2021-2022學(xué)年黑龍江省哈爾濱一中高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（文科）及答案解析

1、2021-2022學(xué)年黑龍江省哈爾濱一中高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（文科）一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）1. 已知集合M=x|lgx>0，N=x|0x4，則MN=()A. (0,1)B. 0,4C. (1,4D. 1,42. 已知aR，則“a<1”是“a2<a”的()A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件3. 若sin(2+)=35，則cos()=()A. 35B. 35C. 45D. 454. 我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著數(shù)書(shū)九章中有“米谷粒分”問(wèn)題：“開(kāi)倉(cāng)受納，有甲戶(hù)米一千五百三十四石到廊驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，乃于樣內(nèi)取米一捻，數(shù)計(jì)二百五十

2、四粒內(nèi)有谷二十八顆，凡粒米率每勺三百，今欲知米內(nèi)雜谷多少”其大意是，糧倉(cāng)開(kāi)倉(cāng)收糧，有人送來(lái)米1534石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為()A. 153石B. 154石C. 169石D. 170石5. 已知向量a=(1,3),b=(1,0),c=(3,k).若a2b與c垂直，則實(shí)數(shù)k=()A. 3B. 3C. 1D. 36. 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)積為T(mén)n，a1=2且an+1=11an，則T2021=()A. 1B. 1C. 2D. 27. 函數(shù)f(x)=x(ex+ex)2+cosx的部分圖象大致為()A. B. C. D. 8. 設(shè)變量x，y滿(mǎn)足約束條件

3、x+y3,xy1,y1,則目標(biāo)函數(shù)z=4x2y的最大值為()A. 12B. 10C. 8D. 69. 圓x2+y2+4x12y+1=0關(guān)于直線(xiàn)axby+6=0(a>0,b>0)對(duì)稱(chēng)，則2a+6b的最小值是()A. 23B. 323C. 203D. 16310. 如圖，在四棱錐SABCD中，SA平面ABCD，四邊形ABCD為平行四邊形，ABC=60°且SA=AB=2BC=2，E為SA的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)SC與DE所成的角的余弦值為()A. 77B. 147C. 277D. 10511. 某幾何體的三視圖如圖所示(圖中小正方形的邊長(zhǎng)為1)，則該幾何體的體積為()A. 6B. 9

4、C. 18D. 3612. 已知雙曲線(xiàn)x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M(a,0)，N(0,b)，點(diǎn)P為線(xiàn)段MN上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PF1PF2取得最小值和最大值時(shí)，PF1F2的面積分別為S1，S2，則S2S1=()A. 4B. 8C. 23D. 43二、單空題（本大題共4小題，共20.0分）13. 曲線(xiàn)y=x2x在x=1處的切線(xiàn)的傾斜角為，則cos21+tan=_14. 已知斜率為3的直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F，并與拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=8，則p的值為_(kāi)15. 已知兩條不同的直線(xiàn)m，n，兩個(gè)不

5、重合的平面，給出下面五個(gè)命題：m/n，mn；/，m，nm/n；m/n，m/n/；m，m/；/，m/n，mn其中正確命題的序號(hào)為_(kāi)16. 函數(shù)y=f(x)的圖像是由函數(shù)y=cos(x)(大于零)的圖像向左平移6個(gè)單位所得，若函數(shù)y=f(x)在(,2)范圍內(nèi)單調(diào)，則的范圍是_三、解答題（本大題共6小題，共70.0分）17. 在銳角ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，(a2+c2b2)sinB=3accosB(1)求B；(2)若b=1，求c2a的取值范圍18. 已知公差不為零的等差數(shù)列an滿(mǎn)足：a1=3，且a1，a4，a13成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若Sn表示數(shù)列an的前

6、n項(xiàng)和，求數(shù)列1Sn的前n項(xiàng)和Tn19. 在四棱錐PABCD中，平面PAB平面ABCD，ABC=BCD=90°，PC=PD，PA=AB=BC=1，CD=2(1)證明：PA平面ABCD；(2)求點(diǎn)C到平面PBD的距離20. 已知橢圓S：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率e=22，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P(2,2)在橢圓S上，過(guò)F2的直線(xiàn)l交橢圓S于A、B兩點(diǎn)()求橢圓S標(biāo)準(zhǔn)方程；()求ABF1的面積的最大值21. 已知函數(shù)f(x)=13ax3x2+x(x>0,a<0)(1)若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍(2)若a=14，且

7、關(guān)于x的方程f(x)=lnx12x+1+b在1,3上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍22. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為x=3cosy=3sin(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,3)，且與極軸所成的角為(1)求曲線(xiàn)C的普通方程及直線(xiàn)l的參數(shù)方程；(2)設(shè)直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于D，E兩點(diǎn)，若|AD|+|AE|=26，求直線(xiàn)l的普通方程答案和解析1.【答案】C【解析】解：因?yàn)榧螹=x|lgx>0=x|x>1，N=x|0x4，則MN=x|1<x4故選：C先求出集合M，然后利用集合交集的定義求解即可本題考查了集合的運(yùn)

8、算，主要考查了集合交集的求解，解題的關(guān)鍵是掌握交集的定義，屬于基礎(chǔ)題2.【答案】B【解析】解：a2<a等價(jià)于a(a1)<0，解得0<a<1，“a<1”是“a2<a”的必要不充分條件，故選：B根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合不等式的性質(zhì)，進(jìn)行判斷即可本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵3.【答案】B【解析】解：因?yàn)閟in(2+)=35，所以cos=35，則cos()=cos=35故選：B由已知利用誘導(dǎo)公式即可求解本題主要考查了誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題4.【答案】C【解析】解：糧倉(cāng)開(kāi)倉(cāng)收糧，有人

9、送來(lái)米1534石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，設(shè)這批米內(nèi)夾谷約為x石，則28254=x1534，解得x169，這批米內(nèi)夾谷約為169石故選：C設(shè)這批米內(nèi)夾谷約為x石，則28254=x1534，由此能求出這批米內(nèi)夾谷的數(shù)量本題考查這批米內(nèi)夾谷的數(shù)量的求法，考查用樣本數(shù)字特征估計(jì)總體數(shù)字特征等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題5.【答案】B【解析】解：向量a=(1,3),b=(1,0),c=(3,k)，若a2b與c垂直，則(a2b)c=ac2bc =(3+3k)2(3+0)=33+3k=0，實(shí)數(shù)k=3，故選：B由題意利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，兩個(gè)向量

10、坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則，計(jì)算求得k的值本題主要考查兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題6.【答案】A【解析】解：由題設(shè)，a2=11a1=12,a3=11a2=1，an是周期為3的數(shù)列，又a1a2a3=2×12×(1)=1，且2021=3×673+2，T2021=(1)673a2020a2021=1×2×12=1故選：A由遞推式可得an是周期為3的數(shù)列且a2=12,a3=1，可得a1a2a3=1，進(jìn)而求T2021本題考查數(shù)列的遞推公式，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題7.【答案】C【解析】解：根據(jù)題意，對(duì)于函

11、數(shù)f(x)=x(ex+ex)2+cosx，有函數(shù)f(x)=x(ex+ex)2+cosx=x(ex+ex)2+cosx=f(x)，即函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，排除A、B；當(dāng)x>0時(shí)，有f(x)=x(ex+ex)2+cosx>0，排除D；故選：C根據(jù)題意，分析可得函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且當(dāng)x>0時(shí)，有f(x)>0，利用排除法分析可得答案本題考查函數(shù)的圖象分析，注意用排除法分析，屬于基礎(chǔ)題8.【答案】D【解析】解：由變量x，y滿(mǎn)足約束條件x+y3,xy1,y1,作出可行域如圖，化目標(biāo)函數(shù)z=4x2y為y=2x12z，由圖可知，當(dāng)直線(xiàn)y=2x12z過(guò)B(2,1)時(shí)直線(xiàn)在y軸上的截距最

12、大，z有最小值為4×22×1=6故選：D由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線(xiàn)方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案本題考查了簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題9.【答案】B【解析】解：由圓x2+y2+4x12y+1=0，得圓心坐標(biāo)為(2,6)，又圓x2+y2+4x12y+1=0關(guān)于直線(xiàn)axby+6=0對(duì)稱(chēng)，2a6b=6，即a+3b=3，得a3+b=1，又a>0，b>0，2a+6b=(2a+6b)(a3+b)=203+2ba+2ab203+22ba2ab=323當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)上式等號(hào)成立2a+6b的

13、最小值是323故選：B由已知求得圓心坐標(biāo)，代入直線(xiàn)方程，可得a3+b=1，再由基本不等式求最值本題考查直線(xiàn)與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題10.【答案】B【解析】解：如圖所示，連接AC和BD，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，則EO是ASC的中位線(xiàn)，所以EO/SC，于是異面直線(xiàn)SC與DE所成的角即直線(xiàn)EO與直線(xiàn)ED所成的夾角，即OED或其補(bǔ)角，在ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC22ACBCcosABC=3，故AC=3，所以AO=32，又SA平面ABCD，AO平面ABCD，所以SAAO，所以EO=AE2+AO2=12+(32)2=72，因?yàn)锽C2+AC2=AB2，所以AC

14、B=90°，所以O(shè)D=OB=BC2+OC2=12+(32)2=72，因?yàn)镾A平面ABCD，所以SAAD，所以ED=AD2+AE2=12+12=2，在EOD中，由余弦定理可得cosOED=EO2+ED2OD22EOED=74+2742722=147故選：B連接AC和BD，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，則EO/SC，所以異面直線(xiàn)SC與DE所成的角即直線(xiàn)EO與直線(xiàn)ED所成的夾角，求出EO，OD，DE，結(jié)合余弦定理可求出OED的余弦值，進(jìn)而得到異面直線(xiàn)SC與DE所成的角的余弦值本題考查異面直線(xiàn)所成角，考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，屬于中檔題11.【答案】C【解析】

15、解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體為三棱錐體ABCD如圖所示： 所以VABCD=VABCDEVABDE=13×12×(3+6)×6×613×12×6×6×6=18故選：C首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體的直觀圖，進(jìn)一步利用分割法的應(yīng)用求出幾何體的體積本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三視圖和幾何體的直觀圖之間的轉(zhuǎn)換，幾何體的體積公式，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題12.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查直線(xiàn)和雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)向量數(shù)量積轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，屬于較難題根據(jù)雙曲線(xiàn)的

16、離心率求出a，b，c的關(guān)系，結(jié)合向量數(shù)量積的公式，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最值即可【解答】解：由e=ca=2，得c=2a,b=3a，故線(xiàn)段MN所在直線(xiàn)的方程為y=3(x+a)，又點(diǎn)P在線(xiàn)段MN上，可設(shè)P(m,3m+3a)，其中ma,0，由于F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，即F1(2a,0)，F(xiàn)2(2a,0)，得PF1=(2am,3m3a),PF2=(2am,3m3a)，所以PF1PF2=4m2+6maa2=4(m+34a)2134a2由于ma,0，可知當(dāng)m=34a時(shí)，PF1PF2取得最小值，此時(shí)yP=34a，當(dāng)m=0時(shí)，PF1PF2取得最大值，此時(shí)yP=3a，又SPF1F2=12yP&

17、#183;2c則S2S1=3a34a=4，故選A  13.【答案】15【解析】解：y=1+2x2，故tan=y|x=1=3，結(jié)合0,)，故為銳角，所以cos=cos2sin2+cos2=11+tan2=110，所以cos2=2cos21=45，所以cos21+tan=451+3=15故答案為：15先求出切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，即傾斜角的正切，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、倍角公式求出cos2，問(wèn)題可解本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、三角恒等變換的知識(shí)與方法，屬于中檔題14.【答案】3【解析】解：由拋物線(xiàn)的方程y2=2px(p>0)可得焦點(diǎn)F(p2,0)，準(zhǔn)線(xiàn)方程x=p2，設(shè)A(x

18、1,y2)，B(x2,y2)，由題意可設(shè)方程為y=3(xp2)，聯(lián)立y2=2pxy=3(xp2)，整理可得：3x25px+34p2=0，>0，且x1+x2=5p3，由拋物線(xiàn)的性質(zhì)可得|AB|=x1+x2+p=53p+p=8p3，由題意可得8p3=8，解得p=3，故答案為：3設(shè)直線(xiàn)AB的方程，與拋物線(xiàn)聯(lián)立，求出兩根之和，由拋物線(xiàn)的性質(zhì)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線(xiàn)的距離可得弦長(zhǎng)，再由題意可得p的值本題考查拋物線(xiàn)的性質(zhì)的應(yīng)用及直線(xiàn)與拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題15.【答案】【解析】解：兩條不同的直線(xiàn)m，n，兩個(gè)不重合的平面，對(duì)于，由線(xiàn)面垂直的判定定理得：m/n，mn，故正確；對(duì)于，/，m，nm

19、與n相交、平行或異面，故錯(cuò)誤；對(duì)于，m/n，m/n/或m，故錯(cuò)誤；對(duì)于，由面面垂直的判定定理得：m，m/，故正確；對(duì)于，由線(xiàn)面垂直的判定定理得：/，m/n，mn，故正確故答案為：對(duì)于，由線(xiàn)面垂直的判定定理判斷；對(duì)于，m與n相交、平行或異面；對(duì)于，n/或m；對(duì)于，由面面垂直的判定定理判斷；對(duì)于，由線(xiàn)面垂直的判定定理判斷本題考查命題真假的判斷，考查空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力，是中檔題16.【答案】(0,51256,1112【解析】解：函數(shù)y=f(x)的圖像是由函數(shù)y=cos(x)(大于零)的圖像向左平移6個(gè)單位所得，故y=f(x)=cos(x+6)，函數(shù)y=f(

20、x)在(,2)范圍內(nèi)單調(diào)，x+6(+6,2+6)，則當(dāng)函數(shù)f(x)單調(diào)遞減時(shí)，2+6，求得512；當(dāng)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增時(shí)，+6，2+62，求得561112，綜上，的范圍為(0,51256,1112，故答案為：(0,51256,1112.由題意利用函數(shù)y=Asin(x+)的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的單調(diào)性，求得的范圍本題主要考查函數(shù)y=Asin(x+)的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題17.【答案】解：(1)因?yàn)?a2+c2b2)sinB=3accosB，所以a2+c2b22acsinB=32cosB，即cosBsinB=32cosB，因?yàn)锽為銳角，所以sinB=32，B=3；(2)因

21、為b=1，asinA=bsinB=csinC=233，所以a=233sinA,c=233sinC，所以c2a=233sinC433sinA=233sin(23A)433sinA=cosA3sinA=2cos(A+3)，因?yàn)锳(0,2)，所以A+3(3,56)，可得cos(A+3)(32,12)，所以2cos(A+3)(3,1)，即c2a的取值范圍是(3,1)【解析】(1)利用余弦定理化簡(jiǎn)已知等式可求sinB的值，結(jié)合B為銳角，可求B的值；(2)由正弦定理將a，c轉(zhuǎn)化為角，所以c2a轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求取值范圍的問(wèn)題求解本題主要考查了余弦定理，正弦定理，三角函數(shù)恒等變換以及余弦函數(shù)的性質(zhì)在解三角形中

22、的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題18.【答案】解：(1)公差不為零的等差數(shù)列an滿(mǎn)足：a1=3，且a1，a4，a13成等比數(shù)列則：a42=a1a13，即：(3+3d)2=3(3+12d)，解得：d=0或2(0舍去)，所以：an=3+2(n1)=2n+1(2)由于：an=2n+1，則：Sn=n(2n+4)2=n2+2n，所以：1Sn=1n(n+2)=12(1n1n+2)則：Tn=12(113+1214+1315+1n11n+1+1n1n+2)，=12(1+121n+11n+2)，=342n+32(n+1)(n+2)【解析】(1)利用已知條件求出數(shù)列的通項(xiàng)公式(2)首先利用數(shù)列的通

23、項(xiàng)公式求出數(shù)列的和，進(jìn)一步利用求出的和求出它的倒數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的和本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，裂項(xiàng)相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用19.【答案】(1)證明：因?yàn)槠矫鍼AB平面ABCD，平面PAB平面ABCD=AB，且BCAB，BC平面ABCD，則BC平面PAB，又PA平面PAB，則BCPA，取CD的中點(diǎn)M，連接AM，PM，BD， 因?yàn)锳B/CM，且AB=CM，BCD=90°，所以四邊形ABCM為矩形，則AMCD，又PC=PD，所以PMCD，又AM，PM平面PAM，AMPM=M，則CD平面PAM，又PA平面PAM，故CDPA，因?yàn)锽C，CD平面AB

24、CD，BCCD=C，則PA平面ABCD；(2)解：設(shè)點(diǎn)C到平面PBD的距離為，因?yàn)閂PBCD=VCPBD，即13SBCDPA=13SPBD，又SBCD=12×1×2=1,PA=1，在PBD中，PB=2,PD=3,BD=5，所以BD2=PB2+PD2，故BPD=90°，所以SPBD=12×2×3=62，所以66=13，解得=63，所以點(diǎn)C到平面PBD的距離為63【解析】(1)利用面面垂直的性質(zhì)定理證明BC平面PAB，則BCPA，取CD的中點(diǎn)M，連接AM，PM，BD，證明CD平面PAM，則CDPA，由線(xiàn)面垂直的判定定理證明即可；(2)利用等體積法V

25、PBCD=VCPBD，結(jié)合錐體的體積公式，列式求解即可本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，涉及了線(xiàn)面垂直的判定定理和面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，點(diǎn)到平面距離的求解，涉及了等體積法的應(yīng)用，等體積法是求解點(diǎn)到平面的距離的常用方法，屬于中檔題20.【答案】解：()由題可得ca=22，將點(diǎn)P代入橢圓方程可得22a2+(2)2b2=1，且a²=b²+c²，則可解得a=22，b=c=2，所以橢圓方程為：x28+y24=1；()由()可得F1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)，設(shè)l：x=my+2，代入橢圓方程可得(m²+2)y²+4my4=0，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,

26、y2)，則y1+y2=4mm2+2，y1y2=4m2+2，則|y1y2|=(y1+y2)24y1y2=(4mm2+2)24(4m2+2)=42m2+1m2+2，所以SABF1=12|F1F2|y1y2|=82m2+1(m2+1)+182m2+12m2+1=42，當(dāng)且僅當(dāng)m²+1=1，即m=0時(shí)取等號(hào)，故ABF1的最大值為42【解析】()根據(jù)離心率得到ca=22，再將P點(diǎn)坐標(biāo)代入，解得a²=b²+c²，解出a，b即可；()設(shè)直線(xiàn)l：x=my+2，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，表示出面積，結(jié)合基本不等式即可求得答案本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，基本不等式，三角形面積的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力，屬于中檔題21.【答案】解：(1)f(x)=ax22x+1(x>0,a<0)，要使函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則f(x)0在(0,+)上恒成立，即a2x1x2，(x>0)g(x)=2x1x2=1x22x=(1x1)211a1則求實(shí)數(shù)a的取值范圍為(,1(2)a=14時(shí)，關(guān)于x的方程f(x)=lnx12x