2018版高中數(shù)學(xué)北師大版選修1-1學(xué)案：第四章1.2函數(shù)的極值

1、1.2 函數(shù)的極值【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1了解函數(shù)極值的概念，會從幾何方面直觀理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，并會靈活應(yīng)用 2 掌握函數(shù)極值的判定及求法 3 掌握函數(shù)在某一點取得極值的條件.EF問題導(dǎo)學(xué)-知識點一函數(shù)極值的概念函數(shù) y= f(x)的圖像如圖所示.思考 1 函數(shù)在點 x=a 的函數(shù)值與這點附近的函數(shù)值有什么大小關(guān)系?思考 2f (a)為多少？在點 x= a 附近，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號有什么規(guī)律?思考 3 函數(shù)在 x= b 點處的情況呢?(1)如圖 1,在包含 xo的一個區(qū)間(a, b)內(nèi)，函數(shù) y= f(x)在任何一點的函數(shù)值都小于或xo點的函數(shù)值，稱點xo為函數(shù) y= f(x)的極大值點，其函數(shù)

2、值f(xo)為函數(shù)的極大值.如圖 2,在包含 xo的一個區(qū)間(a, b)內(nèi)，函數(shù) y = f(x)在任何一點的函數(shù)值都大于或等于xo點的函數(shù)值，稱點xo為函數(shù) y= f(x)的極小值點，其函數(shù)值f(xo)為函數(shù)的極小值.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點.梳理等于知識點二求函數(shù) y= f(x)的極值的步驟1 求出導(dǎo)數(shù) f (x).2. 解方程 f (x)= 0.3.對于方程 f (x) = 0 的每一個解 xo,分析 f (x)在 xo左、右兩側(cè)的符號(即 f(x)的單調(diào)性), 確定極值點：(1)若 f (x)在 xo兩側(cè)的符號為左正右負”，則xo為極大值點；若 f (x

3、)在 xo兩側(cè)的符號為左負右正”，則xo為極小值點；(3)若 f (x)在 xo兩側(cè)的符號相同，貝 Vxo不是極值點.題型探究-類型一判斷與求解極值(點)例 1 判斷下列函數(shù)有無極值，如果有極值，請求出極值；如果無極值，請說明理由.13132(1)f(x) =+ 4; (2)f(x) = 3x + x + 4x.反思與感悟(1)導(dǎo)數(shù)值為 o 的點不一定是函數(shù)的極值點，函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)值為o 是取得極值的必要條件，而不是充分條件.求可導(dǎo)函數(shù) f(x)的極值的步驟1確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)數(shù)f (x);2求 f(x)的拐點，即求方程 f (x) = o 的根；3利用 f (x)與 f(x)隨 x 的

4、變化情況表，根據(jù)極值點左右兩側(cè)單調(diào)性的變化情況求極值.特別提醒：在判斷f(x)的符號時，借助圖像也可判斷f(X)各因式的符號，還可用特殊值法判斷.跟蹤訓(xùn)練 1 求下列函數(shù)的極值:(1) f(x) = 2X3+ 3x2- 12x+ 1;3(2) f(x) = x+ 3ln x.類型二已知函數(shù)極值求參數(shù)例 2 已知函數(shù) f(x)= x3+ 3ax2+ bx+ a2在 x= 1 處有極值 0,則 a =_ ,b=_ ,引申探究1.本例的其他條件不變，如果直線y = k 與函數(shù)圖像有三個交點，求k 的取值范圍.2.若本例的條件改為“x= 3, x= 1 是 f(x) = x3+ 3ax2+ bx+ a

5、2的兩個極值點”，求常數(shù)a, b 的值.反思與感悟已知函數(shù)極值的情況，逆向應(yīng)用確定函數(shù)的解析式時，應(yīng)注意以下兩點(1) 根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為 0 和極值兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解.(2) 因為導(dǎo)數(shù)值等于零不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗證根的合理性.跟蹤訓(xùn)練 2 設(shè) x= 1 與 x= 2 是函數(shù) f(x)= aln x+ bx2+ x 的兩個極值點.(1)試確定常數(shù) a 和 b 的值；A.a3B.a3判斷 x= 1, x= 2 是函數(shù) f(x)的極大值點還是極小值點，并說明理由.類型三函數(shù)極值的綜合應(yīng)用例 3 函數(shù) f(x) =1X3- 4x+ 4 的圖像與

6、直線 y= a 恰有三個不同的交點，貝 U 實數(shù) a 的取值范圍3是_.反思與感悟 利用導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的極值情況，并能在此基礎(chǔ)上畫出函數(shù)的大致圖像，從直觀上判斷函數(shù)圖像與 x 軸的交點或兩個函數(shù)圖像的交點的個數(shù)，從而為研究方程根的個數(shù)問題提供了方便.圖像有三個不同的交點，求實數(shù)m 的取值范圍.當(dāng)堂訓(xùn)練1已知函數(shù) f(x)的定義域為開區(qū)間(a, b)，導(dǎo)函數(shù) f (x)在(a, b)內(nèi)的圖像 如圖，則函數(shù) f(x)在開區(qū)間(a, b)內(nèi)極小值點的個數(shù)為()A. 1 B. 2 C. 3 D. 42.已知函數(shù) f(x)= ax3 x2+ x 5 在(3 +s)上既有極大值，也有極

7、小值，貝 U 實數(shù) a 的取值范圍為()1 rC. a0).1 + ax(1)當(dāng) a =扌時，求 f(x)的極值點;(2)若 f(x)是單調(diào)函數(shù)，求 a 的取值范圍.廠規(guī)律與方迭 - ,1. 在極值的定義中，取得極值的點稱為極值點，極值點指的是自變量的值，極值指的是函 數(shù)值.2.函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).可導(dǎo)函數(shù)f(x)在點x= xo處取得極值的充要條件是f(xo)=0 且在 x= xo兩側(cè) f (x)符號相反.3. 禾U用函數(shù)的極值可以確定參數(shù)的值，解決一些方程的解和圖像的交點問題.答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點一思考 1 函數(shù)在點 x= a 的函數(shù)值 f(a)比它在點 x= a 附近的其他點的函

8、數(shù)值都小.思考 2f(a)= 0,在點 x= a 附近的左側(cè) f (x)0.思考 3 函數(shù)在點 x= b 的函數(shù)值 f(b)比它在點 x= b 附近其他點的函數(shù)值都大，f (b) = 0,且在點 x = b 附近的左側(cè) f (x)0,右側(cè) f (x)0,所以函數(shù) f(x)在 R 上為增函數(shù)，無極值.跟蹤訓(xùn)練 1 解 函數(shù) f(x) = 2x3+ 3x2 12x+ 1 的定義域為 R,f (x)= 6x2+ 6x 12= 6(x+ 2)(x 1),解方程 6(x+ 2)(x 1)= 0,得 x1= 2, x2= 1.當(dāng) x 變化時，f (x)與 f(x)的變化情況如下表：x( g,2)2(2,1

9、)1(1,+g)f (x)+0一0+f(x)極大值 21極小值6所以當(dāng) x =-2 時，f(x)取極大值 21;當(dāng) x= 1 時，f(x)取極小值一 6.3(2)函數(shù) f(x) = - + 3ln x 的定義域為(0,+), x,333(x_1)f(X)孑+廠廠，令 f (x)= 0,得 x= 1.當(dāng) x 變化時，f (x), f(x)的變化情況如下表：x(0,1)1(1,+ a)f (x)0+f(x)極小值 3因此當(dāng) x = 1 時，f(x)有極小值 3,無極大值.例 229解析If (x) = 3x2+ 6ax+ b,且函數(shù) f(x)在 x=- 1 處有極值 0.f 1 = 0,3-6a+

10、 b= 0,即|f 1 = 0,| 1 + 3a b+ a2= 0,a =1,a=2,解得或b = 3b= 9.當(dāng) a= 1,b = 3 時，f(x) = 3x2+ 6x+ 3= 3(x+ 1)2 0,此時函數(shù) f(x)在 R 上為增函數(shù)，無極值，故舍去.2當(dāng) a= 2, b= 9 時，f (x) = 3x + 12x+ 9=3(x + 1)(x+ 3).當(dāng) x(- a,3)時，f(x)0,此時 f(x)為增函數(shù);當(dāng) x ( 3, 1)時，f (x)0 ,此時 f(x)為增函數(shù).故 f(x)在 x= 1 處取得極小值， a = 2, b= 9.引申探究1.解由例 2 知 f(x)極小值=f(

11、1) = 0,f(x)極大值=f( 3) = 4,由圖像可知當(dāng) 0 k4 時，直線 y= k 與函數(shù)圖像有三個交點.2.解 f (x)= 3x2+ 6ax+ b= 0 的兩根為3 和1,3+1=2a，a = 2,則b解得3X 1=3，b=9.跟蹤訓(xùn)練 2 解 因為 f(x) = aln x+ bx2+ x,a所以 f (x) = + 2bx+ 1.x依題意得 f (1) = f (2) = 0,a+ 2b + 1 = 0, 即 a+ 4b + 1 = 0,21解方程組得 a =孑b= 6.21x1x23x 3x+1=3x .當(dāng) x (0,1)時，f (x)0;當(dāng) x (2, +g)時，f (x

12、)0),54 2 故在 x= 1 處函數(shù) f(x)取得極小值二，在 x= 2 處函數(shù) f(x)取得極大值二二 ln 2.63 3所以 x= 1 是函數(shù) f(x)的極小值點，x= 2 是函數(shù) f(x)的極大值點.例3 (- 3,晉)解析 f(x)= 3x3 4x+ 4,3 f (x)= x4 4 = (x+ 2)(x 2).令 f (x)= 0,得 x= 2 或 x= 2.當(dāng) x 變化時，fz(x), f(x)的變化情況如下表：x( 8,2)2(2,2)2(2,+8)f (X)+0一0+f(x)極大值極小值284當(dāng) x= 2 時，函數(shù)取得極大值 f( 2)=亍當(dāng) x= 2 時，函數(shù)取得極小值f(

13、2)=-,33且 f(x )在(一8,2)和(2,+8)上是增加的，在(一 2,2)上是減少的.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性、極值情況，它的圖像大致如圖所示，428結(jié)合圖像知3a0,g 4 = 16 m0 , 解得16m27.當(dāng)堂訓(xùn)練1. B 2.C3.D4. 2ex但 x2 2ax+ 1)5. 解 f (x)=22.(1 + ax )13令 f (x)= 0,得 X1= 2， x2= 2.當(dāng) x 變化時，f (x), f(x)的變化情況如下表:111 333 ,、x(-3刁2(2，刁2(2+3)f（X）+00+x2( m，3)23(!,4)4(4,+s)g(x)+0一0+g(x)68 -m2716m當(dāng) x