高中數(shù)學(xué) 2.3冪函數(shù)教案 新人教A版必修1

1、2.3 冪函數(shù)（一）教學(xué)目標(biāo)1知識(shí)與技能（1）理解冪函數(shù)的概念，會(huì)畫(huà)冪函數(shù)y=x，y=x2，y=x3，y=x1，y=x的圖象.（2）結(jié)合這幾個(gè)冪函數(shù)的圖象，理解冪函數(shù)圖象的變化情況和性質(zhì).2過(guò)程與方法（1）通過(guò)觀察、總結(jié)冪函數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生概括抽象和識(shí)圖能力.（2）使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.3. 情感、態(tài)度、價(jià)值觀（1）通過(guò)生活實(shí)例引出冪函數(shù)的概念，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.（2）利用計(jì)算機(jī)，了解冪函數(shù)圖象的變化規(guī)律，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到現(xiàn)代技術(shù)在數(shù)學(xué)認(rèn)知過(guò)程中的作用，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望.（二）教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：常見(jiàn)冪函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).難點(diǎn)：冪函數(shù)的單

2、調(diào)性及比較兩個(gè)冪值的大小.（三）教學(xué)方法采用師生互動(dòng)的方式，由學(xué)生自我探索、自我分析，合作學(xué)習(xí)，充分發(fā)揮學(xué)生的積極性與主動(dòng)性.利用實(shí)物投影儀及計(jì)算機(jī)輔助教學(xué).（四）教學(xué)過(guò)程教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖復(fù)習(xí)引入 （多媒體顯示以下5個(gè)問(wèn)題，同時(shí)附注相關(guān)圖象，每個(gè)問(wèn)題的結(jié)論由學(xué)生說(shuō)出，然后再在多面體屏幕上彈出）問(wèn)題1：如果張紅購(gòu)買(mǎi)了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要付的錢(qián)數(shù)p=w元，這里p是w的函數(shù).問(wèn)題2：如果正方形的邊長(zhǎng)為a，那么正方形的面積S=a2，這里S是a的函數(shù).問(wèn)題3：如果正方體的邊長(zhǎng)為a，那么正方體的體積V=a3，這里V是a的函數(shù).問(wèn)題4：如果正方形場(chǎng)地的面積為S，那么正方形的邊長(zhǎng)

3、a=S，這里a是S的函數(shù).問(wèn)題5：如果某人t s內(nèi)騎車行進(jìn)了1 km，那么他騎車的平均速度v=t1 km/s，這里v是t的函數(shù).學(xué)生閱讀、思考、交流、口答，教師板演師：觀察上述例子中函數(shù)模型，這幾個(gè)函數(shù)表達(dá)式有什么共同特征？生：解析式的右邊都是指數(shù)式，且底數(shù)都是變量. 變量在底數(shù)位置，解析式右邊又都是冪的形式，我們把這種函數(shù)叫做冪函數(shù).（引入新課，書(shū)寫(xiě)課題）培養(yǎng)學(xué)生的觀察、歸納、概括能力，形成概念冪函數(shù)的定義一般地，形如（R）的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù).師：請(qǐng)同學(xué)們舉出幾個(gè)具體的冪函數(shù).生：如等都是冪函數(shù)，冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)一樣，都是基本初等函數(shù).理解冪函數(shù)的定義.深化概念

4、1.研究?jī)绾瘮?shù)的圖像（1） （2） （3） （4） （5）2.通過(guò)觀察圖像，填P86探究中的表格定義域RR奇偶性奇奇在第象限單調(diào)增減性在第象限單調(diào)遞增在第象限單調(diào)遞增定點(diǎn)（1，1）（1，1）R奇非奇非偶奇在第象限單調(diào)遞增在第象限單調(diào)遞增在第象限單調(diào)遞減（1，1）（1，1）（1，1）3.冪函數(shù)性質(zhì) （1）所有的冪函數(shù)在（0，+）都有定義，并且圖象都過(guò)點(diǎn)（1，1）（原因：）； （2）0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都通過(guò)原點(diǎn)，并且在0，+上，是增函數(shù)（從左往右看，函數(shù)圖象逐漸上升）. 特別地，當(dāng)1，1時(shí)，（0，1），的圖象都在圖象的下方，形狀向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因嗎？） 當(dāng)0<1時(shí)，（0

5、，1），的圖象都在的圖象上方，形狀向上凸，越小，上凸的程度越大（你能說(shuō)出原因嗎？） （3）0時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間（0，+）上是減函數(shù).在第一家限內(nèi)，當(dāng)向原點(diǎn)靠近時(shí)，圖象在軸的右方無(wú)限逼近軸正半軸，當(dāng)慢慢地變大時(shí)，圖象在軸上方并無(wú)限逼近軸的正半軸.引導(dǎo)學(xué)生用列表描點(diǎn)法，應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性，定義域等，畫(huà)出函數(shù)圖像，最后，教師利用電腦軟件畫(huà)出以上五個(gè)數(shù)數(shù)的圖像.y=x-1y=x30讓學(xué)生通過(guò)觀察圖像，分組討論，探究?jī)绾瘮?shù)的性質(zhì)和圖像的變化規(guī)律，教師注意引導(dǎo)學(xué)生用類比研究指數(shù)函數(shù)，對(duì)函數(shù)的方法研究?jī)绾瘮?shù)的性質(zhì).探究?jī)绾瘮?shù)的性質(zhì)和圖像的變化規(guī)律，應(yīng)用舉例 例1 求下列冪函數(shù)的定義域，并指出其奇偶

6、性、單調(diào)性.（1）y=x；（2）y=x；（3）y=x2.例2 證明冪函數(shù)f（x）=在0，+）上是增函數(shù).請(qǐng)同學(xué)們回顧一下如何證明一個(gè)函數(shù)是增函數(shù)，然后請(qǐng)一個(gè)學(xué)生作答，師板書(shū).合作探究：【例3】 比較下列各組數(shù)的大?。海?）1.5，1.7，1；（2）（），（），1.1；（3）3.8，3.9，（1.8）；（4）31.4，51.5.課堂練習(xí)1.下列函數(shù)中，是冪函數(shù)的是A.y=x B.y=3x2 C.y=D.y=2x2.下列結(jié)論正確的是A.冪函數(shù)的圖象一定過(guò)（0，0）和（1，1）B.當(dāng)0時(shí)，冪函數(shù)y=x是減函數(shù)C.當(dāng)0時(shí)，冪函數(shù)y=x是增函數(shù)D.函數(shù)y=x2既是二次函數(shù)，也是冪函數(shù)3.函數(shù)y=x的圖象

7、大致是 4.冪函數(shù)f（x）=ax（mZ）的圖象與x軸和y軸均無(wú)交點(diǎn)，并且圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求a和m.例1分析：解決有關(guān)函數(shù)求定義域的問(wèn)題時(shí)，可以從以下幾個(gè)方面來(lái)考慮，列出相應(yīng)不等式（組），解不等式（組）即可得到所求函數(shù)的定義域.若函數(shù)解析式中含有分母，分母不能為0；若函數(shù)解析式中含有根號(hào)，要注意偶次根號(hào)下非負(fù)；0的0次冪沒(méi)有意義；若函數(shù)解析式中含有對(duì)數(shù)式，要注意對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0.解：（1）函數(shù)y=x，即y=，其定義域?yàn)镽，是偶函數(shù)，它在0，+）上單調(diào)遞增，在（，0上單調(diào)遞減.（2）函數(shù)y=x，即y=，其定義域?yàn)椋?，+），它既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，它在（0，+）上單調(diào)遞減.（3）函數(shù)y=x

8、2，即y=，其定義域?yàn)椋ǎ?）（0，+），是偶函數(shù).它在區(qū)間（，0）和（0，+）上都單調(diào)遞減.例2證明：設(shè)0x1x2，則f（x1）f（x2）=，因?yàn)閤1x20，+0，所以f（x1）f（x2），即冪函數(shù)f（x）=在0，+）上是增函數(shù).小結(jié)：以上是用作差法證明函數(shù)的單調(diào)性，還可以用作商法證明函數(shù)的單調(diào)性，作簡(jiǎn)要分析，提出注意點(diǎn)：在證得1后，要比較f（x1）與f（x2）的大小，要注意分母的符號(hào).例3分析：比較兩個(gè)或多個(gè)數(shù)值的大小，一般情況下是將所要比較的兩個(gè)或多個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)化為比較某一函數(shù)的不同函數(shù)值的大小問(wèn)題，進(jìn)而根據(jù)所確定的函數(shù)的單調(diào)性，比較自變量的大小即可.若所給的數(shù)值不能轉(zhuǎn)化為比較同一函數(shù)的不同

9、函數(shù)值的大小問(wèn)題，可以找出中間量來(lái)作為橋梁間接地進(jìn)行比較，確定出它們的大小關(guān)系，一般情況下是根據(jù)具體情況選擇常數(shù)“1”“1”或“0”這些數(shù)作為中間量來(lái)進(jìn)行比較.解：（1）所給的三個(gè)數(shù)之中1.5和1.7的指數(shù)相同，且1的任何次冪都是1，因此，比較冪1.5、1.7、1的大小就是比較1.5、1.7、1的大小，也就是比較函數(shù)y=x中，當(dāng)自變量分別取1.5、1.7和1時(shí)對(duì)應(yīng)函數(shù)值的大小關(guān)系，因?yàn)樽宰兞康闹档拇笮￡P(guān)系容易確定，只需確定函數(shù)y=x的單調(diào)性即可，又函數(shù)y=x在（0，+）上單調(diào)遞增，且1.71.51，所以1.71.51.（2）（）=（），（）=（），1.1=（1.1）2=1.21.冪函數(shù)y=x在

10、（0，+）上單調(diào)遞減，且1.21，（）（）1.21，即（）（）1.1.（3）利用冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可以發(fā)現(xiàn)03.81，3.91，（1.8）0，從而可以比較出它們的大小.（4）它們的底和指數(shù)也都不同，而且都大于1，我們插入一個(gè)中間數(shù)31.5，利用冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可以發(fā)現(xiàn)31.431.551.5.小結(jié)：（1）當(dāng)?shù)讛?shù)相異，指數(shù)相同的數(shù)比較大小，可以轉(zhuǎn)化為比較同一冪函數(shù)的不同函數(shù)值的大小問(wèn)題，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，只要比較自變量的大小就可以了.（2）當(dāng)?shù)缀椭笖?shù)都不同，插入一個(gè)中間數(shù)，綜合利用冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較.課堂練習(xí)答案：1. C 2. D 3. D 4. a=1，m=1，3，

11、5，7.掌握冪函數(shù)知識(shí)的應(yīng)用.歸納總結(jié)1.冪函數(shù)的概念以及它和指數(shù)函數(shù)表達(dá)式的區(qū)別.2.常見(jiàn)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì).3.冪值的大小比較方法.學(xué)生先自回顧反思，教師點(diǎn)評(píng)完善形成知識(shí)體系.課后作業(yè)作業(yè)：2.3 第一課時(shí) 習(xí)案學(xué)生獨(dú)立完成鞏固新知提升能力備選例題例1 已知是冪函數(shù)，求m，n的值.【解析】由題意得，解得， 所以.【小結(jié)】做本題時(shí)，常常忽視m2 + 2m 2 = 1且2n 3 = 0這些條件.表達(dá)式y(tǒng) =(xR)的要求比較嚴(yán)格，系數(shù)為1，底數(shù)是x，R為常數(shù)，如，y = 1 = x0為冪函數(shù)，而如y = 2x2，y = (x 1)3等都不是冪函數(shù).例2 比例下列各組數(shù)的大小.（1）；（2）(2)3和(2.5)3；（3）(1.1)0.1和(1.2)0.1；（4）.【解析】（1），函數(shù)在(0, +)上為增函數(shù)，又，則，從而.（