析】張參觀券連的組數(shù)，然后分給4人排列即可 【解答】解：5張參觀券全部分給4人，分給同一人的2張參觀券連，方法數(shù)為：1和2，2和3，3和4，4和5，四種連，其它碼各為一組，分給4人，共有 =96 種4× 故答案為：96 若 在正方形格中的位置如圖所示，513（分）（2013?北京）向量 ， ， 4 ，則= （，R） 、 【分析】以向量 、 的公共點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖直角坐標(biāo)系，得到向量 =2且解之得、的方程組，=、 的坐標(biāo)，結(jié)合題中向量等式建立關(guān)于 的值，即可得到 的公共點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖直角坐標(biāo)系 【解答】解：以向量 、 ）32）， =（1，可得 =（1，1）

11、 =（6， ， =，解之得=2且 =4因此，= 4故答案為： 為E中，ABCDABCD北京）如圖，在棱長(zhǎng)為514（分）（2013?2的正方體1111 的距離的最小值為到直線點(diǎn)EDP的中點(diǎn)，BC點(diǎn)在線段上，PCC 11 ，利用線面平行的判定即可EDEF，C的中點(diǎn)F，連接【分析】如圖所示，取B111的距離CC，進(jìn)而得到異面直線DE與C得到C平面DEF 1111，ED的中點(diǎn)F，連接EF【解答】解：如圖所示，取BC 111，EFCC 1，DEFCC?平面又EF?平面DEF， 111DEFCC平面 11的距離CCDE與C直線C上任一點(diǎn)到平面DEF的距離是兩條異面直線 1111，F(xiàn)MD過(guò)點(diǎn)C作C 111D

12、BCEF平面D平面A 11111EF平面DCM 11CCP，則MP于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)M作MPEF交DE 11是矩形，則四邊形MPNCCN=MP，連接PN取 11，DEF可得NP平面 1 =F，得 ?C中，在RtDCFCM?DF=DC 1111111 CCP的距離的最小值為到直線點(diǎn) 1 故答案為 分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟506三、解答題共小題，共 AB=2 b=2a=3ABC北京）在（1315（分）2013?中， （）求cosA的值； （）求c的值 【分析】（）由條件利用正弦定理和二倍角公式求得cosA的值 （）由條件利用余弦定理，解方程求得c的值，再進(jìn)行檢驗(yàn)，從而得出結(jié)論 ，B=2 A，（）由條件

13、在ABC中，a=3， 【解答】解： 利用正弦定理可得 ，即= 解得cosA= 2222，2 ×cc，即 9= +×（）由余弦定理可得 a=b2+c×2bc?cosA 2即 c8c+15=0 解方程求得 c=5，或 c=3 ，A=C=45°B=90°A，可得 時(shí)，此時(shí)當(dāng)c=3a=c=3，根據(jù)B=2 222，故舍去=b+aABC是等腰直角三角形，但此時(shí)不滿足c ，=cosB=當(dāng)c=5時(shí)，求得=，cosA= 2，滿足條件，=cosBB=2Acos2A=2cosA1= 綜上，c=5 16（13分）（2013?北京）如圖是預(yù)測(cè)到的某地5月1日至14日的空

14、氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染，某人隨機(jī)選擇5月1日至5月13日中的某一天到達(dá)該市，并停留2天 （）求此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的概率； 的分布列與數(shù)學(xué)期望是此人停留期間空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)，求（）設(shè)XX （）由圖判斷從哪天開(kāi)始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？（結(jié)論不要求證明） 【分析】（）由圖查出13天內(nèi)空氣質(zhì)量指數(shù)小于100的天數(shù)，直接利用古典概型概率計(jì)算公式得到答案； （）由題意可知X所有可能取值為0，1，2，得出P（X=0），P（X=1），p（x=2）及分布列與數(shù)學(xué)期望； （）因?yàn)榉讲钤酱?，說(shuō)明三天的空氣質(zhì)量指數(shù)越不穩(wěn)定，由

15、圖直接看出答案 【解答】解：設(shè)A表示事件“此人于5月i日到達(dá)該地”（i=1，2，13） i ）j?（i）=，AA=依據(jù)題意P（A jii （）設(shè)B表示事件“此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良”，則P（3分）B）= （）X的所有可能取值為0，1，2 分）6X=2）=（=，P（X=1）=，P（PX=0） 的分布列為X 210X P （8分） X的數(shù)學(xué)期望為E（X）=（11分） （）從5月5日開(kāi)始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大 （13分） 17（14分）（2013?北京）如圖，在三棱柱ABCABC中，AACC是邊長(zhǎng)為411111的正方形平面ABC平面AACC，AB=3，BC=5 11（）求證：AA平面ABC；

16、 1（）求證二面角ABCB的余弦值； 111 的值，并求BAADD上存在點(diǎn)（）證明：在線段BC，使得 11 ，再利用面面垂直的性質(zhì)即可ACC是正方形，可得AA【分析】（I）利用AAC111證明； 通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個(gè)ACII）利用勾股定理的逆定理可得AB（平面的法向量的夾角即可得到二面角； ，可得EBC于），在平面BCCB中作DEt（III）設(shè)點(diǎn)D的豎坐標(biāo)為t，（0411 ，利用向量垂直于數(shù)量積得關(guān)系即可得出 ， D AC是正方形，AA（I）證明：AACC【解答】 111，C=AC平面AACAACC，平面ABC又平面ABC平面 1111ABCAA平面 1AB=3BC=5，（II）解

17、：由AC=4， 222ACABAB=BCAC，+ ，30，），B（），B（0，3，0（建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A0，0，411，4），（40，4），C 1 ， ， ， B ，平面， ， y的法向量為 =（xBC的法向量為BC設(shè)平面A 211211 z） 2 ， x，則令y=4，解得=0，z=3， 111 ， z，=0，解得令，x=3，y=4 222 ，= = B的余弦值為BC二面角A 111 （III）設(shè)點(diǎn)D的豎坐標(biāo)為t，（0t4），在平面BCCB中作DEBC于E，可得11 ， ， ， D ， ， ，4），3 = ，=（0 ， ， ，解得t= ）處的切線，0：y=在點(diǎn)（13分）2013

18、?北京）設(shè)l為曲線C18 的方程；（）求l 的下方在直線l，0）之外，曲線C（）證明：除切點(diǎn)（1 （）求出切點(diǎn)處切線斜率，代入代入點(diǎn)斜式方程，可以求解；【分析】 （）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而分析出函數(shù)圖象的形狀，可得結(jié)論 （） 【解答】解： =1|l的斜率k=y x=11l的方程為y=x ）0lnx），（xx（）令f（）=x（x1證明： ，0）lnx）x=x（x1的下方，即曲線C在直線lf（ =1x）=2x則f（ =01f+110xf（）在（，）上單調(diào)遞減，在（，）上單調(diào)遞增，又（） x（0，1）時(shí)，f（x）0，即x1 x（1，+）時(shí)，f（x）0，即x1 即除切點(diǎn)（1，0）之外，曲線C在

19、直線l的下方 上的三個(gè)點(diǎn)，：C是橢圓W19（14分）（2013?北京）已知A，B， 是坐標(biāo)原點(diǎn)O （）當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn)，且四邊形OABC為菱形時(shí)，求此菱形的面積； （）當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說(shuō)明理由 【分析】（I）根據(jù)B的坐標(biāo)為（2，0）且AC是OB的垂直平分線，結(jié)合橢圓方程算出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到線段AC的長(zhǎng)等于 再結(jié)合OB的長(zhǎng)為2 并利用菱形的面積公式，即可算出此時(shí)菱形OABC的面積； （II）若四邊形OABC為菱形，根據(jù)|OA|=|OC|與橢圓的方程聯(lián)解，算出A、C的 21，從而得到A=r、橫坐標(biāo)滿足C的橫坐標(biāo)相等或互為相反數(shù)再分兩 不可能為O

20、ABCW的頂點(diǎn)時(shí)，四邊形種情況加以討論，即可得到當(dāng)點(diǎn)B不是菱形 【解答】解：（I）四邊形OABC為菱形，B是橢圓的右頂點(diǎn)（2，0） 直線AC是BO的垂直平分線，可得AC方程為x=1 ，解之得t=（舍負(fù)）（設(shè)A1，t），得 A的坐標(biāo)為（1，），同理可得C的坐標(biāo)為（1，） 因此，|AC|= ，可得菱形OABC的面積為S=|AC|?|BO|= ； （II）四邊形OABC為菱形，|OA|=|OC|， 222=r兩點(diǎn)是圓xy+A（r1），得、C|設(shè)|OA|=|OC=r 2的公共點(diǎn)，解之得 ：=r與橢圓 1 設(shè)A、C兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為x、x，可得A、C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足 21 且 x， x ，或 ?=x=x?

21、= 2121 時(shí)，可得若四邊形OABC 為菱形，則B點(diǎn)必定是右頂點(diǎn)?=當(dāng)x=x21 （2，0）； ，則 且xx +x=0，?若x=? 2112 可得AC的中點(diǎn)必定是原點(diǎn)O，因此A、O、C共線，可得不存在滿足條件的菱形OABC 綜上所述，可得當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，四邊形OABC不可能為菱形 n是由非負(fù)整數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列，該數(shù)列前a13分）（2013?北京）已知20（nB=A的最小值記為B，d項(xiàng)的最大值記為A，第n項(xiàng)之后各項(xiàng)a，a nnn1nnn2n+的數(shù)列（即對(duì)任意43，是一個(gè)周期為1，4，1，4，3，2，a（）若為2n*的值；，d，d，dN），a=a，寫(xiě)出dn 4231n4n+a2，3）的充分必要條件為d=d（n=1，（）設(shè)d是非負(fù)整數(shù)，證明：nn的等差數(shù)列；是公差為d ，且或者2的項(xiàng)只能是1，），則an=1（）證明：若a=2，d=1（，2，3nn11有無(wú)窮多項(xiàng)為 的值d，d，B的定義，直接求得d，d【分析】（）根據(jù)條件以及d=A 4n 2n1n3，d1）=a+（n（）設(shè)d是非負(fù)整數(shù)，若a是公差為d的等差數(shù)列，則a1nn，d=d=AB從而證得 nnn是一個(gè)不a）可得n=1，2，3，4=）n=1，2，3，4若d=ABd，（nnnn減的數(shù)列， 的等差數(shù)列，命題得證是公差為d