小題專項集訓十三立體幾何二

1、小題專項集訓(十三) 立體幾何（二） (時間：40分鐘 滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共50分)來源:來源:Z。xx。k. 1已知點M在平面ABC內(nèi)，并且對空間任一點O，OMxOA12OB13OC，則x的值為 ( ) A.16 B.13 C.12 D0 解析 由四點共面的充要條件，知x12131，因此x16. 答案 A 2. (2011·遼寧)如圖，四棱錐SABCD的底面為正方形，SD底面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是( ) AACSB BAB平面SCD來源:學科,Z,X,X,K CSA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角 DAB與SC所成的角等于DC與SA所

2、成的角 解析 易證AC平面SBD，因而ACSB，A正確；ABDC，DC?平面SCD，故AB平面SCD，B正確；由于SA，SC與平面SBD 的相對位置一樣，因而所成的角相同 答案 D 3點M在z軸上，它與經(jīng)過坐標原點且方向向量為s(1，1,1)的直線l的距 離為6，則點M的坐標是 ( ) A(0,0，±2) B(0,0，±3) C(0,0， ±3) D(0,0，±1) 解析 設M為(0,0，z)，直線l的一個單位方向向量為s0 ? ?33 ，33，33，故點M到直線l的距離d |OM| 2|OM ·s0|2 z2 13z26，解得z±3

3、. 答案 B 4在如圖所示的正方體A1B1C1D1-ABCD中，E是C1D1的中點，則異面直線DE與AC夾角的余弦值為( ) A 1010 B 120 C.120 D.1010 解析 如圖建立直角坐標系Dxyz，設DA1，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E?0，12，1.則AC(1,1,0)，DE? 0，12，1，若異面直線DE與AC所成的角為，cos |cosAC，DE| 1010. 答案 D 5(2011·全國)已知二面角l，點A，ACl，C為垂足，B，BDl，D為垂足若AB2，ACBD1，則D到平面ABC的距離等于 ( ) A.23 B.33 C.63 D1 解析 ABAC

4、CDDB，|AB|2|AC|2|CD|2|DB|2， |CD|22.在RtBDC中， BC3. 面ABC面BCD，過D作DHBC于H，則DH面ABC， DH的長即為D到平面ABC的距離， DH DB·DCBC 1× 2363.故選C. 答案 C 6如圖所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1ABAC，ABAC，M是CC1的中點，Q是BC的中點，P是A1B1的中點，則直線PQ與AM所成的角為 ( ) A.6 B.4 C.3 D.2 解析 以A為坐標原點，AB、AC、AA1所在直線為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設AA1ABAC2，則AM(0,2,1)，Q(1,1

5、,0)，P(1,0,2)，QP(0，1,2)，所以QP·AM0，所以QP與AM所成角為2. 答案 D 7如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為正三角形，底面ABCD為正方形，側(cè)面PAD底面ABCD，M為底面ABCD內(nèi)的一個動點，且滿足MPMC，則點M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為 ( ) 解析 以D為原點，DA、DC所在直線分別為x、y軸建系如圖： 設M(x，y,0)，設正方形邊長為a，則 P?a2，0 ，32a，C(0，a,0)， 則|MC |x2?ya?2， |MP| ?xa22y2?32a2. 由|MP| MC | 得x2y，所以點M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為直線y12x的一部

6、分 答案 A 8如圖所示，在四面體PABC中，PC面ABC，ABBCCAPC，那么二面角BAPC的余弦值為 ( ) A.22 B.33 C 77 D.57 解析 如圖所示，作BDAP于D，作CEAP于E.設AB1，則易得CE 22，EP 22，PA PB2，可以求得BD 144，ED 24.因為BCBDDEEC，所以BC2BD2DE2EC22BD·DE2DE·EC2EC·BD， 所以EC·BD 14，所以cosBD，EC 77.故選C. 答案 C 9(2013·南通一模)如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別在A1D、AC上，

7、且A1E23A1D，AF13AC，則 ( ) AEF至多與A1D、AC之一垂直 BEF與A1D、AC都垂直 CEF與BD1相交 DEF與BD1異面 解析 設AB1，以D為原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD1所在直線為z軸建立空間直角坐標系，則A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E?13，0，13，F(xiàn)?23，13，0，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，A1D(1,0，1)，AC(1,1,0)，EF?13，13，13，BD1(1，1,1)，EF13BD1，A1D · EFAC·EF0，從而EFBD1，EFA1D，EFAC

8、，故選B. 答案 B 10P是二面角AB棱上的一點，分別在，平面上引射線PM，PN，如果BPMBPN45°，MPN60°，那么二面角AB的大小為 ( ) A60° B70° C80° D90° 解析 不妨設PMa，PNb，如圖所示，作MEAB于E，NFAB于F，因為BPMBPN45°，所以PE 22a，PF 22b，所以EM·FN(PMPE)·(PNPF)PM·PNPM·PFPE·PNPE·PFabcos 60°a ×22bcos 45°

9、; 22abcos 45° 22a ×22b ab2 ab2 ab2 ab20，所以EMFN，所以二面角AB的大小為90°. 答案 D 二、填空題(每小題5分，共25分) 11若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，滿足條件(ca)·(2b)2，則x_. 解析 a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)， (ca)·(2b)(0,0,1x)·(2,4,2)2(1x)2，解得x2. 答案 2 12(2013·徐州模擬)已知正方體ABCDA1B1C1D1中，E為C1D1的中點，則異面直線AE與BC所

10、成角的余弦值為_ 解析 如圖建立直角坐標系Dxyz，設DA1，由已知條件A(1,0,0)，E?0，12，1，B(1,1,0)，C(0,1,0)，AE?1，12，1，BC(1,0,0)設異面直線AE與 BC 所成角為. cos |cosAE，BC|AE·BC|AE|BC |23. 答案 23 13如圖，在三棱錐PABC中，PA平面ABC，BAC90°，D，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC，CP的中點，ABAC1，PA2.則直線PA與平面DEF所成角的正弦值為_來源: 解析 如圖，以點A為原點，AB，AC，AP所在的直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系Axyz.ABAC1，PA2

11、，得A(0,0,0)，B(1，0,0)，C(0,1，0)，P(0,0,2)，D?12，0，0，E?12，12，0，F(xiàn)?0，12，1. AP(0,0,2)，DE?0，12，0，DF?12，12，1.來源:Zxxk. 設平面DEF的法向量為n(x，y，z)則? n·DE0，n·DF0， 即? ?x，y，z?·?0，12，00，?x，y，z?·?12，12，10.解得? x2z，y0. 取z1，則平面DEF的一個法向量為n(2,0,1) 設PA與平面DEF所成的角為，則sin |cosPA，n| ?PA·nPA|n | 55，故直線PA與平面DEF

12、所成角的正弦值為55. 答案 55 14已知：如圖，ABC是以B為直角的直角三角形，SA平面ABC，SABC2，AB4，M、N、D分別是SC、AB、BC的中點，則A到平面SND的距離為_ 解析 建立如圖的空間直角坐標系，則N(0,2,0)，S(0,0,2)，D(1,4，0)，NS(0，2,2)，SD(1,4，2)設平面SND的法向量為n(x，y,1)，n·NS0，n·SD0， ? 2y20x4y20，? x2y1，n(2,1,1)AS(0,0,2) A到平面SND的距離為|n·AS|n | 2 663. 答案 63 15如圖所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1BCAB2，ABBC，則二面角B1A1CC1的大小是_ 解析 如圖所示，以B為原點O，OA，OC，OB1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則A(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，B1(0,0,2)，C1(0,2,2)， 設AC的中點為M，M的坐標為(1,1,0)，連接BM，由題意，知BMAC，BMCC1，又ACCC1C，所以BM平面A1C1CA，即BM(1,1,0)是平面A