奧數(shù)贈品數(shù)論50題

1、數(shù)論50題 1 由1，3，4，5，7，8這六個數(shù)字所組成的六位數(shù)中，能被11整除的最大的數(shù)是多少？ 【分析】 各位數(shù)字和為1+3+4+5+7+8=28 所以偶數(shù)位和奇數(shù)位上數(shù)字和均為14 為了使得該數(shù)最大，首位必須是8，第2位是7，14-8=6 那么第3位一定是5，第5位為1 該數(shù)最大為875413。 2 請用1，2，5，7，8，9這六個數(shù)字（每個數(shù)字至多用一次）來組成一個五位數(shù)，使得它能被75整除，并求出這樣的五位數(shù)有幾個？ 【分析】 75=325 若被3整除，則各位數(shù)字和是3的倍數(shù)，1+2+5+7+8+9=32 所以應(yīng)該去掉一個被3除余2的，因此要么去掉2要么去掉8 先任給一個去掉8的，1

2、7925即滿足要求 1） 若去掉8 則末2位要么是25要么是75，前3位則任意排，有3！=6種排法 因此若去掉8則有2*6=12個滿足要求的數(shù) 2） 若去掉2 則末2位只能是75，前3位任意排，有6種排法 所以有6個滿足要求 綜上所述，滿足要求的五位數(shù)有18個。 3 已知道六位數(shù)20279是13的倍數(shù)，求中的數(shù)字是幾？ 【分析】 根據(jù)被13整除的判別方法，用末三位減去前面的部分得到一個兩位數(shù)，十位是7，個位是（9-），它應(yīng)該是13的倍數(shù)，因為13|78,所以9-=8 中的數(shù)字是1 4 某自然數(shù)，它可以表示成9個連續(xù)自然數(shù)的和，又可以表示成10個連續(xù)自然數(shù)的和，還可以表示成11個連續(xù)自然數(shù)的和，

3、那么符合以上條件的最小自然數(shù)是？（2005全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧賽） 【分析】 可以表示成連續(xù)9個自然數(shù)的和說明該數(shù)能被9整除，可以表示成連續(xù)10個自然數(shù)的和說明該數(shù)能被5整除，可表示成連續(xù)11個自然數(shù)的和說明該數(shù)能被11整除 因此該數(shù)是9,5,11=495，因此符合條件的最小自然數(shù)是495。 111考了優(yōu)秀，一次考試中，某班同學(xué)有考了良好，考了及格，剩下的人不及格，已知該5 723班同學(xué)的人數(shù)不超過50，求有多少人不及格？ 【分析】 乍一看這應(yīng)該是一個分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，但實際上用到的卻是數(shù)論的知識，由于人數(shù)必須是整數(shù)，所以該班同學(xué)的人數(shù)必須同時是2，3，7的倍數(shù)，也就是42的倍數(shù)，又因為人數(shù)不超過50，1

4、11-）42=1人 1-所以只能是42人，因此不及格的人數(shù)為（ 7326 （1）從1到3998這3998個自然數(shù)中，有多少個能被4整除？ （2）從1到3998這3998個自然數(shù)中，有多少個數(shù)的各位數(shù)字之和能被4整除？ （第14屆迎春杯考題） 【分析】 （1）3998/4=999.6所以1-3998中有996個能被4整除的 ）考慮數(shù)字和，如果一個一個找規(guī)律我們會發(fā)現(xiàn)規(guī)律是不存在的2（因此我們考慮分組的方法 我們補充2個數(shù)，0000和3999，此外所有的一位兩位三位數(shù)都在前面加上0補足4位 然后對這4000個數(shù)做如下分組 （0000，1000，2000，3000） （0001，1001，2001，

5、3001） （0002，1002，2002，3002） . (0999，1999，2999，3999) 共1000組，容易發(fā)現(xiàn)每一組恰好有個數(shù)字和是4的倍數(shù)，因此共有1000個數(shù)字和是4的倍數(shù) 但注意到我們補充了一個0000進去。所以原來的3998個數(shù)里，有999個數(shù)字和是4的倍數(shù)。 7 是否可在下列各數(shù)之間添加加或者減，使得等式成立？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10=36 若可以，請寫出符合條件的等式；若不可以，請說明理由。 【分析】 無論是加還是減，對奇偶性沒有影響，如果全是加的話，那么算出的結(jié)果是55是個奇數(shù)，因此某些加變成減后所得結(jié)果仍然是奇數(shù)，不可能是36，因此不可能使等式

6、成立。 8 黑板上寫著兩個數(shù)1和2，按下列規(guī)則增寫新數(shù)，若黑板有兩個數(shù)a和b，則增寫abab這個數(shù)，比如可增寫5（因為12125）增寫11（因為151511），一直寫下去，問能否得到2008，若不能，說明理由，若能則說出最少需要寫幾次得到？（2001年同方杯試題改編） 【分析】 開始是一奇數(shù)一個偶數(shù)，根據(jù)規(guī)則變成的新數(shù)是奇數(shù)偶數(shù)+奇數(shù)+偶數(shù)，仍然是一個奇數(shù)，此時我們有2個奇數(shù)，一個偶數(shù)，如果還用奇數(shù)和偶數(shù)來進行運算的話我們新添的仍然是奇數(shù)，若用2個奇數(shù)進行運算，則新添的數(shù)是奇數(shù)奇數(shù)+奇數(shù)+奇數(shù)，仍然是奇數(shù)。因此無論我們怎么算都只能增寫奇數(shù)，不可能寫出2008這個偶數(shù)。 9 從1，2，3，4，5

7、，6，7，8，9中任意選出三個數(shù)，使它們的和為偶數(shù)，則共有幾種不同的選法？ 【分析】 3個數(shù)的和是偶數(shù)有2種可能 1） 三個都是偶數(shù)，從2，4，6，8里選3個有4種可能 2） 兩個奇數(shù)一個偶數(shù)，從1，3，5，7，9里選2個有10種可能，從2，4，6，8里選一個有4種可能，根據(jù)乘法原理有40種選法 綜上所述，共有44種不同的選法。 10 已知3個不同質(zhì)數(shù)的和是最小的合數(shù)的完全平方，求這3個質(zhì)數(shù)的乘積是多少？ 【分析】 最小的合數(shù)是4，其平方為16 我們知道奇數(shù)個奇數(shù)的和是奇數(shù)，所以這3個質(zhì)數(shù)中必然有2 那么其余2個的和是14 只能一個是3一個是11 因此這3個質(zhì)數(shù)的乘積是2311=66 11 有

8、1997個奇數(shù)，它們的和等于它們的乘積。其中有三個數(shù)不是1，而是三個不同的質(zhì)數(shù)。那么，這樣的三個質(zhì)數(shù)是 、 、 【分析】 設(shè)這3個不同的質(zhì)數(shù)分別是a，b，c 根據(jù)題意 abc=1994+a+b+c 太大了11*13*17=2431,的話，那么11個質(zhì)數(shù)不可能都很大，假如最小的是3這所以a，b，c中一定有一個是3，5，7中的 若a=3，那么3bc=1997+b+c,c=(1997+b)/(3b-1) 試驗一下發(fā)現(xiàn)b=5可以使c是整數(shù)，c=143，但143不是質(zhì)數(shù)，b=7，11，13都不行 那么我們不妨再讓a=5，那么5bc=1999+b+c c=(1999+b)/(5b-1) b=7時 算得c=

9、59，是質(zhì)數(shù)，符合要求 因此a=5，b=7，c=59為滿足條件的三個質(zhì)數(shù)。 12 利用約數(shù)個數(shù)公式 1）分別求12，35和420的約數(shù)個數(shù) 2）分別求4，6，和24的約數(shù)個數(shù) 問題1：對于1）的結(jié)果，你是否發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？ 問題2：對于2）該規(guī)律是否仍然成立？ 問題3：該規(guī)律成立的條件是什么，并證明你的結(jié)論 【分析】 1）d(12)=6 d(35)=4 d(420)=24 規(guī)律：1235=420 d(12)d(35)=d(420) 2) d(4)=3 d(6)=4 d(24)=8,規(guī)律不再成立 3） 規(guī)律是若(a,b)=1，則d(a)d(b)=d(ab) 證明用約數(shù)個數(shù)公式即可 13 一個數(shù)的

10、完全平方有39個約數(shù)，求該數(shù)的約數(shù)個數(shù)是多少？ 【分析】 設(shè)該數(shù)為p1a1p2a2pnan 那么它的平方就是p1(2a1)p2(2a2)pn(2an) 因此(2a1+1)(2a2+1)(2an+1)=39 由于39=313=139 （1）所以2a1+1=3,2a2+1=13 a1=1,a2=6 故該數(shù)的約數(shù)個數(shù)為(1+1)(6+1)=14 （2）或者：2a1+1=39 a1=19,那么19+1=20個 14 從1/2 1/4 1/6 1/8 1/10 1/12中去掉2個分?jǐn)?shù)，可使得剩下4個分?jǐn)?shù)之和為1，問去掉哪兩個？（希望杯試題） 【分析】 單純試的方法當(dāng)然可以，但本題如果我們對數(shù)論知識理解透

11、徹并應(yīng)用上的話不需要任何計算就可以“看出”去掉的是1/8和1/10 理由如下 1）因為分母里8是獨一無二的有3個質(zhì)因子2的，所以必須去掉 2）因為10是分母里獨一無二的含有質(zhì)因子5的，所以也必須去掉 15 甲乙兩數(shù)最小公倍數(shù)是60，最大公約數(shù)是6，已知甲數(shù)是12，求乙數(shù)。 【分析】 直接用公式a,b(a,b)=ab，代入即得乙數(shù)=30 16 已知甲乙兩數(shù)的和加上它們的最大公約數(shù)恰好等于它們的最小公倍數(shù)，求它們的最小公倍數(shù)除以它們的最大公約數(shù)所得的商是幾？ 【分析】 設(shè)甲數(shù)為a，乙數(shù)為b，并設(shè)a=（a,b）a，b=(a,b)b,則a,b=(a,b)ab ）a,b（+b+(a,b)a）a,b（=b

12、 (a,b)a根據(jù)題意得兩邊同時約掉(a,b)得到 ab=a+b+1 所以ab-a-b+1=2 (a-1)(b-1)=2 得a=3 b=2 最小公倍數(shù)除以最大公約數(shù)得到的是ab=32=6 17 三個連續(xù)正整數(shù)，中間一個是完全平方數(shù)，將這樣的連續(xù)三個正整數(shù)的乘積稱為“美妙數(shù)”，問所有的“美妙數(shù)”的最大公約數(shù)是多少？（第九屆華杯賽） 【分析】 這樣的數(shù)有345 8910 151617 242526 容易發(fā)現(xiàn)它們的最大公約數(shù)是345=60 下面給出證明，首先任意連續(xù)3個正整數(shù)中必然有一個是3的倍數(shù)，所以美妙數(shù)一定能被3整除，其次，任何一個完全平方數(shù)要么是4的倍數(shù)要么被8除余1，所以美妙數(shù)一定也能被4

13、整除 最后，任何一個完全平方數(shù)的末位數(shù)字都是0，1，4，5，6，9，無論是哪一個，它們自己加上前后各一個數(shù)中必然有一個是0或5，因此美妙數(shù)一定也是5的倍數(shù) 綜上所述，所有美妙數(shù)的最大公約數(shù)是60 18 10個非零自然數(shù)的和是1001，則它們的最大公約數(shù)的最大值是多少？（2002我愛數(shù)學(xué)少年夏令營） 【分析】 設(shè)這10個非零自然數(shù)分別是a1,a2,a3,.a10,它們的最大公約數(shù)是a 那么a1，a2，,a10都是a的倍數(shù) 因此1001是a的倍數(shù)，1001=7*11*13 a是1001的約數(shù)，顯然a不能取1001，若a取143，則a1+a2+a10至少是1430也不可能 因此a最大是7*13=91

14、 19 一個偶數(shù)，它的約數(shù)里最大的兩個之和是120，求該數(shù)是多少？ 【分析】 設(shè)這個數(shù)是2a 那么它最大的兩個約數(shù)顯然是2a和a 2a+a=120 解得a=40 所以2a=24080 所以這個數(shù)是80。 45千克，一個梨重已知一個蘋果重千克，且蘋果和梨的總重量相同，求最少有幾個20 2415蘋果和幾個梨？ 【分析】 本題實質(zhì)上就是一個求分?jǐn)?shù)得最小公倍數(shù)的問題，這類問題有固定的解法，一般地，ca,ca和，它們的最小公倍數(shù)是代表的最小公倍數(shù)，(b,d)a,b，這里a,c對于兩個分?jǐn)?shù)代表 dd)(b,bb,d的最大公約數(shù)。 45和的最小公倍數(shù)解法一：根據(jù)上述分析本題實質(zhì)上是求 24152054，=由

15、上面給出的結(jié)論知道這個數(shù)是 3）24，15（20千克 所以蘋果和梨的總重量都是 3420=25個因此蘋果個數(shù)是 315520 梨的個數(shù)是=32個。 324解法二：設(shè)蘋果有x個，梨有y個 45x=y所以，推出x:y=25:32 1524故x最小是25，y最小是32。 4420x=25 1515320所以總重量是千克。 3 21 一個正整數(shù)加上32和132后都等于完全平方數(shù)，求這個正整數(shù)是多少？ 【分析】 設(shè)該正整數(shù)為a，根據(jù)題意得 22a+32=m a+132=n 兩式相減得(n+m)(n-m)=100,注意到n+m和n-m的奇偶性相同 所以n+m=50,n-m=2 解得n=26 m=24 因此

16、a=2626-132=544 所以這個正整數(shù)是544 22 一間屋子里有編為1-100的100盞燈，全都是亮的，有編為1-100的100名同學(xué)依次進入房間拉燈，規(guī)則如下：第一名同學(xué)把所有的燈都拉了一遍，第二名同學(xué)拉了所有碼是2的倍數(shù)的燈，第3名同學(xué)拉了所有碼是3的倍數(shù)的燈第100名同學(xué)拉了所有碼是100的倍數(shù)的燈，問最后有幾盞燈是滅的？ 【分析】 要考慮燈是亮的還是滅的，關(guān)鍵看燈被拉了奇數(shù)次還是偶數(shù)次，因為原來都亮，要我們求滅的燈的個數(shù)，那么也就是求那些被拉了奇數(shù)次的燈有幾個 注意拉燈的規(guī)則我們不難發(fā)現(xiàn)，每盞燈被拉的次數(shù)恰好是它的約數(shù)的個數(shù) 又因為約數(shù)個數(shù)是奇數(shù)等價于該數(shù)是完全平方數(shù)，因為1-

17、100中的完全平方數(shù)有10個 因此最后有10盞燈是滅的。 23 一間屋子里有100盞燈，全都是亮的，有編為1-100的100名同學(xué)依次進入房間拉燈，規(guī)則如下：第一名同學(xué)先拉1燈，然后隔一個拉一個；第2名同學(xué)先拉1燈，然后隔兩個拉一個；第3名同學(xué)先拉1燈，然后隔3個拉一個；第100名同學(xué)先拉1燈，然后隔100個拉一個，問最后有幾盞燈是滅的？ 【分析】 我們要求的仍然是被拉了奇數(shù)次的燈有幾個 注意到規(guī)則已經(jīng)產(chǎn)生變化，方便起見我們先舉一個簡單的例子個大家看 1同學(xué)拉的都是被2除余1的 2同學(xué)拉的都是被3除余1的 100同學(xué)拉的是被100除余1的 我們來看7燈，7被誰除余1呢，那么就要看7-1能被誰整

18、除了，注意到6有4個約數(shù)，1，2，3，6，但 ）6，3，2個同學(xué)拉過（3燈被7的并沒被拉過，因此1除余1被由此可見，n燈被拉的次數(shù)等于（n-1）的約數(shù)個數(shù)-1（特別的，1燈被拉了100次） 我們要求的是被拉奇數(shù)次的，那么就要使n-1的約數(shù)個數(shù)是偶數(shù)，即不是完全平方數(shù) 0-99中的完全平方數(shù)有10個，所以不是完全平方數(shù)的就有90個，因此最后有90盞燈是滅的。 24 已知a,b,c都是整數(shù)，且（a,b,c）=1,滿足ab+bc=ac,求證a-b是完全平方數(shù) 【分析】 證明：ab+bc=ac，變形得ac-ab-bc=0,即ac-ab-bc+b2=b2 因此(a-b)(c-b)=b2 任取a-b的一個

19、質(zhì)因子q（若無質(zhì)因子那么a-b=1，是完全平方數(shù)） 那么b的平方就能被q整除，由于q是質(zhì)數(shù)，所以b就能被q整除，又因為a-b可被q整除 那么a也能被q整除。 若c-b也有質(zhì)因子q，那么c就也能被q整除了，和（a，b，c）=1矛盾 所以c-b里無因子q 由此可知b2里所含的質(zhì)因子q都在a-b中，必然是偶數(shù)個（完全平方數(shù)的每個質(zhì)因子都是偶數(shù)個） 由q的任意性可知，a-b里每個質(zhì)因子的指數(shù)都是偶數(shù)，因此a-b是完全平方數(shù)。 25 已知2008被一些自然數(shù)去除，得到的余數(shù)都是10這些自然數(shù)共有幾個？（15屆迎春杯） 【分析】 2008被這樣的自然數(shù)除余數(shù)是10，那么1998就是這些自然數(shù)的倍數(shù)，換句話

20、說 我們要求1998的約數(shù)有幾個，但注意到除數(shù)比余數(shù)大，所以我們要求的是1998的約數(shù)中那些大于10的，枚舉顯然不可取，我們考慮用約數(shù)個數(shù)公式 1998=2*33*37,d(1998)=(1+1)*(3+1)(1+1)=16 其中小于10的約數(shù)有1，2，3，6，9 去掉它們還有11個 因此這樣的自然數(shù)共有11個。 26 有一串?dāng)?shù)：1，3，8，22，60，164，448，其中第一個數(shù)是1，第二個數(shù)是3，從第三個數(shù)起，每個數(shù)恰好是前兩個數(shù)之和的2倍。那么在這串?dāng)?shù)中，第2000個數(shù)除以9的余數(shù)是 【分析】 把這串?dāng)?shù)除以9的余數(shù)列出來如下 1，3，8，4，6，2，7，0，5，1，3，. 發(fā)現(xiàn)恰好每9個

21、一循環(huán) 2000被9除余數(shù)是2，所以第2000個和第2個是一樣的，除以9的余數(shù)是3 27 用自然數(shù)n去除63，91，129所得余數(shù)之和是25，求n 【分析】 方便起見我們把3次除法的商和余數(shù)都設(shè)出來 63n=ar1 91n=br2 129n=cr3 r1+r2+r3=25 根據(jù)帶余除法，(a+b+c)n+(r1+r2+r3)=63+91+129 即(a+b+c)n=258=2*3*43 試驗后易知n=43 28 一個小于200的自然數(shù)，被7除余2，被8除余3，被9除余1，這個數(shù)是多少？ 【分析】 注意到7-2=8-3=5 也就是說該數(shù)加上5以后可被7和8整除，也就是56的倍數(shù) 因此這個數(shù)只可能

22、是56-5 56*2-5 56*3-5 163符合要求，因此該數(shù)為1除余9被56*3-5=163經(jīng)檢驗發(fā)現(xiàn)只有 29 一堆糖果，如果每2塊分一堆剩1個，每3塊分一堆剩1個.每10個分一堆也剩1個，且這堆糖果的個數(shù)在99-5000之間，求這堆糖果的個數(shù)？ 【分析】 糖果數(shù)減掉1的話就能同時被2，3，4，10整除 1,2,3,10=2520 因此糖果數(shù)被2520除余1，在題目要求的范圍里這樣的數(shù)只有2521，因此這堆糖果的個數(shù)是2521。 30 若有一數(shù)介于300與400之間，以3除剩1，以8除剩5，以11除剩4。問此數(shù)為何？ 【分析】 下面介紹一種通用的方法 第一步：先找一個被3除余1，被8和1

23、1同時整除的數(shù)，容易找到是88 第二步：找一個被8除余1，被3和11同時整除的數(shù)，容易找到是33 第三步：找一個被11除余1，被3和8同時整除的數(shù)，容易找到是144 最后一步，算出該數(shù)1*88+5*33+4*144=829 但該數(shù)不在300-400之間怎么辦呢？我們只需要減去3,8,11=264 那么該數(shù)被3，8，11除的余數(shù)都不會改變，829-264-264=301 因此所求數(shù)為301，經(jīng)檢驗的確符合要求 31 已知三個連續(xù)自然數(shù)，它們都小于2002，其中最小的一個自然數(shù)能被13整除，中間的一個自然數(shù)能被15整除，最大的一個自然數(shù)能被17整除。那么，最小的一個自然數(shù)是多少？ （第18屆迎春杯

24、） 【分析】 假設(shè)中間一個是a，那么a被13除余1，被15整除，被17除余16 先滿足前2個條件，被15整除且被13除余1 因為15除以13余2，2*7=14除以13余1，所以該數(shù)為15*7=105 如果加上13，15=195仍然符合前2條，因此該數(shù)形如105+195n 我們只需要滿足該數(shù)被17除余16即可 105+195n=(102+187n)+(3+8n) 所以8n+3被17除余16即可，即8n被17除余13，n=8即可滿足要求 因此a=105+195*8=1665 所以最小一個自然數(shù)是1664 32 紅、黃、白和藍色卡片各1張，每張上寫有1個數(shù)字，小明將這4張卡片如下圖放置，使它們構(gòu)成1

25、個四位數(shù)，并計算這個四位數(shù)與它的各位數(shù)字之和的10倍的差。結(jié)果小明發(fā)現(xiàn)，無論白色卡片上是什么數(shù)字，計算結(jié)果都是1998。問：紅、黃、藍3張卡片上各是什么數(shù)字？ ，則這個四位數(shù)可以寫成a0，a1，a2，a3設(shè)紅、黃、白、藍色卡片上的數(shù)字分別是 【分析】1000a3+100a2+10a1+a0，它的各位數(shù)字之和的10倍是 10（a3+a2+a1+a0）=10a3+10a2+10a1+10a0， 這個四位數(shù)與它的各位數(shù)字之和的10倍的差是 990a3+90a2-9a0=1998， 110a3+10a2-a0=222。 比較上式等兩邊個位、十位和百位，可得 a0=8，a2=1，a3=2。 所以紅色卡片

26、上是2，黃色卡片上是1，藍色卡片上是8。 33 筐里共有96個蘋果，如果不一次全拿出，也不一個個地拿；要求每次拿出的個數(shù)同樣多，拿完時又正好不多不少，有_種不同的拿法. 【分析】 按題目的規(guī)定，每次拿的個數(shù)都是96的約數(shù)(除96和1之外)，這樣問題轉(zhuǎn)化為求96的約數(shù)個數(shù).將96分解質(zhì)因數(shù)，得96=222223.除去96和1之外，96的約數(shù)有10個： 答：有10種不同拿法. 2；3；4；6；8；12；16；24；32；48. 34 十二張撲克牌，2點、6點、10點各四張.你能從中選出七張牌，使上面點數(shù)之和等于52嗎?說明理由. 【分析】 每張牌的點數(shù)除以4，都余2，所以任取七張，點數(shù)之和被4除都

27、余2，而52被4整除，所以不能使點數(shù)之和等于52。 35 現(xiàn)有三個自然數(shù)，它們的和是1111，這樣的三個自然數(shù)的公約數(shù)中，最大的可以是多少？ 【分析】 只知道三個自然數(shù)的和，不知道三個自然數(shù)具體是幾，似乎無法求最大公約數(shù)。只能從唯一的條件“它們的和是1111”入手分析。三個數(shù)的和是1111，它們的公約數(shù)一定是1111的約數(shù)。因為1111=10111，它的約數(shù)只能是1，11，101和1111，由于三個自然數(shù)的和是1111，所以三個自然數(shù)都小于1111，1111不可能是三個自然數(shù)的公約數(shù)，而101是可能的，比如取三個數(shù)為101，101和909。所以所求數(shù)是101。 36 如果N是1，2，3，199

28、8，1999，2000的最小公倍數(shù)，那么N等于多少個2與1個奇數(shù)的積？ 1011因為【分析】 22的自然數(shù)表示為質(zhì)因數(shù)相乘，每一個不大于，2000=20482000=1024102，所以，N等于10個2與某個奇數(shù)的積。 10其中2的個數(shù)不多于個，而1024= 37 求這樣的三位數(shù)，它除以11所得的余數(shù)等于它的三個數(shù)字的平方和。 【分析】 三位數(shù)只有900個，可用枚舉法解決，枚舉時可先估計有關(guān)量的范圍，以縮小討論范圍，減少計算量。 設(shè)這個三位數(shù)的百位、十位、個位的數(shù)字分別為x，y，z。由于任何數(shù)除以11所得余數(shù)都不大于10，所以 x2+y2+z210， 從而1x3，0y3，0z3。所求三位數(shù)必在

29、以下數(shù)中： 100，101，102，103，110，111，112， 120，121，122，130，200，201，202， 211，212，220，221，300，301，310。 不難驗證只有100，101兩個數(shù)符合要求。 38 在1-600中，恰好有3個約數(shù)的數(shù)有幾個？ 【分析】 我們只需要注意到有3個約數(shù)的數(shù)一定是質(zhì)數(shù)的完全平方 2,3,5,7,11,13,17,19,23這9個數(shù)的平方數(shù)在1-600之間 個符合要求9共有 39 有3張撲克牌，牌面數(shù)字都在10以內(nèi)。把這3張牌洗好后，分別發(fā)給小明、小亮、小光3人。每個人把自己牌的數(shù)字記下后，再重新洗牌、發(fā)牌、記數(shù)，這樣反復(fù)幾次后，3人

30、各自記錄的數(shù)字的和順次為13，15，23。問：這3張牌的數(shù)字分別是多少？ 【分析】 13+15+23=51，51=317。 因為1713，摸17次是不可能的，所以摸了 3次， 3張撲克牌數(shù)字之和是17，可能的情況有下面15種： 1，6，10 1，7，9 1，8，8 2，5，10 2，6，9 2，7，8 3，4，10 3，5，9 3，6，8 3，7，7 (11)4，4，9 (12)4，5，8 (13)4，6，7 (14)5，5，7 (15)5，6，6 只有第種情況可以滿足題目要求，即 3+5+5=13；3+3+9=15；5+9+9=23。 這3張牌的數(shù)字分別是3，5和9。 40 寫出12個都是合

31、數(shù)的連續(xù)自然數(shù)。 【分析】 分析一：在尋找質(zhì)數(shù)的過程中，我們可以看出100以內(nèi)最多可以寫出7個連續(xù)的合數(shù)：90，91，92，93，94，95，96。我們把篩選法繼續(xù)運用下去，把考查的范圍擴大一些就行了。 解法1：用篩選法可以求得在113與127之間共有12個都是合數(shù)的連續(xù)自然數(shù)： 114，115，116，117，118，119，120， 121，122，123，124，125，126。 分析二：如果12個連續(xù)自然數(shù)中，第1個是2的倍數(shù)，第2個是3的倍數(shù)，第3個是4的倍數(shù)第12個是13的倍數(shù)，那么這12個數(shù)就都是合數(shù)。 又m+2，m+3，m+13是12個連續(xù)整數(shù)，故只要m是2，3，13的公倍數(shù)，

32、這12個連續(xù)整數(shù)就一定都是合數(shù)。 解法2：設(shè)m為2，3，4，13這12個數(shù)的最小公倍數(shù)。m+2，m+3，m+4，m+13分別是2的倍數(shù)，3的倍數(shù)，4的倍數(shù)13的倍數(shù)，因此12個數(shù)都是合數(shù)。 說明:我們還可以寫出 13！+2，13！+3，13！+13 （其中n！=123n）這12個連續(xù)合數(shù)來。 同樣，（m+1）！+2，（m+1）！+3，（m+1）！+m+1是m個連續(xù)的合數(shù)。 41 將100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)從小到大排成一個數(shù)字串，依次完成以下5項工作叫做一次操作： （1）將左邊第一個數(shù)碼移到數(shù)字串的最右邊； （2）從左到右兩位一節(jié)組成若干個兩位數(shù)； （3）劃去這些兩位數(shù)中的合數(shù)； （4）所剩的兩位質(zhì)數(shù)中

33、有相同者，保留左邊的一個，其余劃去； （5）所余的兩位質(zhì)數(shù)保持?jǐn)?shù)碼次序又組成一個新的數(shù)字串。 問：經(jīng)過1999次操作，所得的數(shù)字串是什么？ 【分析】 第1次操作得數(shù)字串711131131737； 第2次操作得數(shù)字串11133173； 第3次操作得數(shù)字串111731； 第4次操作得數(shù)字串1173； 第5次操作得數(shù)字串1731； 第6次操作得數(shù)字串7311； 第7次操作得數(shù)字串3117； 第8次操作得數(shù)字串1173。 不難看出，后面以4次為周期循環(huán)，1999=4499+3，所以第1999次操作所得數(shù)字串與第7次相同，是3117。 42 甲、乙兩個代表團乘車去參觀，每輛車可乘36人。兩代表團坐滿若干

34、輛車后，甲代表團余下的11人與乙代表團余下的成員正好又坐滿一輛車。參觀完，甲代表團的每個成員與乙張照片，那么拍完最后一36代表團的每個成員兩兩合拍一張照片留念。如果每個膠卷可拍張照片后，相機里的膠卷還可拍幾張照片？ 【分析】 甲代表團坐滿若干輛車后余11人，說明甲代表團的人數(shù)（簡稱甲數(shù)）除以36余11；兩代表團余下的人正好坐滿一輛車，說明乙代表團余36-11=25（人），即乙代表團的人數(shù)（簡稱乙數(shù)）除以36余25；甲代表團的每個成員與乙代表團的每個成員兩兩合拍一張照片，共要拍“甲數(shù)乙數(shù)”張照片，因為每個膠卷拍36張，所以最后一個膠卷拍的張數(shù)，等于“甲數(shù)乙數(shù)”除以36的余數(shù)。因為甲數(shù)除以36余11，乙數(shù)除以36余25，所以“甲數(shù)乙數(shù)”除以36的余數(shù)等于1125除以36的余數(shù)。 （1125）36=723， 即最后一個膠卷拍了23張，還可拍36-23=13（張）。 43 (