2022年全國版高考數(shù)學(xué)必刷題第七單元三角函數(shù)

1、第七單元三角函數(shù)考點(diǎn)一 三角函數(shù)求值1.(2017年北京卷)在平面直角坐標(biāo)系xoy中,角與角均以ox為始邊,它們的終邊關(guān)于y軸對稱.若sin=13,則cos(-)=. 【解析】與關(guān)于y軸對稱,+=+2k(kz),則sin=sin=13,cos=223,cos=-cos,cos(-)=-cos2+sin2=-79.【答案】-792.(2016年全國卷) 若tan=34,則cos2+2sin2=().a.6425b.4825c.1d.1625【解析】cos2+2sin2=cos2+4sincoscos2+sin2=1+4tan1+tan2=1+4×341+342=6425.【答

2、案】a3.(2016年上海卷)方程3sinx=1+cos2x在區(qū)間0,2上的解為. 【解析】由3sinx=1+cos2x,得3sinx=2-2sin2x,所以2sin2x+3sinx-2=0,解得sinx=12或sinx=-2(舍去),所以原方程在區(qū)間0,2上的解為6或56.【答案】6或56考點(diǎn)二 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)4.(2017年全國卷)已知曲線c1:y=cosx,c2:y=sin2x+23,則下面結(jié)論正確的是().a.把c1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移6個(gè)單位長度,得到曲線c2b.把c1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的

3、曲線向左平移12個(gè)單位長度,得到曲線c2c.把c1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的12,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移6個(gè)單位長度,得到曲線c2d.把c1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的12,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移12個(gè)單位長度,得到曲線c2【解析】因?yàn)閏2:y=sin2x+23=sin2x+2+6=cos2x+6,所以只需把c1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的12,縱坐標(biāo)不變,再向左平移12個(gè)單位長度,即得到曲線c2.【答案】d5.(2017年全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)=cosx+3,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是().a.f(x)的一個(gè)周期為-2b.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=83對稱c.f(x+)的一個(gè)

4、零點(diǎn)為x=6d.f(x)在2,上單調(diào)遞減【解析】函數(shù)f(x)的周期為2k(kz),故a正確;由x+3=k(kz),得x=k-3(kz),當(dāng)k=3時(shí),x=83,故b正確;f(x+)=-cosx+3,則當(dāng)x=6時(shí),f(x+)=0,故c正確;函數(shù)f(x)的圖象是由函數(shù)y=cosx的圖象向左平移3個(gè)單位長度得到的,故函數(shù)f(x)在-3,23上單調(diào)遞減,在23,53上單調(diào)遞增,故d錯(cuò).【答案】d6.(2017年全國卷)函數(shù)f(x)=sin2x+3cosx-34x0,2的最大值是. 【解析】f(x)=sin2x+3cosx-34=1-cos2x+3cosx-34=-cosx-322+1,x0,2

5、,cosx0,1,f(x)的最大值為1.【答案】17.(2017年天津卷)設(shè)函數(shù)f(x)=2sin(x+),xr,其中>0,|<.若f58=2,f118=0,且f(x)的最小正周期大于2,則().a.=23,=12b.=23,=-1112c.=13,=-1124d.=13,=724【解析】由題意知,函數(shù)f(x)的最小正周期為t=4118-58=3,=23,即f(x)=2sin23x+.|<,f58=2,=12.【答案】a8.(2016年全國卷)若將函數(shù)y=2sin2x的圖象向左平移12個(gè)單位長度,則平移后圖象的對稱軸為().a.x=k2-6(kz)b.x=k2+6(kz)c.

6、x=k2-12(kz)d.x=k2+12(kz)【解析】平移后的圖象對應(yīng)的解析式為y=2sin2x+12,令2x+12=k+2(kz),得對稱軸方程為x=k2+6(kz).【答案】b9.(2016年全國卷)已知函數(shù)f(x)=sin(x+)(>0,|2),x=-4為f(x)的零點(diǎn),x=4為y=f(x)圖象的對稱軸,且f(x)在18,536上單調(diào),則的最大值為().a.11b.9c.7d.5【解析】由已知可得-4+=k,kz,4+=m+2,mz,由+,得2=(k+m)+2.因?yàn)閨2,所以k+m=0或k+m=-1,即=±4.由-,得=2(m-k)+1,即為正奇數(shù).因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)

7、間18,536上單調(diào),所以只要該區(qū)間位于函數(shù)f(x)圖象的兩條相鄰對稱軸之間即可,且536-1812×2,即12.當(dāng)=4時(shí),f(x)=sinx+4,則k-218+4且536+4k+2,kz,解得36k-27236k+95.由于12,故k最大取1,此時(shí)4.59,故的最大值為9.當(dāng)=-4時(shí),f(x)=sinx-4,則k-218-4且536-4k+2,kz,解得36k-9236k+275.由于12,故k最大取0,此時(shí)275,故的最大值為5.綜上可知,的最大值為9.【答案】b高頻考點(diǎn):三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式.命題特點(diǎn):1.三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)

8、內(nèi)容,而同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式一般與性質(zhì)和恒等變換相結(jié)合考查;2.關(guān)于函數(shù)圖象的平移考查得比較多,而函數(shù)圖象的性質(zhì)考查得比較全面;3.以容易題和中檔題為主,但考查的內(nèi)容比較靈活.§7.1三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)關(guān)系及誘導(dǎo)公式一角的概念1.任意角:(1)定義:角可以看成平面內(nèi)的繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的.(2)分類:角按旋轉(zhuǎn)方向分為、和. 2.所有與角終邊相同的角,連同角在內(nèi),構(gòu)成的角的集合是s=|=k·360°+,kz.3.象限角:使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,那么角的終邊在第幾象限,就說這個(gè)角是第

9、幾象限角;如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,那么這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.二弧度制1.角度制和弧度制的互化:180°=rad,1°=180rad,1rad=180°.2.扇形的弧長公式:l=|r,扇形的面積公式:s=12lr=12|r2.三任意角的三角函數(shù)任意角的終邊與單位圓交于點(diǎn)p(x,y)時(shí),sin=,cos=,tan=yx(x0). 四同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1.平方關(guān)系:. 2.商數(shù)關(guān)系:. 五誘導(dǎo)公式組數(shù)一二三四五六角2k+(kz)+-2-2+正弦sin-sin-sinsin  余弦cos-coscos-cos

10、60; 正切tantan-tan-tan口訣函數(shù)名不變符號看象限函數(shù)名改變符號看象限記憶規(guī)律奇變偶不變,符號看象限1 已知點(diǎn)p(sin,cos)在第二象限,則角的終邊在().a.第一象限b.第二象限c.第三象限d.第四象限2cos23+tan225°=().a.12b.-12c.32d.-323 已知(-,-2),且sin=-12,則cos等于().a.-12b.12c.-32d.324 已知tan(2017+)=12,則cos-3sin2sin+cos等于().a.-2b.12c.-23d.-145 在平面直角坐標(biāo)系中,角的終邊過點(diǎn)p(2,1),則cos2+sin2的值為

11、. 6 已知一扇形的圓心角為(0<<2),所在圓的半徑為r.(1)若=3,r=10cm,求扇形的弧長及面積;(2)若扇形的周長是一定值c(c>0),當(dāng)為多少弧度時(shí),該扇形面積最大?知識清單一、1.(1)一條射線圖形(2)正角負(fù)角零角三、yx四、1.sin2+cos2=12.sincos=tan五、coscossin-sin基礎(chǔ)訓(xùn)練1.【解析】由題意得sin<0,cos>0,所以角的終邊在第四象限,故選d.【答案】d2.【解析】cos23+tan225°=-12+1=12.【答案】a3.【解析】cos=1-sin2=1-122=32,-,-2,c

12、os<0,cos=-32,故選c.【答案】c4.【解析】tan(2017+)=tan=12,所以cos-3sin2sin+cos=1-3tan2tan+1=-14,故選d.【答案】d5.【解析】平面直角坐標(biāo)系中,角終邊過點(diǎn)p(2,1),x=2,y=1,r=|op|=5,cos=xr=25=255,sin=yr=15=55,則cos2+sin2=45+2sincos=45+45=85.【答案】856.【解析】(1)設(shè)弧長為l,扇形面積為s,則=3,r=10,l=3×10=103cm,s=12×103×10=503cm2.(2)(法一)扇形周長c=2r+l=2r

13、+r,=cr-2,s扇=12·r2=12cr-2r2=12cr-r2=-r2-c2r=-r-c42+c216,當(dāng)r=c4時(shí),扇形面積取最大值c216,此時(shí)=cr-2=2.(法二)扇形周長c=2r+l=2r+r,r=c2+.s扇=12·r2=12·c2+2=c22·14+4+2=c22·1+4+4c216.當(dāng)且僅當(dāng)2=4,即=2時(shí),扇形面積取最大值c216.題型一任意角的三角函數(shù)【例1】已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)p(x,-2)(x0),且cos=55x,則5sin+1tan=. 【解析】p(x,-2)(x0),點(diǎn)p到原點(diǎn)的距離r=x2+2.又c

14、os=55x,cos=xx2+2=55x.x0,x=±3,r=5.當(dāng)x=3時(shí),5sin+1tan=-22+62;當(dāng)x=-3時(shí),5sin+1tan=-22-62.【答案】-22±62先判定p點(diǎn)所在的象限,再確定r,最后根據(jù)定義求解.【變式訓(xùn)練1】已知角2的頂點(diǎn)在原點(diǎn),始邊與x軸的正半軸重合,終邊過點(diǎn)(-1,3),22,4),則sin等于().a.-12b.12c.-32d.23【解析】由題意得,角2的終邊在第二象限且tan2=-3,2=2+23,即=+3,sin=-32.【答案】c題型二扇形的弧長、面積公式的應(yīng)用【例2】已知一扇形的圓心角為(>0),所在圓的半徑為r.(

15、1)若=60°,r=10,求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積.(2)若扇形的周長為4,求當(dāng)為多少弧度時(shí),該扇形有最大面積?【解析】(1)設(shè)弧長為l,弓形面積為s弓,則=60°=3,l=3×10=103,s弓=s扇-s=12×103×10-12×102×sin3=503-5032=503-32.(2)扇形周長2r+l=2r+r=4,r=4+2,s扇=12r2=12·4+22=84+4+2=84+41.當(dāng)且僅當(dāng)=4,即=2時(shí),扇形面積有最大值1.理清扇形的弧長與半徑、弧度角的關(guān)系,熟記扇形面積和周長的公式.【變式訓(xùn)練2

16、】一扇形的周長為20,當(dāng)扇形的圓心角等于多少弧度時(shí),這個(gè)扇形的面積最大?【解析】設(shè)扇形的半徑為r,弧長為l,則l+2r=20,即l=20-2r(0<r<10).扇形的面積s=12lr=12(20-2r)r=-r2+10r=-(r-5)2+25.當(dāng)r=5時(shí),s有最大值25,此時(shí)l=10,=lr=2rad.當(dāng)=2rad時(shí),扇形的面積取最大值.題型三同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用【例3】在abc中,sina+cosa=15.(1)求sinacosa的值;(2)求tana的值.【解析】(1)sina+cosa=15,兩邊平方得1+2sinacosa=125,sinacosa=-1225.(2

17、)由(1)得sinacosa=-1225<0,又0<a<,cosa<0.(sina-cosa)2=1-2sinacosa=1+2425=4925,又sina>0,cosa<0,sina-cosa>0,sina-cosa=75.由可得sina=45,cosa=-35,tana=sinacosa=45-35=-43.利用(sin±cos)2=1±2sincos和tana=sinacosa即可求解.【變式訓(xùn)練3】(1)已知tan=2,則sin2+sincos-2cos2=. (2)已知sin2=3sin2,tan=2tan,則c

18、os2=. 【解析】(1)sin2+sincos-2cos2=sin2+sincos-2cos2sin2+cos2=tan2+tan-2tan2+1=45.(2)sin2=3sin2,tan2=4tan2,由÷得,4cos2=3cos2,由+得,sin2+4cos2=3,cos2=23.【答案】(1)45(2)23題型四三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的應(yīng)用【例4】已知sin,1cos+6分別是方程5x2-12x-9=0的兩根.(1)求cos56-和sin+23的值;(2)若3<<72,求sin(5-)cos(2-)cos32-sin2cos2-sin(-)的值.【解析】sin

19、,1cos+6分別是方程5x2-12x-9=(5x+3)(x-3)=0的兩根,sin=-35,1cos+6=3,cos+6=13.(1)cos56-=cos-6+=-cos6+=-13,sin+23=sin2+6=cos+6=13.(2)3<<72,是第三象限角.sin=-35,cos=-45.sin(5-)cos(2-)cos32-sin2cos2-sin(-)=-sin2cos-sin2sin2=-1-cos=-15.熟練運(yùn)用誘導(dǎo)公式,并確定相應(yīng)三角函數(shù)值的符號是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練4】已知f12+x=sin(-x)cos(2-x)tan(-x)cos-2+x.(1)求f-9

20、4的值.(2)若f(x)=14,求sinx+2312+cosx+1712的值.【解析】f12+x=sinx·cosx·(-tanx)sinx=-cosx·tanx=-sinx.(1)令12+x=-94,則x=-94-12=-73,f-94=-sin-73=sin3=32.(2)f(x)=-sinx-12=14,sinx-12=-14,sinx+2312+cosx+1712=sin2+x-12+cos+x+512=sinx-12-cosx+512=sinx-12-cos2+x-12=2sinx-12=-12.方法一數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)線中的應(yīng)用當(dāng)給出一個(gè)象限角時(shí),

21、欲判斷該角的半角或倍角的符號或比較它們?nèi)齻€(gè)三角函數(shù)值的大小時(shí),由于沒有給出具體的角度,所以用圖形可以更直觀地表示,可先畫出三角函數(shù)線,借助三角函數(shù)線比較大小.【突破訓(xùn)練1】設(shè)是第二象限角,試比較sin2,cos2,tan2的大小.【解析】是第二象限角,2+2k<<+2k,kz,4+k<2<2+k,kz,2是第一象限角或第三象限角.如圖,結(jié)合單位圓上的三角函數(shù)線可得,當(dāng)2是第一象限角時(shí),sin2=ab,cos2=oa,tan2=ct,故cos2<sin2<tan2.當(dāng)2是第三象限角時(shí),sin2=ef,cos2=oe,tan2=ct,故sin2<cos2&

22、lt;tan2.綜上可得,當(dāng)2在第一象限時(shí),cos2<sin2<tan2;當(dāng)2在第三象限時(shí),sin2<cos2<tan2.方法二分類討論思想在三角函數(shù)化簡中的應(yīng)用角中含有變量n,因而需對n的奇偶進(jìn)行分類討論.利用誘導(dǎo)公式,需將角寫成符合公式的某種形式,這就需要將角中的某一部分看作一個(gè)整體.【突破訓(xùn)練2】求sin4n-14-+cos4n+14-(nz)的值.【解析】當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),設(shè)n=2k(kz),則原式=sin8k-14-+cos8k+14-=sin2k+-4-+cos2k+4-=sin-4-+cos4-=-sin4+cos2-4+=-sin4+sin4+=0;當(dāng)n為奇

23、數(shù)時(shí),設(shè)n=2k+1(kz),則原式=sin8k+34-+cos8k+54-=sin2k+34-+cos2k+54-=sin34-+cos54-=sin-4+cos+4-=sin4+-cos4-=sin4+-cos2-4+=sin4+-sin4+=0.故sin4n-14-+cos4n+14-=0.1.(2017日照市三模)若sin(-)=13,且2,則cos的值為().a.223b.-223c.429d.-429【解析】因?yàn)閟in(-)=sin=13,2,所以cos=-1-sin2=-223.【答案】b2.(2017江西師大附中三模)已知sin(-+)+2cos(3-)=0,則sin+coss

24、in-cos=().a.3b.-3c.13d.-13【解析】因?yàn)閟in(-+)+2cos(3-)=0,所以-sin-2cos=0,可得tan=-2,所以sin+cossin-cos=tan+1tan-1=-2+1-2-1=13,故選c.【答案】c3.(2017江西八校聯(lián)考)已知cos-sin=24,則sin2的值為().a.18b.-18c.78d.-78【解析】cos-sin=24,1-sin2=18,sin2=78.【答案】c4.(2017臨城質(zhì)檢)已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),始邊為x軸的正半軸,若p(4,y)是角終邊上一點(diǎn),且sin=-255,則y=().a.-8b.-4c.2d.4【解析】

25、因?yàn)閟in=y42+y2=-255,所以y<0,且y2=64,所以y=-8.【答案】a5.(2017寧德三模)已知sin+6=45,則cos-3的值為().a.35b.45c.-45d.-35【解析】cos-3=cos+6-2=sin+6=45,故選b.【答案】b6.(2017南昌二模)已知sin+2cos=0,則1+sin2cos2=. 【解析】由sin+2cos=0,得sin=-2cos,則1+sin2cos2=sin2+cos2+2sincoscos2=1.【答案】17.(2016湖北二模)設(shè)f(x)=sinx,x<1,2f(x-2),x1,則f-236+f94=.

26、 【解析】f-236+f94=sin-236+2f94-2=12+2sin4=32.【答案】328.(2017郴州市四檢)已知3cos2=tan+3,且k(kz),則sin2(-)=. 【解析】由題意可得3cos2-3=tan,即-3sin2=sincos,因?yàn)閗(kz),所以sincos=-13,即sin2=-23,所以sin2(-)=-sin2=23.【答案】239.(2016許昌二模)已知點(diǎn)p(sin-cos,tan)在第二象限,則的一個(gè)變化區(qū)間是().a.-,-2b.-4,4c.-34,-2d.2,【解析】因?yàn)辄c(diǎn)p(sin-cos,tan)在第二象限,所以sin-c

27、os<0,tan>0,根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可知選項(xiàng)c正確.【答案】c10.(2016柳州二模)若角滿足=2k3+6(kz),則的終邊一定在().a.第一象限或第二象限或第三象限b.第一象限或第二象限或第四象限c.第一象限或第二象限或x軸非正半軸上d.第一象限或第二象限或y軸非正半軸上【解析】當(dāng)k=0時(shí),=6,終邊位于第一象限,當(dāng)k=1時(shí),=56,終邊位于第二象限,當(dāng)k=2時(shí),=32,終邊位于y軸的非正半軸上,當(dāng)k=3時(shí),=2+6,終邊位于第一象限.綜上可知,的終邊一定在第一象限或第二象限或y軸非正半軸上.故選d.【答案】d11.(2016上饒?jiān)驴?當(dāng)0<x<4時(shí),函數(shù)f(

28、x)=cos2xcosxsinx-sin2x的最小值是().a.14b.12c.2d.4【解析】當(dāng)0<x<4時(shí),0<tanx<1,f(x)=cos2xcosxsinx-sin2x=1tanx-tan2x,設(shè)t=tanx,則0<t<1,y=1t-t2=1t(1-t)4.當(dāng)且僅當(dāng)t=1-t,即t=12時(shí)等號成立.【答案】d12.(2017金華質(zhì)檢)若2tan=3tan25,則cos-10sin-25=. 【解析】cos-10sin-25=sin+25sin-25=sincos25+cossin25sincos25-cossin25=tan+tan25t

29、an-tan25=5.【答案】513.(2016西寧聯(lián)考)已知a,b,c是三角形的內(nèi)角,3sina,-cosa分別是方程x2-x+2a=0的兩根.(1)求角a.(2)若1+2sinbcosbcos2b-sin2b=-3,求tanb.【解析】(1)由已知可得,3sina-cosa=1,又sin2a+cos2a=1,sin2a+(3sina-1)2=1,即4sin2a-23sina=0,得sina=0(舍去)或sina=32,a=3或a=23,將a=3或a=23代入知a=23時(shí)等式不成立,a=3.(2)由1+2sinbcosbcos2b-sin2b=-3,得sin2b-sinbcosb-2cos2

30、b=0.cosb0,tan2b-tanb-2=0,tanb=2或tanb=-1.當(dāng)tanb=-1時(shí),cos2b-sin2b=0,不合題意,舍去,tanb=2.§7.2三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)一用“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖正弦函數(shù)y=sinx,x0,2的圖象中,五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)分別是、2,-1、 32,-1、. 二三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)(表中kz)函數(shù)性質(zhì)y=sinxy=cosxy=tanx定義域rr 圖象值域-1,1-1,1r對稱軸  對稱中心(k,0)  周期22單調(diào)性增區(qū)間為 減區(qū)間為 增區(qū)間

31、為 減區(qū)間為 增區(qū)間為 無減區(qū)間奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)1 設(shè)點(diǎn)p是函數(shù)f(x)=sinx(>0)的圖象c的一個(gè)對稱中心,若點(diǎn)p到圖象c的對稱軸的距離的最小值是3,則=. 2 函數(shù)y=2-3cosx+4的最大值為,此時(shí)x=. 3 函數(shù)f(x)=sinx-4的圖象的一條對稱軸是().a.x=4b.x=2c.x=-4d.x=-2知識清單一、(0,0)(,0)(2,0)二、x|xk+2x=k+2x=kk+2,0k2,02k-2,2k+22k+2,2k+322k-,2k2k,2k+k-2,k+2基礎(chǔ)訓(xùn)練1.【解析】由正弦函數(shù)的圖象知對稱中心與對稱

32、軸的距離的最小值為最小正周期的14,故f(x)的最小正周期為t=4×3=43,=2t=32.【答案】322.【解析】當(dāng)cosx+4=-1時(shí),函數(shù)y=2-3cosx+4取得最大值5,此時(shí)x+4=+2k(kz),從而x=34+2k,kz.【答案】534+2k,kz3.【解析】正弦函數(shù)圖象的對稱軸過圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn),故令x-4=k+2,kz,x=k+34,kz.取k=-1,則x=-4.【答案】c題型一三角函數(shù)的定義域【例1】函數(shù)f(x)=lg(3+2x-x2)+sinx的定義域?yàn)? 【解析】由題意得3+2x-x2>0,sinx0,即-1<x<3,2kx2k+

33、(kz), 解得0x<3,所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,3).【答案】0,3)求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解簡單的三角不等式,常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解.【變式訓(xùn)練1】函數(shù)y=sin2x-cos2x的定義域?yàn)? 【解析】由題意得sin2x-cos2x0,即2sin2x-40,則2k2x-42k+,解得k+8xk+58(kz),所以函數(shù)的定義域?yàn)閤|k+8xk+58,kz.【答案】x|k+8xk+58,kz題型二三角函數(shù)的值域【例2】求函數(shù)f(x)=cos2x+sinx+14在區(qū)間-6,4上的最大值與最小值.【解析】f(x)=cos2x+sinx+14=1-sin2x+s

34、inx+14=-sinx-122+32.x-6,4,sinx-12,22,當(dāng)sinx=-12時(shí),函數(shù)f(x)取最小值12,當(dāng)sinx=12時(shí),函數(shù)f(x)取最大值32.形如y=asin2x+bsinx+c的三角函數(shù),可先設(shè)sinx=t,化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值).【變式訓(xùn)練2】已知函數(shù)f(x)=cos2x-3+2sinx-4·sinx+4,求函數(shù)f(x)在區(qū)間-12,2上的最大值與最小值.【解析】由題意得f(x)=12cos2x+32sin2x+(sinx-cosx)·(sinx+cosx)=12cos2x+32sin2x+sin2x-cos2x=12cos2x+3

35、2sin2x-cos2x=sin2x-6.又x-12,2,2x-6-3,56,sin2x-6-32,1.故當(dāng)x=3時(shí),f(x)取最大值1;當(dāng)x=-12時(shí),f(x)取最小值-32.題型三三角函數(shù)的單調(diào)性與周期性【例3】(2017北京海淀區(qū)高三適應(yīng)性考試)已知函數(shù)f(x)=4cosx·sinx+4(>0)的最小正周期為.(1)求的值;(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.【解析】(1)f(x)=4cosx·sinx+4=22sinx·cosx+22cos2x=2(sin2x+cos2x)+2=2sin2x+4+2.因?yàn)閒(x)的最小正周期為,且>0,所以22

36、=,故=1.(2)由(1)知f(x)=2sin2x+4+2,令-2+2k2x+42+2k,kz,所以-34+2k2x4+2k,kz,所以-38+kx8+k,kz.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為-38+k,8+k,kz.先將y=f(x)化成y=asin(x+)或y=acos(x+)(其中a0,>0)形式,再結(jié)合求周期公式和求單調(diào)區(qū)間的方法即可求解.【變式訓(xùn)練3】已知函數(shù)f(x)=sinxcosx-3sinx+32(>0)的最小正周期為2.(1)求的值;(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.【解析】f(x)=sinxcosx-3sinx+32=sinx·cosx-3sin2x+3

37、2=12sin2x+32cos2x=sin2x+3.(1)函數(shù)f(x)的最小正周期為2,22=2,解得=2.(2)由(1)知f(x)=sin4x+3,令2k+24x+32k+32,kz,得2k+64x2k+76,kz,k2+24xk2+724,kz.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是k2+24,k2+724,kz.題型四三角函數(shù)的對稱性與奇偶性【例4】設(shè)函數(shù) f(x)=sin2x+3cos2x(xr).(1)若函數(shù)y=f(x+)|2的圖象關(guān)于直線x=0對稱,求的值;(2)若函數(shù)y=fx+612的圖象關(guān)于點(diǎn)43,0中心對稱,求|的最小值.【解析】f(x)=sin2x+3cos2x=2sin2x+3.(

38、1)y=f(x+)=2sin2x+3+2的圖象關(guān)于直線x=0對稱,f(x+)為偶函數(shù),3+2=2+k,kz,則=k2+12,kz.|2,=-512或=12.(2)y=fx+612=2sin2x+2=2cos(2x+)的圖象關(guān)于點(diǎn)43,0中心對稱,2cos2×43+=2cos23+2=2cos23+=0,23+=k+2,kz,=k-6,kz,取k=0,得|的最小值為6.若f(x)=asin(x+)為偶函數(shù),則=k+2,kz;若f(x)=asin(x+)為奇函數(shù),則=k,kz.如果求f(x)的對稱中心的橫坐標(biāo),只需令x+=k(kz)即可.【變式訓(xùn)練4】設(shè)函數(shù)f(x)=2sin(2x+)(

39、-<<0).(1)若f4-x=f(x),求;(2)若函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù),求函數(shù)g(x)=cos2x+32的單調(diào)遞減區(qū)間.【解析】(1)f4-x=f(x),函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=8對稱,令2×8+=k+2,kz,則=k+4,kz,又-<<0,則-54<k<-14,kz.k=-1,則=-34.(2)函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù),-<<0,=-2,g(x)=cos2x-34.令2k2x-34+2k,kz,可解得38+kx78+k,kz,y=g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為38+k,78+k,kz.方法方程思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用此類題目主要解

40、決方程中的參量問題,首先利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性或單調(diào)性求出y=asin(x+)或y=acos(x+)的最值,但要注意對參量的符號進(jìn)行討論,以便確定函數(shù)的單調(diào)性,其次由已知列方程求解.【突破訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)=sin2x+23sinxcosx+3cos2x-2.(1)當(dāng)x0,2時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若函數(shù)g(x)=-(1+)f2(x)-2f(x)+1在-3,6上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】f(x)=sin2x+23sinxcosx+3cos2x-2=3sin2x+cos2x=2sin2x+6.(1)令-2+2k2x+62+2k,kz.解得2k-232x2k+

41、3,kz,即k-3xk+6,kz.x0,2,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為0,6.(2)由(1)知函數(shù)f(x)在-3,6上單調(diào)遞增, 設(shè)f(x)=t,則-1t1,k(t)=-(1+)t2-2t+1(-1t1),當(dāng)=-1時(shí),k(t)=-2t+1在-1,1上單調(diào)遞減,即=-1符合題意;當(dāng)<-1時(shí),-(1+)>0,則-11+1,得-2<-1;當(dāng)>-1時(shí),-(1+)<0,則-11+-1,得-1<0.綜上,-2,0.1.(2017江西二模)函數(shù)y=2sin2x+32-1是().a.最小正周期為的偶函數(shù)b.最小正周期為的奇函數(shù)c.最小正周期為2的偶函數(shù)d.最小正周期為2的奇函

42、數(shù)【解析】y=2sin2x+32-1=-cos(2x+3)=cos2x,y=2sin2x+32-1是最小正周期為的偶函數(shù).【答案】a2.(2017廣東聯(lián)考)函數(shù)f(x)=2sinx2-8cosx2-8的圖象的一個(gè)對稱中心可以是().a.(-,0)b.-34,0c.32,0d.2,0【解析】由題意知f(x)=sinx-4,令x-4=k(kz),則x=k+4(kz).由k=-1,得x=-34,即f(x)=sinx-4的一個(gè)對稱中心是-34,0.【答案】b3.(2017西寧二模)同時(shí)具有性質(zhì)“最小正周期是;圖象關(guān)于直線x=3對稱;在-6,3上是增函數(shù).”的一個(gè)函數(shù)為().a.y=sinx2+6b.y

43、=cosx2-6c.y=cos2x+6d.y=sin2x-6【解析】根據(jù)性質(zhì)最小正周期是,排除選項(xiàng)a和b;對于選項(xiàng)c,當(dāng)x=3時(shí),y=cos2×3+6=cos56=-32,不是最值,所以排除選項(xiàng)c,故選d.【答案】d4.(2017沈陽三模)已知函數(shù)f(x)=asin(x+)a>0,|<2的圖象在y軸左側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)為-6,3,第一個(gè)最低點(diǎn)為-23,m,則函數(shù)f(x)的解析式為().a.f(x)=3sin6-2xb.f(x)=3sin2x-6c.f(x)=3sin3-2xd.f(x)=3sin2x-3【解析】由題意得a=3,t=2-6+23=,=±2t=

44、7;2,當(dāng)=-2時(shí),f(x)=3sin(-2x),且過點(diǎn)-6,3,則3+=2k+2,得=6.當(dāng)=2時(shí),不合題意.故選a.【答案】a5.(2017佳木斯市三模)若函數(shù)f(x)=sin(x+),其中>0,<2,兩相鄰的對稱軸的距離為2,f6為最大值,則函數(shù)f(x)在區(qū)間0,上的單調(diào)遞增區(qū)間為().a.0,6b.23,c.0,6和3,d.0,6和23,【解析】兩相鄰的對稱軸的距離為2,t2=2,解得t=,=2.又f6為最大值,令2×6+=2+2k,kz,解得=6+2k,kz,令k=0得=6,函數(shù)f(x)=sin2x+6.令-2+2k2x+62+2k,kz,當(dāng)k=0時(shí),x-3,6

45、,當(dāng)k=1時(shí),x23,76,f(x)在區(qū)間0,上的單調(diào)增區(qū)間為0,6和23,.【答案】d6.(2017中衛(wèi)市二模)函數(shù)f(x)=cos2x+sin2+x的最小值是. 【解析】f(x)=cos2x+sin2+x=2cos2x+cosx-1=2cosx+142-98,故f(x)min=-98.【答案】-987.(2017菏澤聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=atan(x+)>0,|<2,y=f(x)的部分圖象如圖所示,則f24=. 【解析】由圖象知,t=238-8=2,=2.由2×38+=k,kz,得=k-34,kz.又|<2,=4.由atan2×0

46、+4=1,知a=1,f(x)=tan2x+4,f24=tan2×24+4=tan3=3.【答案】38.(2017百校聯(lián)盟)已知函數(shù)f(x)=98cos2x+16-sin2x,則當(dāng)f(x)取最小值時(shí)cos2x的值為. 【解析】f(x)=98cos2x+16+cos2x-12=98cos2x+2+cos2x+22-32,cos2x+2>0,f(x)2×34-32=0,當(dāng)且僅當(dāng)98cos2x+2=cos2x+22,即cos2x=-12時(shí)等號成立.【答案】-129.(2017遼寧四模)已知函數(shù)f(x)=sin(x+)>0,|<2的圖象過點(diǎn)0,12,若f(

47、x)f12對xr 恒成立,則的最小值為().a.2b.4c.10d.16【解析】函數(shù)圖象過點(diǎn)0,12,則sin=12.結(jié)合|<2可得,=6,由f(x)f12對xr恒成立,可得12×+6=2k+2(kz),解得=24k+4(kz),令k=0可得min=4.【答案】b10.(2017寧夏四模)已知函數(shù)f(x)=sinx+3-12cosx-76(>0),滿足f-6=34,則滿足題意的最小值為().a.13b.12c.1d.2【解析】由題意可得,f(x)=sinx+3-12cos2+x+3=sinx+3+12sinx+3=32sinx+3,則f-6=32sin-6+3=34,-6

48、+3=2k+6或-6+3=2k+56(kz),則=1-12k或=-12k-3(kz).結(jié)合>0可得,令k=0,min=1.【答案】c11.(2017婁底二模)已知函數(shù)f(x)=2sin(x+)+1>0,<2,f()=-1,f()=1,若-的最小值為34,且f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)4,1對稱,則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是().a.-2+2k,+2k,kzb.-2+3k,+3k,kzc.+2k,52+2k,kzd.+3k,52+3k,kz【解析】由題設(shè)知f(x)的周期t=4|-|min=3,所以=2t=23,又f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)4,1對稱,從而f4=1,即sin23×4

49、+=0,因?yàn)閨<2,所以=-6,故f(x)=2sin23x-6+1.由-2+2k23x-62+2k,kz,得-2+3kx+3k,kz,故選b.【答案】b12.(2017馬鞍山三模)已知函數(shù)y=asin(x+)(a>0,>0,-<<0)的部分圖象如圖所示,則=. 【解析】由圖象知sin=-12=2k-56(kz),又3t4<56<t56<t<10995<<125.再由sin56+=056+=2k+(kz)2k-,2k-2,解得=-56.【答案】-5613.(2017鹽城二模)已知a>0,函數(shù)f(x)=-2asin2

50、x+6+2a+b,當(dāng)x0,2時(shí),-5f(x)1.(1)求常數(shù)a,b的值;(2)設(shè)g(x)=fx+2且lgg(x)>0,求g(x)的單調(diào)區(qū)間.【解析】(1)x0,2,2x+66,76.sin2x+6-12,1,-2asin2x+6-2a,a,f(x)b,3a+b.又-5f(x)1,b=-5,3a+b=1,因此a=2,b=-5.(2)由(1)得,f(x)=-4sin2x+6-1,g(x)=fx+2=-4sin2x+76-1=4sin2x+6-1.又由lgg(x)>0,得g(x)>1,4sin2x+6-1>1,sin2x+6>12,2k+6<2x+6<2k+

51、56,kz,其中當(dāng)2k+6<2x+62k+2,kz時(shí),g(x)單調(diào)遞增,即k<xk+6,kz,g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k,k+6,kz.又當(dāng)2k+2<2x+6<2k+56,kz時(shí),g(x)單調(diào)遞減,即k+6<x<k+3,kz.g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為k+6,k+3,kz.§7.3函數(shù)y=asin(x+)的圖象及應(yīng)用一y=asin(x+)(a>0,>0)的有關(guān)性質(zhì)1.定義域:r;2.值域:-a,a;3.周期:t=2;4.對稱軸方程:; 5.對稱中心坐標(biāo):k-,0(kz);6.單調(diào)遞增區(qū)間:, 單調(diào)遞減區(qū)間:. 二圖象的變換函數(shù)y=s