第二十四章 相似三角形

1、第二十四章 相似三角形 24.1 【放縮與相似形】要點歸納:1. 圖形的放大或縮小，稱為圖形的放縮運動。將一個圖形放大或縮小后，就得到與它形狀相同的圖形，我們把形狀相同的兩個圖形說成是相似的圖形，或者說是相似形。2. 如果兩個多邊形是相似形，那么這兩個多邊形的對應角相等，對應邊的長度成比例。當兩個相似的多邊形是全等形時，它們的對應邊的長度的比值都是1。觀察下面的圖片 提問：圖中的兩面國旗，大小、形狀有什么特點？圖中的大五星與小五星，大小、形狀有什么特點？1.相似形的定義我們曾學習過形狀相同，大小也相同的圖形是全等形。而日常生活中，還可以看到許多相這樣形狀相同、大小不一定相同的圖形。對于下圖的三

2、個四邊形，縮小四邊形ABCD，就得到四邊形A1B1C1D1 ；放大四邊形ABCD，就得到四邊形A2B2C2D2 。像這樣對圖形的放大或縮小，稱為圖形的放縮運動。提問：四邊形A1B1C1D1和四邊形A2B2C2D2大小和形狀是什么關系？ 提問：將一個圖形放大或縮小后，得到的圖形與原圖形的形狀相同嗎？我們把形狀相同的兩個圖形說成是相似的圖形，或者說是相似形。提問：如何用放縮的觀點來描述兩個相似形呢？提問：相似的圖形，其大小與形狀有什么特點呢？練習：請你舉出日常生活中圖形放大或縮小的實例。2.相似形的性質如圖，A1B1C1是ABC通過放大后得到的圖形。提問：這兩個圖形是相似形嗎？提問：請對這兩個三角

3、形的三個內角與三條邊的大小進行觀察和測量。提問：這兩個三角形的三個內角分別有怎樣的大小關系？（A1與A、B1與B、C1與C對應相等）三條邊的長度的比值間有怎樣的大小關系？（，即這兩個三角形的邊的長度對應成比例）可見，ABC放大為A1B1C1后，角的大小不變，而各邊“同樣程度”的放大了。我們說A1B1C1是ABC形狀相同，就是指它們的角對應相等，邊的長度對應成比例。事實上，在其他多邊形，比如四邊形中，上述結論仍然成立。由此得到多邊形的性質：如果兩個多邊形是相似形，那么這兩個多邊形的對應角相等，對應邊的長度成比例。特別地，當兩個相似的多邊形是全等形時，它們的對應邊的長度的比值都是1.例題分析例1：

4、 在下列方格中，畫出ABC的一個相似形。練習1: 在下列方格中，畫出四邊形ABCD的一個相似形。例題2: 如圖，四邊形ABCD與四邊形ABCD是相似的圖形。點A與點A、點B與點B、點C與點C、點D與點D分別是對應頂點，已知 BC=3，CD=2.4，AB=2.2，BC=2，B=70°，C=110°，D=90°，求邊AB、CD的長和A的度數。練習2: 已知四邊形ABCD與四邊形ABCD是相似的圖形，并且點A與點A、點B與點B、點C與點C、點D與點D分別是對應頂點，其中AB、BC、CD、DA的長分別是12厘米、16厘米、16厘米、20厘米，AB的長為9厘米，求BC、CD

5、、DA的長。例3: 已知四邊形ABCD與四邊形是相似的圖形，并且點A與點，點B與，點C與點，點D與點分別是對應頂點，AB=4cm，=3cm，AD=5cm，=10cm，,求邊，CD的長和的度數。例4：A,B兩地的實際距離是7500米，畫在地圖上的距離=15厘米。求地圖上的距離與實際距離的比。例5： 如圖，已知：與中，,AB=2,AC=2,DE=,.則與相似嗎？為什么？ 例6：判斷題：（1） 兩個直角三角形一定是相似圖形（2） 兩個矩形一定是相似圖形（3） 有一個角相等的等腰三角形一定是相似圖形（4） 兩個等腰直角三角形一定是相似圖形（5） 兩個等邊三角形一定是相似圖形（6） 兩個菱形一定是相似圖

6、形（7） 兩個正方形一定是相似圖形【基礎能力訓練A】1 .與相似，則它們的對應角（ ），對應邊（ ）。2. 當兩個相似的三角形是全等形時，它們對應的邊的比值等于（ ）3. 與是相似形，點A與點，點B與點，點C與點分別是對應頂點， AB=3cm，BC=5cm，AC=6cm，=12cm，求，的長。4. 所有的正方形都一定是相似的嗎？四條邊都相等的兩個四邊形一定相似嗎？5. 四邊長分別是2cm，3cm，4cm，5cm的四邊形與四邊長分別是16cm，12cm，20cm，8cm的四邊形一定相似嗎？為什么？6. 一張長方形紙片對折后所得的長方形與原長方形是相似形，則原長方形的長與寬的比是多少？【基礎能力訓

7、練B】1下列各組圖形中一定是相似三角形的是（ ）A. 兩個等腰三角形 B.兩個直角三角形 C.一個角為的等腰三角形 D.兩個等邊三角形2下列各組圖形中一定是相似多邊形的是（ ） A兩個平行四邊形 B 兩個正方形 C兩個矩形 D兩個菱形3某兩地的實際距離為3000米，畫在地圖上的距離是15厘米，則在地圖上的距離與實 際的距離之比是（ ）A 1:200 B 1:2000 C 1:20 000 D 1:200 000二填空題4圖形的（ ）或（ ）稱為圖形的放縮運動5我們把兩個形狀（ ）的圖形稱為相似的圖形，或者說是（ ）6兩個多邊形是相似形，就是說它們同為（ ）邊形，而且形狀（ ）。實質上，相似多邊

8、形的定義要注意兩個條件缺一不可：（1）對應邊（ ）（2）對應角（ ）7當兩個相似的三角形是全等形時，那么它們對應的邊長的比等于（ ）8若與是相似形，點A與點，點B與點，點C與點分別是對應頂點，那么便AC的對應邊是（ ），的對應角是（ ）三解答題9若與是相似形，點A與點，點B與點，點C與點分別是對應頂點，AB=2, =5,BC=3, =6求的度數與邊AC, 的長【拓展訓練】1. 在同一張地圖上用尺測量得甲地距學校的距離是2厘米，乙地到學校的距離是5厘 米，而實際上，乙地與學校的實際距離是10千米，求甲地與學校的實際距離2. 設四邊形ABCD與四邊形是相似的圖形，且點A與點，點B與點，點C 與點,

9、點D與點分別是對應頂點，已知AB=13,BC=10,CD=5,AD=12, =8，求四邊形的周長 24.2（1） 【比例的性質】【梳理知識】1.線段的比的定義在同一單位長度下，兩條線段 的比叫做這兩條線段的比.2.比例線段的定義在四條線段中，如果其中兩條線段的 等于另外兩條線段的 ，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱 .在ab=cd中，a、d叫做比例的 ，b、c叫做比例的 ，稱d為a、b、c的 .3.比例的性質(1)比例的基本性質：如果ab=cd，那么 .特別地，若ab=bc，即 ，則b叫a，c的比例中項.(2)合(分)比性質：若，則 .(3)等比性質：若，且 ，則 .比例線段1.線段的比：如

10、果選用同一長度單位量得兩條線段a，b的長度分別是m，n，那么就說這兩條線段的比是a:b=m:n，或寫成,其中a叫做比的前項;b叫做比的后項。 2.成比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段 3.比例的項：已知四條線段，如果，那么，叫做組成比例的項，線段，d叫做比例外項，線段，叫做比例內項，線段還叫做，的第四比例項 4.比例中項：如果作為比例線段的內項是兩條相同的線段，即a:b=b:c或，那么線段叫做線段和的比例中項 3.比例的性質： (1)比例的基本性質：(2)反比性質：(3)更比性質: 或(4)合比性質: 【例題分析】例1.

11、(1)已知1，5三個數，如果再添一個數，使之能與已知的三個數成比例，則這 個 數應該是 .(2) 在比例尺為1：n的某市地圖上，規(guī)劃出一塊長5cm×2cm的矩形工業(yè)區(qū)，則該工業(yè)區(qū)的實際面積是 平方米.（3）下列各組線段成比例的是（ ） （A） 1cm ,3cm ,2cm ,4cm (B) 1m ,20cm ,5cm ,25cm(C) cm ,cm ,cm ,4m (D) 4cm ,8cm,6m,12 cm（4）.已知：b是a ,c的比例中項。如果a:b=3:2，則c:b= （5）. 已知a=3cm , b=5cm , c=7cm , 則線段a , b , c的第四比例項為 例2. （

12、1）如圖，已知， 則= ，= = ，= （2）如圖，已知， 則= ，= = ，= (比例的合比性質在基本圖形中的應用)例3.1.若4x=5y,則xy . 2.若，則 .3.已知，則的值為 . 4.已知，那么 .5. 已知：a,b,c是實數，且=k,求k的值。（比例的等比性質的靈活運用）例4.(1)已知xyz=345，求的值；若x+y+z=6，求x、y、z. （2）.已知，求下列各式的值： 例5、如圖5.1-2，D、E分別在ABC的邊AB、AC上，且ABC與ADE的周長之差為15cm，求ABC與ADE的周長.【基礎能力訓練】一、填空題：1.若4x=5y,則xy . 2.若，則 .3.已知，則的值

13、為 . 4.已知，那么 .5.若3，且b+d+f4，則a+c+e .6.若(x+y)y83，則xy . 7.若，那么 .8.等腰直角三角形中，一直角邊與斜邊的比是 .9. 已知ABC和ABC，且AB+BC+CA 16cm.則AB+BC+AC .10.若a8cm，b6cm，c4cm，則a、b、c的第四比例項d cm； a、c的比例中項x cm.11.已知3x8y，求= 12. 已知，求= 13. 若，求= 14. 如果xyz135，那么 15. 正方形對角線的長與它的邊長的比是 16.在15000000的福建省地圖上，量得福州到廈門的距離約為60cm，那么福州到廈門的實際距離約為 km. 17、

14、在一張地圖上，甲、乙兩地的圖上距離是3 cm,而兩地的實際距離為1500 m，那么這張地圖的比例尺為_.18.已知 (b+d0)，則 19、若，則等于 19已知，則 20如果，且，那么 21已知，則 22如果，那么 。 三、解答題：1、已知：5y-4x0，求(x+y)(x-y) 2、已知=x，求x3、已知：3(且有b+d+f0)，求證：3.4、已知，且，求的值。5、若,且 ，試求9、已知，且，求6.已知a、b、c是非零實數，且，求k的值.【拓展訓練】1. 若a、b、c是非零實數，并滿足，且，求x的值.2. 24.2（2） 【面積比與線段比的相互轉化，黃金分割】【要點歸納】1、 知道黃金分割的定

15、義；會找一條線段的黃金分割點；會判斷某一點是否為一條線段的黃金分割點； 理解黃金分割的意義，并能動手找到和制作黃金分割點和圖形，認識教學與人類生活的密切聯系對人類歷史發(fā)展的作用?！局R點分析】在線段AB上，點C把線段分成兩條線段AC和BC，如果，那么稱線段AB被點C分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫黃金比。其中即【例題分析】例：（）若點C是線段AB的黃金分割點，AB=8 cm，AC>BC,求AC的值。A C B（）已知點P是線段MN的黃金分割點，MP>NP,且MP=cm,求MN的值。M P N（）已知線段AB=10cm，C、D是AB上的兩個黃金分割點，求線段CD的

16、長.例 ：如圖，已知梯形ABCD中，ADBC，對角線AC，BD交于O。已知=1，=3。求：。（三角形面積比與線段比的轉化）例：如圖，在ABC中，點D，E分別在AB，AC上，且。已知：=1，=12，求：。（三角形面積比與線段比的轉化及方程思想的運用）例：如圖，在中，垂足為，是邊上的一點，垂足為。：四邊形:，求：的值?！净A能力訓練】如圖，若點P是AB的黃金分割點，則線段AP、PB、AB滿足關系式_，即AP是_與_的比例中項. 黃金矩形的寬與長的比大約為_（精確到0.001）.D.32.有以下命題:如果線段d是線段a,b,c的第四比例項，則有如果點C是線段AB的中點，那么AC是AB、BC的比例中項

17、如果點C是線段AB的黃金分割點，且AC>BC，那么AC是AB與BC的比例中項如果點C是線段AB的黃金分割點，AC>BC，且AB=2，則AC=1其中正確的判斷有（ ）A.1個B.2 個 C.3個D.4個、已知P為線段AB的黃金分割點，且APPB，則（ ）A、； B、； C、； D、已知P、Q是線段AB的兩個黃金分割點，且AB10cm，則PQ長為（ ） A、 B、 C、 D、若把長為10cm的線段黃金分割后，求其中較短的線段長度是多少？A C B已知線段AB=6，點C為線段AB的黃金分割點，(AC>BC)，求下列各式的值：（1）ACBC; (2)A C B 已知線段AB=a，在線

18、段AB上有一點C，若AC=，則點C是線段AB的黃金分割點嗎？為什么？寬與長的比等于黃金比的矩形也稱為黃金矩形。請你設法作出一個黃金矩形.以長為2的線段AB為邊作正方形ABCD，取AB的中點P，連結PD，在BA的延長線上取點F，使PF=PD，以AF為邊作正方形AMEF，點M在AD上，如圖422.（1）求AM、DM的長.（2）求證：AM2=AD·DM.（3）根據（2）的結論你能找出圖中的黃金分割點嗎？ 24.（） 【三角形一邊的平行線（性質定理）】【知識點分析】1、同高（或等高）的兩個三角形的面積之比等于對應底邊的比，如圖（1）：如圖（2）：若ADBC,則2、三角形一邊的平行線性質定理：

19、平行于三角形一邊的直線截其它兩邊所在的直線，截得的對應線段成比例。如圖（1），若DEBC，則或或如圖（2），若DEBC，則或或:【例題分析】例1：如圖所示，DEAB,EFBC，AF=5厘米，FB=3厘米，CD=2厘米。求BD。例2. 如圖，D，E為ABC邊AB，AC邊上的點，且DEBC。 （1）已知：AD:DB=3:2。問：圖中你能得到哪些線段的比。（2）已知：DE=3，BC=5.問：圖中你能得到哪些線段的比。例3. 如圖，D，E為ABC邊BA，CA延長線上的點，且DEBC。 （1）已知：。問：圖中你能得到哪些線段的比。（2）已知：DE=3，BC=5。問：圖中你能得到哪些線段的比。例4. 如圖

20、，在ABC中，DEBC，聯結CD。若，求：: ： （平行線性質定理與三角形面積比的綜合）例5. 如圖，在ABC中，點P在邊BC上，四邊形ADPE是平行四邊形。求證：。例6. 如圖，P為平行四邊形ABCD對角線AC上任一點。求證：PL·PM=PN·PK。（例4，例5 基本圖形“A字形”、“8字形”的疊加應用）例7. 如圖，已知ABC，AD平分BAC。求證：。（驗證角平分線定理，可一題多解。）例8：【基礎能力訓練】1：如圖，已知在ABC中，DEBC，EFCD，AF3，FD2，求AB的長。2：3： 例4圖 例5圖4：如圖，在平行四邊ABCD中，P是對角線BD上的點，過點P作一直線

21、分別交BA，BC的延長線于Q, R兩點，交CD， AD于S, I兩點，求證：PQPI =PRPS。5：如圖在ABC中，D是BC上的一點，DFAB，DECA。（1）求： (2)如果CF=2，AC=5，AB=6，求AE， DE的長 24.（2）【三角形一邊的平行線（性質定理的推論，重心性質）】【知識點分析】1. 三角形一邊的平行線性質定理推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三 角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例。 如圖（1）已知：ABC中，點D、E分別在AB、AC上，且DEBC，則; 如圖（2）已知：ABC中，點D、E分別在CA、BA的延長線上，且DEBC，則.2 三角形三條

22、中線交于一點，三角形三條中線的交點叫做三角形的重心。三角形的重心到一個頂點的距離，等于它到這個頂點對邊中點距離的兩倍?！纠}分析】例1： 如圖，DEFGBC，如果AD:DF:FB=1:2:3，求：DE:FG:BC。（A字形疊加，易公式混淆）例2. 如圖，直線,求：。例3. 如圖，直線。（1）若，求：。（2）若B為ODF的重心，求：,。（常見的線束圖形，要求學生熟悉其中變換）例4. 如圖，已知點E，F分別在矩形ABCD的邊AB，AD上，且EFBD，EC，FC分別交BD于點G，H。求證：（1） （2）。（“A字形”與“8字形”的疊加應用）例5. 如圖，已知BF:FC=3:1，G是AF的中點，BG的

23、延長線交AC于點E。求：。（嘗試一題多解，常用的添線法）例6. 已知，ABC中，C=900，G是三角形的重心，AB=8， 求： GC的長； 過點G的直線MNAB，交AC于M，BC于N，求MN的長。例7. 已知，ABC中，G是三角形的重心，AGGC，AG=3，GC=4，求BG的長。【基礎能力訓練】一、 填空題1、 如圖，ABC中，DEBC，AD=4BD,則AE=_EC2、 已知：D、E分別是ABC的邊AB、AC上的點，且DEBC，AE=6，AD=3,AB=5,則AC=_3、 已知：ABC中，DEBC，DE分別是邊AB、AC上的點，若AD:AB=2:9,EC-AE=5厘米，則AC=_厘米。4、 如

24、圖，已知：ACBD，AB與CD交于點O。若AC:BD=2:3,AO=1.2,則AB=_.5、 如圖，點D、E分別在ABC邊AB、AC上，且DEBC，若AD:BD=3:4，BE和CD相交于點O，則EO:OB=_。 6如圖，四邊形DECF為菱形，AC=15,BC=10，則菱形的周長為_7如圖，已知在ABC中，DEBC，EFCD，AF3，FD2，求AB的長。7、如圖，已知：平行四邊形ABCD中，點E是CD的中點，點F在BC上，求CO：AO的值。8、如圖，已知：ABC中，AD是BC上的中線，點F在AD上，且，求的值。9、如圖，已知：AB、CD、EF都垂直于L,AB=12，EF=7，BD：DF=2：3，

25、求CD的長。10、如圖，在ABC中，D是AB中點，過點D的直線交邊AC于點E，交BC的延長線于點F，求證： A D E B C F11、如圖平行四邊形ABCD，AD=12，P、Q是對角線BD上的三等分點，延長CQ交AD于點S，延長SP交BC于點R，求BR的值？ A S D Q PB R C12、 如圖ADBC，DB與AC交于O，過O作OMAD，交AB于M點，AD=2，BC=5，求OM的值。 C D A M B問題AB的長度發(fā)生改此題中OM的長度是否發(fā)生改變？13、如圖，已知ABC中D為BC的中點，過D的一條直線，交AC于點F，交BA的延長線于點E，AGBC，交EF于點G，那么線段EG、ED、G

26、F、FD之間有什么關系？ E A G FB D 14.在ABC中，中線AD、BE相交于點O，若BOD的面積等于5，求ABC的面積。15.如圖5，ABC中，AD是BC邊上的中線，G是重心，如果AG=6，那么線段DG=        。 16.如圖6，在ABC中，G是重心，點D是BC的中點，若ABC的面積為6cm2，則CGD的面積為        。17. 如圖，在ABC中，AD=AE，求證：。18. 如圖，在ABC中，D是AB的

27、中點，求證：。（嘗試一題多解，常用的添 線方法） 24.（3） 【三角形一邊的平行線的判定及推論】【知識點分析】1. 三角形一邊平行線判定定理 如果一條直線截三角形的兩邊所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.2. 三角形一邊的平行線判定定理推論 如果一條直線截三角形兩邊的延長線（這兩邊的延長線在第三邊的同側）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊. 由比例式產生平行線段 基本圖形(2):若, , , , 之一成立， 則DE/BC。 基本圖形(3):若, , , , , 之一成立， 則AC/DB。 【例題分析】 例1：如圖EFBC，BF=4，FD=2，求證：EF

28、AD A D E FB C例2、如圖所示，M為AB的中點，EFAB,連接EM、FM，分別交AF、BE于點C、D，連接CD。求證：CDAB.例3、如圖，已知MBND，求證：NBMA M NA B D P例4、如圖ABC中，DEBC交AB于D，交AC于E，DEFG為平行四邊形，連BG、CF且分別延長交于H，連AH，求證：AHDG A D E B C G F H A D E H G F B C 例5. 如已知，求證：.【基礎能力訓練】1、 如圖，ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上。判斷在下列條件下能否推出DEBC, 為什么？（1）,AE=2，AC=3（2）,（3）,2、ABC中，直線DE交AB于

29、點D，交AC于點E，那么能推出DEBC的條件是（ ） A、, B、, C、, D、,3. 如圖，四邊形ABCD中，取AD邊上一點E，連結BE并延長交CD的延長線于F，由以 下比例式能判定FC/AB的是（ ）（A） （B） （C） （D）4、如圖，DE是ABC的中位線，F是DE的中點，CF的延長線交AB于點G，則AG:GD等于（ ）A、2:1 B、3:1 C、3:2 D、4:35. 在ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，聯結DE，下列條件：,能判定DEBC的是 6.如圖，在中，D、E、F分別在邊AC、AB、BC上，且DE=3，BF=4.5，AE=3.2，BE=4.8，(1)求證：DE/BC。

30、(2)求BC的長。(3)問：四邊形EFCD是平行四邊形嗎？為什么？（本題條件較多，需要學生自己選擇需要的線段）7.如圖，已知CD/AB/MN，且EF/BC，求證：AD/EF。（多個A字形疊加）8.如圖，E、G、H、F分別是四邊形ABCD各邊上的點，且,，聯結EH、GF相交于O。求證：。（需要添加輔助線，考驗學生對圖形的熟悉程度）9、如圖，O是ABC內一點，D、E、F分別在AB、AO、AC上，如果DEBO，DFBC，求證：EFOC A E D F OB C10、如圖，G為四邊形ABCD的對角線BD上一點，E、F分別是AB、BC上的點，滿足EG/AD，FG/CD。求證：EF/AC。11.如圖4，點

31、O為ABC的中線AD上任意一點，BO、CO的延長線分別交AC、AB于點E、 F，連結EF，且。求證：EFBC.12. 如圖4，點O為ABC的中線AD上任意一點，BO、CO的延長線分別交AC、AB于點E、 F，連結EF，求證：EFBC. 24.（4）【平行線分線段成比例定理、平行線等分線段定理】【知識點歸納】1平行線分線段成比例定理：兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對應線段成比例.2平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行的直線所截，如果在一直線上所截得的線段相等，那么在另一直線上所截得的線段也相等.3.熟悉定理的幾種變形O井字型 A字型 X字型 倒 A字型 畸形(O無用)【例題分析】例1（） 如圖，已知。若AO=2,B0