高等代數(shù)(北大版)線性空間§課件

1、2022-1-10高等代數(shù)(北大版)線性空間2022-1-10高等代數(shù)(北大版)線性空間引引言言 線性空間是線性代數(shù)的中心內(nèi)容，它是幾何線性空間是線性代數(shù)的中心內(nèi)容，它是幾何空間的抽象和推廣空間的抽象和推廣 我們知道，在解析幾何中討論的三維向量，它我們知道，在解析幾何中討論的三維向量，它們的加法和數(shù)與向量的乘法可以描述一些幾何和們的加法和數(shù)與向量的乘法可以描述一些幾何和力學(xué)問題的有關(guān)屬性為了研究一般線性方程組力學(xué)問題的有關(guān)屬性為了研究一般線性方程組解的理論，我們把三維向量推廣為解的理論，我們把三維向量推廣為n維向量，定維向量，定義了義了n維向量的加法和數(shù)量乘法運算，討論了向維向量的加法和數(shù)量乘

2、法運算，討論了向量空間中的向量關(guān)于線性運算的線性相關(guān)性，完量空間中的向量關(guān)于線性運算的線性相關(guān)性，完滿地闡明了線性方程組的解的理論滿地闡明了線性方程組的解的理論2022-1-10高等代數(shù)(北大版)線性空間引引言言 現(xiàn)在把現(xiàn)在把n維向量抽象成集合中的元素，撇開維向量抽象成集合中的元素，撇開向量及其運算的具體含義，把集合對加法和數(shù)向量及其運算的具體含義，把集合對加法和數(shù)量乘法的封閉性及運算滿足的規(guī)則抽象出來，量乘法的封閉性及運算滿足的規(guī)則抽象出來，就形成了抽象的線性空間的概念，這種抽象將就形成了抽象的線性空間的概念，這種抽象將使我們進一步研究的線性空間的理論可以在相使我們進一步研究的線性空間的理論

3、可以在相當(dāng)廣泛的領(lǐng)域內(nèi)得到應(yīng)用事實上，線性空間當(dāng)廣泛的領(lǐng)域內(nèi)得到應(yīng)用事實上，線性空間的理論與方法己滲透到自然科學(xué)與工程技術(shù)的的理論與方法己滲透到自然科學(xué)與工程技術(shù)的許多領(lǐng)域許多領(lǐng)域, 同時對于我們深刻理解和掌握線性方同時對于我們深刻理解和掌握線性方程組理論和矩陣代數(shù)也有非常重要的指導(dǎo)意義程組理論和矩陣代數(shù)也有非常重要的指導(dǎo)意義.高等代數(shù)(北大版)線性空間高等代數(shù)(北大版)線性空間把一些事物匯集到一起組成的一個整體就叫做把一些事物匯集到一起組成的一個整體就叫做集合集合；常用大寫字母常用大寫字母A、B、C 等表示集合；等表示集合；當(dāng)當(dāng)a是集合是集合A的元素時，就說的元素時，就說a 屬于屬于A，記作

4、：，記作： ； aA 當(dāng)當(dāng)a不是集合不是集合A的元素時，就說的元素時，就說a不屬于不屬于A，記作：，記作： aA 組成集合的這些事物稱為集合的組成集合的這些事物稱為集合的元素元素 用小寫字母用小寫字母a、b、c 等表示集合的元素等表示集合的元素 高等代數(shù)(北大版)線性空間 關(guān)于集合沒有一個嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)定義，只是有一關(guān)于集合沒有一個嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)定義，只是有一個描述性的說明集合論的創(chuàng)始人是個描述性的說明集合論的創(chuàng)始人是19世紀(jì)中期德世紀(jì)中期德國數(shù)學(xué)家康托爾（國數(shù)學(xué)家康托爾（GCantor），他把集合描述為：），他把集合描述為：所謂集合是指我們直覺中或思維中確定的所謂集合是指我們直覺中或思維中確定的,彼

5、此有明彼此有明確區(qū)別的那些事物作為一個整體來考慮的結(jié)果確區(qū)別的那些事物作為一個整體來考慮的結(jié)果;集合集合中的那些事物就稱為集合的元素即，集合中的元中的那些事物就稱為集合的元素即，集合中的元素具有：確定性、互異性、無序性素具有：確定性、互異性、無序性. 注注:高等代數(shù)(北大版)線性空間集合的表示方法一般有兩種：集合的表示方法一般有兩種：描述法描述法、列舉法列舉法 描述法描述法：給出這個集合的元素所具有的特征性質(zhì)：給出這個集合的元素所具有的特征性質(zhì).列舉法列舉法：把構(gòu)成集合的全部元素一一列舉出來：把構(gòu)成集合的全部元素一一列舉出來.例例122( , )4, ,Mx y xyx yR 例例2 N ，0

6、,1,2,3,0, 2, 4, 6, 2Z 例例3210, 1,1Mx xxR Mx | x具有性質(zhì)具有性質(zhì)P Ma1，a2，an高等代數(shù)(北大版)線性空間 如果如果B中的每一個元素都是中的每一個元素都是A中的元素，則稱中的元素，則稱B是是A的的子集子集，記作，記作 ，（讀作，（讀作B包含于包含于A）BABA當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) xBxA 空集空集：不含任何元素的集合，記為：不含任何元素的集合，記為注意注意： 如果如果A、B兩集合含有完全相同的元素，則稱兩集合含有完全相同的元素，則稱 A與與 B相等相等，記作，記作AB .AB當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 且且 ABBA約定：約定： 空集是任意集合空集是任意集

7、合的子集合的子集合.高等代數(shù)(北大版)線性空間交交： ； ABx xAxB 且且并并： ABx xAxB 或或顯然有，顯然有，;ABAAAB1、證明等式、證明等式: ()AABA 證：顯然，證：顯然， 又又 ， ()AABA ,xAxAB 則則 ，()xAAB 從而從而, ()AAAB 練習(xí)：練習(xí)： 故等式成立故等式成立高等代數(shù)(北大版)線性空間2、已知、已知 ， AB 證明：證明： 又因又因 ， ABA ABA 又因又因 ， BAB ABB ,AAB 證證：1）,xA ABxBxAB 此即，此即，因此無論哪一種情況，都有因此無論哪一種情況，都有 .xB .ABB 此即，此即， (1);(2)

8、ABAABB 2),xABxAxB 或或,AB 但是但是高等代數(shù)(北大版)線性空間設(shè)設(shè)M、M 是給定的兩個非空集合，如果有是給定的兩個非空集合，如果有 一個對一個對應(yīng)法則應(yīng)法則，通過這個法則，通過這個法則對于對于M中的每一個元素中的每一個元素a，都有都有M 中一個唯一確定的元素中一個唯一確定的元素a 與它對應(yīng)與它對應(yīng), 則稱則稱 為為稱稱 a 為為 a 在映射在映射下的下的象象，而，而 a 稱為稱為a在映射在映射下的下的M到到M 的一個的一個映射映射，記作，記作 : 或或:MM MM 原象原象，記作，記作(a)a 或或:.aa 高等代數(shù)(北大版)線性空間 設(shè)映射設(shè)映射 , 集合集合:MM 稱之

9、為稱之為M在映射在映射下的下的象象，通常記作，通常記作 Im 集合集合M 到到M 自身的映射稱為自身的映射稱為M 的一個的一個變換變換 ImM 顯然，顯然， () ( )Ma aM 高等代數(shù)(北大版)線性空間例例4判斷下列判斷下列M 到到M 對應(yīng)法則是否為映射對應(yīng)法則是否為映射 1）Ma，b，c、M 1,2，3,4 ：(a)1，(b)1，(c)2：(a)1,(b)2,(c)3,(c)4：(b)2，(c)4 （不是不是） （是是） （不是不是） 2）MZ，M Z，：(n)|n|, nZ ：(n)|n|1,nZ （不是不是） （是是） 高等代數(shù)(北大版)線性空間：(a)a0，aM 4）MP，M ，

10、（，（P為數(shù)域）為數(shù)域）n nP ：(a)aE， （E為為n級單位矩陣）級單位矩陣）aP 5）M、M 為任意兩個非空集合，為任意兩個非空集合，a0是是M 中的一個中的一個固定元素固定元素. （是是）（是是）6）MM Px（P為數(shù)域）為數(shù)域） ：(f (x)f (x)， ( ) f xP x（是是）3）M ，M P，（P為數(shù)域）為數(shù)域） n nP：(A)|A|，n nAP （是是） 高等代數(shù)(北大版)線性空間例例5M是一個集合，定義是一個集合，定義I： I(a)a ，aM 即即 I 把把 M 上的元素映到它自身，上的元素映到它自身，I 是一個映射，是一個映射，例例6 任意一個在實數(shù)集任意一個在實

11、數(shù)集R上的函數(shù)上的函數(shù) yf(x) 都是實數(shù)集都是實數(shù)集R到自身的映射，即，函數(shù)可以看成是到自身的映射，即，函數(shù)可以看成是稱稱 I 為為 M 上的上的恒等映射恒等映射或或單位映射單位映射 映射的一個特殊情形映射的一個特殊情形 高等代數(shù)(北大版)線性空間設(shè)映射設(shè)映射 ， :,:MMMM 乘積乘積 定義為：定義為： (a)(a) aM 即相繼施行即相繼施行和和的結(jié)果，的結(jié)果， 是是 M 到到 M 的一個的一個 映射映射 對于任意映射對于任意映射 ，有，有 :MM MMII 設(shè)映射設(shè)映射:,:,:MMMMMM ， 有有()(). 高等代數(shù)(北大版)線性空間設(shè)映射設(shè)映射:MM 1）若）若ImM，即對于

12、任意，即對于任意yM ，均存在，均存在（或稱（或稱 為為映上的映上的）；）； 2）若）若M中不同元素的象也不同，即中不同元素的象也不同，即 121212,()()a aMaaaa 若若則則（或（或121212,()(),a aMaaaa若若），）， 則稱則稱是是M到到M 的一個的一個單射單射（或稱（或稱為為11的的）；）； 3）若）若既是單射，又是滿射，則稱既是單射，又是滿射，則稱為為雙射雙射,xM ，使，使 ，則稱，則稱是是M到到M 的一個的一個滿射滿射( )yx （或稱（或稱為為 11對應(yīng)對應(yīng)） 高等代數(shù)(北大版)線性空間例例7判斷下列映射的性質(zhì)判斷下列映射的性質(zhì)1）Ma，b，c、M 1,

13、2，3：(a)1，(b)1，(c)2 （既不單射，既不單射，也不是滿射也不是滿射） ：(a)3，(b)2，(c)12）M=Z，M Z，：(n)|n|1,nZ （是滿射，但不是單射是滿射，但不是單射） 3）Mn nP，M P，（，（P為數(shù)域）為數(shù)域） ：(A)|A|，n nAP （是滿射，但不是單射是滿射，但不是單射） （雙射雙射）高等代數(shù)(北大版)線性空間4）MP，M ,n nP P為數(shù)域為數(shù)域, E為為n級單位矩陣級單位矩陣：(a)aE，aP （是單射，但不是滿射是單射，但不是滿射） ：(a)a0，aM （既不單射，也不是滿射既不單射，也不是滿射） 6）MM Px，P為數(shù)域為數(shù)域：(f (x

14、)f (x)，( ) f xP x（是滿射，但不是單射是滿射，但不是單射） 7）M是一個集合，定義是一個集合，定義I：I(a)a，aM 8）M=Z，M 2Z，：(n)2n,nZ （雙射雙射） （雙射雙射） 5）M、M 為任意非空集合，為固定元素為任意非空集合，為固定元素 0aM 高等代數(shù)(北大版)線性空間對于有限集來說，兩集合之間存在對于有限集來說，兩集合之間存在11對應(yīng)對應(yīng)的充要條的充要條 件是它們所含元素的個數(shù)相同；件是它們所含元素的個數(shù)相同； 對于有限集對于有限集A及其子集及其子集B，若，若BA（即（即B為為A的真子集），則的真子集），則 A、B之間不可能存在之間不可能存在11對應(yīng)；對應(yīng)

15、；但是對于無限集未必如此但是對于無限集未必如此.如例如例7中的中的8），），是是11對應(yīng)，但對應(yīng)，但2Z是是Z的真子集的真子集 M=Z，M 2Z，：(n)2n,nZ 高等代數(shù)(北大版)線性空間：設(shè)映射：設(shè)映射:,MM 若有映射若有映射:,MM 使得使得,MMII 則稱則稱為為可逆映射可逆映射，為為的的逆映射逆映射， 若若為可逆映射，則為可逆映射，則1也為可逆映射，且也為可逆映射，且 （1）11().aa 則則有有:MM 為可逆映射，為可逆映射，aM ，若，若( ),aa 的逆映射是由的逆映射是由唯一確定的唯一確定的記作記作1高等代數(shù)(北大版)線性空間 為可逆映射的充要條件是為可逆映射的充要條件

16、是為為11對應(yīng)對應(yīng)證：證：若映射若映射:MM為為11對應(yīng)，則對對應(yīng)，則對yM 均存在唯一的均存在唯一的xM，使，使(x)y，作對應(yīng)作對應(yīng) :MM( ),( )yxxy這里( )( ( )( )( ),MxxyxIx 則即即MI ； ( )( ( )( )( ),MyyxyIy 則即即MI 為可逆映射為可逆映射 則則是一個是一個M 到到M的映射的映射, 且對且對 ,( ),xMxy 若,( ),yMxx 若若y y= =有有 ( (y y) )= =高等代數(shù)(北大版)線性空間11,( )( )yMyyy 對對有有即即, 1( ),( ).xyMyx 使使所以所以為滿射為滿射. 其次，對其次，對1

17、212,()()x xMxx若，則，則 11111112( )( )( ( )( ( )MxIxxxx 即即為單射為單射.所以所以為為11對應(yīng)對應(yīng)1222()()MxIxx 反之，設(shè)反之，設(shè) 為可逆映射，則為可逆映射，則 : MM 高等代數(shù)(北大版)線性空間 找一個找一個R到到R的的11對應(yīng)對應(yīng)，規(guī)定，規(guī)定解：解：xR :2xx則則 是是R到到R的一個映射的一個映射.若若22xy，則，則21,xyxy， 是單射是單射 aR 又對，存在，存在2logaxR，使，使2log2(log )2aaa故故 是是11對應(yīng)對應(yīng) 是滿射是滿射 高等代數(shù)(北大版)線性空間2、令、令1:,:,fxxg xxRx，

18、問：，問：1）g 是不是是不是R到到R的雙射？的雙射？g 是不是是不是 f 的逆映射？的逆映射？ 2）g是不是可逆映射？若是的話，求其逆是不是可逆映射？若是的話，求其逆 解：解：1）g是是R到自身的雙射到自身的雙射 ，若，若 ，則，則 ，g是單射是單射 , x yR11xyxy并且并且 ，即，即g是滿射是滿射 11,( )xRRgxxx 有使又又 ， 11( )( ( )( )fg xf g xfxx ， g不是不是 f 的逆映射的逆映射RfgI事實上，事實上， 1ff1gg2）g是可逆映射是可逆映射高等代數(shù)(北大版)線性空間1111()hgffg :,:fABg BChgf,令3、設(shè)映射、設(shè)映射，證明：，證明：1）如果）如果 h 是單射，那么是單射，那么 f 也是單射；也是單射